Naslov
Youngove mjere i primjene
(Young measures and their applications)

Autori
Balenović, Neven

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
PMF-Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
16.07

Godina
1999

Stranica
Iv+109

Mentor
Antonić, Nenad

Ključne riječi
Youngove mjere; kompaktnost kompenzacijom; varijacijske zadace
(Young measures; compensated compactness; variational problems)

Sažetak
Youngove (op"tenitije, parametrizirane) mjere su sredstvo za izu"cavanje slabe konvergencije i njenog pona"sanja s obzirom na nelinearne funkcionale. Naime, pokazuje se da svaki niz izmjerivih funkcija generira parametriziranu mjeru. "Stovi"se, uz odgovaraju"te pretpostavke, slabi limes kompozicije promatranog niza s nelinearnim funkcijama se mo"ze prikazati kao integral s obzirom na pripadnu parametriziranu mjeru. Ukoliko pak niz zadovoljava izvjestan uvjet ograni"cenosti, pripadna familija mjera se sastoji iz vjerojatnosnih mjera i u tom slu"caju je nazivamo Youngovom mjerom. Youngove mjere je uveo L.C.Young tridesetih godina radi boljeg razumijevanja oscilatorne prirode minimiziraju"tih nizova u varijacijskom ra"cunu, prije svega u zada"tama za koje ne postoji minimizator u klasi"cnom smislu. Ovaj rad se sastoji iz dva dijela. Prvi dio je tehni"cke prirode i zapo"cinje pregledom funkcijskih prostora vezanih uz Youngove mjere, kao i nizom rezultata o slaboj konvergenciji u prostoru integrabilnih funkcija. Naime, kako reprezentacija slabih limesa u terminima Youngovih mjera zahtijeva slabu konvergenciju promatranog niza, va"zno je znati koliko je ona daleko od uniformnih ocjena u prostoru L^1. Ovo razmatranje vodi na nagrizaju"tu konvergenciju i Chaconovu lemu. Pokazuje se da Youngove mjere uvijek osiguravaju nagrizaju"ti limes. "Stovi"se, kad god nagrizaju"tu konvergenciju mo"zemo popraviti do slabe konverge ncije u L^1, Youngove mjere "te reprezenirati slabi limes. Navedeni su i klasi"cni rezultati karakterizacije slabe konvergencije u prostoru L^1 (Dunford--Pettisov i De La Vall\'ee--Poussinov teorem), te veza nagrizaju"te i slabe konvergencije. Poglavlje zavr"sava odjeljkom o Vitalijevom teoremu pokrivanja, koji igra va"znu ulogu u postupcima lokalizacije i homogenizacije Youngovih mjera. U drugom se poglavlju detaljno izu"cavaju Youngove mjere i njihova svojstva. Dokazuje se op"tenit teorem egzistencije Youngovih mjera, "cija va"znost je u tomu "sto daje eksplicitnu karakterizaciju slabih limesa u terminima Youngovih mjera. Na "zalost, taj teorem ne osigurava i postojanje slabih limesa ; to treba neovisno utvrditi drugim postupcima. U drugom je odjeljku ovog poglavlja razmatrana spomenuta reprezentacija slabih limesa s pomo"tu Youngovih mjera, te veza s jakom konvergencijom. U nastavku je dokazan teorem karakterizacije Youngovih mjera generiranih nizovima u L^p, kao i generalizacija na nizove koji su integrabilni u op"tenitijem smislu. Naveden je i alternativni pristup Youngovim mjerama koji je razvio M.Si"cev 1997. Naime, Youngove mjere se mogu identificirati s izmjerivim preslikavanjima u odre"deni kompaktan metri"cki prostor. To nam omogu"tuje da koristimo klasi"cne rezultate, primjerice Luzinovo svojstvo, za dokazivanje "cinjenica o Youngovim mjerama. Neki su rezultati u ovom radu dokazani upravo koriste"ti ovaj pristup. Poglavlje zavr"sava rezultatima o homogenizaciji i lokalizaciji Youngovih mjera. Ovi postupci imaju za cilj zadanoj Youngovoj mjeri pridru"ziti homogenu mjeru, koja je jednostavnije strukture a jo"s uvijek sadr"zava relevantne informacije o pripadnom nizu funkcija kojeg prou"cavamo. U varijacijskom ra"cunu su osobito va"zni integrandi koji ovise o gradijentu. Stoga je od interesa izu"cavati slabu konvergenciju pridru"zenu nizovima gradijena ta i pripadne Youngove mjere. To je sadr"zaj tre"teg poglavlja. Navedeni su osnovni rezultati o gradijentnim Youngovim mjerama, u prvom redu teoremi lokalizacije i homogenizacije. Dokazan je i teorem karakterizacije gradijentnih Youngovih mjera generiranih nizovima u Soboljevljevim prostorima. Teorem daje vezu s kvazikonveksno"s"tu gradijentnih Youngovih mjera, "sto pokazuje kako su one pogodno sredstvo za izu"cavanje varijacijskog ra"cuna u vektorskom slu"caju. Drugi dio rada, izme"du ostalog, sadr"zi prikaz autorovih originalnih rezultata. Zapo"cinje "cetvrtim poglavljem o primjeni Youngovih mjera u teoriji kompenzirane kompaktnosti, koja omogu"tuje izra"cunanje limesa nekih bilinearnih veli"cina uz pretpostavku sla be konvergencije. Dokazan je kvadrati"cni teorem kompenzirane kompaktnosti kojemu je div-rot lema (F.Murat & L.Tartar, 1974) jednostavna posljedica. U nastavku je prikazana primjena Youngovih mjera na nelinearne hiperboli"cke zakone sa"cuvanja: Metodom i"s"cezavaju"te viskoznosti dobiven je niz rje"senja paraboli"ckih aproksimacija polazne jednad"zbe, dok je kori"stenjem Youngovih mjera omogu"ten prijelaz na limes u nelinearnom "clanu. Posljednje, peto, poglavlje se bavi primjenama Youngovih mjera u varijacijskom ra"cunu. Na nekoliko primjera pokazano je kao se Youngove mjere koriste pri razmatranju dvaju osnovnih pitanja varijacijskog ra"cuna: slabe poluneprekinutosti odozdo i relaksacije. Jedan od originalnih rezultata navedenih u ovom radu je analiza varijacijske zada"te vezane uz model crno-bijelog tiska. Razmatrana je zada"ta aproksimacije funkcija koje poprimaju vrijednosti u segmentu [0, 1] funkcijama s vrijednostima u diskretnom skupu {;0, 1};. Ta je varijacijska zada"ta usko vezana uz crno-bijeli tisak na digitalnim printerima. U ovom "te modelu polazna slika biti predstavljena funkcijom u s vrijednostima u segmentu [0, 1], koju "zelimo "sto preciznije prikazati crnim mrljama tinte ili bijelim prazninama na papiru, dakle, aproksimirati funkcijom v s vrijednostima u skupu {;0, 1};, u smislu minimizacije odre"denog funkcionala. Zbog oscilacije minimiza cijskih nizova, pokazuje se da je Youngova mjera jedinstveni (poop"teni) minimizator promatranoga funkcionala. Tu zada"tu je predlo"zio John M.Ball 1994. Drugi originalan doprinos je primjer primjene Youngovih mjera u teoriji optimalnog dizajna, gdje je dano poop"tenje rezultata Munoza i Pedregala iz 1998. godine. Naime, postoje"ti rezultat relaksacije i optimalne relaksacije za zada"tu minimizacije promatranog funkcionala, koji je dokazan za klasu ortotropskih materijala, poop"ten je na slu"caj proizvoljnih materijala. U tu svrhu razvijena je metoda homogenizacije i teorija H-konvergencije za linearne elipti"cke jednad"zbe "cetvrtog reda po uzoru na Tartarov pristup jednad"zbi drugog reda. Rezultat homogenizacije omogu"tuje definiranje relaksirane zada"te na skupu dopustivih Youngovih mjera. Ovo poglavlje zavr"sava osvrtom na nelokalne varijacijske zada"te. Dokazano je da je nu"zan i dovoljan uvjet za postizanje slabe nizovne poluneprekinutosti odozdo Jensenova nejednakost. Dokazani su i ne"sto slabiji dovoljni uvjeti poput separatne konveksnosti integranda. Dokazan je i teorem relaksacije u slu"caju integranada koji ne zadovoljavaju Jensenovu nejednakost. Upravo je relaksacija mjesto na kojemu je razlika izme"du lokalnih i nelokalnih zada"ta najizra"zenija. Naime, za lokalne je funkcionale uobi"cajeno zamijeniti nekonveksni integrand njegovom konveksifikacijom. U nelokalnom slu"caju ne postoji adekvatna zamjena za konveksifikaciju, stoga je jedini poznat na"cin za opisivanje relaksacije u ovom slu"caju kori"stenje Youngovih mjera i poop"tenih funkcionala na njima.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA