Naslov
Prilozi teoriji Friedrichsovih i hiperboličkih sustava
(Contributions to the theory of Friedrich's and hyperbolic systems)

Autori
Burazin, Krešimir

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
30.09

Godina
2008

Stranica
Iv, 101

Mentor
Antonić, Nenad

Ključne riječi
Fredrichsovi sustavi ; Kreinovi prostori ; rubni uvjeti ; hiperbolički sustavi ; ocjene na rješenje ; vrijeme egzistencije
(Friedrichs systems ; boundary conditions ; Krein space ; hyperbolic systems ; estimates on solution ; time of existance)

Sažetak
U radu se bavimo različitim pitanjima vezanim uz Friedrichsove sustave (prva dva poglavlja) i polulinearne hiperboličke sustave prvog reda (treće poglavlje). U prvom poglavlju su dana osnovna svojstva prostora grafa linearnih diferencijalnih operatora prvog reda, te je posebna pažnja posvećena definiciji i svojstvima operatora traga, koji ima veliku važnost u zadavanju rubnih uvjeta. U ovome dijelu slijedimo [J], s tim da su mnogi dokazi pojednostavljeni i skraćeni. U drugome poglavlju proučavamo Friedrichsove sustave, klasu rubnih zadaća koja omogućava pručavanje velikog broja diferencijalnih jednadžbi na jedinstven način. Uveo ih je K. O. Friedrichs 1958. godine, s namjerom proučavanja jednadžbi mješovitog tipa (poput Tricomijeve jednadžbe). U radu [EGC] je dan nešto drugačiji pogled na teoriju Friedrichsovih sustava. Osim što je iskazana u apstraktnim terminima Hilbertovih prostora i operatora na njima, takoder je predstavljen drugačiji način postavljanja rubnog uvjeta. Dopustivi rubni uvjeti se zadaju pomoću dva jednostavna geometrijska uvjeta, te se time izbjegavaju pitanja vezana uz tragove funkcija iz prostora grafa. Autori pokazuju da ti uvjeti povlače maksimalnost rubnog uvjeta, a istražuju i zadavanje rubnog uvjeta pomoću rubnog operatora, pokazujući da je taj zapis ekvivalentan geometrijskim uvjetima ukoliko postoje dva specifična operatora P i Q. Uočili smo da se ti geometrijski uvjeti mogu prirodno zapisati u terminima indefinitnog skalarnog produkta na prostoru grafa, te upotrebom klasičnih rezultata za Kreinove prostore konstruirali kontraprimjer kojim je pokazano da gore spomenuti operatori P i Q ne moraju uvijek postojati. Takoder su diskutirani slučajevi kada operatori P i Q postoje – slučaj jedne prostorne dimenzije. Upotrebom Kreinovih prostora je pokazano da maksimalnost rubnog uvjeta povlači geometrijske uvjete, te je dokaz obrnute tvrdnje bitno pojednostavljen. Takoder je razmatrana veza klasične reprezentacije dopustivih rubnih uvjeta (zadanih pomoću matričnog polja na rubu), te one preko rubnog operatora: dani su nužni uvjeti na matrično polje koji omogučuju definiciju rubnog operatora s zadovoljavajučim svojstvima, te su testirani na primjerima. U trećem poglavlju se bavimo polulinearnim nesparenim hiperboličkim sustavima prvog reda. Rezultat lokalne egzistencije i jedinstvenosti dan je u [Ta1], zajedno s specifičnim ocjenama na rješenje. Ovdje je taj rezultat dokazan uz nešto izmjenjene pretpostavke, koje ne mijenjaju bitno dokaz, ali omogućuju nešto bolje ocjene na rješenje. Ocjene na rješenje i njegovo vrijeme egzistencije su glavno razmatrano pitanje ovog poglavlja. Pokazano je kako postići najbolju ocjenu na rješenje i vrijeme egzistencije rješenja (najbolju izmedu svih mogućih ocjena odredenog tipa – onog danog teoremom egzistencije i jedinstvenosti). Kratko je diskutirana i Lp verzija (za p ∈ <1, ∞ >) teorema egzistencije i jedinstvenosti.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA