Naslov
Kompaktna reprezentacija cijelih kvadratnih brojeva i cjelobrojne točke na eliptičkim krivuljama
(Compact Representation of Quadratic Integers and Integer Points on Elliptic Curves)

Autori
Najman, Filip

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno matematički fakultet - Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
03.02

Godina
2010

Stranica
90

Mentor
Dujella, Andrej

Ključne riječi
Pellova jednadžba; kvadratna polja; eliptičke krivulje
(Pell equation; quadratic field; elliptic curves)

Sažetak
Kompaktne reprezentacije cijelih algebarskih brojeva se koriste za rješavanje Pellovih jednadžbi s velikim koeficijentima. Za rješaanje nekih diofantskih jednadži, te za pronalažeje cjelobrojnih točaka na eliptičkim krivuljama, potrebno je moći izvršavati modularni račun na kompaktnim reprezentacijama. U radu ćemo prikazati algoritam za modularni račun na kompaktnim reprezentacijama cijelih kvadratnih brojeva koji, za razliku od svih do sada postojećih, radi na kompaktnim reprezentacijama u svim oblicima. Koristeći ovaj algoritam, proširit ćemo postojeće rezultate o cjelobrojnim točkama na četiri familije eliptičkih krivulja, generirane Diofantovim D(-1)-trojkama {; ; F_{; ; 2k+1}; ; , F_{; ; 2k+3}; ; , F_{; ; 2k+5}; ; }; ; {; ; 1, 2, r_k}; ; , te Diofantovim D(1)-trojkama {; ; F_{; ; 2k}; ; , F_{; ; 2k+2}; ; , F_{; ; 2k+4}; ; }; ; i {; ; k-1, k+1, c_1(k)}; ; . Takoder, naći ćemo sve cjelobrojne točke na eliptičkim krivuljama generiranim s trojkama {; ; k- 1, k+1, c_2(k)}; ; i {; ; k- 1, k+1, c_3(k)}; ; , uz uvjet da eliptička krivulja ima rang 2 ili je k <= 10000, s jednom mogućom iznimkom. Riješit ćemo i problem pronalaženja svih cijelih brojeva x takvih da x^2-1 ima proste faktore manje od 100. Ovaj problem će zahtijevati rješavanje velikog broja Pellovih jednadžbi s velikim koeficijentima, što bi bez upotrebe kompaktnih reprezentacija bilo nemoguće. Dobit ćemo i neke korolare, među kojima izdvajamo proširenje tzv. Lehmerovih tablica iz 1964., gdje su dani najduži nizovi uzastopnih cijelih brojeva sa svim prostim faktorima manjima ili jednakima 41. Mi možemo pomaknuti tu granicu do 100.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA