Naslov
Eliptičke krivulje velikog ranga nad kvadratnim poljima
(Elliptic curves of large rank over quadratic fields)

Autori
Jukić Bokun, Mirela

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
05.07

Godina
2011

Stranica
121

Mentor
Dujella, Andrej

Ključne riječi
eliptičke krivulje ; kvadratna polja ; rang ; torzijska grupa
(elliptic curves ; quadratic fields ; rank ; torsion group)

Sažetak
U radu smo se bavili konstrukcijom eliptičkih krivulja pozitivnog i relativno velikog ranga s fiksiranom torzijskom grupom nad kvadratnim poljem. Ako je K kvadratno polje i E|K eliptička krivulja nad poljem K, moguće torzijske grupe su: - Z/nZ, gdje je 1 ≤ n ≤ 16, n = 18, - Z/2Z × Z/2mZ, gdje je 1 ≤ m ≤ 6, - Z/3Z × Z/3kZ, gdje je k = 1, 2, K = Q(√−3), - Z/4Z × Z/4Z, za K = Q(i). Najprije smo konstruirali krivulje relativno velikog ranga s torzijskim grupama Z/4Z × Z/4Z, Z/3Z × Z/6Z i Z/3Z × Z/3Z. Za prve dvije torzijske grupe ranije su bile poznate krivulje ranga barem 3, a za posljednju torzijsku grupu bila je poznata krivulja ranga 2. Mi smo odredili eliptičku krivulju nad Q(i) s torzijskom grupom Z/4Z × Z/4Z i rangom 7, kao i familiju eliptičkih krivulja s istom torzijom i rangom ≥ 2. U slučaju eliptičkih krivulja nad kvadratnim poljem Q(√−3), konstruirali smo eliptičku krivulju s torzijskom grupom Z/3Z × Z/3Z i rangom 7 te eliptičku krivulju s torzijskom grupom Z/3Z × Z/6Z i rangom 6. U metodama koje smo koristili važnu ulogu ima tzv. Mestreova uvjetna granica za rang koju smo detaljnije proučili. Za torzijske grupe Z/2Z×Z/10Z, Z/2Z×Z/12Z, Z/15Z, Z/11Z, Z/14Z bavili smo se konstrukcijom eliptičkih krivulja pozitivnog ranga nad kvadratnim poljem Q(√d), uz uvjet da je apsolutna vrijednost diskirminante toga polja minimalna. Konstruirali smo krivulje pozitivnog ranga s torzijskim grupama Z/2Z×Z/10Z, Z/2Z×Z/12Z, Z/15Z nad poljima, redom, Q(√−2), Q(√13), Q(√−7), dok smo za torzijske grupe Z/11Z, Z/14Z odrediti krivulje uvjetno pozitivnog ranga nad poljima, redom, Q(√−7), Q(√3). Odredili smo i nove familije eliptičkih krivulja s torzijskim grupama Z/2Z × Z/10Z i Z/2Z × Z/12Z. Osim toga, bavili smo se konstrukcijom eliptičkih krivulja s fiksiranom torzijskom grupom i maksimalnim rangom nad kvadratnim poljima Q(√d), |d| ≤ 10100, kojima je |d| minimalan, te smo napravili pregled poznatih rezultata.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA