Naslov
Optimizacija rješenja parametarski ovisne Sylvesterove jednadžbe i primjene
(Optimization of the solution of parameter depending Sylvester equation and applications)

Autori
Kuzmanović, Ivana

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovni-matematički fakultet, Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb, Hrvatska

Datum
12.06

Godina
2012

Stranica
116

Mentor
Truhar, Ninoslav

Ključne riječi
strukturirana Sylvesterovav jednadžba; strukturirana T-Sylvesterova jednadžba; optimalni parametri za modalno prigušenje
(structured Sylvester equation; structured T-Sylvester equation; optimal parameters for modally damped systems)

Sažetak
U ovoj disertaciji promatra se problem rješavanja i optimizacije rješenja strukturiranih Sylvesterovih (odnosno Ljapunovljevih) i $T$-Sylvesterovih matričnih jednadžbi, s posebnim naglaskom na parametarski ovisne Sylvesterove, odnosno $T$-Sylvesterove jednadžbe. U radnji je pokazano da korištenje strukture može značajno doprinijeti ubrzanju procesa rješavanja Sylvesterove i $T$-Sylvesterove jednadžbe, a osobito specijalno povezanih nizova jednadžbi koji se javljaju primjerice u procesu optimizacije rješenja parametarski ovisne Sylvesterove, odnosno $T$-Sylvesterove jednadžbe. Zbog odgovarajuće strukture, u radnji se proučavaju Sylvesterove jednadžbe kod kojih su pripadne matrice zbroj jednostavnih matrica (primjerice dijagonalnih ili blok dijagonalnih) s matricama maloga ranga, odnosno jednadžbe oblika \[(A_0+U_1V_1)X+X(B_0+U_2V_2)=E, \] pri čemu su $A_0, B_0$ jednostavne matrice, a $U_1, V_1, U_2, V_2$ matrice malog ranga $r$. Primjenom standardne Sherman-Morrison-Woodbury-eve formule moguće je dobiti takozvanu Sherman-Morrison-Woodbury-evu formulu za rješenje prethodne jednadžbe, što omogućava razvijanje algoritma koji koristeći strukturu rješava jednadžbu tog oblika znatno efikasnije od standardnih algoritama. Algoritam baziran na Sherman-Morrison-Woodbury-evoj formuli osobito je efikasan za računanje rješenja parametarski ovisne Sylvesterove jednadžbe \[(A_0-vU_1V_1)X(v)+X(v)(B_0-vU_2V_2)=E\] za više vrijednosti parametra $v$. Dok je za standardne metode potrebno $\mathcal{; ; O}; ; (n^3)$ elementarnih operacija za svaku vrijednost parametra $v$, metoda bazirana na Sherman-Morrison-Woodbury-evoj formuli treba $\mathcal{; ; O}; ; (rkn^2)$, gdje je $r, k\ll n$ operacija za prvu vrijednost od $v$, dok svako sljedeće rješavanje s drugom vrijednosti od $v$ iziskuje samo $\mathcal{; ; O}; ; (rn^2)$ operacija, gdje je $k$ dimenzija pripadnog Krylovljevog potprostora. Osim toga, ovim pristupom moguće je i derivacije od $X(v)$ računati u $\mathcal{; ; O}; ; (rn^2)$ elementarnih operacija, što omogućava također efikasnu optimizaciju rješenja $X(v)$ s obzirom na parametar $v$. Specijalan slučaj, parametarski ovisna Ljapunovljeva jednadžba oblika \[(A_0-vUU^T)X(v)+X(v)(A_0-vUU^T)^T=E\] javlja se pri računanju i optimizaciji viskoznosti prigušivača mehaničkih sustava s obzirom na kriterij minimizacije usrednjene jedinične ukupne energije. Opisani problemi proučavaju se u poglavljima 3 i 4. Slično kao u slučaju Sylvesterove jednadžbe, Sherman-Morrisonov-Woodbury-evu formulu moguće je primjeniti i na $T$-Sylvesterovu jednadžbu oblika \[(A_0+U_1V_1)X+X^T(B_0+U_2V_2)=E, \] pri čemu su $A_0, B_0$ jednostavne matrice, a $U_1, V_1, U_2, V_2$ matrice malog ranga. Dobivena formula omogućava konstrukciju efikasnog algoritma za rješavanje prethodne $T$-Sylvesterove jednadžbe, kao i rješavanje i optimizaciju rješenja parametarski ovisne $T$-Sylvesterove jednadžbe. Sherman-Morrison-Woodbury-eva formula za $T$-Sylvesterovu jednadžbu promatra se u 5. poglavlju. Već spomenuti problem optimizacije prigušenja mehaničkih sustava usko je vezan za Ljapunovljevu jednadžbu. U posljednjem poglavlju proučava se optimalno modalno prigušenje $D$ dinamičkog sustava opisanog jednadžbom $M\ddot{; ; x}; ; + D\dot{; ; x}; ; + Kx = 0$ koje će za dane matrice mase $M$ i krutosti $K$ osigurati najbolje (s obzirom na neki kriterij) iščezavanje gibanja sustava u vremenu. Kao optimizacijski kriteriji za ovaj problem koriste se kriteriji minimalnog traga, minimalne spektralne norme i minimalne Frobeniusove norme rješenja sustavu pripadne Ljapunovljeve jednadžbe. Izvedeni su optimalni parametri za specijalne tipove modalnog prigušenja, kao što su prigušenje proporcionalno masi, prigušenje proporcionalno krutosti, Rayleigh-evo prigušenje i dr. Traženi optimalni parametri dobiveni su optimizacijom rješenja pripadne parametarski ovisne Ljapunovljeve jednadžbe obzirom na navedene kriterije optimalnosti i dani su u poglavlju 6.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA