; TeX output 2000.02.07:1830x#fܚ>ٓRcmr7MathematicalCommunications??:(????),???{???.>#fܜJ[XQ ff cmr12Explicit/StableMethodCdsforSecondOrderParabolicЧSystemsꨟ2K cmsy8# v9XQ cmr12NEDxZADLIMIN8xC2Zcmr51ȹandMLADENRrOGINA222yÍa$-:)t}\cmti71e$6(#fcmti8Department~ofMathematics,UniversityofZagreb,Bijeniԟcka30,Zagreb, 10000,~Croatia.4email:nlimic@math.hr a$-:2e$6Department~ofMathematics,UniversityofZagreb,Bijeniԟcka30,Zagreb,10000,~Croatia.4email:rogina@math.hr>*"V cmbx10Abstract.eG+o cmr9W:e,sho9wthatitispAossibletoconstructstable,2explicit nitedi erenceapproxima- ȍ>tionsfortheclassicalsolutionoftheinitialv|ralueproblemfortheparabAolicsystemsof>theC^form,5" cmmi9@;cmmi6t\pu=A(t;2t : cmbx9x))ujL+f> onC^1a msbm9R-=dZ,m]whereA(t;x)$=?.zi cmex9PijaijM(t;x)@i,r@j+?P q4i(Pbi(t;x)@i+>c(t;x).?TheBn9umericalschemereliesonanapproximationoftheellipticopAeratorA(t;x)>on-anequidistan9tmeshbymatricesthatpAossessstructureofageneratorofMarkov>jumpVRproAcess.jInthecaseofR-=Aacmr62scalingofseconddi erenceoperatorscanbeapplied>to5getthenecessarystructureofappro9ximations,whileinthecaseofR-=dZ;d>2,rota->tions=Xatgrid-knotsarepAerformedinordertogetthemen9tionedstructure.}Numerical>expAerimen9tsTillustratethetheory:.CG5j cmti9AMSN1O?In9troQduction㍑GK`y cmr10W*ederiveandanalyzeaclassof nite-di erencemethoGdsforthe b> cmmi10L O!cmsy71x-theory >of'2^nd orderparabGolicsystem.F=Thecrucialstepofconstructionisthespace>discretization9ofellipticopGerator, A(x),on9anequidistantgridsothatitsmatrix>approximations,A 0ercmmi7nq~,havethestructureofageneratorofMarkovjumpproGcess>(MJP).XThenweapproximatetheparabGolicsystembysystemsofODE,forwhich>explicitUUandstable nite-di erencemethoGdsareconstructedandanalyzed.GThroughoutyourexpGositionthecaseofparabolicsystemson< msbm10R^d#isconsidered>althoughUUmethoGdsareapplicableaswelltoproblemsonboundeddomains.GInQ$thecourseofdiscretizationofA(x)weencounterdicultiescausedbytoGo>largeRvqaluesof !", cmsy10jaij j;i6=j,FcomparedRtothevaluesofjaii(j;jajgjXj.F*orbGounded>domainsi2thisproblemisrecognizedandsolvedin[MWq],n*wherethecorrespGond->ingapproximationsarecalledpGositive.U4W*eprefertheterminologyMJPinorder>to distinguishsimilarstructureofapproximationsforL1|s-theoryofellipticop->eratorsindiveregenceform.ResultsofSection2aregeneralizationsofresults>ff @ -:q% cmsy6L|{Ycmr8ReceivÎed [-:yLܻThisjwÎorkwaspartiallysupp2w/N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚ>inB&[MWq].kbTheuniformcontinuityB&ofcoGecientsenablestheexistenceofa nite >numbGertOofcoordinatetransformationsinR^densuringtheMJP-structureofap->proximations.,ApproximationsAn ZofSection2areconsistentwithdi erential>opGerator.RThemainresultaboutapproximationsforgeneralR^disformulatedin>Theorem 2.1.YOuranalysisinSection2 nisheswiththeproblemofreducibility>ofhapproximations.AnotherconstructionofapproximationsforR^2zispresented>inSection3pGossesinganewfeature.A>ContrarytoapproximatingopGeratorsof>Section2, ntheapproximationsAni2ofSection3arenotconsistentwiththedi er->entialhopGerator,yettheconvergenceisofthesameorderasforapproximations>ofySection2.C2Thereisanessentialdi erencebGetweenthetwoconstructedap->proximations.b/The&numericalneighbGourhoodofagrid-knot(x;y[ٲ)2R^2contains>only:surroundinggridknots(xh;y_h).hThis:isanatractivefeaturewhichis>notusharedbyotherapproachesinR^2(seeforinstance[BHX]).bTheinitialvqalue>problemhforparabGolicsystemisconsideredinSection4.FAh{classofexplicitand>stableomethoGds,v!ofanyconvergenceorder,v!forODEowithMJP-structureiscon->structed-/andanalyzed.deMethoGdsarenotlinear.TheeciencyofthesemethoGds>isUUdemonstratedbyanexample.ꨍ>2O?Numerical'sc9hemeforellipticopQeratorspossessingMJP-structure.㍑GTheX linearspaceofcontinuousX anduniformlybGoundedfunctionsonR^disde->notedbyC(R^d).2Thelinearspaceoffunctionshavingpartialderivqativesupto>the]orderm,andeachpartialderivqativecontinuousanduniformlybGounded,is>denotedtbyC^mO(R^d).%ByconventionC^03(R^d)=C(R^d).%Thetlinearsubspaceof>C^mO(R^d),forwhichthem^th Bpartialderivqativesareuniformly z-Holdercontinu->ous,f 2(0;1),iscdenotedbyC^m+ )(R^d).Allde nedspacesareBanachspaces>ifsuppliedwiththenormkkk+B+ ,(see[LU1])./TheBanachspacex䍑J@_C^m+ (R^d)>is>theclosedsubspaceofC^m+ )(R^d),y/spannedbyelementsofC^m+ )(R^d)with>compactUUsuppGorts.GLetthefunctionsaij =贵ajgi ,.biWf(i;j{?=1;2;:::;d)andcsatisfythefollowing>conditions:h jbiTLj;jcj M; c0;aij ;biTL;c uniformlyUUcontinuousonw.Rd;>(2.1a)8䍍h Møjzpj223 ed Yu cmex10X tqi;jg=1'caij (x)ziTLzjjzj22|s; >0;x2Rd;>(2.1b) 卑>where,EziarecomplexnumbGers,4|and,Ejzpj2thecorrespondingl2|s-norm.dTheassoci->atedUUellipticdi erentialopGeratorN;"A(x)= 7d X ti;jg=1|aij (x)@iTL@jo+\d 8X ti=1UQbi(x)@i,+8c(x);>(2.2)"]>mapsx䍑_UUC^2+ (R^d)UUtox䍑_C 2!(R^d).GThethecanonicalbasis.F*oreachnb2N,pGointsx=hUPPލ ㋴d% l `=1klel;hb=2^n ,klt2Z, x#fܚGEXPLICITSTZABLEMETHODSr3>#fܚ>de neanumericalgridGnnonR^d.T\LetE2C=x䍑'G_C^2+ vɲ(R^d),andE2|s(n)bGetheclosed >subspace-_ofallelementsinE2ҲvqanishingatGnq~.IfthespaceF2=/&E2|s=E2(n)>isendowedwithaquotientnorm,&itbGecomesisomorphictoasubspaceofl1x.>Analogously*,the]spacesE0=x䍑_~C [o(R^d);E0|s(n)andF0كarede ned.Becauseof>theUmentionedisomorphism,UweidentifyF2withasubspaceofF0|s.rjThenatural>embGeddingfromEkintoFk됵;k=2;0;isdenotedbyk됲(n).ATheimageFkof(n)>isUUsometimesdenotedbyFk됲(Gnq~)toavoidambiguity*.GW*e+shallsaythatanelementu2Ekfis+approximated>': cmti10withmtheor}'der+ֵ N4>0by>elementsun82Fkmifthereexistsann-indepGendentpGositivenumbGersuchthat>kk됲(n)uun 'kk<h^ d.Inthiscase,µun Mfactorc}'onvergestouwiththeorder> .MAn`opGeratorAF2L(E2|s;E0)`isappr}'oximated}bytheop}'erators`׵AnKĸ2FL(F2|s;F0)>withtheorderofapproximation ,Kifthereexistsann-indepGendentpGositive>numbGerUUsuchthatu7k0|s(n)A8Anq~2(n)k:7f$cmbx7L(E2 ;F0)!Ixh d:=(2.3)>Theapproximationiscalledstableifthereexistsann-indepGendentl>0such >that2k (Anq~)^1k:L(F0 ;F2) |ڸ.]BecauseofF2 F0l1 +the2opGeratorAn #is>consideredasanin niteordermatrixwithmatrixelements(Anq~)ij .,Eachrow>and/orW columnofthismatrixisassoGciatedwithapairofgrid-knotsofGnq~,Wvand>consequently*,weach matrixelement(Anq~)ij isassoGciatedwithcertaingrid-knots>xiTL;xjĸ2Gnq~.GF*orUURe6>0,UUsolutionsuandunӲofrespGectiveequations,qdʭ(I¸8A)u=fV;в(In^8Anq~)un8=fn;n2N;>(2.4)>willUUbGecompared.GF*oranellipticopGeratorAsatisfying(2.1),GanapproximationAnظ2\ZL(F2|s;F0)>isosaidtopGossesMJP-structureifAn aregeneratorsof(regularorirregular)>Markov1|jumpproGcesses,8i.e.eԲthematrixelementsaij setUUJKsatisfy:C(a)UUaii((t)0,foralli2J;t0,xC(b)UUaij (t)0,foralli;jY2J;UPi6=jR;t0,C(c)UUaiTL(t)q=PjOhij (t)0foralli2J;t0.>ThepropGertyisassumedtobevqalidforsucientlylargenaturaln,mforwhich >theUUbasicresultsofthefollowingTheoremholds:G?- cmcsc10Theorem 2.1.iL}'etԵAbede nedby(2.1)and(2.2).Thenthereexistapprox->imationsAn82L(F2|s;F0)suchthat:XqŲ(i)he}'ach HAn zpossessesMJP-structureandapproximatesAwiththeorder> z;xU(ii)hther}'eexistsann-independentA ->0suchthat(Anq~)ij =0ifthe>asso}'ciatedpairofgrid-knots,xiTL;xj6,ful lltheconditionjxi,8xj6j>Ah;#x#fܚ>4w/N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚR㋲(iii)he}'quations\(IĸAnq~)un =1fn;UPRe1>0, have\uniquesolutionsinF0 >satisfyingkun8k1xtionsun eof(2.4)alsofactorc}'onvergestouwiththeor}'der z;UIJ(v)hiflo}'callyatx22Gn y_pisase}'conddegreepolynomial,$then(0|s(n)A>Anq~2|s(n))p(x)=0."GProof.>PThestatement(iii)isaconsequenceoftheMJP-structureofAnq~,thus>ensuring thestabilityofopGeratorsIlAnq~.XThestatement(iv)followsfrom(i),>(iii)tandthefollowingresult[KR1#]:yLetAW2L(E2|s;E0),|andtAnlո2WL(F2;F0)tbGe>approximationsofAwiththeorder z.8Letfڧ2E0|s,andletfnMbGeapproximations>off1withtheorder z._Then,uifuandun  aretheuniquesolutionsof(2.4)and>I¸8AnӲareUUstable,itfollowsthatunfactorconvergesUUtouwiththeorder z.GT*o'prove(i),2[lettheapproximationAn wofAhavethepropGertydescribGedin>(v).iThen,BMby=usingstandardmethoGdsofnumericalanalysisforPDE[RM],BMthe>expression}(2.3)caneasilybGederivedwith ˲=B z.P?T*o nishtheproofwehave>therefore6toconstructasequenceAnTpGossessingthementionedpropertyandthe>MJP-structure.GOurconstructionofthenumericalapproximationsofopGerator>AUUatagrid-knotxdepGendsonthevqalue![ٲ(e;x):.Euĵ![ٲ(e;x޲)=maxi6=j*"Ajmax6b>PHŸr76=iWjairA(x)j;P 8r76=j+ijajgr$N(x)jb "Ajfe1 (֍"min3-faii((x);UPajgjX(x)ghε;>(2.5)#卑>wherethesymbGoleremindsofthefactthat![ٲ(e;x)iscalculatedwithrespectto>theoriginalcoGordinatesystemfeiOg^nl1q~.rTheconstructionissimpleincasewhere>2(0;1)UUexists,suchthatl(2.6)>Thepartialdi erentialopGeratorsofthe rstandsecondordersareapproximated >inUUtheusualway:֍go+@iTLf(x)!8Tq lasy102if(x)=<$U1 ٟwfe (֍2hܬ[sɵf(x8+eiTLh)f(xeiTLh)]L;=(2.7a)b䀵@82፴i f(x)!2ii(f(x)=<$ѫ1 ٟwfe ?j (֍hr2)[;f(x8+eiTLh)2f(x)+f(xeiTLh)]qt:=(2.7b)<>The#mixedpartialdi erentialopGeratorcanbeapproximatedbyoneofthefol->lowingUUfourpGossibilities:l[@iTL@j6f(x)!2ij f(x)=\w<$s1pwfe ?j (֍hr2~+^dtf(x8eiTLhej6h)f(xeiTLh)f(xej6h)+f(x);,f(x8eiTLhej6h)+f(xeiTLh)+f(xej6h)f(x):=(2.8)M>Inthisway*,thequadraticopGeratoraii((@iTL)^2+ajgjX(@j6)^2akisapproximatedbythe>matrix`aii(2ii +ajgjX2jgj Mܲwithnegativediagonalelementsandnon-negativeo ->diagonal]elements.UIfaij 0,uthenaij @iTL@jisapproximatedbythehalfsumofthe5x#fܚGEXPLICITSTZABLEMETHODSr5>#fܚ> rstttwopGossibilities,|otherwisebythehalfsumofthesecondtwopGossibilities. >Becauseuof(2.6), theobtainedapproximationP@ijPaij 2ij,isuthematrixwith>MJP-structure.cThe*approximationofPcubiTL@i~޲bythedi erenceopGeratorPcubiTL2i>canviolatetheMJP-structureonlyforlargervqaluesofh.THence,*if(2.6)isvalid>for'allx2R^d,%the'approximationsAn mhaveMJP-structureforlargevqaluesof>n.gThestatement(ii)isobviouslyful lledwithA a=zPp 3\zPfe4rdgβ.gThestatement(v)>followsdirectlyfromtheconstructedapproximations2iTLf0and2ij f.;Incaseof>dv=3,andXGnonnegativemixedcoGecientss,aij v0;i6=j,nontrivialXGmatrix>elementsUUcorrespGondingtothegridknot(kP;l2`;m)UUhavethewellknownform:9P3H9"Ak+Bl `m,klm=w;2h^2 tb a11 ꦲ+qa22+a33ja12xjja23jja31j]H9"Ak+Bl `m,k1lm=w;h^2 t[a11 ꦸqja12xjja31j]H9"Ak+Bl `m,kl1m=w;h^2 t[a22 ꦸqja12xjja23j]H9"Ak+Bl `m,klm1=w;h^2 t[a33 ꦸqja23xjja31j]H9"Ak+Bl `m,k1l1m=w;h^2 tja12xj (=Ak+Bl `m,k1l1m2)H9"Ak+Bl `m,kl1m1=w;h^2 tja23xj (=Ak+Bl `m,kl1m12)H9"Ak+Bl `m,k1lm1=w;h^2 tja31xj (=Ak+Bl `m,k1lm12)9^>F*ornegativemixedcoGecientsattheconsideredgridknotnontrivialmatrix>elementsUUaregiveninbrackets.GIn~thecasethat(2.6)isnotvqalidatagrid-knotx,thepreviousconstruction>of,numericalschemedoGesnotyieldanAn #withtheMJP-structure.Still,bythe>previousconstructioncanbGeutilizeduponapplyingrotationstogrid-knotsin>whichQ(2.6)isviolated.̺AuxiliaryresultsaregiveninLemma2.2{Lemma2.5>fromUUwhichthestatement(i)ofTheorem2.1obviouslyfollows.ff>㍄ffqDŽffffff>GThe.originalorthogonalcoGordinatesysteminR^dode nedbytheunitvectors>eisystems,Skde nedRbytwosetsofunitvectors,SkshallbGeassumedtohavethesame>origin`atx=0.W*e`shalltranslatetheorigintotheconsideredgrid-knotx>and pGerformthetransformationintranslatedsystems,ythussimplifyingtheex->pressions1Tcalculatedattheconsideredgrid-knot.eThee-systemisusedtode ne>gridsǵGnq~.VT*oeachx2R^dytherecorrespGondsanorthogonaltransformationO(x)>transformingCe-systemintog-systeminwhichthedi usiontensoratxhasa>diagonalform.YDiagonalelementshavevqaluesintheintervqal[;M].YThenew>axis5arede nedbyelementss(x)w=fg1|s;g2;:::;gdgw2(@8Bq)^d,٭where5@B?isthe>uniteBsphericalsurfaceinR^d졲centeredatx.:IffiTL,~Ui=1,2,:::B,d,arelinearly>indepGendent, andgjfiTLj2C=1,wherejj2ڲisthel2|s-norminR^d, thentheelementsfi>de neUUacoGordinatesystemcalledf-system.GThemfollowingstatementisimpliedbythefactthatthe(centralpro8jection)>imageUUofGnӲonto@8BƲisadensesetin@Bq.GLemma)2.2.L}'etYthedi usiontensoratxbediagonalintheorthogonalg->system,=Handhletther}'eexistatleastoneaxiswhichdoesnotcrossgrid-knotsof>Gnq~.Thenfore}'ach"T ε>0thereexistsam("TL)2N,andXqŲ(i)hac}'oordinatesystem(notnecessarilyorthogonal)withunitvectorsfiTL;U(ii)hacub}'eCKoftheedge2m("TL),centeredatx,inthee-system,H\x#fܚ>6w/N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚ>such1thattheaxisoff-systeminterse}'ctgrid-knotsinC,Dandsatisfythefollowing >ine}'qualities:.fi,8gid1"TL; i=1;2;:::;d:=(2.9)GTheKcoGecientsaij ();biTL()arede nedinthee-system. Ing-systemthey>havedi erentexpressionsand,consequently*,theyaredenotedbyaij (g(;)and>biTL(g(;),ZgrespGectively*.}Thus,byYdde nition,aij (x)=aij(e;x).}TheYdmatrixa(x)=>faij (x) Tg^ddl11 lisconsideredasalinearopGeratoronad-dimensionalunitaryspaceof>columns.h8Its8l2|s-normisdenotedbyja(x)j2.h8W*ehave8ja(x)j2=ja(g(;x)j2CMd.>Let8"a>0bGegivenand'>0suchthatja(x)a(y()j2C<"a֨if8jxy(j<`.UhThen0j![ٲ(e;x޲)8!(e;y²)j<<$K2MKwfeʫ (֍r2)"ap;MЍ>holdsUUwheneverjx8y(j<`.qTheUUindexain"a+Ųmeansdi usiontensora(x).GTheivqalue![ٲ(e;x޲)referstotheoriginalcoGordinatesystem,ɮi.e.thee-system;>inUUg-systemitisdenotedby![ٲ(g(;x).GLemma2.3.XqŲ(i)hL}'etanorthogonalsystembede nedbytheunitvectorsgiTL,yi=1,2,...,d;>wec}'anthen ndforeach"ajWag-independent'>0,suchthattheinequality;j![ٲ(g(;x)8!(g(;y)j <<$3+2M3+wfeʫ (֍r21 "ap;>(2.10)MЍ>holdsforjx8y(j<`.U(ii)hL}'et"T Ia>0andfi gbeunitvectorsofanotherorthogonalcoordinate>systemsothat(2.9)isvalid.Thengj![ٲ(g(;x)8!(f;x)j <$3+4M^2d^23+wfe (֍ r2-^a"TL:>(2.11)MЍR(iii)hL}'etI"T ε>0andfibeunitvectorsofanother(notnecessarilyorthogonal)>c}'oordinateѥsystem,suchthat(2.9)isvalid.RThen,forsucientlysmall"TL,the>followingine}'qualityisvalid:#Dp!j![ٲ(g(;x)8!(f;x)j )3+4M^2vfd^23+ fe (֍ a/:2vf-^a"TL;3Mf8:=M(18+3:PpUW:Pfe*Ű2d"TF); f:=(13:PpUW:Pfe*Ű2d"TF):>(2.12)'?GProof.d(PartЉ(iii).)Thetransformationsmatricesfromtheoriginalsystem>tog*theg-systemandf-systemaredenotedbyOGandTʹrespGectively;OGisor->thogonal.5MatrixT4haselementsTk+Bl I=3Ok+Bl ²+djk+Bl}X,wherek+Bl=3ekOdj(flv2glȲ).5It>followsthatP2k+BlA2^!DZ2vk+Bl Ҹ z2d"TL.Anestimateofthematrixinl2|s-normissimple,]x#fܚGEXPLICITSTZABLEMETHODSr7>#fܚ>j!Ǹj2C(2d"TL)^1=2 ʲ.jThe>matrixa(g(;x)=OGa(x)O^1Asatis es>theellipticitycondi- >tion0withthesameconstantsasin(2.1).WF*orsucientlysmall"TL,&thematrix>a(f;x)=Tca(x)T^1uXsatis esUUanotherellipticityinequality*,󍍍EkMf/ jzpj22C7d X t i;jg=1!|aij (f;x)ziTLzj fjzj22|s: d>TheM\propGerty(2.12)thenfollowsfromthisinequalityinthesamewayas(2.11)>followsUUfrom(2.1).ff>㍄ffqDŽffffff>GItisconvenienttodenote![ٲ(g((m);x)by!m(x),andusethesymbGolTm theUUorthogonalsystemde nedbyunitvectorsgiTL(m).GLemmadn2.4.ɿL}'etѸ2(0;1=4)b}'egiven.7#ThereexistnѸ2N,@7h=2^n ,anda> niteonumb}'erofdisjointsetsDm;m=0;1;:::;Map,vR^dpʲ=[mDm,e}'achosupplied>withManortho}'gonalcoordinatesystemsTm,[suchthatthefunction!m(x)onDm>intheTm-systemsatis estheine}'qualityMsupbQj!m(x)jq:x2Gn^\8Dmb Z12;>(2.13)>foranym=0;1;:::;Map. GProof.I6(Apart%ofproGofbasedontheuniformcontinuity%ofcoecients). c>T*oeachvQz2(Gn 4therecorrespGondsagridcubeC(h;v()(=Qލ_d%_1[vj6;vjcX+,h),>whereCӵvjzarecoGordinatesofvlintheoriginale-system.=@CubesC(h;v()de ne>aҩdecompGositionofR^d |[intodisjointsets.F*orthechosenthereisannB2>N:anda"a ofLemma2.3,3suchthatthedi erence(2.10)islessthanfor>allZx;y2z̵C(h;v(),andforallv2z̵Gnq~.LetuspGointoutthat(2.10)isvqalid>for8allorthogonalsystems,pi.e.j![ٲ(g(;x)!(g(;y)jA <.Let8D0~R^dͲbGethe>unionofallthosecubGesC(h;v()forwhichj![ٲ(e;v²)j<1U4.XLetC(h;v()bGe>aفcubGeoutsideofD0|s.JThereareorthogonalunitvectorsgiTL(1),i=1,2,:::x,d,>andthecorrespGondingorthogonaltransformationofcoordinates,sothatthe>di usionxtensoratvҲisdiagonalintheg(1)-system.ܑLetD1~޸kR^d"bGetheunion>of&allthecubGes,ZFforwhichj![ٲ(g(;v)j#<1 4&isvqalidintheg(1)-system. By>induction,`thereisadecompGositionR^d )Ͳ=[^1l0xDm,wheretoeachDm 'there>correspGondsdanorthogonalcoordinatesystem,ɧTm,calleddg(m)-system,sothat>j!m(x)j<184,Mzv:׸2Gn.\Dm.ULetx2C(h;v()Dm uforsomem.UThen>j!m(x)jj!m(x)8!m(v()j+j!m(v()j<183UUforthechosenm.G(AgpartofproGofbasedonthecompactnessof(@8Bq)^d).9EachTk"isde nedbyan>elementsk2(@8Bq)^d, %wheresk橲isthecentralv(-pro8jectionofgiTL(kP);i=1;2;:::;d,>ontoA(@8Bq)^d.k>Elementssk-IandslSarede nedbytheunitvectorsgiTL(kP)andgi(l2`),>iW=1,2,:::N,d,respGectively*.HLet"T {>Ų0andUkU(@8Bq)^d bGeaneighbourhood>ofsk containingalltheelementss=ff1|s;f2;:::;fdg2(@8Bq)^d,PGde nedbyunit>vectors'fi|Dsothat(2.9)isvqalid.Duetothecompactnessof(@8Bq)^d,\thereisa> nite[msub-coverfV0|s;V1;:::;VM\g@fUj:jc˸2N0|sg[mofthesetfsj:@jc˸2N0|sg.Let[mr>bGelchosen.# Thechosenelementsrm,2assoGciatedwithDr,2iscontainedinsomeof>theUUsetsVm,m=0,1,:::UL,M,and)1giTL(rG)8gi(m)>18"TL:lx#fܚ>8w/N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚ>Letj!r and!m !bGefunctionsde nedby(2.5)intheg(r)-systemandg(m)-system, >respGectively*.qTheUUinequality(2.11)canbGeusedtoget:獍Tj!m(x)jmj!m(x)8!m(v()j5+j!m(v()8!rm(v)j5+j!rm(v)jm<gҡ5+<$h4M^2d^2hwfe (֍ r2%잵"T +184: >ByUUchoGosing"T sucientlysmallwehavej!m(x)j182.ff>㍄ffqDŽffffff>GLemma2.5.*HTher}'eexistsadecompositionofR^d .iinto1`+Ma ['disjointsets>Dm,/and|ther}'eexist1+Ma S]associated|coordinatesystemsTm (notnecessary>ortho}'gonal)withthefollowingproperties:SXqŲ(i)htheaxisofTm ,interse}'ctgrid-knotsofGnq~;*U(ii)hthe-function!m onDminthec}'oordinate-systemTmsatis esthein->e}'qualityj!m(x)j18:RGProof.7Letx2Gnq~.ByLemma2.4thereexistsm2f0;1;;MapgƲsuchthat>j!m(x)jiH<1y2.AsystemTm OAhasatleastoneaxiswhichdoGesnotintersect>grid-knotsof[mGm..Therefore,wehavetorotateaxisgiTL(m),i2f1;2;;Mapg>slightly*,UUandobtainanewaxisfiTL(m),satisfying(2.9).qThen獍[YXj![ٲ(f(m);x)jmj!(f(m);x)8!(g((m);x)j5+j!(g((m);x)jm) 4M^2vfd^2  fe (֍ a/:2vf+"T +5182:y>TheUUstatement(ii)isattainedbychoGosing"T sucientlysmall.ff>㍄ffqDŽffffff>GTheUUproGofoftheorem2.1cannowbe nished:GProof.UF*or/eachx2Gnq~,Fethe/collectionofallthegrid-knotsconnectedby>theQschemede nesthenumericalneighbGourhoodQN(x),"Pandthereareatmost>1K_+MaGdi erentqtypGesofneighbGourhoods.Alltheneighbourhoodsatthesame>x2[nq~GnyWarealikewithrespGecttothescalingbypGositiveconstants2^m,Xm2Z.>AllktheneighbGourhoodskN(x),forx2Dmø\f(Gnq~;m;n, xed,arekalikewithrespGect>to6translations.FEachN(x)containsatmost12+d(1+d)6grid-knots.FThisproves>(ii)UUofTheorem2.1.GT*othedi erentialopGeratorA0|s(x)m=P Zijaij (x)@iTL@jweapplythecoGordinateʍ>transformationTm.11InthenewcoGordinatesweobtainA0|s(x)=P USij aij (f;x)\qD^@i\q j^i@j)2,>the[di usiontensoraij (f(m);)satisfying(2.6)onDm.JF*oreachx2Dm Ѹ\=6Gnq~,>theUUcorrespGondingnumericalschemeis:.&sAnq~u(x)= RԟX jz2N,(x)a(z;h)u(z);!g>where喵a(x;h)<0anda(z;h)>0forallz2N(x) nfxg."Thiscompletesthe>proGofUUofTheorem2.1.UWff>㍄ffqDŽffffff>GSincethesetD0,OofthepreviousconstructionmaybGeempty*,itisassumedthat>anC$orthogonaltransformationispGerformedatthebeginningoftheconstruction x#fܚGEXPLICITSTZABLEMETHODSr9>#fܚ>making D0*|nonempty*.{ThecubGesC(h;v()enteringtheconstructionofthesets >Dm;m=0;1;:::;M, arecalledbasiccubGes,i.e.ROthesetsDm areunionsofbasic>cubGes.qBasicUUcubesaredenotedbyC(v()ratherthanC(h;v().GAn0in nite-ordermatrixA=faij gIt\I uƲ,8with0theindexsetI,iscalledr}'educible>ifthereexistsadecompGositionII=;MI1θ[g[I2|s,}intodisjointnonemptysubsetsI1|s,>I2|s,;Ksuch4thatthesub-matrixXwhichcorrespGondingtoindicesi2I1|s;jY2I2,;Kis>zero.&Anin nite-ordermatrixAiscalledirr}'educibleʲifsuchadecompGositionis>not}pGossible.JThefollowingcriterionofirreducibilitywillbGeused:6LetI1[beany> niteSindexset,T3andAI1 I19bGethecorrespondingsubmatrixofA.qNIfthereexists>a niteindexsetI2|s,ȸI1CI2,such thatthesubmatrixAI2 I2disirreducible,then>thematrixAisirreducible,toGo.-ThematrixAnhofTheorem2.1canbereducible.>As:anexample,@letusconsiderA=d^2|s=dx^2,R=D0 [D1|s,D1C=[0;1).hLet:the>gridqstepsinD0UandD1bGeequaltohand3hrespectively;itfollowsthatAn>arefreducible.ReducibilitycancauseundesirablefeaturesofsolutionsofODE>whichhaveareduciblematrixAn-Casthesystemmatrix;ademonstrationofsuch>anUUundesirede ectisillustratedinExample4.2.GTheJwellknownnotionsofrecurrentclassesofthetheoryofMarkovchains>canbGede nedandutilizedhere.\Agrid-knoty?canber}'eachedӲfromagrid-knot>xJ@ifthereexistsasequenceofgrid-knots,{x_I=x1|s;x2;:::;xm =_Iy(,{suchJ@that>xk+B+1UP2IN(xk됲).\Thesequencefx1|s;x2;:::;xmgiscalledap}'ath.\Thegrid-knots>xذandyc}'ommunicateذifthereexisttwoذpathssuchthatycanbGereachedfromx>by:onepath,?andxcanbGereachedfromycbyanotherone.hThecommunication>ofUUanytwogrid-knotsofGnӲisequivqalenttotheirreducibilityofAnq~.GLemma 2.6.L}'etC(v1|s)andC(v2|s)b}'eanytwobasiccubes,andx2C(v1|s)Ҟ\Gn>for>somen.knoty2C(v2|s)8\Gn ewhichc}'anbereachedfromx.GProof.bLet(C(v()Dk8bGeabasiccubede nedbythevertexv2Gn&andlet>C(vrm)_bGethose2^dAsurroundingbasiccubesfacingC(v()bymeansofsides.7Let>x2C(v().lUF*orEsucientlylargenthereexistgrid-knotsxr42C(vrm)5\Gn~which>canDbGereachedfromx.@Byinduction,all3^dN؜1basiccubeswhichsurround>C(v()havethispropGerty*,1 i.e.{theyhavegrid-knotsinGn Cdreachablefromx.>SincethenumbGeroftypesofnumericalneighbGourhoodsis nite,4thereexista>sucientlyK*largen0ǝsuchthattheestablishedpropGertyholdsforanybasiccubGe>andUUx2Gnq~;nn0|s.ff>㍄ffqDŽffffff>GProposition[2.7.L}'etɵAn GbeapproximationsonGn Gofthedi erentialoperator>ATde ne}'dby(2.1),(2.2), aandletAn[havetheproperties(i)-(v)ofTheorem2.1.>F;orlar}'gevaluesofn,thesetGn9=hGnq~(A)iseitheroneclassofgrid-knotswith>r}'especttoAnq~,orGn8=Gn(A)8[Hn,wher}'eXqŲ(i)hGnq~(A)ar}'erecurrentclassesand[nq~Gn(A)isadensesetinR^d;U(ii)hthesetsHn ec}'ontainnorecurrentclass;R㋲(iii)hifHn86=;,thematrixAn eonGnhasthefollowingblo}'ckstructure:۵An8=^d#Anq~(A)60 jR5\*QBC^KK; ɠx#fܚ>10uT.N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚ>wher}'eAnq~(A)istheirreduciblepartofAnq~. TS*(iv)hIfǵHngv6=;,?thenAnq~(A)isanappr}'oximationonsubgridsGnq~(A)ofthe >op}'eratorA,andAnq~(A)hasthepr}'operties(i)-(v)ofThe}'orem2.1.GProof.6Letnx1|s;x2C2GnandC(v0)D0 bGenabasiccube.6Therearetwongrid->knotsQAy1|s;y2C2C(v0)whichcanbGereachedfromx1ʹandx2|s,ErespGectively*.Because>all_theinternalgrid-knotsinbasiccubGesofD0Ҳcommunicateamongthemselves,>we`concludethatallthegrid-knotsinD0UӲcommunicateamongthemselves.HvNext>weyde nethesubgridGnq~(A)GncontainingyD0|s, andallofthegrid-knotsinGn>that Mcommunicateamongthemselves.XThissetistheonlyrecurrentclassofGnq~.>Since+[itcontainsgrid-knotsineachbasiccubGe,3theremustbGeann-independent>>0,%suchthatanyballoftheradiushcontainsatleasttwogrid-knotsof>Gnq~(A).ff>㍄ffqDŽffffff>GGenerally*,{twogridsGnq~(A)fordi erentncannotbGeorderedbyinclusion,{that>is,BGnq~(A)Gm(A),or=vice-versa.AjOnewouldlikeatleastasubsequenceofsuch>grids,OG:n(r7)"(A);rv-2/N,toexist,forwhichtheinclusionG:n(r7)"(A)/G:n(r7+1)%(A) >isvqalid, andinaddition,[rmG:n(r7)"(A)tobGeadensesetinR^d.@IThementioned>orderingisnotalwayspGossible,ascanbeshownifwetakeAJ=d^2|s=dx^2;GnȲ=>N;Gnq~(A)ρ=fk 2Zg:k0g[f1+rGk:ρk2Ng,wherer;isa xednatural.>ThementionedorderingispGossibleforr#=q2^m @kв1withsomenaturalm,%Xand>impGossibleUUforanyotherchoiceofrG.t>3O?ATw9eightedpQolynomialschemeinR^2QpQossessingMJP-structure.㍑GIt ispGossibletoconstructanumericalschemepGossessingMJP-structurewith->outUusingrotationsattheknots. rTheapproximatingopGeratorthenrepro->duces]9piecewiseparabGol,i.e.t(v)ofTheorem2.1holdsforpiecewisequadratic>p,whichdoGesnotin uencelocalconvergenceproperties;wewillshowhow>suchYeaschemecanbGeconstructedintheimportantcaseofanellipticopera->torx䍑_UUC^2+ (R^2|s)!x䍑'G_C^ VƲ(R^d).GLet6Gn+1IbGethenumericalgridinR^1 4andletusde newD^n+1:R!R^+>tooGn+1X=fx䍴n+1i:qi2Zg.qLetIō wDn+1|j:[xO \cmmi5n8il;xn{i+1 )!p:=^Gw䍐Dn+12i6forLߵx䍴n+12iX<x䍴n+12i+1 hލGw䍐Dn+12i+11forGفx䍴n+12i+17ڸx䍴n+12i+2pµ: 5ԍ>The8assoGciatedLebesgue-Stieltjesmeasuresd^[ٴn+1፴w&=arede nedbyd[ٴn+1፴wZ(`)=cZUR y<$_dxwfe$}] (֍wDrn+1d(x)%>for allLebGesguemeasurablesetsM;jR.C)F*orthesakeofsymmetry,letw䍐Dn+12iβ=>w䍐Dn+12i13;UPw䍐Dn+12i+1=w䍐Dn+12i2foralln._T*osimplifythenotation,wekeephasthedis->tancebGetweenknotsinGnq~,Bthatish=2isthedistanceinGn+1./IffLissuciently>smoGoth,yweBmayuseasortofgeneralizedT*aylorexpansionintheneighbGoorhood>ofUUapGointinGnq~,thatisthefollowingidentity:[][ɵf(xni+1 tO)G8=Vf(xniq~)8+h@xf(xniq~)+cZi 8xrni+1@xn8idcZi @xn8i/DG2፴wy1f(uDz)d[ٴn+1፴wZ();=(3.1) bx#fܚǾEXPLICITSTZABLEMETHODSp11>#fܚ>whereZq@DG2፴wy1f*β:=cwDn+1D8@xx ȵfV:>(3.2)>UpGonUUintegrationof(3.1)wehaveJvٵf(xni+1 tO)ubH=)ff(xniq~)8+h@xf(xniq~)+w䍐Dn+12idf0aȟ00(xniq~)\ TcZiUxkn+1ҍ2i+1@#xkn+12i)edcZi @xkn+12i<$#hd횟wfe# #w䍐Dn+12il@+"7\cZi\xkn+1ҍ2i+2@Ӵxkn+1ҍ2i+1,dcZi @xkn+1ҍ2i+1<$%dFwfe #w䍐Dn+12i+1:ڲ+8cZi 8xkn+1ҍ2i+2@xkn+1ҍ2i+1" 9dcZi xkn+1ҍ2i+2@xkn+1ҍ2i+1<$*Qd# wfe #w䍐Dn+12i+1<\!g쐲+ K)fcZi)gxrni+1@xn8idcZi @xn8i (DG2፴wy1f(uDz)8DG2፴wf(xniq~)dw(uDz):

Thus,UUforthepiecewiseconstantwD,wehave,uptothetermsofthe3^rd `order:[[f(xni+1 tO)Y#f(xniq~)8+h@xf(xiTL)+DG2፴wy1f(xniq~)<$33h^233wfe ?j (֍8Px\ <$ m1nWwfe# #w䍐Dn+12i1ٍ+<$ 83lwfe #w䍐Dn+12i+18ǟ\!`nƵ:>(3.3)\>InUUthesameway*,UUbyexpandingfhtotheleftofx^n;Ziq~,weobtain:t퍍Zf(xni1 )}f(xiTL)8h@xf(xniq~)+DG2፴wy1f(xniq~)<$33h^233wfe ?j (֍8Px\ <$!IP1nWwfe #w䍐Dn+12i13\+<$ G 3lwfe #w䍐Dn+12i2U8\!bB:=(3.4)>The)\weightedcentraldi erence"approximationofthesecondderivqativefollows >fromUU(3.3),(3.4),andthesymmetrypropGertiesofwD:ZZ5\ <$l31c4wfe# #w䍐Dn+12i}J+<$ 83lwfe #w䍐Dn+12i+18ǟ\!4DG2፴wy1f(xiTL)<$Z4wfe ?j (֍hr2-(f(xni+1 tO)8+f(xni1 )2f(xniq~)):>De nition3.2thenleadstoanapproximantofthesecondderivqativeintheform >ofZ!@xx ȵf!211;wfڧ:= F4K&feh2Xf(xrni+1 )+f(xrni 0ncmsy51 DZ)2f(xrnil)X fe[aQ1+3wk08n+12i X=wk08n+1ҍ2i+1̱)k:>(3.5)o>F*ora@equalweights,d;onea@obtainsthecommonresult(2.7):211xf:= Z±1(&feh2 (f(xi+1 tO)@+>f(xi1 ) 2f(xiTL)).jIn6thesamemanner,wemayapproximate@y@Ly Dby222;rƈ,>whereasFhthemixedderivqatives@xy Ӳareapproximatedbytheusualnon-weighted>di erences(2.8).ɨW*eassumethatrG^n+1areapGositivepiecewiseconstantfunc->tions%de ningmeasureswithdensity1=rG^n+1؞,playingthesameroleaswinthe>y[ٲ-direction,UUandr䍐Gn+1j:=rG^n+1j:[yj6;yjg+1V).qLetJ zniB:=18+3w䍐Dn+12id=w䍐Dn+12i+1pµ; nj:=r䍐Gn+12j؞=r䍐Gn+12jg+1S":>(3.6)Z>The@]normalizationconstants ^ zn;Ziz,D ^n;Zj 8canbGedeterminedinsuchawaythatthat>theUUdi erenceschemepGossesMJP-structure: x#fܚ>12uT.N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚGTheorem\3.1./L}'etrֵa11x@xx Ų+2a12@xy Hh+a22@y@Ly  +b1|s@x+b2@y+crb}'eanelliptic D>op}'eratorx䍑 _޵C^2+ B(R^2|s)!x䍑'G_C^ VƲ(R^d).>Thenther}'eexistsachoiceofweights(3.6)such >thatthedi er}'enceoperator􍍍a11x211;w +82a1221|s22S+a22222;rh+b1|s21S+b222>p}'ossessMJP-structure.GProof.hThe:Dweightsentertheapproximationsofsecondderivqativesonly*,?the> rstMderivqativesbGeingapproximatedasin(2.7).KoW*emayassumethata11x;UPa22 ?>>0,ta12 Ѹ0(thecasea12>0maybGetreatedinthesameway).Thenwemay>considera7pGointnumericalschemeobtainedbyapproximatingderivqativesby> niteIdi erenceswhichdepGendontheweights;theappropriatefactorsarelisted>inUUthefollowingtable(indicesfor z, qomitted):X~܍knot$  ffHfactorUU4=h^2᨟ff\Qfd=l ff h(x^n;Ziq~;y^[ٴn;ZiW)x< BffC2a12 Ƹ K2l&fe2 (a11 M2l&fe ,a22 5(x^n;Zi+1 tO;y^[ٴn;ZiW)  ffCa12 Ʋ+hla11lʉfe 8 (x^n;Zi+1 tO;y^[ٴn;Zi+1) ffC0(x^n;Ziq~;y^[ٴn;Zi+1 tO)< 5ffCa12 Ʋ+hla22lʉfe _ (x^n;Zi1 ;y^[ٴn;Zi+1 tO)> ffCa12(x^n;Zi1 ;y^[ٴn;ZiW) 6 ffCa12 Ʋ+hla11lʉfe 8 (x^n;Zi1 ;y^[ٴn;Zi1)͟ ffC0(x^n;Ziq~;y^[ٴn;Zi1 ) < 5ffCa12 Ʋ+hla22lʉfe _ (x^n;Zi1 ;y^[ٴn;Zi1)͟ ffCa12^Ἅ>TheUUMJPpropGertyrequiresthat^aܵa12 Ʋ+<$#1lwfeo (֍ ca11+<$1lwfe/ (֍ ba22 ߸K0;䍍aoa12 Ʋ+<$la11lwfe  (֍}  ߸K0;aoa12 Ʋ+<$la22lwfe  (֍}  ߸K0:>TheUU rstequationisimpliedbythelasttwo,andthiscanbGeachievedifweletύ 0< В= N4=minnf<$33a1133wfe  (֍a12(|;<$33a2233wfe  (֍a12gSmi:?Í>Theapproximationsof rstderivqativesdonotin uenceMJP-strucure,sincethe>argumentUUusedintheproGofofTheorem2.1applies.ff>㍄ffqDŽffffff>GItS7isnotdiculttoproveS7thattheschemereproGducesconstantsandlinear>functionsexactly*. Itisnotconsistent,ԮsinceitdoGesnotreproducequadratic>pGolynomialsJbutpiecewiseparabol,Lthatis,itreproGducesparabolicsplines[R\r]>havingߨjumpsinsecondderivqativesattheinteriorknots(propGerty(v)ofThe->orem82.1).qThisisenoughtoestablishconvergence8ofthe2^nd 9order,sincethe>proGofUUrelieson`weighted'UUT*aylorexpansion. x#fܚǾEXPLICITSTZABLEMETHODSp13>#fܚGTheoremi93.2."L}'et!thedi erenceoperatorAn rbedeterminedbythescheme >asinThe}'orem3.1.ThenꍍN9k0|s(n)A8Anq~2(n)k:L(E2 ;F0)!Ixh ;=(3.7)>thatis,(2.3)holds,andtheor}'derofapproximationis N4= z.GProof.=W*eP rstestablishaTaylorexpansion,thatis,weprovethatforw >0>and$usuchthatwDu^0N9^0 A'isintegrablewithrespGecttodwy1,Xtheerrorterminthe>expansionZ;ɵu(x8+h)oV=6tu(x)8+hu09(x)+DG2፴wy1u(x)cZi h@800(ht)dw(t)+RDz(wD;x)>(3.8)*>isUUoftheform򍍍[yRDz(wD;x)=ǟcZiȴh@O0O[wD(t8+x)u0N90r(t+x)w(x)u0N90r(x)](ht)<$+Wdt33wfe$, (֍w(t+x)'':>(3.9)>InUUtheidentitykbu(x8+h)= u(x)8+hu09(x)+cZi 8x+h@xdcZi @x:DG2፴wy1u(uDz)dw()>weUUcanrearrangetheorderofintegrationinthelasttermtoobtainP"CcZiZ"Dx+h@U}xkdcZi @x:DG2፴wy1u(uDz)dw()|=C5cZiC6x+h@oxٵDG2፴wy1u(uDz)dw()cZi x+h@80Ld"=x򍍍>cZiHx+h@C:xW(x8+huDz)DG2፴wy1u()dw()|=C5cZiC6h@o0ewD(t8+x)@ttu(t+x)(ht)<$133wfe$, (֍w(t+x)''dt:ؖ>LetUUdw08;x)-:=<$odtKwfe$, (֍wD(t8+x)TR.qByUUaddingandsubtractingthe\secondorderterm"!"Q(wDu0N90r(x)cZi x+h@8x(x8+huDz)dwy1();>weUUobtaintheT*aylorexpansion:bNxu(x8+h)=u(x)8+hu09(x)+DG2፴wy1u(x)cZi h@800(ht)dw08;x+RDz(wD;x):U.>TheUerrortermmaybGewrittenasīRj lx+h #z9xF(D^2፴wy1u(uDz)D^2፴wy1u(x))(x+huDz)dw(), >which>"implies(3.9)upGonsubstitutionݲ=Kt+x.,-One>"veri eseasilythatthe>secondUUtermin(3.8)isinfactthesecondtermin(3.3),(3.4).GLetyd(x)g:=(@^82l1[Q21;w դ)u(x).UIfwemultiplyanddivideT*aylorerror(3.9)by>t^ ,we.aobtainasimpleestimatejd(x)j.+h^ kuk2+ ,where.isindepGendent>ofhand z;&otherdi erentialscanbGeestimatedinmoreorlessthesameway*.>W*eUUhaveimmediatelythatꍍka11 #dkF0=ŋ[ch kukE2 F;c2ka11xkC}(=qymsbm7Rd2ұ):;>whence(2.3)UUfollows.ff>㍄ffqDŽffffff>fx#fܚ>14uT.N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚ>4O?AnTapplicationtoparabQolicsystems.㍑GW*eUUnowconsiderthe2^nd UX-orderellipticopGeratorkwܵA(t;x)m=X t ִij8޵aij (t;x)@iTL@j +5X t \ibi(t;x)@i⁲+5c(t;x)=(4.1)4>on.*R^d.dInordertobGoundtheerrorofthenumericalapproximationsintermsof >theUUgridstep,weimpGosethefollowingcontinuityconditionsonthecoGecients:=Ehejaij (t;x)8aij(s;y()j㈲+jbiTL(t;x)8biTL(s;y()j㈲+jc(t;x)8c(s;y()jm zheMH @Yb հjx8y(j^ A+jtsj^ =2 9b];hejbiTLj;jcjqMH; i;jK=1;2;:::;d;>(4.2)=D>forAsomeMH \ɵ>0,andmoreover,weArequirethestrictellipticitytobGet-uniform,>thatUUis,thereexistM3>0and>0suchthatforallt0andx2R^d:j+Mjzpj223 7d X ti;jg=1|aij (t;x)ziTLzjjzj22|s; >0:=(4.3)ۍGW*e*Sstartananalysisofthenumericalschemesbyconsideringtheinitialvqalue>problemUUonR^d:5<$*Pd\wfe (֍dt`.u(t)}<=DZA(t)u(t)5+f(t);>(4.4)\ u(0)}<=䙯u0|s:/>Ourob8jectiveistoanalysenumericalapproximationsof(4.4)de nedinterms>ofUUODE:Cҍ<$dwfe (֍dtunq~(t)ʕ=\Anq~(t)un(t)5+fnq~(t);=(4.5)junq~(0)ʕ=\un;0 ;/>whereAnq~()aretheapproximationsof(4.1)onGn,ىde nedanddescribGedinsec->tionsUU2.qand3.GIfCu0bGelongstotheclassx䍑|r_C^2+ (R^d),'theparabolicsystem(4.4)hasaclassical>solution.)Since|errorestimatesarederivedfromthepropGertiesofclassicaltheory*,>itisnecessarytode nebasicob8jectsusedinthecourseoftheproGofs.$F*oran>analysis]*ofparabGolicsystemsitisconvenient]*tode netheBanachspaceH(m; z),>spannedbyfunctionsuonQ^TU;d=[0;Tc]R^d,vqanishingforlargevaluesofx,>theUUnormbGeingde nedas:DCUkuk:H(m; )!E2= suph͍0tT!ɸku(t)km+ `Ͳ+VX jq0l `m=22*Ѳsupq+jtsj<1L L L L <$V̰@^8ltu(t)8@^8lsF:u(s)V̰wfeB V jt8sjr =2`4 `4 `4 `4 n m2l:8ݍ>Due+^to(4.2),(4.3),`asolutionv7oftheinitialvqalueproblem(4.4)maybGees->timated inthefollowingway[LSUN<]:F*oreachTW> 0thereexistsa(Tc)such>that/Xkuk:H(2; )Em(Tc)`ku0|sk2+ a+5kfk:H(0; ))`!:>(4.6)lx#fܚǾEXPLICITSTZABLEMETHODSp15>#fܚ>Let& 4͗=f(s;t)2R^2 :x?stg. Anellipticdi erentialopGeratorA()on >R^d,satisfying(4.2)-(4.3),generatesanevolutionfamilyofpGositiveopGerators>U(t;s)t,2L(x䍑`/_C̲(R^d));s;t24Vɲ(see[KR1#,T1]).v"Ifct,=0VonR^d,%theopGerators>areconservqative,Wwhileforcĸ0theyarecontractions.;gSimilarly*,WtheopGer->atorsDAnq~()U2L1x(Gn)DgeneratethecorrespGondingevolutionfamiliesUn(t;s).>By(4.6),oneobtainsu(t)b=U(t;s)vsղandjU(t;s)j2+ 5pb(Tc),uniformlywith>respGectUUto0stTc.GThespacex䍑u_C o(R^d)isaBanachalgebraandU(t,s)areitscontinuousmappings.>Therefore,1proGductsofu(t)U(t;s);un2x䍑_C K(R^d),arealsocontinuousmappingsof>thisalgebra."Similarly*, thespaceF0|s(Gnq~)l1 ^~isanalgebra,andUnq~(t;s)are>itsUcontinuousmappings.rUThenaturalimbGedding0|s(n)isanisomorhismofthe>algebrax䍑_~C [h(R^d)~intoF0|s,i.e.휵0(n)(uv[ٲ) =(0|s(n)u)(0(n)v).It~happGensthatthe>proGductsareinH(m; z)foru;v'k2˒H(m; z),sothatthefollowingresultholds>true:GLemma4.1.L}'etA()satisfy(4.2){(4.3).ThenXqŲ(i)hfore}'achT*>0thereexistsa(Tc)suchthatcl\ cl\ cl\ h`nz0|s(n)U(t;s)㈸Unq~(t;s)0|s(n)`u  81 ƸZ(Tc)kuk2+ }h ;4ٍ>whenever0s0,thereexistsa(m;Tc)>0suchthatS S S c{+0|s(n)d$m Y k+B=1U(tk+B+1 ;tk됲)uk(tk)Ǹ Cm Y k+B=1Unq~(tk+B+1;tk됲)`0|s(n)uk(tk)`  1[!TGc{+(m;Tc)d$m Y k+B=1kuk됸k2+ h ;"捑>whenever0t1CHere,7theۣopGeratorAnq~(t)isboundedonboth,7F0XandF2ofSection2,7sothat >Anq~(t)0|s(n)=An(t)2|s(n).qByUU(4.6):o@ o@ o@ ̟`0|s(n)U(t;s)㈸Unq~(t;s)0|s(n)`u  814nٕTEsupq̴t2[0;T]kAnq~(t)2|s(n)㈸0(n)A(t)k:L(Eb};F0 )!*kuk2+ }(Tc);q>andUUthestatement(i)followsfromTheorem2.1.:x#fܚ>16uT.N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fܚGTheUUstatement(ii)canbGederivedbyinductionfrom(i).ff>㍄ffqDŽffffff> GOurxintentionistodescribGeaclassofschemesforsolving(4.5).ۢTheyare>explicit,bof,anyorderofconvergence,bandabsolutelystable.Theinitialvqalue>problemsUU(4.5),withzerononhomogeneousterms,haveUUthegeneralform:5<$d0؟wfe (֍dt4v[ٲ(t)<=ZH(t)v[ٲ(t);=(4.7)\ `v[ٲ(0)<=Zv0|s:>withthematrixH(t)pGossessingtheMJP-structure.oThecorrespondingevolu->tionUUfamilyisdenotedbyQ(t;s).GThematrixH(t)canbGerepresentedasH(t)K=DG(t)m+Bq(t),whereD(t)isa>diagonal$matrixwithdiagonalelementshii((t),andBq(t)isamatrixwithnon->negative6elementsandzerodiagonalelements.PgItiseasytodescribGetheschemes>for1matricesHof(4.7)whicharet-indepGendent,8andhavealldiagonalelements>equal,ahii =}p.KLet,bGeincrementintime,andtm )=}m;xm=0;1;:::.KLet>vm f'bGe͌theapproximationsofv[ٲ(tm).lF*ort-independentH,theapproximations>ofUUorderLarede nedby:^avm =mV8(!Dz)vm1; m2N;V8(!Dz)m=PLt(;p)1 gPL(;Bq);=(4.8)>where1thepGolynomialPLt(;x)oforderLisequaltothe rstL˶+11termsof O>expansionofx#!exp(!x),i.e.PLt(;x)=Pލ<^L%<^r7=0t^rix^rm=rG!.Matrixnormofthe >numerator,NĵPLt(;Bq),isnotlargerthanthedenominator,NsothatkV8(!Dz)k1 >exp(!Dz),$whereǵvղ=infixjhiTLj.TheorderofconvergenceisL,$asfollowsfrom>theUUcorrespGondingerrorbounds:o6kvm {8v[ٲ(tm)k1 ꥸqkV8(!Dz)k1xkvm1 v(tm1)k1+=(4.9)f<$\2(p!Dz)^L+1\wfe'lz (֍k(L8+1)!w kv[ٲ(tm1)k1x: >If*allhi~=*n0,_thenkvmk1M=kv0|sk1x; m2N.eAnextensiontot-depGendent>matricesUUH()issimple:qLet cH(t)m=p(t)IW+5Bq(t);>whereLbGoth,pandmatrixelementsofBq,aresmoGothenough,sothatintegration >formul,SItoRbGeusedinproceedingconstruction,SIhaveRdesirederrorbounds.pLet>Wc(t;s)PbGetheevolutionfamilygeneratedbyBq().InthepropGosedgeneralization>ofs(4.8)thenumeratormustcontainthe rstL+1stermsofexpansionofWc((m>1);m!Dz).VThedenominatorof(4.8)mustcontainthecorrespGondingL+1terms>ofexpansionofexpGonentialfunctionhavingtheintegralofpintheexpGonent.>EachptermofexpansionmustbGeapproximatedbyanintegrationformula,wwith>anUUerrorbGoundoftheorderL8+1.qTheUUsequencei?vm _=V8(;m)vm1; V(;m)=XLt(;m;p)1 TXLt(;m;Bq)x#fܚǾEXPLICITSTZABLEMETHODSp17>#fp`E{nFigureUU4.1:qT*estexamplex䍍{斻relativÎeXerror/ em:moveto em:lineto em:moveto0ح_ em:lineto0ح_ em:moveto!\ em:lineto!\ em:moveto 9 em:lineto 9 em:moveto? em:lineto? em:moveto损Ӊ em:lineto损Ӊ em:moveto~9 em:lineto~9 em:movetoo em:linetoo em:moveto϶ em:lineto϶ em:movetoe em:linetoe em:moveto۟f em:lineto۟f em:moveto̟ em:lineto̟ em:movetoVU em:linetoVU em:moveto Gl em:lineto Gl em:movetoԙ Ƃ em:linetoԙ Ƃ em:moveto8 em:lineto8 em:movetoו0 em:linetoZП em:movetoWuG em:linetoWuG em:movetoT$ em:linetoT$ em:movetopB- em:lineto>B- em:movetoY̟N em:linetoY̟N em:movetoVЌ em:linetoVЌ em:movetoS<( em:linetoS<( em:movetoP . em:linetoP . em:movetol)|i em:linetol)|i em:movetoit@ em:linetoit@ em:movetoߟ em:linetoߟ em:movetof em:linetof em:movetoПW em:lineto<ܟ em:moveto-m em:lineto-m em:moveto em:lineto em:moveto쨟 em:lineto쨟 em:moveto{e em:lineto{e em:movetoIk em:linetoIk em:moveto em:lineto em:movetolӨE em:linetolӨE em:moveto]W em:lineto]W em:movetoN% em:linetoN% em:moveto؟% em:lineto؟% em:movetoɟ΄ em:linetoɟ΄ em:movetoﺟ3 em:linetoﺟ3 em:moveto쫟 em:lineto쫟 em:moveto5ɼ em:lineto5ɼ em:movetowa em:linetowa em:moveto&=, em:lineto&=, em:moveto럳 em:linetoW em:movetosHږ em:linetosHږ em:movetop9d em:linetop9d em:movetom*b em:linetom*b em:moveto em:lineto em:movetos< em:linetos< em:movetocAB em:linetocAB em:moveto` em:lineto` em:moveto|xѠ em:lineto|xѠ em:movetoyiO em:linetoyiO em:movetovZ em:linetovZ em:moveto em:lineto em:moveto՟|i em:lineto՟|i em:movetoƟ em:linetoƟ em:moveto em:lineto em:moveto|: em:lineto|: em:movetoAÅ em:linetoAÅ em:movetom em:linetoٟ/ em:movetoʟY em:linetoʟY em:movetoT؎ em:linetoT؎ em:moveto E>3 em:lineto E>3 em:moveto 6 9 em:lineto 6 9 em:moveto$Ի em:lineto$Ի em:moveto!k em:lineto!k em:moveto  em:lineto  em:moveto em:lineto em:movetoϗ em:linetoϗ em:movetouG` em:linetouG` em:movetof em:linetof em:moveto-˦: em:lineto-˦: em:moveto*7 em:lineto*7 em:moveto'ҟM~ em:lineto'ҟM~ em:movetoc em:linetoc em:moveto$߯g em:lineto$߯g em:moveto em:lineto}Y em:moveto * em:lineto * em:moveto֟0 em:lineto֟0 em:moveto`ֆ em:lineto`ֆ em:movetoQ6 em:linetoQ6 em:movetoBw em:linetoBw em:moveto̟ҳ} em:lineto̟ҳ} em:movetob em:linetob em:movetoW em:linetoW em:moveto em:lineto em:moveto͏ em:lineto͏ em:moveto?7 em:lineto?7 em:movetor em:linetor em:movetoɞ em:linetoɞ em:movetowO em:linetowO em:movetoTŬX em:linetoTŬX em:movetoޟ em:linetoޟ em:movetoQ<% em:linetox5٢' em:moveto{2Q em:lineto{2Q em:moveto~. em:lineto~. em:moveto+ em:lineto+ em:movetoGl~t em:linetoGl~t em:movetoD]- em:linetoD]- em:movetoANN em:linetoANN em:moveto\؟ЫT em:lineto\؟ЫT em:movetoYɟZ em:linetoYɟZ em:movetoV . em:linetoV . em:movetorD̹ em:linetorD̹ em:movetoPi em:linetoPi em:movetoM7 em:linetoM7 em:movetoJ~ em:linetoJ~ em:movetofƿ em:linetofƿ em:moveto4 em:lineto4 em:movetob! em:linetob! em:moveto𾟰 em:linetor em:movetouי em:linetouי em:movetox Ik em:linetox Ik em:moveto{ em:lineto{ em:moveto~懟ӨE em:lineto~懟ӨE em:movetoxvK em:linetoxvK em:movetoi% em:linetoi% em:movetoZ% em:linetoZ% em:moveto΄ em:lineto΄ em:moveto՟R em:lineto՟R em:movetoƟ em:linetoƟ em:movetoPʱr em:linetoPʱr em:moveto Ax em:lineto Ax em:moveto陟L em:lineto陟L em:moveto抟 em:lineto抟 em:movetotO em:linetotO em:movetoj em:linetoj em:movetoq@` em:linetomTb em:movetopQ em:linetopQ 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lofHarenotmutuallyequal,Gwthepro->pGosedCschemescanbeusedafterslightadjustment.Let[0;Tc]bGetheintervqalofin->terest.&GItrisassumedthatthereexistsafunctionpontheconsideredintervqalsuch>that p(t)hii((t)foralli,&andt2[0;Tc].^YAftersplittingH(t)=p(t)I/+MBq(t)>thepropGosedschemescanbeused.;T*othesmallerdi erencesupVqƴi;t%(p(t)8+hii((t))>thereUUcorrespGondssmallererrorofschemes.TKT*ableUU4.1:qErrorbGoundsz֟shff fdͤ ff,fdKH ff ffBO100{  ff300B% ff500B% ffff ff ͤ fffd"(3;!Dz) ff ff/0.2208E+00͟ ffp60.4670E-02͟ ff!A0.9019E-03͟ ffff ͟2˄Lcff󝍑{3tim(Sa)ʉfestim(Eb})'sLcffLcff71.29E-03 2˄Lcffu61.33E-03 Ο2˄LcffC.34E-03 Lϟ2˄Lcff1ff 􎎎 GExample4.1.Thefunctionf~eu(t;x1|s;x2)Z=exp([ٟ2L[ٟ2t)8sin([x1)sin(x2)>isasolutionoftheinitialvaluepr}'oblemwiththeellipticoperatorA]=([ٟ^2L=2) >ons^D5=(0;1)%(0;1),yands^thehomo}'geneouss^Dirichletb}'oundaryconditions.Nu->meric}'alapproximationsareconsideredfor[ٟ^2d=0:1=[ٟ^2L;t=1,withthegridstep'xx#fܚ>18uT.N.LIMIr;CANDM.ROGINA>#fD10:nFigureUU4.2:qExampleshowingreducibilityLЍJ*0 em:moveto*0 em:linetoJ*0 em:movetoJ em:linetoJ*0 em:movetoKП*0 em:lineto*0 em:moveto*0 em:linetoJg em:movetoKПg em:linetog em:movetog em:linetoJH em:movetoKПH em:linetoH em:movetoH em:linetoJ em:movetoKП em:lineto em:moveto em:linetoJ ` em:movetoKП ` em:lineto ` em:moveto ` em:linetoJ] em:movetoKП] em:lineto] em:moveto] em:linetoJح em:movetoKПح em:linetoح em:movetoح em:linetoJ8 em:movetoKП8 em:lineto8 em:moveto8 em:linetoJ( em:movetoKП( em:lineto( em:moveto( em:linetoJfP em:movetoKПfP em:linetofP em:movetofP em:linetoJ em:movetoKП em:lineto em:moveto em:linetoܿCG5J*0 em:movetoJ em:linetoJ em:movetoJ em:lineto7H0Tx0*0 em:movetoTx0 em:linetoTx0 em:movetoTx0 em:lineto^l*0 em:moveto^l em:lineto^l em:moveto^l em:linetoha*0 em:movetoha em:linetoha em:movetoha em:linetorU*0 em:movetorU em:linetorU em:movetorU em:lineto|I*0 em:moveto|I em:lineto|I em:moveto|I em:lineto>`*0 em:moveto>` em:lineto>` em:moveto>` em:lineto2П*0 em:moveto2П em:lineto2П em:moveto2П em:lineto'@*0 em:moveto'@ em:lineto'@ em:moveto'@ em:lineto*0 em:moveto em:lineto em:moveto em:lineto790J*0 em:moveto*0 em:lineto em:linetoJ em:linetoJ*0 em:linetoKuP em:movetoJ̐uP em:movetoL8uP em:linetoJ̐uP em:movetoL8uP em:linetoLpc em:movetoKhc em:movetoM7xc em:linetoKhc em:movetoM7xc em:linetoMHP em:movetoL@P em:movetoN6PP em:linetoL@P em:movetoN6PP em:linetoN > em:movetoM> em:movetoO5(> em:linetoM> em:movetoO5(> em:linetoO}L em:movetoNL em:movetoP4L em:linetoNL em:movetoP4L em:linetoP|П em:movetoOȟ em:movetoQ2؟ em:linetoOȟ em:movetoQ2؟ em:linetoQ{H em:movetoPŠH em:movetoR1H em:linetoPŠH em:movetoR1H em:linetoRz em:movetoQx em:movetoS0 em:linetoQx em:movetoS0 em:linetoSyX? em:movetoRP? em:movetoT/`? em:linetoRP? em:movetoT/`? em:linetoTx0 em:movetoS( em:movetoU.8 em:linetoS( em:movetoU.8 em:linetoUw em:movetoT em:movetoV- em:linetoT em:movetoV- em:linetoVu. em:movetoU؟. em:movetoW+. em:linetoU؟. em:movetoW+. em:linetoWt em:movetoV em:movetoX* em:linetoV em:movetoX* em:linetoXsB, em:movetoWB, em:movetoY)B, em:linetoWB, em:movetoY)B, em:linetoYrh em:movetoX` em:movetoZ(p em:linetoX` em:movetoZ(p em:linetoZq@CT em:movetoY8CT em:moveto['HCT em:linetoY8CT em:moveto['HCT em:lineto[p em:movetoZ em:moveto\& em:linetoZ em:moveto\& em:lineto\n em:moveto[ em:moveto]$ em:lineto[ em:moveto]$ em:lineto]mȟW em:moveto\W em:moveto^#ПW em:lineto\W em:moveto^#ПW em:lineto^l em:moveto] em:moveto_" em:lineto] em:moveto_" em:lineto_kxٔ em:moveto^pٔ em:moveto`!ٔ em:lineto^pٔ em:moveto`!ٔ em:lineto`jPX em:moveto_HX em:movetoa XX em:lineto_HX em:movetoa XX em:linetoai(I em:moveto` I em:movetob0I em:lineto` I em:movetob0I em:linetobhn em:movetoan em:movetocn em:linetoan em:movetocn em:linetocf؟ em:movetobП em:movetod em:linetobП em:movetod em:linetode em:movetoc em:movetoe 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{Ÿ)T em:moveto ź)T em:moveto 1ʟ)T em:lineto ź)T em:moveto 1ʟ)T em:lineto z; em:moveto Ē; em:moveto 0; em:lineto Ē; em:moveto 0; em:lineto yrM em:moveto jM em:moveto /zM em:lineto jM em:moveto /zM em:lineto xJ_ em:moveto B_ em:moveto.R_ em:lineto B_ em:moveto.R_ em:linetow"r$ em:moveto r$ em:moveto-*r$ em:lineto r$ em:moveto-*r$ em:linetouX em:movetoX em:moveto,X em:linetoX em:moveto,X em:linetotҟX em:movetoʟX em:moveto*ڟX em:linetoʟX em:moveto*ڟX em:linetos얌 em:moveto얌 em:moveto)얌 em:lineto얌 em:moveto)얌 em:linetor얌 em:movetoz얌 em:moveto(얌 em:linetoz얌 em:moveto(얌 em:linetoqZ em:movetoR em:moveto'b em:linetoR em:moveto'b em:linetop2 em:moveto* em:moveto&: em:lineto* em:moveto&: em:linetoo em:moveto em:moveto% em:lineto em:moveto% em:linetoV*0 em:movetoV(, em:linetoU^(, em:linetoU^*0 em:linetoV*0 em:linetoU^*0 em:movetoU^(, em:linetoT6(, em:linetoT6*0 em:linetoU^*0 em:linetoT6*0 em:movetoT6(, em:linetoS(, em:linetoS*0 em:linetoT6*0 em:linetoS*0 em:movetoS(, em:linetoQ(, em:linetoQ*0 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em:lineto얌 em:lineto*0 em:lineto*0 em:lineto*0 em:moveto em:linetoƟ em:linetoƟ*0 em:lineto*0 em:linetoƟ*0 em:movetoƟ em:lineto em:lineto*0 em:linetoƟ*0 em:lineto*0 em:moveto em:linetoo em:linetoo *0 em:lineto*0 em:lineto em:linewidth 0.4pt *0 em:movetof*0 em:lineto *0 em:moveto em:lineto *0 em:moveto П*0 em:linetof*0 em:movetod*0 em:lineto em:moveto П em:linetof em:movetod em:lineto ( em:moveto П( em:linetof( em:movetod( em:lineto 垤 em:moveto П垤 em:linetof垤 em:movetod垤 em:lineto ] em:moveto П] em:linetof] em:movetod] em:lineto /h em:moveto П/h em:linetof/h em:movetod/h em:lineto em:moveto П em:linetof em:movetod em:lineto ` em:moveto П` em:linetof` em:movetod` em:lineto em:moveto П em:linetof em:movetod em:linetoܿG4 *0 em:moveto em:lineto em:moveto  em:lineto7 0x0*0 em:movetox0 em:linetox0 em:movetox0 em:lineto l*0 em:moveto l em:lineto l em:moveto l em:lineto*a*0 em:moveto*a em:lineto*a em:moveto*a em:lineto4U*0 em:moveto4U em:lineto4U em:moveto4U em:lineto>I*0 em:moveto>I 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em:linetoN em:moveto-N em:linetouN em:moveto؟N em:moveto+N em:lineto؟N em:moveto+N em:linetotN em:movetoN em:moveto*N em:linetoN em:moveto*N em:linetosN em:movetoN em:moveto)N em:linetoN em:moveto)N em:linetorhN em:moveto`N em:moveto(pN em:lineto`N em:moveto(pN em:linetoq@N em:moveto8N em:moveto'HN em:lineto8N em:moveto'HN em:linetopN em:movetoN em:moveto& N em:linetoN em:moveto& N em:linetonN em:movetoN em:moveto$N em:linetoN em:moveto$N em:linetomȟ< em:moveto< em:moveto #П< em:lineto< em:moveto #П< em:lineto l< em:moveto< em:moveto!"< em:lineto< em:moveto!"< em:lineto!kx< em:moveto p< em:moveto"!< em:lineto p< em:moveto"!< em:lineto"jP< em:moveto!H< em:moveto# X< em:lineto!H< em:moveto# X< em:lineto#i(< em:moveto" < em:moveto$0< em:lineto" < em:moveto$0< em:lineto$h< em:moveto#< em:moveto%< em:lineto#< em:moveto%< em:lineto%f؟< em:moveto$П< em:moveto&< em:lineto$П< em:moveto&< em:lineto&e< em:moveto%< em:moveto'< em:lineto%< em:moveto'< em:lineto'd< em:moveto&< em:moveto(< em:lineto&< em:moveto(< em:lineto(c` em:moveto'X em:moveto)h em:lineto'X em:moveto)h em:lineto)b8 em:moveto(0 em:moveto*@ em:lineto(0 em:moveto*@ em:lineto*aO| em:moveto)O| em:moveto+O| em:lineto)O| em:moveto+O| em:lineto+_*0 em:moveto**0 em:moveto,*0 em:lineto**0 em:moveto,*0 em:lineto,^*0 em:moveto+*0 em:moveto-ȟ*0 em:lineto+*0 em:moveto-ȟ*0 em:lineto-]O| em:moveto,O| em:moveto.O| em:lineto,O| em:moveto.O| em:lineto.\p*0 em:moveto-h*0 em:moveto/x*0 em:lineto-h*0 em:moveto/x*0 em:lineto/[H*0 em:moveto.@*0 em:moveto0P*0 em:lineto.@*0 em:moveto0P*0 em:lineto0Z =H em:moveto/=H em:moveto1(=H em:lineto/=H em:moveto1(=H em:lineto1X*0 em:moveto0*0 em:moveto2*0 em:lineto0*0 em:moveto2*0 em:lineto2WП*0 em:moveto1ȟ*0 em:moveto3 ؟*0 em:lineto1ȟ*0 em:moveto3 ؟*0 em:lineto3V=H em:moveto2=H em:moveto4 =H em:lineto2=H em:moveto4 =H em:lineto4U*0 em:moveto3x*0 em:moveto5 *0 em:lineto3x*0 em:moveto5 *0 em:lineto5TX*0 em:moveto4P*0 em:moveto6 `*0 em:lineto4P*0 em:moveto6 `*0 em:lineto6S0+ em:moveto5(+ em:moveto7 8+ em:lineto5(+ em:moveto7 8+ em:lineto7R*0 em:moveto6*0 em:moveto8*0 em:lineto6*0 em:moveto8*0 em:lineto8P*0 em:moveto7؟*0 em:moveto9*0 em:lineto7؟*0 em:moveto9*0 em:lineto9O+ em:moveto8+ em:moveto:+ em:lineto8+ em:moveto:+ em:lineto:N*0 em:moveto9*0 em:moveto;*0 em:lineto9*0 em:moveto;*0 em:lineto;Mh*0 em:moveto:`*0 em:moveto<p*0 em:lineto:`*0 em:moveto<p*0 em:lineto *0 em:lineto<*0 em:moveto> *0 em:lineto>I*0 em:moveto=*0 em:moveto>*0 em:lineto=*0 em:moveto>*0 em:lineto?Hȟ em:moveto> em:moveto?П em:lineto> em:moveto?П em:lineto@G*0 em:moveto?*0 em:moveto@*0 em:lineto?*0 em:moveto@*0 em:linetoAFx*0 em:moveto@p*0 em:movetoA*0 em:lineto@p*0 em:movetoA*0 em:linetoBEP em:movetoAH em:movetoBX em:linetoAH em:movetoBX em:linetoCD(*0 em:movetoB *0 em:movetoC0*0 em:linetoB *0 em:movetoC0*0 em:linetoDC*0 em:movetoC*0 em:movetoD*0 em:linetoC*0 em:movetoD*0 em:linetoEA؟ em:movetoDП em:movetoE em:linetoDП em:movetoE em:linetoF@*0 em:movetoE*0 em:movetoF*0 em:linetoE*0 em:movetoF*0 em:linetoG?*0 em:movetoF*0 em:movetoG*0 em:linetoF*0 em:movetoG*0 em:linetoH>` em:movetoGX em:movetoHh em:linetoGX em:movetoHh em:linetoI=8 em:movetoH0 em:movetoI@ em:linetoH0 em:movetoI@ em:linetoJ< em:movetoI em:movetoJ em:linetoI em:movetoJ em:linetoK:H em:movetoJH em:movetoKH em:linetoJH em:movetoKH em:linetoL9H em:movetoKH em:movetoLȟH em:linetoKH em:movetoLȟH em:linetoM8H em:movetoLH em:movetoMH em:linetoLH em:movetoMH em:linetoN7pH em:movetoMhH em:movetoNxH em:linetoMhH em:movetoNxH em:linetoO6HH em:movetoN@H em:movetoOPH em:linetoN@H em:movetoOPH em:linetoP5 H em:movetoOH em:movetoP(H em:linetoOH em:movetoP(H em:linetoQ3H em:movetoP}H em:movetoQH em:linetoP}H em:movetoQH em:linetoR2ПH em:movetoQ|ȟH em:movetoR؟H em:linetoQ|ȟH em:movetoR؟H em:linetoS1H em:movetoR{H em:movetoS簟H em:linetoR{H em:movetoS簟H em:linetoT0H em:movetoSzxH em:movetoT戟H em:linetoSzxH em:movetoT戟H em:linetoU/XH em:movetoTyPH em:movetoU`H em:linetoTyPH em:movetoU`H em:linetoV.0H em:movetoUx(H em:movetoV8H em:linetoUx(H em:movetoV8H em:linetoW-H em:movetoVwH em:movetoWH em:linetoVwH em:movetoWH em:linetoX+H em:movetoWu؟H em:movetoXH em:linetoWu؟H em:movetoXH em:linetoY*H em:movetoXtH em:movetoYH em:linetoXtH em:movetoYH em:linetoZ)H em:movetoYsH em:movetoZߘH em:linetoYsH em:movetoZߘH em:lineto[(hH em:movetoZr`H em:moveto[pH em:linetoZr`H em:moveto[pH em:lineto\'@H em:moveto[q8H em:moveto\HH em:lineto[q8H em:moveto\HH em:lineto]&H em:moveto\pH em:moveto] H em:lineto\pH em:moveto] H em:lineto^$H em:moveto]nH em:moveto^H em:lineto]nH em:moveto^H em:lineto_#ȟH em:moveto^mH em:moveto_ПH em:lineto^mH em:moveto_ПH em:lineto`"H em:moveto_lH em:moveto`بH em:lineto_lH em:moveto`بH em:linetoa!xH em:moveto`kpH em:movetoa׀H em:lineto`kpH em:movetoa׀H em:linetob PH em:movetoajHH em:movetobXH em:linetoajHH em:movetobXH em:linetoc(H em:movetobi H em:movetoc0H em:linetobi H em:movetoc0H em:linetodH em:movetocgH em:movetodH em:linetocgH em:movetodH em:linetoe؟H em:movetodfПH em:movetoeH em:linetodfПH em:movetoeH em:linetofH em:movetoeeH em:movetofѸH em:linetoeeH em:movetofѸH em:lineto^mC em:movetoc(C em:lineto ,*0 em:moveto ,N em:linetoN em:lineto*0 em:lineto ,*0 em:lineto*0 em:movetoN em:linetoܟN em:linetoܟ*0 em:lineto*0 em:linetoܟ*0 em:movetoܟN em:linetoN em:lineto*0 em:linetoܟ*0 em:lineto*0 em:movetoN em:linetoN em:lineto*0 em:lineto*0 em:lineto*0 em:movetoN em:linetodN em:linetod*0 em:lineto*0 em:linetod*0 em:movetodN em:lineto\*0 em:lineto=ʄ*0 em:lineto>\*0 em:moveto>\ em:lineto?4 em:lineto?4*0 em:lineto>\*0 em:lineto?4*0 em:moveto@ *0 em:lineto?4*0 em:lineto@ *0 em:movetoA*0 em:lineto@ *0 em:linetoA*0 em:movetoA em:linetoBļ em:linetoBļ*0 em:linetoA*0 em:linetoBļ*0 em:movetoCÔ*0 em:linetoBļ*0 em:linetoCÔ*0 em:movetoDl*0 em:linetoCÔ*0 em:linetoDl*0 em:movetoDl em:linetoED em:linetoED*0 em:linetoDl*0 em:linetoED*0 em:movetoF*0 em:linetoED*0 em:linetoF*0 em:movetoG*0 em:linetoF*0 em:linetoG*0 em:movetoG em:linetoH̟ em:linetoH̟*0 em:linetoG*0 em:linetoH̟*0 em:movetoH̟ em:linetoI em:linetoI*0 em:linetoH̟*0 em:linetoI*0 em:movetoI em:linetoJ| em:linetoJ|*0 em:linetoI*0 em:linetoJ|*0 em:movetoJ|H em:linetoKTH em:linetoKT*0 em:linetoJ|*0 em:linetoKT*0 em:movetoKTH em:linetoL,H em:linetoL,*0 em:linetoKT*0 em:linetoL,*0 em:movetoL,H em:linetoMH em:linetoM*0 em:linetoL,*0 em:linetoM*0 em:movetoMH em:linetoNܟH em:linetoNܟ*0 em:linetoM*0 em:linetoNܟ*0 em:movetoNܟH em:linetoOH em:linetoO*0 em:linetoNܟ*0 em:linetoO*0 em:movetoOH em:linetoPH em:linetoP*0 em:linetoO*0 em:linetoP*0 em:movetoPH em:linetoQdH em:linetoQd*0 em:linetoP*0 em:linetoQd*0 em:movetoQdH em:linetoR<H em:linetoR<*0 em:linetoQd*0 em:linetoR<*0 em:movetoR<H em:linetoSH em:linetoS*0 em:linetoR<*0 em:linetoS*0 em:movetoSH em:linetoTH em:linetoT*0 em:linetoS*0 em:linetoT*0 em:movetoTH em:linetoUğH em:linetoUğ*0 em:linetoT*0 em:linetoUğ*0 em:movetoUğH em:linetoVH em:linetoV*0 em:linetoUğ*0 em:linetoV*0 em:movetoVH em:linetoWtH em:linetoWt*0 em:linetoV*0 em:linetoWt*0 em:movetoWtH em:linetoXLH em:linetoXL*0 em:linetoWt*0 em:linetoXL*0 em:movetoXLH em:linetoY$H em:linetoY$*0 em:linetoXL*0 em:linetoY$*0 em:movetoY$H em:linetoZH em:linetoZ*0 em:linetoY$*0 em:linetoZ*0 em:movetoZH em:lineto[ԟH em:lineto[ԟ*0 em:linetoZ*0 em:lineto[ԟ*0 em:moveto[ԟH em:lineto\H em:lineto\*0 em:lineto[ԟ*0 em:lineto\*0 em:moveto\H em:lineto]H em:lineto]*0 em:lineto\*0 em:lineto]*0 em:moveto]H em:lineto^\H em:lineto^\*0 em:lineto]*0 em:lineto^\*0 em:moveto^\H em:lineto_4H em:lineto_4*0 em:lineto^\*0 em:lineto_4*0 em:moveto_4H em:lineto` H em:lineto` *0 em:lineto_4*0 em:lineto` *0 em:moveto` H em:linetoaH em:linetoa*0 em:lineto` *0 em:linetoa*0 em:movetoaH em:linetobH em:linetob*0 em:linetoa*0 em:linetob*0 em:movetobH em:linetocH em:linetoc*0 em:linetob*0 em:linetoc*0 em:movetocH em:linetodlH em:linetodl*0 em:linetoc*0 em:linetodl*0 em:movetodlH em:linetoeDH em:linetoeD*0 em:linetodl*0 em:linetoeD*0 em:movetoeDH em:linetofH em:linetof*0 em:linetoeD*0 em:lineto>h=2^6 t.Thedr}'esultingODEdx(4.7)issolvedbythemethod(4.8)withL=3dand >Euler^implicitmetho}'d.9F;orvarioustimeincrements,ּI='1=K,the^correspond->ingnumeric}'alapproximationsofu(1; ۱1۟&fes2 ; ۱1۟&fes2)arepresentedinT;able4.1.rTheerror>b}'oundscanbeobtainedfrom(4.9):܍J"(L;!Dz)Z=kvk ]Pqv[ٲ(tk됲)k1 xݸ<$3+2(18+)3+wfe# (֍u(18+L)!- exp(po)8p(p)Lt; k=1;2;:::;K(:MЍ>Thelastc}'olumnoftablecontainstheratioofcomputingtimesofthetwometh->o}'ds.lAllojcalculationswerecarriedoutindoubleprecision,vwiththesamelevelof>optimization,onSUN-SP;ARC(Ultr}'a-Enterprise).GIn*IthissectionirreducibilityversusreducibilityofapproximationsAnDzwasnot>discussed.sThew9followingexampledemonstratesthatreducibilitymustbGeaddi->tionallyUUinterpreted.GExample54.2.=L}'etD~=va(0;1), andA=d^2|s=dx^2qwiththehomo}'geneousNeu->mann"b}'oundaryconditionsattheendpointsofDG.FWeconsidergridsGn =>fhkP=nʲ:ka=0;1;:::;ng of[0,1],)mandthec}'orresponding approximationsAn }on>Gn 1de ne}'dasfollows.LetxibeinGn \X(0;1=3),ʍorinGn\X(2=3;1).Atthese>grid-knots~thevalueu"(xiTL)isappr}'oximated~inastandar}'dwaybyh^2 t(u(xi6Ӹ>h)$2u(xiTL)+u(xip+h)).At>grid-knotsofthemiddlep}'art,h[1/3,2/3],the>ap->pr}'oximationH7isconstructedwiththestepequalto3h,uLu"(xiTL) !(3h)^2 t(u(xiո>3h)2u(xiTL)+u(xi+3h)).XBoundaryѧc}'onditionsareapproximatedinthestandard>way.cThekmatric}'esAncarereducible.cSolutionsoftheinitialvalueproblems(4.7)>haveqap}'eculiarqbehaviourast:3!1.X4Dep}'endingonthepositionsofgrid-knots,>thePHve}'ctorvaluedfunctionunq~(t)tendseithertowardszeroortowardstworeal>numb}'ers.zuIn6Fig4.2thesolutionunq~(t);n=90,I2for6varioustimestisgraphically>pr}'esented.ꨍ>5O?Conclusion.㍑GNumericalmethoGdproposedinSection4fortheinitialvqalueproblemfor>the~2^nd 0-orderparabGolicsystemsisveryusefulduetothesmallrequirements>onqmemory*,xandpGossibleimplementationtoparallelarchitectures.2Theonly>neededroutineisthemultiplicationofthesystemmatrixAn =withcolumnunq~.>The}methoGdisexplicitandstableformatricesAnpossessingtheMJP}{orcom->partmental5structure[LR s].FfThesecondorderellipticopGeratoronR^d EcanbeKx#fܚǾEXPLICITSTZABLEMETHODSp19>#fܚ>approximatedbymatricesofsuchstructure._AItmaybGeshownthathigherorder >elliptic opGeratorscannotpossessthisproperty*,which restrictsthedescribedclass>ofUUmethoGdstothe2^nd 0-orderparabolicsystems.GCoGecientsoftheellipticoperatorareassumedtobesmoothenough,$sothat>theclassicaltheoryof2^nd UX-orderdi erentialequationscanbGeapplied.#Thisen->sures:thefactorconvergence:ofsolutioninthespacesx䍑)i_C (R^d),@theerrorsbGehaving>likeMh^ t/forsmallgridsteph.@oW*edidnotconsiderellipticopGeratorsindivergence>form'forwhichcoGecientslacknecessarysmoGothness.Insuchcaseswemust>usethetheoryofweaksolutionsinSobGolevspaces,theapproachthatisunder>development./REFERENCES 9[BH]PQ@- cmcsc10@J.?BrambleandB.Hubbard,gAtheoremonerrorestimationfor nitedif- LcferencenanaloguesoftheDirichletproblemforelxlipticequations,ݍContributionstoLcDi erentialN@T.MtS.MotzkynandW.W3asov,On7theapproximationoflinearelxlipticdi er-Lcential1equationsbydi erenceequationswithpositivecoecients,WJ.MathematicalLcPhysics,Tv9ol.31.,1953,253-259.9[RM]Rl@R.kD.RichtmyerandK.W.Morfeton,U'Di erence9ZMethodsforInitial-VJalueLcProblems,N<2nded.,TIn9terscience,NewY:ork,1967.9[R]Lc@M.1Rogina,CKnotp': cmti10=qymsbm7< msbm108Tq lasy107f$cmbx75j cmti92t : cmbx91a msbm9.zi cmex9,5" cmmi9+o cmr9*"V cmbx10)t}\cmti7(#fcmti8q% cmsy6K cmsy8;cmmi6Aacmr6|{Ycmr8XQ ff cmr12XQ cmr12 !", cmsy10 O!cmsy7 0ncmsy5 b> cmmi10 0ercmmi7O \cmmi5K`y cmr10ٓRcmr7Zcmr5u cmex10Y