Naslov
Krivulje i poligoni u ravnini s dvostruko singularnom projektivnom metrikom
(Curves and polygons in the plane with double singular projective metric)

Autori
Šimić, Marija

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
03.09

Godina
2008

Stranica
115

Mentor
Volenec, Vladimir

Ključne riječi
izotropna ravnina; konike; netangencijalni četverostran; netetivni četverovrh
(isotropic plane; conics; non tangential quadrilateral; non cyclic quadrangle)

Sažetak
Disertacija se bavi geometrijom krivulja 2. stupnja i poligona u ravnini s dvostruko singularnom projektivnom metrikom. Takva ravnina još se naziva i izotropna ravnina, a metrika je inducirana apsolutnom figurom koja se sastoji od apsolutnog pravca ω i apsolutne točke Ω na tom pravcu. Euklidski model izotropne ravnine je pravokutni koordinatni sustav. Prvo se provodi klasifikacija regularnih krivulja 2. reda (konika) i uvode pojmovi središta, osi, fokusa i tjemena konika. Zgodnim izborom afinog koordinatnog sustava postiže se standardizacija za sve vrste konika: konike s fokusima, konike s tjemenima i specijalnu hiperbolu (koja nema niti fokuse niti tjemena). Ove standardizacije omogućuju jednostavno analitičko dokazivanje svojstava svake pojedine vrste konika čime se dokazuju svojstva koja općenito vrijede za regularne krivulje 2. reda. U drugom dijelu disertacije proučava se geometrija netangencijalnog četverostrana i netetivnog četverovrha u izotropnoj ravnini. Figura koja se sastoji od četiri pravca ravnine od kojih nikoja dva nisu paralelna i nikoja tri kopunktalna naziva se četverostran. Ova četiri pravca i apsolutni pravac ω diraju jednu koniku koja je u slučaju netangencijalnog četverostrana parabola. Za netangencijalni četverostran kažemo da je standardan ako mu je upisana parabola s jednadžbom oblika y^2 = x. Kako se svaki netangencijalni četverostran može dovesti u standardni položaj, to je u dokazivanju svojstava bilo kojeg netangencijalnog četverostrana dovoljno dokazati da ta svojstva vrijede za standardni četverostran. Poseban naglasak je stavljen na svojstva fokusa i medijane netangencijalnog četverostrana. S obzirom da je princip dualnosti sačuvan u izotropnoj ravnini, analogno prethodnom razmatranju proučava se netetivni četverovrh, figura dualna netangencijalnom četverostranu. U ovom slučaju se za netetivni četverovrh kaže da je standardan ako mu je opisana specijalna hiperbola s jednadžbom oblika xy = 1. Ovakav pristup izučavanja geometrije netangencijalnog četverostrana i netetivnog četverovrha omogućuje daljnje proučavanje svojstava i ostalih n-terostrana i n-terovrha, n > 4, u izotropnoj ravnini.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA