Naslov
Razvoj graničnog sloja na ravnoj ploči
(Development of boundary layer on a flat plate)

Autori
Vulić, Antonio

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, diplomski rad, preddiplomski

Fakultet
Građeviski fakultet

Mjesto
Zagreb

Datum
04.10

Godina
2010

Stranica
19

Mentor
Andročec, Vladimir

Neposredni voditelj
Lončar, Goran

Ključne riječi
grančni sloj; ravna ploča
(boundary layer; flat plate)

Sažetak
U ovom radu prezentiramo Kármán-ovu ideju, analizu toka viskoznog fluida kod velikog Re preko ravne ploče. Kod velikih Reynolds-ovih brojeva efekti viskoznosti postaju ograničeniji na uska područja blizu čvrstog zida. Fluid zasjeca ploču izravno i uzrokuje silu trenje D, i distribuciju brzine u(y) svakog sloja fluida nizvodno na poziciju x povezan kao strmi pad sve do nule na početku ploče. Zbog očuvanja mase vodena struja biti će odbijena od ploče ali ne previše tako da tlak fluida ostaje približno konstantan. Taj sloj smo označili sa δ_(99%), dok će se strujnice izvan tog sloja odbijati u iznosu δ^* kojeg zovemo debljina graničnog sloja koji ovisi o x. Prema tome tanki granični sloj postoji ako je Reynolds-ov broj toka 〖Re〗_L velik. Debljina graničnog sloja je udaljenost na kojoj ulazna brzina postiže brzinu paralelnog strujanja. Budući da se ta brzina asimtotski približava brzini paralelnog strujanja, najčešće se rub graničnog sloja označava tamo gdje ulazna brzina dosegne 99% brzine paralelnog strujanja. Granični sloj u početku nastoji biti laminaran, a onda kako se povečava 〖Re〗_L prelazi u turbulentan. Pretpostavljamo da je brzina uzvodno od ruba ploče ujednačena i paralelna. Kontrolni volumen izabran za analizu je zatvoren isprekidanim linijama na slici 1. S obzirom da je distribucijska brzina znana samo na ulazu i izlazu, važno je da ostale dvije strane kontrolnog volumena budu obični vodeni tok gdje nema mase ni križanja količina gibanja. Niža strana je ravna ploča zbog čega se javlja usporavajuća sila. Gornja strana treba biti izvan strujnica posmičnog sloja, tako da uzduž linije trenje nula. U opisanom strujanju tlak je konstantan, pa se sile tlaka međusobno poništavaju. Izvan graničnog sloja viskozne sile su zanemarive, a unutar graničnog sloja nastaju vrlo veliki gradijenti brzina – a time i vrlo veliko unutarnje trenje. S obzirom da kroz strujnice nema protoka, da su viskozne sile izvan graničnog sloja jednake nuli, prema integralnom obliku jednadžbe količine gibanja, sila je jednaka razlici inpulsnih jednadžbi na ulaznom i izlaznom presjeku. Integralne relacije za granični sloj uz ravnu ploču dobivamo integracijom jednadžbi kontinuiteta i komponente jednadžbe količine gibanja u smjeru strujanja. Integriranjem jednadžbi po debljini graničnog sloja dovodi do von Kármanove impulsne jednadžbe. Von Kármanove impulsne jednadžbe daju vezu smičnog naprezanje na stjenci s integralnim parametrima graničnog sloja. Von Kármán-ova impulsna jednadžba je obična diferencijalna jednadžba u kojoj su sve veličine funkcija samo x kordinate. Stvarna definicija debljine graničnog sloja δ^* ostaje nepromjenjena za bilo koji nestlačeni tok, bilo laminaran ili turbulentan, stalnog ili promjenjivog tlaka, stalne ili promjenjive temperature. Drugim riječima, da bi definirali δ^* potrebno je odrediti očuvanje mase u nepromjenjivu toku. S obzirom da su y- oni integrirani, δ^* je funkcija isključivo od x. Njegova točna vrijednost ovisi o distribuciji u(y). Drugi parametar osim debljine graničnog sloja koji se definira je debljina količine gibanja Θ, sličan kao δ^* u cijelosti je funkcija od x. . Definiran je za svaki proizvoljni nestišljivi granični sloj, ali kada ne govorimo o ravnoj ploči, Θ nije jednak sili pomaka podjeljenim sa ρU^2. To znači da je debljina količine gibanja također zanimljiv i koristan u nekim empirijskim korelacijama, ali nije bitan kao količina δ^*. δ^* je uvijek veći od njih dva. Omjer ta dva parametra se zove faktor oblika, te se često upotrebljava u analizi graničnog sloja. Zanimljivo je da trenje ravne ploče i sile uzrokovane trenjem se mogu u potpunosti definirati debljinom količine gibanja Θ(x). Faktor oblika H je uvijek veći od cjeline, kao što je vidljiv iz geometrije na slici 2, i varira za laminarni tok od 2.0 oko točke stagnacije do 3.5 kao točka separacije. Kod turbulentnog toka, varijacija je mnogo manja (oko 1.3 do 2.5), Sve integralne metode koriste parcijalno integrirane oblike jednadžbi kontinuiteta, jednadžbe količine gibanja i energije, što vrijedi za dvodimenzionalni nestišljivi tok koji koristimo. Kontinuitet je eliminiran tijekom deriviranja, pa su dva osnovna rezultata (1) moment integralne relacije [Kármán (1921)], i (2) termalno-energetska integralna relacija [Frankl (1934)]. Neki koriste i treću, integral mehaničke energije [Leibenson (1935)]. Pristup pomoću kontrolne količine je najvažniji pristup ako se koristi ispravna distribucija brzine i temperature – ali s aproksimacijama u praksi, koristeći pretpostavljene profile i druge korelacije. Kako bi dobili količinu gibanja integralne relacije, prvo pomnožimo kontinuitet po u – U i oduzmemo od količine gibanja. Zatim uračunamo promjenjivi tok i mogućnost poroznog zida sa normalnom brzinom v_w(x) koja je pozitivna. Tada integriramo u granicama od zida (0) do beskonačnosti, s napomenom da τ isčezava kod beskonačnosti a vezano za aproksimaciju graničnog sloja. Dobivamo relaciju integralnog momenta, tkz. Kármán-ovu integralnu relaciju po T. Von Kármán, koji je prvi predložio ovaj pristup u analizi graničnog sloja. Kao što se i očekivalo, integrali U-u i u(U-u) su ekvivalentni do pomaka i debljine količine gibanja. Zbog toga možemo prepisati relaciju količine gibanja u kompaktniji oblik Kármán-ove integralne relacije. Ako smo suočeni sa teškom studijom netipičnog graničnog sloja i potrebna nam je velika preciznost, tada je preporučeno koristiti numerički model. Jednadžbe laminarnog graničnog sloja su parabolične ili pokazuju kretajući karakter i prema tome pokazuju srazmjernost prema modelu CFD. To je računalna dinamika fluida (CFD, od eng. Computational Fluid Dynamics) primjenjena je znanost kojoj je glavni cilj primjena znanja i iskustava s područja mehanike fluida uz izradu računalnih modela, kako bi se dobila nova saznanja o pojedinim specifičnim problemima unutar mehanike/dinamike fluida. Postoje dvije vrste kretajućih shema: eksplicitne i implicitne. Kod eksplicitnih metoda, nizvodni profili u(x + ∆x, y) i v(x + ∆x, y) su odmah uračunati od poznatih uzvodnih profila u(x, y) i v(x, y) direktnom primjenom algebarskih modela jednadžbi. Eksplicitni modeli su jednostavniji ali numerički nepouzdaniji osim ako ne koristimo male vrijednosti ∆x, ali zahtijevaju prekomjeran rad računala. Implicitna metoda je također algebarski model jednadžbi, ali točke na nizvodnom profilu u(x + ∆x) moraju biti riješeni simultano iteracijom ili inverzijom matrice. Vrijeme računanja po ∆x koraku je veće nego kod eksplicitnih shema, ali nema numeričke nestabilnosti. Veličina ovog koraka ovisi od veličine do veličine, subjekta na normalno skraćenje greške koje ne divergira niti oscilira. Metode na slici 3. su sheme konačne razlike, modeli nastali razlikom između čvornih točaka na pravokutnoj (x, y) mreži. Također postoje numeričke sheme koristeći metodu konačne razlike Beer (2001) ili Löhner (2001) koje su u principu različite – simulirajući njihovo polje ili „elemente“ toka omeđenog sa mrežom točaka. Za obje naše metode koristit ćemo mrežu sa pravokutnim elementima.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Građevinarstvo

POVEZANOST RADA