аЯрЁБс>ўџ 8:ўџџџ7џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџьЅСq`№ПPbjbjqPqP 4"::Ю%џџџџџџЄдддддддшP P P 8ˆ $Ќ ш6юд д "і і і ббб‘““““““$$hŒ\З9дбббббЗдді і л№ЭЭЭбді ді ‘Эб‘ЭЭддЭі Ш p Œ§ЫЬP эИЭU<06ЭшЅашЭшдЭˆббЭбббббЗЗuXббб6ббббшшшЄŒ ФшшшŒ шшшддддддџџџџ CIRCULAR SURFACES – MATHEMATICA VISUALIZATIONS Sonja Gorjanc University of Zagreb, Faculty of Civil Engineering, Department of Mathematics Keywords: circular surfaces, congruence of circles, Abstract: This lecture introduces a new concept of surface-construction: We consider a congruence of circles C(P1,P2)= C(p) in the Euclidean space, i.e. a two-parametric set of circles passing through the points P1, P2 given by the coordinates (0,0, (p), where p="q, q(R. It is a normal curve congruence with singular points on the axis z. C(p) is an elliptic, parabolic or hyperbolic congruence, if q is greater, equal or less then 0, respectively. For a piecewise-differentiable curve a№ №: I(R3, I(R, we define a circu$234ABLVXkv€™šФХЯ2 3 4 5 6 7 8 9 < = > ? ~ … ™ š ›  ž   П Р С Ъ Ы ќјє№ы№єфєнјєјйєјєнаЩєЩј№М№ДЌ№ДЄ№—№Д№“№‹Ќ№‹†№Д№Д№ jБ№hЏ2Ђ hЏ2ЂH*hЏ2ЂhЏ2Ђ6hЏ2ЂhM˜hЏ2ЂOJQJ^JhЏ2ЂhM˜H*hЏ2ЂhЏ2ЂH*hЏ2ЂhM˜6hM˜hM˜OJQJ^J hЁ/Шhhh0JhЏt hmOh hм:Зh hM˜6hM˜hlqбhhFP14BХіЖ­md[RI $Ifgd $Ifgd $Ifgd $Ifgd@kdH$$If–F”Щ§ж”џ#ќ# tрі6іжџжџжџжџ4ж4ж laі $IfgdFP@kd$$If–F”‰фж”џ#ќ# tрі6іжџжџжџжџ4ж4ж laі $IfgdFPNўўХЯ˜о .0іээр ›™™™™™™™™‹ „ќџ„&`#$gdN`gd@kd$$If–F”‰фж”џ#ќ# tрі6іжџжџжџжџ4ж4ж laі „$If`„gdЏ2Ђ $IfgdЏ2Ђ $Ifgd     ” – š œ ž   Є А Р    t v Р Т Ф Ш Ъ Ь Ю а в д ж и к о т і  њђюцлцюцюЮЪђЪюУюЪюђюОюВЊЪц ђ˜Ъюђ‘ŠЪУю‚€‚юЮvЪВhЏ2ЂOJQJ^JUhM˜hM˜6 hЏ2ЂhЏ2Ђ jЭ№hЏ2ЂhЏ2ЂhЏ2ЂH* jЎ№hЏ2ЂhЏ2ЂhЏ2ЂOJQJhЏ2ЂhЏ2Ђ6OJQJ hЏ2ЂH* hЏ2ЂhM˜hЏ2ЂhM˜hЏ2ЂOJQJ^J jЮ№hЏ2ЂOJQJhЏ2ЂhM˜6hM˜hЏ2ЂhЏ2Ђ6 hЏ2Ђ^J-lar surface CS(a№,p) as the system of circles of C(p) which cut the curve a№.№ For the surfaces CS(a№,p) we derive parametric equations which enable their visualizations in the program Mathematica and investigate their properties if a№ is an algebraic curve. "$(`bdfj’”–˜МОРТФЦШn„Юаў  *,.24@BDFHLNњђюънюђюъюбШРюнЖюбњђюђюбюВАВЇŸ›Ÿ›Ÿ›Ÿ›‘‹‘‹ъ‘‹‘€‘‹ъ›hКOU0JmHnHu hM˜0JjhM˜0JUhД9@jhД9@Uhh0JUhhЏ2ЂOJQJ^JhЏ2ЂhM˜H*hЏ2Ђ6OJQJhЏ2ЂhЏ2Ђ6OJQJhM˜hЏ2ЂOJQJ^JhM˜hЏ2ЂhЏ2ЂhЏ2Ђ6 hЏ2Ђ62     PAGE  PAGE 1 02HJLNP§ёя§§ъgd „ќџ„&`#$gdN`NPїhh0J21h:pА‚. АЦA!АŠ"АŠ#§$n%ААХАХ ФF$$If–кџ!vh5жќ##vќ#:V –F”‰ф tрі65жќ#F$$If–кџ!vh5жќ##vќ#:V –F”Щ§ tрі65жќ#L$$If–кџ!vh5жќ##vќ#:V –F”‰ф tрі6,ж5жќ#†œN@ёџN Ё/ШNormal$a$ CJOJQJ_HaJmHsHtHh@h Ё/ШHeading 1,Title$$Є<Є№@&a$5;CJ\^JaJ tH DA@ђџЁD Default Paragraph FontRi@ѓџГR  Table Normalі4ж l4жaі (kєџС(No List>ўO> Ё/Ш Department$Єha$m$8ўO8 Ё/ШAbstract„eЄx`„eJўOJ Ё/ШAbstract - Title $Є№5;4 @"4 eѕFooter  ЦИp#<ўO2< Ё/ШAuthors$a$ 5aJtH jўOЂAj Ё/ШAbstract - Title Char Char5;CJ_HaJmHsHtH@ўO‘@ Keywords -Title5;NўOЂaN Keywords -Title Char5;OJQJ(ўOЂq( spacerCJ\ўOЂ\ Ё/ШAbstract Char Char CJOJQJ_HaJmHsHtH4ўO’4 Ё/ШKeywordsCJ\JўOЂЁJ Ё/Ш Keywords Char\_HaJmHsHtH.)@ЂБ. eѕ Page NumberFV@ЂСF ЏtFollowedHyperlink >*B* ph€€є"џџџџ4BХЯЛЬЭЮабгджзйкуфх№ёђѕЉ0€€а ™0€€д Љ0€€а ™0€€д Љ0€€аЉ0€€аЉ0€€аЉ0€€аЉ0€€аЉ0€€аIˆ00€Љ0€€а ™0€€д ˜0€€Јб00Iˆ00ЅЈб00Iˆ00ЅЈб00Iˆ00ЅЈб00Iˆ00ЅЈб00Јб00€Јб00€˜@0€€˜@0€€Јб00­Iˆ00иЅ4BХЯЛЬЭѕЊ‘00  0  Њ‘0 0  Јб00 Њб00 €Њб00€Xб00€˜@0€@lh0,Јб00Ј€Ј‘00Ј€Њ‘00 00ˆ  š0€€€ $$$' NP Х0P N  '!•!џ•€№8№@ёџџџ€€€ї№’№№0№( № №№B №S №ПЫџ ?№ 24ABLMVX€™šФХ 3467;<=>@A_`…†›Ÿ ЙКОРТФЮабвге#$,.EFPRVWpqwy†‡ЌАБВДЖЗИЙЛНОзикнор№ё§ўџ)*,/03GHŽГЕКЛЫЮЮааббгджзйкђѕ34ABФХЮЯКЛЫЮЮааббгджзйкђѕ)233GHRRƒƒŽŽГЕЫЫЭЮЮааббгджзйкђѕЮЮааббгджзйкђѕхСd4)”p 05pe67Д9@МHLs0OFPКOUN`Џt-xkG„Юf‘M˜Џ2ЂEsНѓФfЦЁ/ШЩ(ЫИ]Ыlqбy%ђeѕЬЭѕžž–џ@ €$i 4ЬЬЬєp@p ppџџUnknownџџџџџџџџџџџџGю‡z €џTimes New Roman5€Symbol3&ю ‡z €џArial7ю‡: џScriptC"1ˆ№ХЉбѓѕ&бѓѕ&‘=‘=Q№Š§ДД4dЭЭ 2ƒq№HP №џтџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЁ/Ш2џџCЭMDr. PethQ BalсzsSonjaGўџр…ŸђљOhЋ‘+'Гй0t˜ЄАЬифє  0 < HT\dlтCЭMDr. Pethѕ BalсzsNormalSonjaG2Microsoft Office Word@Œ†G@nВлЫЬ@nВлЫЬ‘=ўџеЭеœ.“—+,љЎ0ь hp|„Œ” œЄЌД М ЬтЭц CЭM Title ўџџџўџџџ !"#$%&ўџџџ()*+,-.ўџџџ0123456ўџџџ§џџџ9ўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot Entryџџџџџџџџ РF`Љ•§ЫЬ;€Data џџџџџџџџџџџџ1TableџџџџшWordDocumentџџџџ4"SummaryInformation(џџџџџџџџџџџџ'DocumentSummaryInformation8џџџџџџџџ/CompObjџџџџџџџџџџџџqџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџ џџџџ РFMicrosoft Office Word Document MSWordDocWord.Document.8є9Вq