Naslov
Aranžmani točaka, pravaca, ravnina i hiperravnina
(Arrangements of points, lines, planes and hyperplanes)

Autori
Vukičević, Damir

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
18.12

Godina
2000

Stranica
253

Mentor
Veljan, Darko

Neposredni voditelj
Veljan, Darko

Ključne riječi
Graf; aranžman; točka; pravac; ravnina; nadravnina
(Graph; arrangment; point; line; plane; hyperplane)

Sažetak
Magistarski rad je podijeljen u četiri dijela. U prvom dijelu su iznesene osnovne tvrdnje ekstremalne teorije grafova. Posebno je zanimljiv Turánov teorem i njegovo poopćenje. Taj teorem su kasnije Bollobas, Erdös i Simonovitz dosta ojačali. Takoder je zanimljivo istraživanje broja bridova u grafovima koji ne sadrže potpuni bipartitni graf određene veličine. Istraženo je i poopćenje ovog problema, tj. broj bridova koji ne sadrže potpune r-partitne grafove određene veličine. Uveden je pojam zasićenog grafa i snažno zasićenog grafa i istraženo je jedno zanimljivo svojstvo snažno zasićenih grafova. U drugom dijelu je cilj odogvoriti na dva fascinantna Erdöseva pitanja: 1) Koliko se puta jedinična udaljenost može pojaviti u skupu od n točaka? 2) Koji je najmanji broj različitih udaljenosti koje odreduje skup od n točaka? te dokazati Szemerédi-Trotterov teorem. Dana su dva dokaza Szemerédi-Trotterovog teorema. Jedan dokaz direktno vrlo lijepim i elegantnim tehnikama dokazuje ovaj teorem, a drugi dokaz ga dokazuje posredno, kao korolar teorema koji ocjenjuje broj incidencija čelija i pravaca. Zanimljiva su i pitanja slična Erdösevima, pa je istraženo i koliko se puta u skupu od n točaka može pojaviti približno ista udaljenost, te jedno vrlo zanimljivo poopćenje tog problema.Takoder, proučavan je i niz zanimljivih posljedica koje slijede iz Szemerédi-Trotterovog teorema. Treći dio se bavi problemom k-skupova. Provedena su čak četiri dokaza gornje međe budući su vrlo zanimljive i korisne tehnike koje na taj način demonstrirane. Donju medu dokazujemo koristeći teoriju grafova. Takoder istražujemo i broj raspolavljajućih trokutova. Ocjena njihovog broja slijedi direktno iz vrlo važnog tehničkog teorema koji je dokazan preko niza pomoćnih tvrdnji. U četvrtom poglavlju se bavimo višedimenzionalnim prostorima. Tu uvodimo dva izuzetno jaka oružja za njihovo istražvanje. To su Möbiusova funkcija i Poincaréov polinom. Tvrdnje su pokazane na primjerima pleteničastog aranžmana i nakupine hiperravnina kroz ishodište u konačnodimenzionalnom prostoru nad konačnim poljem.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA