Naslov
Martingali u teoriji rizika
(Martingales in Risk Theory)

Autori
Geček, Ivana

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, diplomski rad

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
24.02

Godina
2006

Stranica
71

Mentor
Šikić, Hrvoje

Ključne riječi
opcionalno uzorkovanje; Doob– Meyerova dekompozicija; Doobova nejednakost; martingali omjera vjerodostojnosti; promjena vj. mjere; vjerojatnost propasti; Cramer– Lundbergov model; složeni Poissonov model rizika; Lundbergova nejednakost; Cramer– Lundberg aproksimacija
(optional sampling; Doob-Meyer decomposition; Doob inequality; likelihood ratio martingales; change of measure; ruin probability; Cramer-Lundberg model; compound Poisson risk model; Lundberg inequality; Cramer-Lundberg approximation)

Sažetak
U ovom radu obrađuje se posebna klasa stohastičkih procesa – martingali i promatra njihova primjena u teoriji rizika. Specijalno, koriste se martingalske tehnike u procjeni i proučavanju asimptotskog ponašanja vjerojatnosti propasti. Prvi dio rada obuhvaća martingale s diskretnim vremenom. Definiraju se osnovni pojmovi, dokazuju osnovni rezultati za diskretan slučaj: Doob-Meyerova dekompozicija diskretnih submartingala, Doobov teorem opcionalnog uzorkovanja, Waldovi identiteti, Doobova i ostale nejednakosti za submartingale, teoremi konvergencije za submartingale, teoremi koji opisuju skupove na kojima submartingali i martingali konvergiraju te navode brojni primjeri pojave i primjene martingala i ovih rezultata, posebno u teoriji rizika (kockareva propast, St. Petersburg igra, model životnog osiguranja, primjena na slučajnu šetnju, primjena u osiguranju). Drugi dio rada predstavlja detaljan pregled primjene martingala u pitanju vjerojatnosti propasti u osiguranju. Prvo se u diskretnom slučaju uvode pojmovi martingala omjera vjerodostojnosti i eksponencijalnih martingala te se razrađuje koncept promjene vjerojatnosne mjere, što dovodi do osnovnih rezultata za vjerojatnost propasti u diskretnom vremenu. Potom se polako uvodi neprekidan slučaj, predstavlja Cramer-Lundbergov model i izvodi Lundbergova nejednakost za vjerojatnost propasti pomoću martingala. U posljednjem se dijelu rada navode osnovne definicje vezane uz martingale s neprekidnim vremenom te se poopćavaju svi rezultati izvedeni u prvom dijelu na neprekidan slučaj. Pomoću njih se uvodi promjena vjerojatnosne mjere u neprekidnom slučaju te se izvode završni ključni rezultati o vjerojatnosti propasti za Cramer-Lundbergov model, ovaj puta u neprekidnom vremenu.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA