Naslov
Fraktalna analiza bifurkacija diskretnih dinamičkih sustava i primjene na kontinuirane sustave
(Fractal analysis of bifurcations of discrete dynamical systems and applications to continuous systems)

Autori
Horvat Dmitrović, Lana

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
21.02

Godina
2011

Stranica
192

Mentor
Županović, Vesna

Ključne riječi
box dimenzija ; dinamički sustavi ; bifurkacija ; nehiperbolička fiksna točka
(box dimension ; dynamical system ; bifurcation ; nonhyperbolic fixed point)

Sažetak
Doktorski rad sadrži fraktalnu analizu diskretnih dinamičkih sustava, jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih te njihovih osnovnih bifurkacija. Proučavanje jednodimenzionalnih preslikavanja je dovelo do generalizacije otprije poznatih rezultata na klasu konačno nedegeneriranih preslikavanja. Glavni rezultat iz tog dijela disertacije glasi: Ako je f α-nedegenerirana funkcija u nehiperboličkoj fiksnoj točki, tada je box dimenzija orbite diskretnog sustava generiranog preslikavanjem f upravo jednaka 1-1/α na nekoj dovoljno maloj okolini te fiksne točke. Zatim smo taj rezultat primijenili na sve osnovne jednoparametarske i dvoparametarske bifurkacije jednodimenzionalnih diskretnih sustava, kao što su sedlo-čvor, transkritična, viličasta, bifurkacija šiljka i bifurkacija udvostručenja perioda (klasična i generalizirana). Svi rezultati su još jednom potvrdili da važna veza između bifurkacije u nehiperboličkoj točki i promjeni box dimenzije orbite u okolini te točke može imati značajan utjecaj na analizu bifurkacija. Što se tiče diskretnih dinamičkih sustava u ravnini, dokazali smo da je u okolini stabilne hiperboličke fiksne točke box dimenzija orbita jednaka 0, dok se kod sustava s jednom svojstvenom vrijednosti na jediničnoj kružnici pokazalo da je box dimenzija orbite sustava na centralnoj mnogostrukosti jednaka box dimenziji njene projekcije na os x. Fraktalna analiza Neimark-Sackerove bifurkacije nam je bila posebno zanimljiva zbog razlike između racionalnog i iracionalnog slučaja, odnosno box dimenzije 2/3 i 4/3. Kod dobivanja tog rezultata koristili smo povezanost Neimark-Sackerove bifurkacije i Hopf-Takensove bifurkacije preko 1-toka. Na kraju disertacije smo većinu rezultata dobivenih za diskretne dinamičke sustave i njihove bifurkacije, primijenili na kontinuirane sustave u R i R^2 pomoću 1-toka i Poincaréovog preslikavanja. Pokazali smo rezultate o box dimenziji orbita pripadnog 1-toka za bifurkacije nehiperboličkih singulariteta kontinuiranih sustava, kao što su sedlo-čvor, transkritična i viličasta bifurkacija u R i R^2 te bifurkacija šiljka. Primjenom povezanosti preko Poincaréovog preslikavanja dobili smo zanimljiv obratan rezultat koji bi mogao imati veliku primjenu u proučavanju multipliciteta slabog fokusa i graničnog ciklusa kod ravninskih kontinuiranih dinamičkih sustava. Na samom kraju smo povezanost box dimenzije Poincaréovog preslikavanja i box dimenzije spiralnih trajektorija u okolini nehiperboličkog graničnog ciklusa primijenili na neke bifurkacije periodičkih orbita u ravnini, kao što su sedlo-čvor, transkritična i viličasta bifurkacija graničnih ciklusa.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA