Naslov
Nova metoda poboljšavanja klasičnih nejednakosti
(New method of improving classical inequalities)

Autori
Perić, Jurica

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Matematički odsjek Prirodoslovno-matematičkog fakulteta

Mjesto
Zagreb

Datum
11.12

Godina
2012

Stranica
124

Mentor
Pečarić, Josip

Ključne riječi
konveksna funkcija; Jensenova nejednakost; konverzna Jensenova nejednakost; Hermite-Hadamardova nejednakost
(convex function; Jensen's inequality; converse Jensen's inequality; Hermite-Hadamard inequality)

Sažetak
U disertaciji poboljšavamo varijante nekih klasičnih nejednakosti. Metoda kojom poboljšavamo nejednakosti temelji se na monotonosti Jensenovog funkcionala s obzirom na težine. Osnovni rezultat iz kojega su se kasnije nejednakosti razvijale je poznata Jensenova nejednakost. Neki od važnijih rezultata vezanih uz Jensenovu nejednakost su Jessenova nejednakost iz 1931. godine (generalizacija na pozitivne normalizirane linearne funkcionale), te Lah-Ribaričeva nejednakost iz 1973. godine (varijanta konverzne Jensenove nejednakosti). U prvom poglavlju glavni rezultat nam je poboljšanje generalizacije Lah-Ribarič- eve nejednakosti na pozitivne normalizirane linearne funkcionale. Dajemo generalizaciju na konveksne ljuske, te specijalno na k-simplekse. Kao specijalan slučaj ovih rezultata dobivamo k-dimenzionalnu verziju Hammer-Bullenove nejednakosti, te u jednoj dimenziji poboljšanje klasične Hermite-Hadamardove nejednakosti. Još jedna varijanta konverzne Jensenove nejednakosti je Giaccardijeva nejednakost, te kao specijalan slučaj Petrovićeva nejednakost. Dajemo njihova poboljšanja, te koristimo dobivene rezultate za definiranje dva linearna funkcionala za koje dajemo dva teorema srednje vrijednosti Cauchyevog tipa, te dajemo elegantnu metodu za dobivanje n-eksponencijalno konveksnih i eksponencijalno konveksnih funkcija. Za kraj ovog poglavlja promatramo konverznu Hölderovu nejednakost za funkcionale, diskretnu verziju konverzne Beckenbachove nejednakosti, te konverznu Minkowskijevu nejednakost za funkcionale. Za sve tri nejednakosti dajemo poboljšanja. U drugom poglavlju disertacije gledamo dvije varijante Jensenove nejednakosti. Prva je Jessen-Mercerova nejednakost. Dajemo dva teorema koja poboljšavaju varijantu Jessen-Mercerove nejednakosti. Dajemo generalizaciju ovih rezultata na konveksne ljuske. Zatim definiramo dva funkcionala (Jessen-Mercerove razlike) nad kojima provodimo isti postupak kao i nad linearnim funkcionalima u prethodnom poglavlju. Druga varijanta Jensenove nejednakosti kojom se bavimo je Jensenova operatorska nejednakost, to jest generalizacija Jensenove nejednakosti na operatorski konveksne funkcije. Cilj nam je poboljšanje Jensenove operatorske nejednakosti bez operatorske konveksnosti. Poboljšavamo neke nejednakosti izmežđu kvaziaritmetičkih sredina (kao specijalan slučaj promatramo potencijalne sredine). U zadnjem poglavlju proučavamo jednu od najslavnijih nejednakosti, Hermite- Hadamardovu. Dajemo dva poboljšanja generalizacije Hermite-Hadamardove nejednakosti na pozitivne normalizirane linearne funkcionale. Poboljšavamo i Hammer- Bullenovu nejednakost, te Fejérovo proširenje Hermite-Hadamardove nejednakosti sa težinskom funkcijom iz 1906. godine. Na kraju ponovo definiramo dva funkcionala (zovemo ih Hammer-Bullenove razlike) nad kojima provodimo isti postupak kao i u prijašnjim poglavljima.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA