Naslov
Diofantski problemi sa sumama djelitelja
(Diophantine Problems With Sums of Divisors)

Autori
Bujačić, Sanda

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
18.12

Godina
2014

Stranica
99

Mentor
Dujella, Andrej

Ključne riječi
funkcija sume djelitelja ; verižni razlomci ; Pellova jednadžba ; Legendreov simbol ; Eulerova funkcija ; Subbaraova kongruencija
(sum of divisors ; continued fractions ; Pell’s equations ; Legendre symbol ; Euler’s (Totient) function ; Subbarao’s congruence)

Sažetak
Ayad i Luca su dokazali da ne postoji neparan prirodan broj n > 1 i dva pozitivna djelitelja d1, d2 od (n^2 + 1)/2 takvi da vrijedi d1 + d2 = n + 1. Dujella i Luca promatraju opcenitiji problem, gdje je linearni polinom n+1 koji je suma djelitelja d1 i d2 zamijenjen proizvoljnim linearnim polinomom dn + e, gdje su koeficijenti d i e cijeli brojevi i d > 0. Buduci je broj (n^2 + 1)/2 neparan te brojevi d1, d2 dijele sumu kvadrata dva relativno prosta broja, za brojeve d1, d2 vrijedi d1, d2 = 1 (mod 4). Dujella i Luca su se fokusirali na slucaj u kojem su koeficijenti d, e linearnog polinoma neparni brojevi. U ovom radu promatramo drugi slučaj, odnosno slučaj u kojem su koeficijenti linearnog polinoma parni brojevi. Preciznije, u jednom slucaju vrijedi  d = 0 (mod 4) i e = 2 (mod 4), a u drugom vrijedi  d = 2 (mod 4) i e = 0 (mod 4). U radu promatramo slucajeve kad je jedan od koeficijenata d, e fiksiran, odnosno u potpunosti rješavamo slucajeve d = 2, d = 4, e = 0. Dokazujemo da za e = 0 (mod 4) postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja d1, d2 od (n^2+1)/2 takvih da vrijedi d1+d2 = 2n+e te dokazujemo i analogan rezultat za slučaj kad je e = 2 (mod 4) i djelitelji d1, d2 od (n^2 + 1)/2 takvi da vrijedi d1 + d2 = 4n + e. U slučaju kad je vodeći koeficijent oblika d = 4k+2, k iz N, dokazujemo da ne postoji neparan prirodan broj n sa svojstvom da postoji par pozitivnih djelitelja d1, d2 od (n^2 + 1)/2 takvih da je d1 + d2 = dn. S druge strane, dokazujemo i da postoji beskonacno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja d1, d2 od (n2 + 1)/2 takvih da vrijedi d1 + d2 = 2n. Nadalje, promatramo i slučaj u kojem jednoparametarske familije koeficijenata nisu fiksirane, ali su koeficijenti međusobno povezani. Dokazujemo da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja d1, d2 od (n^2 + 1)/2 takvih da vrijedi d1 + d2 = dn + (d + 2). Također promatramo i jednoparametarsku familiju koeficijenata za koju vrijedi e = d - 2 i za nju dokazujemo analogan rezultat, odnosno da postoji beskonacno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja d1, d2 od (n2+1)/2 takvih da vrijedi d1+d2 = dn+(d-2), d = 4, 6 (mod 8). U posljednjem poglavlju rada promatramo verziju Subbaraove kongruencije oblika n phi(n) = 2 (mod sigma(n)), gdje je phi Eulerova, a sigma funkcija sume djelitelja prirodnog broja n. Dujella i Luca su promatrali navedenu kongruenciju i dokazali da postoji samo konacno mnogo prirodnih brojeva n koji je zadovoljavaju i ciji su prosti faktori elementi konačnog i fiksiranog skupa. U radu ispitujemo koji prirodni brojevi ciji su prosti faktori elementi skupa {; ; ; 2, 5}; ; ; , odnosno koji su oblika n = 2^a 5^b, a, b >= 0, zadovoljavaju navedenu verziju Subbaraove kongruencije. Dokazano je da su jedini takvi prirodni brojevi n brojevi n = 1, 2, 5, 8.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA