Naslov
Fraktali u dinamičkim sustavima klasične mehanike
(Fractals in dynamical systems of classical mechanics)

Autori
Cerinski, Tomislav

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, diplomski rad

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet

Mjesto
Zagreb

Datum
29.01

Godina
2009

Stranica
82

Mentor
Paar, Nils

Ključne riječi
raktali; diferencijalne jednadžbe; harmonički oscilator; dinamički sustavi
(fractals; differential equations; harmonic oscillator; dynamical systems)

Sažetak
Što su to zapravo fraktali? Fraktali [1] su sebi-slični objekti: što ih bliže gledate - to ih više i vidite. Ako pokušamo mjeriti neki nepravilan ili neravan predmet (npr. crijevo za vodu koje šprica vodu na slučajna mjesta travnjaka) ravnalom, onda će broj koji dobijemo za dužinu crijeva ovisiti o dužini ravnala i veličini podjeljaka na ravnalu. Ravnalo sa podjelom od jedan decimetar može dati samo grubu aproksimaciju dužine crijeva. Ravnalo sa podjelom od po jedan centimetar daje bolju aproksimaciju. S fraktalnim linijama, poput morske obale, što manje podjeljke uzmemo, to nam se obala čini dužom. To je zato jer precizniji mjemi uređaji mjere sve manje i manje udubine i vrhove na cijeloj skali i ne počinju izgledati "glatko" njihovim povećavanjem. Drugim riječima, fraktali su beskonačno komplicirani: što ih bliže gledate, to više detalja vidite. Većina fraktala je stvorena relativno jednostavnim jednadžbama gdje su rezultati povratne varijable za jednadžbe opet i opet... Rekurzivnost tih procedura je prikaz zašto se struktura na jednoj skali fraktala ponavlja, smanji, rotira na drugu, manju, skalu. Matematičar Benoit Mandelbrot dao je ime "fractal" sredinom sedamdesetih godina 20. stoljeća za ovu klasu samosličnih kompliciranih objekata koji se pojavljuju iz jednostavnih rekurzivnih pravila. Teorija kaosa opisuje ponašanje nekih nelinearnih dinamičkih sustava u matematici i fizici koji se pod određenim uvjetima ponašaju na prividno nepredvidljiv način (pojam kaos obično označava nered ili slučajnost). Povijest čovječanstva prepuna je događaja u kojima su ljudi nastojali kontrolirati okolinu. Kontrola je nužna da bi ljudi mogli zadovoljiti sve svoje potrebe (npr. kontroliranje vatre omogućilo je ljudima toplinu, zaštitu i bolju ishranu). Niz ovakvih uspjeha u povijesti, a posebno u prošlom stoljeću, naveli su čovjeka da razmišlja na deterministički način. Determinizam znači određenost, jednoznačnost, svojstvo u koje ne sumnjamo. Kada bi svijet bio deterministički, tada bi mogli predvidjeti svaki događaj te razviti sustav kontrole. Predviđanje se temelji na rješavanju jednadžbi koje opisuju ponašanje sustava koji nastojimo predvidjeti. U meteorologiji se koriste jednadžbe čija rješenja svaki dan pratimo u vremenskoj prognozi, ali uvijek s dozom skepticizma. Tek se pojavom računala mogla razviti teorija kaosa jer jedino računala mogu rješavati složenije jednadžbe za predviđanje događaja. To ne znači da kaos nije postojao već da ga u svakodnevnom životu nismo primjećivali. U početku su znanstvenici kaotične rezultate pokušavali objasniti na deterministički način pa su kaotične pojave pripisivali utjecaju smetnji na sustav. Prvi slom determinizma nastupio je kada se za nemjerljivo male razlike u početnim uvjetima dobio različit ishod. U teoriji kaosa ova ekstremna osjetljivost na početne uvjete poznata je pod nazivom leptirov učinak koji glasi: "Ako leptir zamahne krilima u Pekingu, on može uzrokovati uragan na Floridi" To ne znači da vjetar koji nastaje mahanjem leptirovih krila uzrokuje uragan, već da i mahanje leptirovih krila može promijeniti slijed događaja koji bi se zbio da leptir nije mahao krilima (svi smo bitni). Također bi se moglo reći i kako će zamah leptirovih krila spriječiti pojavu uragana na Floridi. Kada bi uspjeli uvrstiti sve moguće utjecaje na početne uvjete, pokazalo bi se da i dalje ne bismo mogli u potpunosti predvidjeti buduća zbivanja. Drugi slom determinizma je prikaz realnog broja na računalu, odnosno dobivanje dva različita ishoda za dva različita prikaza realnog broja. Ova dva svojstva pojavljuju se samo u kaotičnim sustavima. U razdoblju nakon 1989. kaos je prešao veliki put. Preobrazio se, posebno u popularnom tisku, u nešto što se naziva "teorijom kaosa". Međutim, kaos nije teorija, to je koncepcija, i to takva da se ne može smisleno odvojiti od ostatka dinamike. Matematičke su tehnike toliko uznapredovale da danas imamo strog dokaz da model koji je osmislio Edward Lorenz (otkrio je da sićušne promjene u dinamičkom sustavu, poput vremenskih prilika mogu imati ogromne posljedice) definitivno vodi u kaos. Taj je učinak poznat kao "učinak leptira", a temelji se na zaključku da zamah krila leptira, primjerice u Brazilu može utjecati na vremenske prilike u nekom dijelu Europe.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Fizika

POVEZANOST RADA