Naslov
Primjena homogenizacije u problemima optimalnog dizajna
(Application of homogenisation in problems of optimal design)

Autori
Vrdoljak, Marko

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
14.07

Godina
1999

Stranica
Iv+81

Mentor
Antonić, Nenad

Ključne riječi
homogenizacija; optimalni dizajn
(homogenisation; optimal design)

Sažetak
U Radu proucavamo zadace optimalnog dizajna u kojima je veza izmedju funkcije stanja i funkcije upravljanja opisana rubnom ili pocetno rubnom zadacom za parcijalnu diferencijalnu jednadzbu. Rad se satoji od cetiri dijela. Cilj prvog dijela je uvesti osnovne pojmove i rezultate koje cemo u ovom Radu koristiti. Obradjuje se pitanje slabe konvergencije na Banachovom prostoru, odnosno slabe * na njegovu dualu. Najvazniji rezultati vezani su uz metrizabilnost tih topologija, te dovoljne uvjete za kompaktnost njihovih potprostora. Njihova vaznost pokazala se vec u istom poglavlju u teoriji ekstremnih tocaka. Algebarski rezultat o vezi ekstremnih tocaka s afinim preslikavanjima primijenjen je u problemima analize: postojanje bang-bang upravljanja za linearne sustave i Ljapunovljev teorem konveksnosti za realne mjere. Nadalje, u prvom smo poglavlju poblize ispitali L-beskonacno slabu * konvergenciju. Preciznije, dokazan je rezultat o karakterizaciji L-beskonacno slabog * zatvaraca skupa funkcija koje poprimaju vrijednosti u ogranicenom skupu. Drugo poglavlje bavi se pitanjem homogenizacije jednadzbe stacionarne difuzije. Gleda se opceniti slucaj, bez pretpostavke periodicnosti. Taj je dio kljucan u ispitivanju neprekinute ovisnosti funkcije stanja o funkciji upravljanja u zadacama optimalnog dizajna koje razmatramo u posljednja dva poglavlja. Definira se pojam H-konvergencije, koji su uveli Murat i Tartar pocetkom sedamdesetih godina. Takodjer se izucavaju svojstva te konvergencije: kompaktnost, monotonost, lokalnost i neka druga. Kao kljucan argument u dokazima vecine tih svojstava javlja se Div-rot lema. Posebno smo razmatrali H-konvergenciju uz pretpostavku slojevitosti, jer se u tom slucaju ona moze karakterizirati pomocu L-beskonacno slabe * konvergencije. U trecem dijelu promatra se zadaca optimalnog dizajna za jednadzbu stacionarne difuzije. Funkcija upravljanja odgovara mjesavini zadanih materijala. Samim tim je pitanje neprekinute ovisnosti funkcije stanja o funkciji upravljanja netrivijalno. Taj se problem rjesava H-topologijom opisanom u drugom dijelu Rada. Cilj je minimizirati funkcional troska koji je ovisan o funkcijama stanja i upravljanja. Kako zadaca opcenito nema rjesenje, promatra se njena relaksacija koja odgovara generaliziranim materijalima, matematicki odredjenim H-konvergencijom. Nadalje, izvode se nuzni uvjeti optimalnosti. Njihova je vaznost u tome sto pomocu njih mozemo dobiti dodatne informacije o rjesenju relaksirane zadace. Takodjer se promatra primjer funkcionala ovisnog o gradijentu funkcije stanja i za njega provodi relaksacija. U posljednjem dijelu se bavimo zadacom optimalnog dizajna za valnu jednadzbu. Jedna od fizikalnih interpretacija je zadaca titranja, kod koje je funkcija stanja vertikalni otklon membrane. Prvo opsirnije iznosimo i dokazujemo rezultate postojanja i jedinstvenosti rjesenja valne jednadzbe. Kljucan je rezultat homogenizacije takve jednadzbe, jer je, kao i u trecem poglavlju, pomocu njega izvedena relaksacija polazne zadace. Obradjeno je nekoliko tipova funkcionala troska, ovisnih ne samo o vrijednostima funkcija stanja i upravljanja, vec i o diferencijalu (po vremenskoj i prostornim varijablama) funkcije stanja. Relaksacija zadace je precizno zapisana u slucaju slojevitih materijala.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA