Naslov
Eulerov integralni identitet kao univerzalna metoda za izvođenje klasičnih kvadraturnih formula
(Unified treatment of classical quadrature formulae via extended Euler identities)

Autori
Franjić, Iva

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet

Mjesto
Zagreb

Datum
24.03

Godina
2006

Stranica
122

Mentor
Pečarić, Josip

Ključne riječi
prošireni Eulerovi integralni identiteti; kvadraturne formule; korigirane kvadraturne formule; Gaussove. Lobattove i Newton-Cotesove kvadraturne formule
(extended Euler identities; quadrature formulae; corrected quadrature formulae; the Gauss; Lobatto and Newton-Cotes quadrature formulae)

Sažetak
Cilj ove disertacije razvijanje je univerzalne metode za izvođenje generalizacija klasičnih kvadraturnih formula koje pritom čuvaju najbolju ocjenu pogreške metode. Osnovni aparat koji se koristi jesu prošireni Eulerovi integralni identiteti. Rad je podijeljen u pet poglavlja. U prvom su dani osnovni pojmovi i rezultati korišteni u disertaciji. Drugo poglavlje posvećeno je općim formulama Euler-Ostrowskog. To su formule koje integral procjenjuju funkcijskim vrijednostima u m ekvidistantnih čvorova pa su u tom smislu one zapravo generalizacija samih proširenih Eulerovih identiteta. Ostatak im je izražen preko periodičnih Bernoullijevih funkcija Bn*(x-mt). Specijalno, iz procjena greške za ove formule, dobiva se nejednakost Ostrowskog i neke njene generalizacije. Preostala tri poglavlja bave se familijama općih kvadraturnih formula u, redom, tri, četiri i pet točaka. Ideja je, izmedu ostalog, svakoj klasičnoj kvadraturnoj formuli pridružiti odgovarajuću "korigiranu" kvadraturnu formulu. Korigirane kvadraturne formule imaju red egzaktnosti viši nego "obične" kvadraturne formule, a u samu kvadraturu su osim vrijednosti funkcije u istim čvorovima (i drugačijim težinskim koeficijentima), uključene i vrijednosti prve derivacije u rubovima intervala integracije. Kod funkcija za koje je te vrijednosti lako izračunati, to nije nedostatak. Štoviše, ako su vrijednosti prve derivacije u rubovima jednake, one se poništavaju pa tako dobivamo formule s još višim redom egzaktnosti. Pritom su ključne leme kojima se pokazuje konstantnost predznaka funkcija pomoću kojih su izraženi ostatci u tim formulama a koje omogućuju da se sačuva nabolja ocjena pogreške. Kao specijalni slučajevi dobivaju se formule: Simpsonova, dualna Simpsonova, Maclaurinova, Simpsonova 3/8, Gaussova u dvije i tri točke, Lobattova u tri, četiri i pet točaka, te Booleova formula te, za svaku od tih formula, pripadajuća korigirana. Posebno su izvedene i Gaussova formula u četiri točke, te korigirana Lobattova u pet točaka budući obje imaju red egzaktnosti viši nego ovdje promatrane familije kvadraturnih formula. Spomenimo još i nešto drugačiji pristup formulama Booleovog tipa u zadnjem potpoglavlju posljednjeg poglavlja. Izvedene su kvadrature koje sadrže vrijednosti derivacija u rubovima intervala do uključujući (2n-5)-te, no zato postižu maksimalni red egzaktnosti u danim uvjetima. Nadalje, na temelju dosad poznatih međusobno dualnih kvadraturnih formula, dobiven je identitet koji je uzet kao definicija dualne formule, te su na taj način izvedene opće dualne Booleove formule.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA