Naslov
Visine u diofantskoj geometriji i posljedice abc-slutnje
(Heights in Diophantine Geometry and Consequences of the abc-conjecture)

Autori
Lasić, Luka

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
Prirodoslovno matematički fakultet - Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
30.09

Godina
2009

Stranica
108

Mentor
Dujella, Andrej ; Gusić, Ivica

Ključne riječi
visine; algebarski brojevi; abc-slutnja
(height; algebraic numbers; abc-conjecture)

Sažetak
Prvo poglavlje sadrži uvodno slovo o apsolutnim vrijednostima i elementarnu teoriju visina na projektivnim prostorima. Počinjemo s apsolutnim vrijednostima i uvodimo mjesta kao klase ekvivalencija apsolutnih vrijednosti. Dajemo definiciju rezidualnog stupnja i indeksa grananja, njihova osnovna svojstva, te ponašanje s obzirom na proširenja konačnog stupnja. Potom uvodimo normalizirane apsolutne vrijednosti te zbilja važnu produktnu formulu, kako u poljima brojeva tako i u funkcijskim poljima, te dajemo deniciju apsolutne visine u projektivnim prostorima, karakteriziramo to&pound ; ke visine 0 i dajemo op&cent ; u formu Liouvilleove nejednakosti iz područja diofantskih aproksimacija. Uveli smo visine polinoma i Mahlerovu mjeru te dokazali Gaussovu lemu i njen analogon u beskona&pound ; nosti, Gelfondovu lemu. Nakon toga smo razjasnili rezultat P. Enfloa o l_1-normama polinoma, pa odmah potom definirali kanonsku visinu na eliptičkoj krivulji koristeći apsolutnu logaritamsku visinu. U drugom se poglavlju bavimo klasičnim problemom određivanja jedinica u polja K, za koje je i 1 - u također jedinica polja K. Dali smo potpun dokaz tvrdnje o konačnosti skupa rješenja slijedeći rad F. Beukersa i H.P. Schlickeweia. Važan problem nalaženja eksplicitne gornje ograde visine rješenja zahtijeva različite metode i izravno vodi na razrješenje abc-slutnje, pa na samom početku trećeg poglavlja dajemo tajni ključ. Masser i Oesterléova abc-slutnja je tipičan primjer jednostavne tvrdnje koja ujedinjuje, motivira nastanak i implicira puno rezultata teorije brojeva, pa smo neke od njih i dokazali. Zatim je dokazan analogon abc-slutnje u polinomijalnom slučaju. Nakon toga uspostavljamo ekvivalenciju s drugim slutnjama, između ostalog sa Szpirovom slutnjom koja se odnosi na konduktore i diskriminante eliptičkih krivulja nad Q. Na kraju, pretpostavljajući abc-slutnju i koristeći Belyievu lemu, dajemo uniforman dokaz Rothovog teorema i efektivne verzije Mordelove slutnje.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA