Naslov
Lévyjevi procesi u modeliranju kamatnih stopa na tržištu obveznica
(Lévy processes in term structure modelling)

Autori
Grbac, Zorana

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
PMF - Matematički odjel

Mjesto
Zagreb

Datum
24.03

Godina
2004

Stranica
137

Mentor
Šikić, Hrvoje

Ključne riječi
Lévyjev proces; vremenska struktura kamatnih stopa; obveznica; Heath-Jarrow-Morton model
(Lévy process; term structure of interest rates; bond; Heath-Jarrow-Morton model)

Sažetak
U ovom radu dan je pregled rezultata vezanih uz generalizaciju gaussovskog Heath-Jarrow-Morton modela za cijenu beskuponske obveznice, odnosno pripadne buduće stope, koja se dobije zamjenom Brownovog gibanja općim Lévyjevim procesom. Na taj način dobije se cijela klasa novih modela uzimanjem različitih Lévyjevih procesa. Budući da je proces cijena beskuponske obveznice stohastički eksponencijal najprije definiramo taj pojam, i to općenito za semimartingale, a onda posebno proučavamo svojstva u slučaju Lévyjevog procesa. Stohastički eksponencijal se podudara s običnim eksponencijalom procesa ako i samo ako se radi o Brownovom gibanju (do na drift). Posljedica te činjenice je da nije svejedno hoćemo li zamijeniti Brownovo gibanje Lévyjevim procesom u stohastičkoj diferencijalnoj jednadžbi koja opisuje dinamiku cijene beskuponske obveznice ili pak u samom rješenju. Pokazuje se da je bolje to učiniti u rješenju jer se na taj način model može definirati za širu klasu Lévyjevih procesa. Nakon definicije i analize samog modela za cijenu beskuponske obveznice, izveden je oblik procesa koji predstavljaju buduću i kratkoročnu kamatnu stopu u modelu. Pokazano je uz koje je uvjete na funkciju volatilnosti cijene obveznice u modelu proces kratkoročne stope Markovljev. Specijalno, uz dodatnu pretpostavku da je volatilnost stacionarna, pokazano je da vrijedi da je proces kratkoročne stope Markovljev ako i samo ako je volatilnost ili Vasičekova ili Ho-Lee tipa. Nadalje, korištenjem rezultata vezanih uz ekvivalentne martingalne mjere u općenitijem Björk-Di Masi-Kabanov-Runggaldier modelu, dokazuje se da je u lévyjevskom Heath-Jarrow-Morton modelu martingalna mjera jedinstvena. Zbog toga su cijene slučajnih zahtjeva u modelu jedinstveno određene. Kao primjer, izveden je izraz za cijenu europske call opcije na beskuponsku obveznicu. Konačno, dani su primjeri nekih Lévyjevih procesa u odnosu na koje je model dobro definiran i za koje je statističkim testovima utvrđeno da daju realističniji model od gaussovskog. Svi detalji i tehnike vezani uz Lévyjeve procese i stohastički diferencijalni račun za njih razrađeni su u poglavljima koja prethode opisu modela.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA