Naslov
Varijacijski modeli mikrostruktura
(Variational models for microstructures)

Autori
Raguž, Andrija

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
14.07

Godina
1999

Stranica
Vi+111

Mentor
Antonić, Nenad

Ključne riječi
mikrostrukture; Youngove mjere; konveksnost; homogenizacija
(microstructures; Young measures; convexity; homogenisation)

Sažetak
Mikrostruktura je struktura na proizvoljnoj skali koja je izmedju makroskopske skale i atomske skale. U ovom radu proucavamo varijacijske modele za sustave koji spontano formiraju mikrostrukture, pri cemu pretpostavljamo da dobivena struktura optimizira izvjesno svojstvo. Rad se sastoji od sest poglavlja. U prvom poglavlju formulirane su osnovne zadace: karakterizirati egzaktna i aproksimativna rjesenja u klasi Lipschitzovih funkcija za zadacu: grad(u) pripada skupu K, gdje je K kompaktan skup matrica. Nadalje, opisana je fizikalna interpretacija rjesenja te veze medju razlicitim aproksimativnim rjesenjima. U drugom poglavlju bavimo se slucajem kada je K konacan skup, osobito kada sadrzi dvije, tri ili cetiri matrice, te kada je K tocno grupa rotacija. U trecem poglavlju definiramo pojam Youngove mjere, dokazujemo osnovni teorem o Youngovim mjerama, te teoreme lokalizacije i homogenizacije. Takodjer, preko primjera povezujemo Youngove mjere s problemom klasifikacije minimizirajucih nizova, odnosno aproksimativnih rjesenja. Cetrvrto poglavlje uvodi pojmove konveksnosti te konveksnih ovojnica za funkcije i skupove. Detaljno je opisan odnos medju pojmovima polikonveksnosti, kvazikonveksnosti i konveksnosti ranga 1, te su dane karakterizacije kvazikonveksnosti koje su potrebne za konstrukciju u Sverakovom protuprimjeru. Nadalje, pokazano je da se relaksacijska zadaca za aproksimativna rjesenja svodi na odredjivanje kvazikonveksne ovojnice pripadnog skupa. U petom poglavlju proucavamo homogenizacijsku zadacu za izvjesnu klasu kvazilinearnih eliptickih jednadzbi s p-rastom o gradijentu. Po uzoru na rad Tartara, uvodimo klasu Caratheodoryjevih funkcija koja kao specijalan slucaj obuhvaca klasu koju je uveo Tartar (Course Peccot 1977.), izvodimo precizne apriorne ocjene i promatramo pripadni H-limes. Pokazujemo da je problem odredjivanja H-zatvaraca takve klase funkcija ekvivalentan odredjivanju kvazikonveksne ovojnice odgovarajucih funkcija. Za razliku od slucaja p=2, gubitak kvazikonveksnosti ima za posljedicu gubitak kompaktnosti promatrane klase uz prirodnu H-topologiju. U sestom poglavlju promatramo problem egzistencije egzaktnih rjesenja za apstraktnu klasu kompaktnih skupova K, dokazujemo neke rezultate vezane uz generalizacije dosadasnjih pojmova, te navodimo novije rezultate, otvorene probleme i slutnje koje se ticu zadace dvije potencijalne jame, problema in-aproksimacije i C_0-aproksimacije Lipschitzovih funkcija.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA