Naslov
Teorija gruboga oblika
(The coarse shape theory)

Autori
Koceić Bilan, Nikola

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet, Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
23.10

Godina
2006

Stranica
156

Mentor
Uglešić, Nikica ; Ungar, Šime

Ključne riječi
oblik
(shape)

Sažetak
U ovoj disertaciji je fundirana teorija gruboga oblika za topološke prostore, koja poopćuje Mardešić-Uglešićevu teoriju S*-ekvivalencije za metričke kompakte. U radu je konstruirana kategorija gruboga oblika Sh* s objektima topološkim prostorima. Izomorfizmi te kategorije induciraju klasifikaciju topoloških prostora strogo grublju od one po obliku, ali na potklasi prostora homotopskog tipa poliedra klasifikacije po grubomu obliku, obliku i homotopskomu tipu se podudaraju. Ključne primjere kojima pokazujemo da se oblik i grubi oblik općenito razlikuju daje Keesling-Mardešićeva fibracije oblika, sva vlakna koje su istoga gruboga oblika, dočim među njima ima neprebrojivo mnogo vlakana koji su međusobno različitoga oblika. Kategorija Sh* sužena na objekte koji su kompaktni metrički prostori je izomorfna kategoriji S*, koja kategorijski reprezentira S*-ekvivalenciju. Stoga, grubi oblik proširuje S*-ekvivalenciju, definiranu samo na kompaktnim metričkim prostorima, na sve topološke prostore. Nadalje, možemo reći da grubi oblik poopćuje oblik. Naime, konstruiran je vjerni funktor što čuva objekte čvrstima, a koji povezuje katgoriju oblika Sh i gruboga oblika Sh*, pa prirodno Sh* smatramo natkategorijom kategorije Sh. Sve navedeno je vrlo poticajno za daljnje istraživanje i razvitak pripadne teorije koju nazivamo teorijom gruboga oblika. U tom sklopu, u ovomu radu su definirane neke zanimljive algebarske invarijante gruboga oblika - homotopske i homološke pro-grupe koje svakomu prostoru pridružuju funktori pro*-π _k ; i pro*-H_k, inducirani standardnim homotopskim i homološkim funktorima π _k ; i H_k ; . Dokazano je da u Sh* ; vrijede analogoni Hurewiczeva i Whiteheadova teorema, poput sličnih analogona u Sh . Za bilo koji par kategorija (C, D), pri čemu je D gusta i puna u C, konstruirana je kategorija apstraktnoga grubog oblika Sh*(C, D) ; . Ta kategorija, definirana nad objektima iz C, se izvodi iz kategorije pro*-D definirane nad inverznim sustavima u D. Naime, za svaka dva C-objekta X i Y, za skup morfizama gruboga oblika među njima vrijedi bijektivna korespondencija Sh*_(C, D)(X, Y)≈ pro*-D(X_, Y_), pri čemu su p:X→ X_ i q:Y→ Y_ D-ekspanzije objekata X i Y iz C, redom. "Realizirajuća" pro*-kategorija kategorije Sh*(C, D) se dobije poopćenjem kategorije S* definirane nad inverznim nizovima kompakata. Kategorija pro*-C se može definirati nad svim inverznim sustavima u bilo kojoj kategoriji C. Standardna, pro-C kategorija jest potakategorija od pro*-C. Suženje kategorije pro*-C na inverzne nizove jest njezina puna potkategorija tow*-C, koja je u posebnomu slučaju C=HcM izomorfna kategoriji S*. Dakle, kategorija pro*-C s jedne strane poopćuje vrlo specijalan nizovni slučaj kategorije S*, a s druge strane, bitno obogaćuje klasu morfizama u standardnoj (pro)kategoriji pro-C. Budući da je upravo kategorija pro*-C ključna u razradi teorije gruboga oblika, u radu je posebna pozornost posvećena njezinu razmatranju. U tom sklopu je istražena operativna karakteriziracija izomorfizama u pro*-C, a dobivena formulacija je puni analogon, to jest poopćenje Moritine leme . Posebno se proučava grupovna pro*-kategorija (pro*-Grp). Monomorfizmi i epimorfizmi u pro*-Grp su uspješno operativno okarakterizirani. Dokazana je i balansiranost kategorije pro*-Grp, te obstojnost jezgre za određenu, vrlo usku, klasu morfizama u pro*-Grp. Za nizove takvih morfizama karakterizirana je i egzaktnost. Treba pretpostaviti da će se teorija gruboga oblika dalje razvijati, tim više što je klasifikacija po grubomu obliku definirana za sve topološke prostore i u potpunosti je kategorijski okarakterizirana. Daljnji razvitak ove teorije bi trebao donijeti neke nove invarijante gruboga oblika i polučiti zanimljive rezultate o globalnim svojstvima prostora koji se lokalno ne ponašaju lijepo. Isto tako, otvoren problem kategorijske reprezentacije S-ekvivalencije kompakata, njezinoga eventualnog poopćenja na sve topološke prostore, kao i pronalazak odgovarajućega primjera koji bi dokazao suštinsku razliku klasifikacije kompakata po S-ekvivalenciji i po grubomu obliku, ostavljaju prostor daljnjim istraživanjima.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA