÷ƒ’Ą;č TeX output 1999.01.11:1157‹’’’’ŸņŽ »š żNķŸż”’g”ókĀÖN  cmbx12ėkNenad›€An• toni“‘ł c˜&˜Mark“o˜V‘žąrdoljakŽŸ'ƍ‘V7 ó{ĀÖN ff cmbx12ė{Optimal–ffdesign“and“hŒĢyp•s3erb“olic‘ffproblemsŽŸŸCĮ܍’Ģ«]ėkAbstractŽŸ W‘<óCKń`y cmr10ėCQuite–¾&often“practical“problems“of“optimal“design“ha•øćv“e–¾&no“solution.‘¬;This“situationޤ ‘(can–ĘābGe“alleviated“bšøćy“relaxation,‘ć`where“one“needs“generalised“materials“whic˜h“can“mathe-Ž”‘(matically–/čbGe“de ned“bøćy“using“the“theory“of“homogenisation.‘eNFirst“mathematical“resultsŽ”‘(in–Ēzthis“direction“for“general“(nonp•Gerio“dic)–Ēzmaterials“wšøćere“obtained“b˜y“Murat“and“T‘’*Ŗartar.Ž”‘<W‘’*Ŗe–“Opresenšøćt“some“results“in“optimal“design“where“the“equation“of“state“is“h˜yp•Gerb“olic.Ž”‘(The–Aoconšøćtrol“function“is“related“to“the“respGonse“of“vibrating“material“under“the“giv˜enŽ”‘(external–ˆ‹force.‘ jAs“the“problem“under“consideration“has“no“solution,‘ÕYwøće“consider“itsŽ”‘(relaxation–UUto“H-closure“of“the“original“set“of“conøćtrols.ŽŸHØBó[ņ"V ó3 cmbx10ė[Key‘2w¦tords:‘ v™óSKń`y ó3 cmr10ėSoptimal–¦fdesign,“homogenisation,“relaxation,“óT  b> ó3 cmmi10ėTH‘ćĮėS-con•²!v“ergence,–¦fstrati ed“materialsŽŸxQ’ŽDepartmen²!t–¦fof“MathematicsŽŽŽ¤ 33’ŽUniv•²!ersit“y–¦fof“ZagrebŽŽŽ”’ŽBijeni²"‘śŌDck‘’dDa–¦fcesta“30ŽŽŽ”’ŽZagreb,‘¦fCroatiaŽŽŽŸ –’Žó\ßź=‘ėSW‘’ee–¦fconsider“the“w•²!a“v“e‘¦fequationޤCƍ’“R ėTuŸūz•ó%¾KČ cmsy8Š00Ž‘‹^óU!",š ó3 cmsy10ėU‘nģó]m#½R ó3 cmss10ė]divŽ‘»¢ėS(ė[AėUrėTuėS)– §=“ėTfŽ”ėSon‘Łó Ÿ±ģó$×2cmmi8ĻTŽ‘ ©ėS=›`’ėUhėS0ėT;‘Ó1T‘…VėUi–‘J“ėS ,‘ęÖ ˜ėU˜ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘‹ģėSopšMŽen–Łóand“b˜ounded,‘ęÖas“the“state“equation“for“a“problem“of“optimalޤ 33shapšMŽe–3design.‘9EThe“forcing“term“ėTf‘-¼ėS,‘7'as“w²!ell“as“the“initial“and“b˜oundary“v‘’dDalues,‘7'is“assumed“to“b˜eŽ”givš²!en–_żin“adv‘’dDance,–nwhic˜h,“together–_żwith“the“con˜trol“(ėT;‘Ó1ė[AėS),‘nuniquely“determines“the“state“functionŽ”ėTuėS.ޤ 8ø‘The–¦fcost“functional“wš²!e“tak˜e“of“the“formŽŸų(1)Ž‘x >ėTI‘ŪųėS(ėT;›Ó1ė[AėS)– §=“ŸńóVś±u ó3 cmex10ėVZŽ‘ żŸ ķēó#|{Ycmr8Ī ŸX.ó ;Īcmmi6·TŽŽ‘rØėTF‘…VėS(ėTt;˜ė[xėT;˜ėS(ė[xėS)ėT;˜ė[AėS(ė[xėS)ėT;˜uėS(ėTt;˜ė[xėS))˜ėTdė[x˜ėTdt;ŽŽŸńOėSwhic²!h–¦fis“the“form“usually“connected“with“the“name“of“Lagrange.Ž”‘No²!w–¦fthe“problem“can“bMŽe“stated“as:ޤNĶ‘)ęjóZp®0J ó3 cmsl10ėZMinimise–¦fėTI‘ŪųėS(ėT;‘Ó1ė[AėS)“ėZo•²!v“er–¦fthe“set“ėUA“ėZof“admissible“con²!trols.Ž”‘ėSLet–¦fus“see“more“closely“hoš²!w“the“con˜trol“in uences“the“cost“functional.Ž© 8ø‘Assume–J®that“wš²!e“w˜an˜t“to“ ll“the“set“ “with“ėTm“ėSgiv˜en“materials.‘æJEac˜h“material“is“c˜haracterisedޤ 33b•²!y›ƒmt“w“o˜constan“t˜quan“tities˜ėTŸ¤zĻiŽ–čGėSand˜ė[AŸ¤zĻiŽ“ėS(ėTi– §ėS=“1ėT;–Ó1:“:“:Ž‘lÅ;‘Ó1mėS)˜(mec²!hanical˜propMŽerties˜of˜a˜particular˜mate-Ž”rial).‘žōF–’eurthermore,›jfor‘é«simplicit²!y“,˜suppMŽose–é«that“all“the“materials“are“isotropic,˜i.e.“ė[AŸ¤zĻiŽ‘oėS=‘ §ėT Ÿ¤zĻiŽ‘dŚė[IėS,˜whereŽ”ėT Ÿ¤zĻiŽ›z|ėU2‘¢ėS[ėT  `;‘Ó1 ‘“ņėS]–F—and“ėTŸ¤zĻiŽ˜ėU2‘¢ėS[ėTŸ¤zŠŽ–xėT;‘Ó1Ÿ¤zĪ+Ž“ėS]–F—for“some“pMŽositivš²!e“ėTŸ¤zŠŽ‘ cėSand“ėT  `ėS.‘¾pIf“w˜e“denote“b˜y“ėTŸ¤zĻiŽ‘«qėSthe“c˜haracteristicŽ”function–¦fof“the“ėTiėS-th“material,“the“correspMŽonding“conš²!trol“function“is“uniquely“giv˜en“b˜yŽŸ4c½(2)ŽŸķ’’Ę\£ėTŽ’Ļ–ėS=ŸņOž‘0ĻĻmŽŸ °‘ §Ÿõ˜óėVXŽŽŸ "捑†ĻiĪ=1ŽŽ‘®ėėTŸ¤zĻiŽ‘dŚėTŸ¤zĻiŽ‘oėT;ŽŽŽŸ$uP’Ā€¹ė[AŽ’Ļ–ėS=ŸņOž‘0ĻĻmŽŸ °‘ §Ÿõ˜óėVXŽŽŸ "捑†ĻiĪ=1ŽŽ‘®ėėTŸ¤zĻiŽ–dŚėT Ÿ¤zĻiŽ“ė[I‘ §ėT;ŽŽŽŽŽŽŸ4’zėSwhile–¦fthe“set“of“admissible“conš²!trols“ėUA“ėSis“the“set“of“all“pairs“(ėT;‘Ó1ė[AėS)“obtained“in“this“w˜a˜y‘’e.ަ‘Due–Ö*to“the“spšMŽecial“t²!yp˜e“of“admissible“conš²!trols“w˜e“use,‘’Ļthe“abMŽo˜v˜e“cost“functional“can“bMŽe“writtenŽ”in–¦fa“slighš²!tly“di eren˜t“form.‘ŻŻF‘’eor“(ėTt;‘Ó1ė[xėS)– §ėU2“ėS Ÿ±ģĻTŽ‘ G}ėSand›¦fėT“ėU2“ė[R˜ėSw²!e˜de neޤCƍ’Ÿü+ėTgŸ¤zĻiŽ›dŚėS(ėTt;–Ó1ė[xėT;“ėS)– §=“ėTF‘…VėS(ėTt;–Ó1ė[xėT;“Ÿ¤zĻiŽ˜ėT;“ Ÿ¤zĻiŽ˜ė[IėT;“ėS)‘ §ėT;Ž”ėSso–¦fthat“the“cost“functional“readsŽŸJ«‘~ÆėTI‘ŪųėS(ėT;›Ó1ė[AėS)– §=“ŸńėVZŽ‘ żŸ ķēĪ ŸX.·TŽŽŸņOž‘˜ŠĻmŽŸ °‘r؟õ˜óėVXŽŽŸ "捑z‡ĻiĪ=1ŽŽ‘)ģėTŸ¤zĻiŽ–dŚėS(ė[xėS)ėTgŸ¤zĻiŽ“ėS(ėTt;˜ė[xėT;˜uėS(ėTt;˜ė[xėS))˜ėTdė[x˜ėTdt:ŽŸ"ęoėSBoth–Ӂfunctions“ėT“ėSand“ė[A“ėSare“knoš²!wn“if“the“c˜haracteristic“functions“are“giv˜en.‘—‘ėTI‘ÆyėSis,›żÆin“fact,˜a“functionޤ 33of–¦fóWDF‰” ó3 cmmib10ėW“ėSalone,“where“w²!e“write“ėW“ėSfor“the“ėTmėS-tuple“(ėTŸ¤zĪ1Ž‘ĄėT;–Ó1:“:“:Ž‘lÅ;‘Ó1Ÿ¤zĻmŽ‘ÄėS).ަ‘Unfortunately‘’e,‘pbš²!y–šŌwriting“the“problem“with“ėT“ėSas“the“only“argumen˜t“for“ėTI‘ŪųėS,‘pw˜e“w˜ould“not“bMŽeŽ”able–jZto“de ne“a“topšMŽology“on“ėUA“ėSsuc²!h“that“ėTu“ėSdep˜ends“con•²!tin“uously–jZon“ėW“ėS(except“for“the“case“ofŽ”la•²!y“ered–dŅmaterials,›”msee“bMŽelo•²!w),˜whic“h–dŅmeans“that“ėTI‘@ŹėScould“not“bMŽe“con•²!tin“uous.‘!This›dŅcon“tin“uit“y˜isŽ”crucial–¦fin“order“to“discuss“existence“of“solutions“for“the“problem“abMŽo•²!v“e,›¦fwhic“h˜is˜our˜goal.ަ‘It–Ń!is“wš²!ell“kno˜wn“that“the“problems“of“the“abMŽo˜v˜e“t˜ypMŽe“in“general“(without“v˜ery“restrictiv˜eŽ”additional–߀assumptions)“ha•²!v“e–߀no“solution.‘‰,Nevš²!ertheless,‘ķĒas“it“will“bMŽe“sho˜wn“bMŽelo˜w,‘ķĒit“is“pMŽossibleŽ”to–ó6extend“the“functional“ėTI‘Ļ.ėSto“a“larger“set“ėUT‘Č{ėS,‘ and“to“de ne“a“topMŽology“on“ėUT‘»±ėSsuc²!h“that“the“extensionŽ”is›Ą.con•²!tin“uous.‘+6Due˜to˜the˜fact˜that˜ėUT‘ˆ©ėSis˜a˜compact˜topMŽological˜space,‘Ę”the˜relaxation˜amoun“ts˜toŽ”closing–¦fthe“set“ėUA“ėSin“ėUT‘Č{ėS,“whic²!h“is“not“a“trivial“task,“as“the“topMŽology“on“ėUT‘nįėSis“quite“complicated.ŽŽŸóMm#½R cmss10ėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤóKņ"V cmbx10ėK1ŽŒ‹Ÿņ’VżėCOptimal–UUdesign“and“høćyp•Gerb“olic‘UUproblemsŽŽ »š żNķ‘mmcė[2.‘˜¼Homogenisation–2of“the“di usion“equationŽ©[Q‘ėSIn–„this“section“wš²!e“shall“presen˜t“some“facts“in“the“theory“of“homogenisation“of“the“stationaryޤ 33di usion–®éequation.‘‹^They“wš²!ere“systematically“presen˜ted“for“the“ rst“time“in“T‘’eartar's“ėZCourse“P˜eccotŽ”ėSin‘¦f1977.Ž”‘The–¦fhomogeneous“bMŽoundary“v‘’dDalue“problem“for“di usion“equationŽŸ`†(3)Ž’ø¾0ŸšuėVŽŸ÷©š’ĀĒČėUė]divŽ‘L¶ėS(ė[AėUrėTuėS)ŽŽ’’ž=‘ §ėTfŽŽŽŸ33’Źüėu– §ėU2“ėSHŸūz•Ī1ŽŸ:j0ŽŽ‘ĄėS( )ŽŽŽŽŽŽŽŽŸMWhas–½‰a“unique“solution“(b²!y“Lax{Milgram“lemma)“if“ “is“opšMŽen“and“b˜ounded“subset“of“ė[RŸü¾ĻdŽ‘ߨėS,‘QėTf‘ ›ėU2Ž”ėSHŸü¾ŠĪ1Ž‘ \|ėS( )Ž‘'¦and‘¦fė[A– §ėU2“ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1ėULėS(ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘QgėT;“ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘$˜ėS))Ž‘]f satisfyingŽŸ†®(4)ŽŸņLk’Ź}Ōė[AėS(ė[xėS)ėW‘ÚėU‘nģėW‘_Uóa—³īĶ ó3 msam10ėa>‘ §ėT  `ėUjėWT®ėUjŸūz•Ī2ŽŽŽ’ KDėT;ŽŽŽŸö捍’©™Tė[AėS(ė[xėS)ėW‘ÚėU‘nģėW‘_Uėa>Ÿų—ž‘ćĪėS1Ž‘=ڟ榉p łŸ —ėT ŽŽŽŽ‘ 6ėUjė[AėS(ė[xėS)ėWT®ėUjŸūz•Ī2ޑʫėT;ŽŽŽŽŽŽŸ ×čėSfor–äevš²!ery“ėW‘ĘīėU2‘r@ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘Ø6ėSand“almost“ev˜ery“ė[x–r@ėU2“ėS .‘˜WW‘’ee–äshall“denote“the“set“of“all“these“matrix“functionsŽ”bš²!y‘iró`%n² ó3 eufm10ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ ).‘ɌMoreo˜v˜er,›u£if–irė[AėS(ė[xėS)“is“a“symmetric“matrix“for“aėT:ėSeėT:Ž‘ąēė[x– §ėU2“ėS ,˜the–irconditions“(4)“can“bMŽeŽ”written–¦fin“a“simpler“form“asŽ”’¼ĢėėT  `ė[I– §ėa6“ė[AėS(ė[xėS)“ėa6“ėT ‘“ņė[I“ėT:ŽŸÓ¬‘ėSThe–õāmain“problem“studied“in“the“theory“of“homogenisation“is“the“follo•²!wing:‘…›Giv“en–õāa“sequenceŽ”of– ÆcošMŽecien²!ts“(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“in“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )– Æand“the“corresp˜onding“sequence“of“solutions“(ėTuŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“of“(3)“(for“someŽ” xed›BõėTf‘-¼ėS),‘jcon•²!v“erging˜to˜some˜function˜ėTu˜ėSw“eakly˜in˜HŸü¾Ī1Ž‘ĄėS( )Ž‘!¦/,‘jwhat˜can˜w“e˜sa“y˜abMŽout˜the˜equationŽ”this–¦fėTu“ėSsatis es?›ŻŻIs“the“equation“of“the“same“t²!ypMŽe?˜If“y²!es,“what“is“the“correspMŽonding“ė[AėS?ަė[De nition.‘ ¾ėSW‘’ee–Łsaš²!y“that“a“sequence“(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“in“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )–ŁėZH-con˜v˜erges‘t[ėSto“ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ”oėU2‘”gė`MėS(ėT  `Ÿü¾Š0ޑؙėT;–Ó1 ‘“ņŸü¾Š0Ž‘b+ėS;“ )‘ŁifŽ”for–Ūevš²!ery“ėTf‘ėzėU2‘½¾ėSHŸü¾ŠĪ1Ž‘ \|ėS( )Ž‘+ĻKthe“correspMŽonding“sequence“of“solutions“(ėTuŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“of“(3)“satis es“the“follo˜wingŽ”w•²!eak‘¦fcon“v“ergencesŽŸ>NŸ÷’£źųėTuŸ¤zĻnŽŽŽ’²ā„ėUŽŽŽ’¹“ŗŽŽŽ’ĄDĻėT*‘ §uŸ¤zŠ1Ž‘ó=ėSinŽ‘(sHŸūz•Ī1ŽŸ:j0ŽŽ‘ĄėS( )Ž‘HtTėT;ŽŽŽŸ“¤’‹qė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėUrėTuŸ¤zĻnŽŽŽ’²ā„ėUŽŽŽ’¹“ŗŽŽŽ’ĄDĻėT*‘ §ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėTuŸ¤zŠ1Ž‘ó=ėSinŽ‘(sLŸūz•Ī2Ž‘ĄėS( ;‘Ó1ė[RŸūz•ĻdŽŽ‘$˜ėS)Ž‘W:ŠėT:ŽŽŽŽŽŸz„‘ėSThe–/īlast“con•²!v“ergence–/īin“particular“implies“that“ėTuŸ¤zŠ1Ž› /öėSis“a“solution“of“(3)“with“ė[AŸ¤zŠ1Ž˜ėSinstead“ofŽ”ė[AėS.‘ō'It–)can“bMŽe“shoš²!wn“that“this“con˜v˜ergence“comes“from“a“w˜eak“topMŽology“(w˜e“shall“call“it“theŽ”H-topMŽology)–”aon“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ ),‘—üwhic²!h–”ais“metrisable.‘×ŪW‘’ee“shall“just“state“some“main“results“regardingŽ”H-con•²!v“ergence–¦f(for“the“proMŽofs“see“[4],“and“[7]“for“further“impro•²!v“emen“ts).ޤƒoė[Theorem‘21.‘ )±ėZThe–¦fset“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )–¦fėZis“compact“in“H-topMŽology‘’e.’„ŽeŸ¶ī„¶īHųŽ”ė[One–cÅdimensional“case.‘^CėSF‘’eor›Ń3 –QüėU“ė[RėS,‘Ūęthe˜sequence˜(ėTAŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėU2“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )˜(in˜this˜case˜that˜will˜bMŽeޤ 33a–¦fsequence“of“functions“in“LŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[ėT  `;“ ‘“ņėS])Ž‘Ad)“H-con•²!v“erges–¦fto“ėTAŸ¤zŠ1Ž‘ ¦nėSif“and“only“ifŽŸœ¾Ÿų—ž’©Œ1Ž’„YŸ榉p Ž·Ÿ —ėTAŸ¤zĻnŽŽŽŽŽŸłŹń’Į€ĪŠŽŸ5’·v ėUŽŽŽ’¾'5ŽŽŽ’ÄŲJėT*ŽŽŽŽŸų—ž’ŁēÄėS1Ž’Ō YŸ榉p 6oŸ —ėTAŸ¤zŠ1ŽŽŽŽŽ’ńf0ėSinŽ’yfLŸūz•Š1Ž‘ ėS( )Ž’%¾>ėT:ŽŸĘŹėSThis–scan“bšMŽe“generalised“to“the“case“of“la•²!y“ered–smaterials“in“higher“dimensions.‘¦āLet“(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“b˜e“a“giv²!enŽ”sequence– ”in“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )– ”depšMŽending“only“on“ėTxŸ¤zĪ1ޑ˄ėS(w²!e“talk“ab˜out“la•²!y“ers– ”p˜erp˜endicular“to“the“v²!ectorŽ”“÷ėT~ŽeŸ¤zĪ1ŽŽŽ‘ ŁBėS).‘ŻŻThen–¦fwš²!e“ha˜v˜e:‘ŻŻė[AŸ¤zĻnŽŸłŹń‘ ­ÓHŽŸ5‘ØPėUŽŽŽ‘ YeėT*ŽŽŽŽ‘Lšė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ¦nėSif“and“only“if“(ėTi;‘Ó1j‘«ėa>‘ §ėS2)ŽŸD ŸŅžŸų—ž’œˆ¦1Ž’“šŸ榉p cŸ —(ėTAŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽŽŸłŹń’½?}ŠŽŸ5’³4ĻėUŽŽŽ’¹å䎎Ž’Ą–łėT*ŽŽŽŽŸų—ž’ŽhšėS1Ž’ĻČŸ榉p "ŗ½Ÿ —(ėTAŸ¤zŠ1Ž‘ ėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽ’ž©-ėSinŽ’¼cLŸūz•Š1Ž‘ ėS( )ŽŽŽŽ¤ķüŸųˆ’Ąķ(ėTAŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)Ÿ¤zĪ1ĻjŽŽ’“šŸó3‰p cŸ —ėS(ėTAŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽŽŸłŹń’½?}ŠŽŸ5’³4ĻėUŽŽŽ’¹å䎎Ž’Ą–łėT*ŽŽŽŽŸųˆ’ĻõėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž‘ ėS)Ÿ¤zĪ1ĻjŽŽ’ĻČŸó3‰p "ŗ½Ÿ —ėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž‘ ėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽ’ž©-ėSinŽ’¼cLŸūz•Š1Ž‘ ėS( )ŽŽŽŽŸŽoŸų—ž’A…(ėTAŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)Ÿ¤zĻiĪ1ŽŽ’“šŸ榉p cŸ —ėS(ėTAŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽŽŸłŹń’½?}ŠŽŸ5’³4ĻėUŽŽŽ’¹å䎎Ž’Ą–łėT*ŽŽŽŽŸų—ž’ŠuėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž‘ ėS)Ÿ¤zĻiĪ1ŽŽ’ĻČŸ榉p "ŗ½Ÿ —ėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž‘ ėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽ’ž©-ėSinŽ’¼cLŸūz•Š1Ž‘ ėS( )ŽŽŽŽ”‘E¢Ż(ėTAŸ¤zĻnŽ–ØPėS)Ÿ¤zĻijŽ‘ ¹ŠėUŸųˆ‘¢ėS(ėTAŸ¤zĻnŽ“ėS)Ÿ¤zĻiĪ1Ž‘¤ŽėS(ėTAŸ¤zĻnŽ“ėS)Ÿ¤zĪ1ĻjŽŽ‘¢Ÿó3‰p =ęŸ —‘ÖńėS(ėTAŸ¤zĻnŽ“ėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽŽŽŸłŹń’½?}ŠŽŸ5’³4ĻėUŽŽŽ’¹å䎎Ž’Ą–łėT*ŽŽŽŽ’Ī”ÕėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž– ėS)Ÿ¤zĻijŽ‘ ¹ŠėUŸųˆ‘¢ėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž“ėS)Ÿ¤zĻiĪ1Ž‘¤ŽėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž“ėS)Ÿ¤zĪ1ĻjŽŽ‘¢Ÿó3‰p CĄVŸ —‘‚ĶėS(ėTAŸ¤zŠ1Ž“ėS)Ÿ¤zĪ11ŽŽŽŽŽ‘SˆŻėSinŽ‘gœLŸūz•Š1Ž“ėS( )Ž’‰“ėT:ŽŽŽŽŽŸD!‘ėSThese–ĀJformš²!ulas“allo˜w“us“to“compute“the“H-limit“whic˜h“is“in“general“a“dicult“task.‘1ˆ(In“factŽ”there–Éis“one“more“situation“where“wš²!e“kno˜w“ho˜w“to“compute“the“H-limit“explicitly:‘œ£the“p•MŽerio“dicŽ”case.)‘ŻŻThe–¦fnext“theorem“givš²!es“some“pMŽoin˜t˜wise“estimates“of“the“H-limit.ŽŽŸėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤėK2ŽŒ‹uŸņ’VżėCOptimal–UUdesign“and“høćyp•Gerb“olic‘UUproblemsŽŽ »š żNķė[Theorem‘sū2.‘ ņtėZLet–ÆėS(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėZbMŽe“a“sequence“of“symmetric“matrices“in“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )›ÆėZH-con•²!v“erging˜to˜ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėZ.ޤ 33Then–¦fė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ¦nėZis“symmetric“as“w•²!ell.‘ŻŻMoreo“v“er,‘¦fifŽŸŠŽŸ÷Ć4’•”¶ė[AŸ¤zĻnŽŽŽŸłŹń’±×‘ŠŽŸ5’§ĢćėUŽŽŽ’®}ųŽŽŽ’µ/ ėT*ŽŽŽŽ’Ć,éė[AŸ¤zĪ+Ž‘­ėSinŽ‘&"ćLŸūz•Š1Ž‘ ėS( ;‘Ó1ė[RŸūz•ĻdŠĻdŽ‘ŪČėS)Ž‘gÅėT;ŽŽŽŸ“¤’³ōėS(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)Ÿūz•ŠĪ1ŽŽŽŸłŹń’±×‘ŠŽŸ5’§ĢćėUŽŽŽ’®}ųŽŽŽ’µ/ ėT*ŽŽŽŽ’Ć,éėS(ė[AŸ¤zŠŽ‘xėS)Ÿūz•ŠĪ1Ž‘O±ėSinŽ‘*bēLŸūz•Š1Ž‘ ėS( ;‘Ó1ė[RŸūz•ĻdŠĻdŽ‘ŪČėS)Ž‘kŻÉėT;ŽŽŽŽŽŸŠėZthenŽŸ’@ėS(5)Ž’»ćė[AŸ¤zŠŽ‘ 'ėa6– §ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ Æėa6“ė[AŸ¤zĪ+Ž‘­ėS(aėT:ėSeėT:Ž‘wuėSonŽ‘" )ėT:ŽŽŸįy’ɦLŸ¶ī„¶īHųŽŸRāė[Mixtures–yof“t•¦tw“o–yisotropic“materials.‘Ų ėSLet–”ńus“consider“the“case“where“ė[AŸ¤zĻnŽ–²÷ėS=› §ėTaŸ¤zĻnŽ‘ØPė[IėS,‘˜oėTaŸ¤zĻnŽ“ėS=˜ėTŸ¤zĻnŽ‘ØPėT ‘VbėS+Ž”(1–T™ėU“ėTŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)ėT ‘-/ėSfor›™=ėTn– §ėU2“ė[NėS,‘›ßwhile˜(ėTŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)˜is˜a˜w•²!eakly˜ėU˜ėScon“v“ergen“t˜sequence˜of˜functions˜in˜LŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1ėUfėS0ėT;“ėS1ėUgėS)Ž‘C€5.Ž”According–¦fto“the“next“Theorem“(for“proMŽof“see“[5]),“its“limit“is“a“function“ėT‘X…ėU2‘ §ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[0ėT;“ėS1])Ž‘>Į.Ž©Øė[Theorem‘ t3.‘ųĀėZLet–@ĮėTK‘ BėZbšMŽe“a“b˜ounded“subset“of“ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘’(ėZ,‘§Wand“ėS(ėTvŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėZa“sequence“in“ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;‘Ó1ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘$˜ėS)Ž‘=õėZsuc²!hŽ”that,›Õmfor–˜Ņev²!ery“ėTn–žÆėU2“ė[NėZ,˜ėTvŸ¤zĻnŽ›ØPėS(ė[xėS)“ėU2“ėTK‘ȁėS(aėT:ėSeėT:Ž‘ }ė[x“ėU2“ėS )ėZ.‘µ"If–˜ŅėTvŸ¤zŠ1Ž‘ ˜ŚėZis“a“w²!eak“ėU“ėZlimit“of“the“sequence“ėS(ėTvŸ¤zĻnŽ˜ėS)ėZ,Ž”then›pėTvŸ¤zŠ1Ž‘ ėS(ė[xėS)–ZĀėU2“ėScl‘¦fcon²!vŽ‘%÷ėTK‘ȁėS(aėT:ėSeėT:Ž‘ǐė[x“ėU2“ėS )ėZ.‘:ÜCon•²!v“ersely‘’e,‘¢{for˜ev“ery˜function˜ėTv‘æUėU2‘ZĀėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ėT;‘Ó1ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘$˜ėS)Ž‘7ĪŻėZ,‘¢{suc“h˜thatŽ”ėTvd“ėS(ė[xėS)– §ėU2“ėScl‘¦fcon²!vŽ‘$¦ģėTK‘ȁėS(aėT:ėSeėT:Ž‘wuė[x“ėU2“ėS )ėZ,‘JOthere–3Jexists“a“sequence“ėS(ėTvŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėZcon•²!v“erging–3Jto“ėTv‘—ŻėZw²!eakly“ėU“ėZin“ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;‘Ó1ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘$˜ėS)Ž‘6§eėZ,Ž”satisfying›¦fėTvŸ¤zĻnŽ‘ØPėS(ė[xėS)– §ėU2“ėTK‘ȁėS(aėT:ėSeėT:Ž‘wuė[x“ėU2“ėS )ėZ,˜for˜ev²!ery˜ėTn“ėU2“ė[NėZ.’Ś·Ÿ¶ī„¶īHųަ‘ėSW‘’ee–¦fde ne“t•²!w“o–¦ffunctions“(for“ėT#– §ėU2“ėS[0ėT;‘Ó1ėS1]):ŽŸ$y’Ÿń!Ś’Æ"üėTaŸ¤zĪ+Ž‘xėS(ėT#ėS)ŽŽ’Ī =‘ §ėT# ‘yLėS+–nģ(1“ėU“ėT#ėS)ėT ‘“ņ;ŽŽŽŸƒ Ÿų—ž’¹%0ėS1Ž’­ļɟ榉p ähŸ —ėTaŸ¤zŠŽ‘xėS(ėT#ėS)ŽŽŽŽŽ’Ī =Ÿų—ž‘†ÆėT#Ž‘=ڟ榉p  –Ÿ — ŽŽŽŽ‘ėėS+Ÿų—ž‘¢1–nģėU“ėT#Ž‘¢Ÿ榉p U¤Ÿ —‘ H ŽŽŽŽ‘!5:ŽŽŽŽŽŸ#ŽDėSNo•²!w›¦fw“e˜ha“v“e˜the˜con“v“ergenceޤ’@(6)Ž’ >ėTaŸ¤zĻnŽŸłŹń‘½„ŠŽŸ5‘²÷ėUŽŽŽ‘d ŽŽŽ‘!ėT*ŽŽŽŽ‘$żaŸ¤zĪ+Ž‘ ‹dėU‘nģėT‘ AėSinŽ‘TILŸūz•Š1Ž‘ ėS( )Ž‘B£ČėT;ŽŽ”ėSas–¦fw²!ell“as“(this“can“bMŽe“deduced“from“the“main“theorem“for“Y‘’eoung“measures,“see“[5])ŽŸ’¼Ÿų—ž’£Ļ™1Ž’ Ó_Ÿ榉p rŸ —ėTaŸ¤zĻnŽŽŽŽŽŸłŹń’ŗõŠŽŸ5’°ƒGėUŽŽŽ’·4\ŽŽŽ’½åqėT*ŽŽŽŽŸų—ž’Ų±oėS1Ž’Ķ€Ÿ榉p ÆxŸ —ėTaŸ¤zŠŽ‘ ‹dėU‘nģėTŽŽŽŽ’õģ`ėSinŽ’ ’–LŸūz•Š1Ž‘ ėS( )Ž’*DnėT:ŽŸöd‘ėSIf–¦fwš²!e“assume“the“con˜v˜ergence“ė[AŸ¤zĻnŽŸłŹń‘ ­ÓHŽŸ5‘ØPėUŽŽŽ‘ YeėT*ŽŽŽŽ‘Lšė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėS,“b˜y“Theorem“2“w˜e“ha˜v˜e“thatŽ”’†ŅF(ėTaŸ¤zŠŽ› ‹dėU‘nģėTMŽėS)‘Ó1ė[I– §ėa6“ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ Æėa6“ėS(ėTaŸ¤zĪ+Ž˜ėU‘nģėTMŽėS)‘Ó1ė[I‘ ó5ėSaėT:ėSeėT:Ž‘jŖėSonŽ‘-A ėT;Ž”ėSor,›ķ4in–¾čother“w²!ords,˜that“evš²!ery“eigen˜v‘’dDalue“of“ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėS(ė[xėS)“lies“bMŽet˜w˜een“ėTaŸ¤zŠŽ›xėS(ėTMŽėS(ė[xėS))“and“ėTaŸ¤zĪ+Ž˜ėS(ėTMŽėS(ė[xėS))“for“aėT:ėSeėT:Ž‘6]ė[x‘ §ėU2ޤ 33ėS .›».The–>Wnext“Theorem“(see“[3])“giv²!es“more“precise“estimates“in“this“spMŽecial“case.˜According“to“theŽ”second–¦fpart“of“the“Theorem,“these“bšMŽounds“are“the“b˜est“p˜ossible.ަė[Theorem‘ 4.‘ v(ėZLet–jŽėS(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėZbšMŽe“a“sequence“as“ab˜o•²!v“e,‘›—H-con“v“erging–jŽto“ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ j–ėZwith“corresp˜onding“se-Ž”quence–6żėS(ėTaŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėZsatisfying“(6).‘ If“wš²!e“denote“the“eigen˜v‘’dDalues“of“ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėS(ė[xėS)“ėZb˜y“ėTŸ¤zĪ1Ž‘ĄėS(ė[xėS)ėT;–Ó1:“:“:Ž‘lÅ;‘Ó1ŸČ®ĻdŽ‘ߨėS(ė[xėS)“ėZthen“w˜eŽ”ha•²!v“eŽŸ;;ŌėS(7)ŽŸĻE®‘x`āėV8ŽŸ Śē‘x`ā>ޤH÷‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā<ŽŸµĻ‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā>Ž”‘x`ā:ŽŽŸ×£9’š·ŃėTaŸ¤zŠŽ‘ ‹dėU‘nģėTŽŽ’ŗqšėa6– §ėTŸ¤zĻjŽ‘p±ėa6“ėTaŸ¤zĪ+Ž‘ ‹dėU‘nģėT‘X…;‘ Ęfj‘«ėS=“1ėT;–Ó1:“:“:Ž‘lÅ;‘Ó1d;ŽŽŽŸ֍ŸņOž’‰Ø†ĻdŽŸ °’ƒļПõ˜óėVXŽŽŸ "捒„wĻjvĪ=1ŽŽŸų—ž’£ĄāėS1Ž’–ĒGŸ榉p lϟ —ėTŸ¤zĻjŽ‘ŌöėU‘nģėT ŽŽŽŽŽŽ’ŗqšėa6Ÿų—ž‘QĘėS1Ž‘=ڟ榉p 9”rŸ —(ėTaŸ¤zŠŽ‘ ‹dėU–nģėTMŽėS)“ėU“ėT ŽŽŽŽ–AkėS+Ÿų—ž‘+yėTd–nģėU“ėS1Ž‘¢Ÿ榉p 9”rŸ —(ėTaŸ¤zĪ+Ž‘ ‹dėU–nģėTMŽėS)“ėU“ėT ŽŽŽŽ“;ŽŽŽŸ(ūŸņOž’‰īšĻdŽŸ °’„5äŸõ˜óėVXŽŽŸ "捒„½+ĻjvĪ=1ŽŽŸų—ž’£ćģėS1Ž’— [Ÿ榉p &»Ÿ —ėT ‘ŽėU‘nģėTŸ¤zĻjŽŽŽŽŽŽŽ’ŗqšėa6Ÿų—ž‘.¼ėS1Ž‘=ڟ榉p 9[^Ÿ —ėT ‘ŽėU–nģėS(ėTaŸ¤zŠŽ‘ ‹dėU“ėTMŽėS)ŽŽŽŽ–A;W+Ÿų—ž‘oėTd–nģėU“ėS1Ž‘¢Ÿ榉p 9[^Ÿ —ėT ‘ŽėU–nģėS(ėTaŸ¤zĪ+Ž‘ ‹dėU“ėTMŽėS)ŽŽŽŽ“ėT:ŽŽŽŽŽŽŽŸ=ų¢ėZCon•²!v“ersely‘’e,‘›«if–˜üė[AŸ¤zŠŽ‘YėZis“anš²!y“matrix“whose“eigen˜v‘’dDalues“satisfy“(7)“for“some“function“ėT‘X…ėU2‘ §ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[0ėT;“ėS1])Ž‘>ĮėZ,Ž”then–‰ąthere“exists“a“sequence“of“functions“ėS(ėTaŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“ėZwhicš²!h“tak˜e“only“the“v‘’dDalues“ėT ‘”@ėZand“ėT ‘“ņėZ,‘”satisfying“(6),Ž”as–¦fwš²!ell“as“the“con˜v˜ergence“ėTaŸ¤zĻnŽ‘ØPė[IŸłŹń‘ƒĻHŽŸ5ėUŽŽŽ‘±ėT*ŽŽŽŽ‘¤Jė[AŸ¤zŠŽ‘ĄėZ.’öįŸ¶ī„¶īHųŽŽŸėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤėK3ŽŒ‹1{Ÿņ’VżėCOptimal–UUdesign“and“høćyp•Gerb“olic‘UUproblemsŽŽ »š żNķė[Remark.‘3JėSCharacterisation–Āąof“the“H-limit“in“the“case“of“a“mixtures“of“t•²!w“o–Āąanisotropic“materialsޤ 33is–„ykno²!wn“tošMŽo“(see“[2]),‘»żbut“there“are“no“results“ab˜out“the“case“of“a“mixture“of“more“than“t•²!w“oŽ”materials–¦f(either“isotropic“or“anisotropic).ŽŸ!F¶‘wnhė[3.‘˜¼Homogenisation–2of“the“w•¦ta“v“e‘2equationŽŸɍ‘ėSLet›G[ –čėU“ė[RŸü¾ĻdŽŽ‘ÆŖėSb•MŽe˜a˜b“ounded˜Lipsc•²!hitz˜domain,‘o˜and˜ėTT‘œ>>‘čėS0.‘Ą»By˜ėTV‘¶JėSw“e˜shall˜denote˜the˜spaceŽ”HŸü¾Ī1ŽŸčS0ŽŽ‘ĄėS( )Ž‘c:,‘ŲAwhile–ĪIėTH‘0įėS=‘M LŸü¾Ī2Ž‘ĄėS( )Ž‘Qō.‘U…F‘’eor“giv²!en“symmetric“ė[A–M ėU2“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )–ĪIand“ėT–M ėU2“ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[ėTŸ¤zŠŽ›xėT;“Ÿ¤zĪ+Ž˜ėS]),‘ŲAas‘ĪIw²!ellŽ”as–¦fėTv‘o:ėU2› §ėTV‘nļėS,“ėTw‘VėU2˜ėTH‘Š'ėSand“ėTf‘8cėU2˜ėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļŸü¾Š0Ž‘=(ėS)Ž‘?żj,“w²!e“consider“the“initial-bMŽoundary“problemŽ©(o¢(8)ŽŸęDo’©0£ėV8ŽŸ Śē’©0£>ޤH÷’©0£<ŽŸµĻ’©0£>Ž”’©0£:ŽŽŸļ˚’“æ‘ėTuŸūz•Š00Ž‘‹^ėU‘nģė]divŽ‘»¢ėS(ė[AėUrėTuėS)ŽŽ’ń³=‘ §ėTfŽŽŽ¤33’ē»ļuėS(0ėT;‘Ó1ėUėS)ŽŽ’ń³=‘ §ėTvŽŽŽ”’ßDjuŸūz•Š0Ž‘Ī9ėS(0ėT;‘Ó1ėUėS)ŽŽ’ń³=‘ §ėTw‘V;ŽŽŽŽŽŽŽŸ)ZTėSwith–2 bšMŽoundary“conditions“prescrib˜ed“bš²!y“the“requiremen˜ts“ėTu– §ėU2“ėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļėS)Ž‘@a>and‘2 ėTuŸü¾Š0Ž‘ŲąėU2“ėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļėS)Ž‘=/1.Ž”This–XĖproblem“has“a“unique“solution“satisfying“ėTuŸü¾Š00Ž‘ PjėU2‘3ųėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļŸü¾Š0Ž‘=(ėS)Ž‘E†as“wš²!ell.‘õ F‘’erom“the“im˜bMŽeddingŽ”theorem–¦fwš²!e“easily“get“the“follo˜wing“regularit˜y:ޤ*x’ƒŽĮėTu– §ėU2“ėSC([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļėS)Ž‘DrźandŽ‘a eėTuŸūz•Š0Ž‘ŲąėU2“ėSC([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTH‘ćĮėS)Ž‘=¶$ėT;Ž”ėStogether–¦fwith“the“estimateŽŸ° ‘8½E(ėU8›Ó1ėTt– §ėU2“ėS[0ėT;˜T‘…VėS])‘ ó5ėUkėTuėS(ėTtėS)ėUkŽ‘(£ŖŸ<ĢĻVŽ‘2i^ėS+‘nģėUkėTuŸūz•Š0Ž‘Ī9ėS(ėTtėS)ėUkŽ‘"횟<ĢĻHŽ‘.…ėa6“ėTC‘›²ŸóŲmėVŽ‘ %ÕėUkėTvd“ėUkŽ‘ĢcŸ<ĢĻVŽ‘#’ėS+‘nģėUkėTwKnėUkŽ‘„jŸ<ĢĻHŽ‘ šėS+‘nģėUkėTf‘-¼ėUkŽ‘ģDŸ<ĢĪLŸżøä¶2Ž‘*§Ī([0Ļ;T‘.:Ī];ĻV‘㐟żøäó q”% cmsy6ø0Ž‘•WĪ)Ž‘AŻŃŸóŲmėVŽŽ’”ķ ėT;ŽŸKĒėSwhere–ZTthe“constanš²!t“ėTC‘"ÕėSdepMŽends“only“on“the“n˜um˜bMŽers“ėT  `;–Ó1 ‘“ņ;“Ÿ¤zŠŽ– vĢėSand›ZTėTŸ¤zĪ+Ž“ėS(for˜details˜v.˜[1,‘i‹XVI•MŽI“I‘ZAėUxŽ‘8 ėS5]).ŽŸ½‹‘Let–»)us“noš²!w“consider“a“sequence“of“suc˜h“problems“(8),‘ź5and“sho˜w“that“the“limit“of“their“solutionsޤ 33satis es–¦fan“analogous“equation,“follo²!wing“the“ideas“of“T‘’eartar“[6].ŽŸų_ė[Theorem‘ĆÓ5.‘@ėZAssume–Vthat“ėS(ėTŸ¤zĻnŽ›ØPėS)“ėZand“ėS(ė[AŸ¤zĻnŽ˜ėS)“ėZare“sequences“in“ėSLŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[ėTŸ¤zŠŽ›xėT;“Ÿ¤zĪ+Ž˜ėS])–VėZand“ė`MėS(ėT  `;–Ó1 ‘“ņėS;“ )Ž”ėZrespMŽectiv•²!ely‘’e,›¦fsuc“h˜thatޤ*x‘~bėTŸ¤zĻnŽŸųč‘ÕĪLŸż-:ø1Ž‘ÕRĪ( )Ž‘)¹mŠŽŸ;捍‘²÷ėUŽŽŽ‘d ŽŽŽ‘!ŽŽŽ‘Ę6ŽŽŽ‘#wKŽŽŽ‘*(`ėT*ŽŽŽŽ‘8&<Ÿ¤zŠ1Ž‘ęrėZandŽ‘Fq"ė[AŸ¤zĻnŽŸłŹń‘^čHŽŸ5‘ØPėUŽŽŽ‘ YeŽŽŽ‘ zŽŽŽ‘»ėT*ŽŽŽŽ‘$®Äė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ÆėT:Ž”ėZSuppMŽose–ž(that“eacš²!h“ė[AŸ¤zĻnŽ‘ FxėZis“a“symmetric“matrix“a.e.“on“ėS “ėZ(whic˜h“then“implies“the“symmetry“of“theޤ 33ėTH‘ćĮėZ-limit–¦fė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ¦nėZas“w²!ell).‘ŻŻLet“ėTuŸ¤zĻnŽ‘ N¶ėZbšMŽe“a“solution“of“the“initial“b˜oundary“v‘’dDalue“problemަėS(9)ŽŸęDo’æĖėV8ŽŸ Śē’æĖ>ޤH÷’æĖ<ŽŸµĻ’æĖ>Ž”’æĖ:ŽŽŸļ˚’©N¹ėTŸ¤zĻnŽ–ØPėTuŸūz•Š00ŽŸ:jĻnŽŽ‘<ėU‘nģė]divŽ‘»¢ėS(ė[AŸ¤zĻnŽ“ėUrėTuŸ¤zĻnŽ“ėS)ŽŽ’ ©=‘ §ėTfŽŽŽ¤33’č'•uŸ¤zĻnŽ‘ØPėS(0ėT;‘Ó1ėUėS)ŽŽ’ ©=‘ §ėTvŸ¤zĻnŽŽŽŽ”’ÜÕłėTŸ¤zĻnŽ–ØPėTuŸūz•Š0ŽŸ:jĻnŽŽ“ėS(0ėT;‘Ó1ėUėS)ŽŽ’ ©=‘ §ėTwŸ¤zĻnŽ‘²÷ėT;ŽŽŽŽŽŽŽŸ)ZTėZwith–gĪthe“bMŽoundary“conditions“givš²!en“b˜y“ėTuŸ¤zĻnŽ– ŸöėU2‘÷¦ėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļėS)Ž›@0ėZ,‘Ų'ėTuŸü¾Š0ŽŸ®AĻnŽŽ“ėU2‘÷¦ėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļėS)Ž˜ėZ,‘Ų'where–gĪw²!e“as-Ž”sume–dZėTUŸ¤zĻnŽ›ØPėS(ė[xėS)– §:=“ŸńėVZŽŸōC,‘ żŪĻTŽŸŖ»‘ żĪ0ŽŽ‘r#ėTuŸ¤zĻnŽ˜ėS(ėTt;–Ó1ė[xėS)ėT'ėS(ėTtėS)“ėTdt‘ §:ŽŸ’ėSBy–$+testing“the“con•²!v“ergence–$+of“(ėTuŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“on“the“functions“of“the“form“ėT'–ĀÄėa“ėT ‘ˆ¾ėS(tensor–$+proMŽduct),‘Cœit“canŽ”easily–¦fbMŽe“seen“thatŽ”’ŝėTUŸ¤zĻnŽŸłŹń‘Ą&VŽŸ5‘ØPėUŽŽŽ‘ YeŽŽŽ‘ zŽŽŽ‘»ėT*ŽŽŽŽ‘$®ÄUŸ¤zŠ1Ž‘ ÆėT:ŽŽŸėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤėK4ŽŒ‹H·Ÿņ’VżėCOptimal–UUdesign“and“høćyp•Gerb“olic‘UUproblemsŽŽ »š żNķėSTh²!us,–¦fthe“question“is“reduced“to“the“one“regarding“the“equation“for“ėTUŸ¤zŠ1Ž‘ ėS.Ž© u“‘Multiplying–¦fthe“equation“(9Ÿ¤zĪ1Ž‘ĄėS)“bš²!y“ėT'“ėSand“in˜tegrating“in“ėTt“ėSw˜e“getޤ!ø8‘iŅŁėTŸ¤zĻnŽ‘{ŸńėVZŽŸōC,‘nµĻTŽŸŖ»‘ ×Ī0ŽŽ‘āżėTuŸūz•Š00ŽŸ:jĻnŽŽ›ØPėT'‘Ó1dt–nģėU“ė]divŽ‘»¢ŸšuėVŽŽŽ‘Ėė[AŸ¤zĻnŽ˜ėUr‘Ó1ŸńėVZŽŸōC,‘ ĘeĻTŽŸŖ»‘č‡Ī0ŽŽ‘:­ėTuŸ¤zĻnŽ˜ėT'–Ó1dtŸšuėVŽŽŽ‘  ėS=‘ §ŸńėVZŽŸōC,‘ żŪĻTŽŸŖ»‘ żĪ0ŽŽ‘r#ėTf‘-¼'“dt‘ §;ŽŸå#ėSorŽŸ śT’³ĢūėUė]divŽ‘L¶ėS(ė[AŸ¤zĻnŽ–ØPėUrėTUŸ¤zĻnŽ“ėS)– §=“ėTgŸ¤zĻnŽ‘²÷ėT;ŽŸśTėSwhere–¦fthe“function“ėTgŸ¤zĻnŽ‘ N¶ėSis“givš²!en“b˜y“(ėT'“ėShas“a“compact“suppMŽort)Ž”’„{ŸńėVZŽŸōC,’°nKĻTŽŸŖ»’«mĪ0ŽŽ’øā“ėTf‘-¼'‘Ó1dt–nģėS+“ėTŸ¤zĻnŽ‘{ŸńėVZŽŸōC,‘nµĻTŽŸŖ»‘ ×Ī0ŽŽ‘āżėTuŸūz•Š0ŽŸ:jĻnŽŽ‘ØPėT'Ÿūz•Š0Ž‘”jėTdt‘ §:ŽŸ ėSNote–¦fthat“ėTgŸ¤zĻnŽ‘²÷ėUŽŽŽ‘d !‘ §ėTgŸ¤zŠ1Ž‘ ¦nėSstrongly“in“the“space“ėTV‘nļŸü¾Š0Ž‘=(ėS.ަ‘F‘’erom–¦fthe“standard“propMŽerties“of“ėTH‘ćĮėS-con•²!v“ergence–¦fit“follo²!ws“thatޤśT’«":ė[AŸ¤zĻnŽ–ØPėUrėTUŸ¤zĻnŽŸųč‘ ·ĪLŸż-:¶2Ž‘*§Ī( )ŽŸ;捍“ėUŽŽŽ‘ YeŽŽŽ‘ zŽŽŽ‘»ėT*ŽŽŽŽ‘$®Äė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėUrėTUŸ¤zŠ1Ž‘ ÆėT:Ž”ėSAs–¦fthe“functions“of“the“form“ėT'–nģėa“ėT ‘ łėSare–¦fdense“in“LŸü¾Ī2Ž‘ĄėS(ėUhėS0ėT;‘Ó1T‘…VėUi–nģ“ėS )Ž‘GŌ‰,“w²!e“get“thatŽ”’¢›¾ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėUrėTuŸ¤zĻnŽŸųč‘Ļ3ĪLŸż-:¶2Ž‘*§Ī(ŠhĪ0Ļ;T‘.:ŠiĪ )ŽŸ;捍‘²÷ėUŽŽŽ‘d ŽŽŽ‘!ŽŽŽ‘Ę6ŽŽŽ‘#wKŽŽŽ‘*(`ėT*ŽŽŽŽ‘8&<ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ėUrėTuŸ¤zŠ1Ž‘ ÆėT;Ž”ėSth²!us–%›ėTuŸ¤zŠ1Ž‘ %£ėSsatis es“the“equation“(9Ÿ¤zĪ1Ž‘ĄėS),‘?]with“ėU1“ėSinstead“of“ėTnėS.‘²ļThe“correspšMŽonding“b˜oundary“conditionsޤ 33folloš²!w–¦ffrom“the“regularit˜y“of“the“solution.ަ’§ ė[Q.E.D.ŽŽŸ)J”‘eou4.‘˜¼Optimal–2shapY‹e“design“for“the“w•¦ta“v“e‘2equationŽŸ·ó‘ėSW‘’ee–shall“noš²!w“apply“some“of“the“results“describMŽed“in“last“t˜w˜o“sections“to“the“optimal“shapMŽeŽ”design–Ņiproblem“stated“in“the“Inš²!troMŽduction.‘—4F‘’eor“simplicit˜y‘’e,‘üĻfrom“no˜w“on“w˜e“write“it“in“the“follo˜wingŽ”formŽŸ(¾•(10)ŽŸęDo‘cž˜ėV8ŽŸ Śē‘cž˜>ޤH÷‘cž˜<ŽŸµĻ‘cž˜>Ž”‘cž˜:ŽŽŸ÷B§‘o†ėTJŽ‘v­ŒėS(ėWėT;›Ó1ė[AėS)– §=“ŸńėVZŽ‘ żŸ ķēĪ ŸX.·TŽŽŸņOž‘˜ŠĻmŽŸ °‘r؟õ˜óėVXŽŽŸ "捑z‡ĻiĪ=1ŽŽ‘)ģėTŸ¤zĻiŽ–dŚėS(ė[xėS)ėTgŸ¤zĻiŽ“ėS(ėTt;˜ė[xėT;˜uėS(ėTt;˜ė[xėS))˜ėTdė[x˜ėTdt‘ §ėUŽŽŽ‘ »¼!‘ §ėSinfŽŽŽŽŽŸ»5‘v­Œ(ėWėT;‘Ó1ė[AėS)– §ėU2“A“ėT;ŽŽŽŽŽŽŽŸ+{cėSwhere–¦fthe“function“ėTu“ėSis“determined“bš²!y“(8)“with“ėT“ėSgiv˜en“b˜y“(2Ÿ¤zĪ1Ž‘ĄėS),“whileŽŸ#­‘-zĪėUA– §ėS=“ŸķF}ėV(Ž‘ ÜĢėS(ėWėT;›Ó1ė[AėS)“:“ėW“ėU2“ėSLŸūz•Š1Ž‘ ėS( ;˜ėUfėS0ėT;˜ėS1ėUgŸūz•ĻmŽ‘ÄėS)Ž‘JöcėT;ŸņOž‘ ĻmŽŸ °‘ŻŲŸõ˜óėVXŽŽŸ "捑å·ĻiĪ=1ŽŽ‘‚ėTŸ¤zĻiŽ‘oėS=“1ėT;›ŻŲė[A“ėS=ŸņOž‘0ĻĻmŽŸ °“Ÿõ˜óėVXŽŽŸ "捑†ĻiĪ=1ŽŽ‘®ėėTŸ¤zĻiŽ–dŚėT Ÿ¤zĻiŽ“ė[I‘ ó5ėSaėT:ėSeėT:‘¦fėSonŽ‘-  ėT;˜ŸķF}ėV)ŽŽ’Z”ŹėT:ŽŸ#ėSAs–Łstated“in“the“In²!troMŽduction,›åĶalthough“ėTJ‘ ėS,˜in“fact,˜depMŽends“just“on“ėWėS,˜w²!e“are“forced“to“considerŽ”ė[A–¦fėSas“an“additional“argumenš²!t“in“order“to“get“the“con˜tin˜uit˜y“of“ėTJ‘ ėS.ަ‘The–¦ffunctional“ėTJ‘“ėScan“w²!ell“bMŽe“extended“to“the“setŽŸ šÄ‘D(ėUT‘Ó"ėS=‘ §ŸķF}ėV(Ž‘ ÜĢėS(ėWėT;›Ó1ė[AėS)– §ėU2“ėSLŸūz•Š1Ž‘ ėS( ;˜[0ėT;˜ėS1]Ÿūz•ĻmŽ‘ÄėS)Ž‘H‡qėU‘nģė`MėS(ėT  `;˜ ‘“ņėS;˜ )“:ŸņOž‘0ĻĻmŽŸ °“Ÿõ˜óėVXŽŽŸ "捑†ĻiĪ=1ŽŽ‘®ėėTŸ¤zĻiŽ‘oėS=“1“aėT:ėSeėT:‘¦fėSonŽ‘%·r ŸķF}ėV)ŽŽ’-FFėT:ŽŸ#ėSW‘’ee––_shall“consider“the“follo²!wing“prošMŽduct“top˜ology“on“ėUT‘Č{ėS:‘ÕŚLŸü¾Š1Ž‘ –gėSw²!eak“ėU“ėSfor“ėW“ėSand“H-top˜ology“for“ė[AėS.Ž”As–¦fa“simple“consequence“of“Theorem“5“wš²!e“ha˜v˜eŽŸśTė[Corollary‘21.‘ )±ėZThe–¦fmapping“ėS(ėWėT;‘Ó1ė[AėS)– §ėU7!“ėTu–¦fėZis“con•²!tin“uous–¦ffrom“ėUT‘nįėZto“ėSHŸü¾Ī1Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘+QėZw²!eak.‘G‚…Ÿ¶ī„¶īHųŽŽŸėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤėK5ŽŒ‹]Ÿņ’VżėCOptimal–UUdesign“and“høćyp•Gerb“olic‘UUproblemsŽŽ »š żNķė[Compliance.‘Į@ėSThe–Pcost“functional“of“great“inš²!terest“is“the“compliance“(the“w˜ork“done“b˜y“externalޤ 33force)ŽŸ¤K’“YńėTJŸ±ģĻCŽ‘˜ėS(ėT;›Ó1ė[AėS)– §=“ŸńėVZŽ‘ żŸ ķēĪ ŸX.·TŽŽ‘rØėTf‘-¼ėS(ėTt;˜ė[xėS)ėTuėS(ėTt;˜ė[xėS)˜ėTdė[x˜ėTdt:ŽŸ™åėSOf–k‘course,‘ÜŪif“ėTf‘c =ŽŽ‘+ØėU2ŽŽŽŽ‘vbėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘<‡Žw²!e“should“write“it“more“precisely“as“Ÿ÷-ŪėVRŽŸśX†‘ ø^ĻTŽŸ €‘ —MĪ0ŽŽŽ‘YuŸXĻV‘㐟żøäø0ŽŽ‘÷XėUh–Ó1ėTf‘-¼ėS(ėTt;“ėUėS)ėT;“uėS(ėTt;“ėUėS)“ėUiŸ±ģĻVŽ‘ )łėTdt:‘k‘ėSTheŽ”compliance–¼ÕdepMŽends“only“on“the“state“function.‘!*The“mapping“(ėT;‘Ó1ė[AėS)–ڳėU7!“ėTu–¼ÕėSis“con•²!tin“uous‘¼ÕfromŽ”the– 3considered“topMŽology“to“HŸü¾Ī1Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘.·w²!eak“and,›e„in“particular,˜to“LŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļėS)Ž‘D<šw²!eak,˜so“as“ėTf‘ŒµėU2Ž”ėSLŸü¾Ī2Ž‘ĄėS([0ėT;–Ó1T‘…VėS];“ėTV‘nļŸü¾Š0Ž‘=(ėS)Ž‘@™)wš²!e–¦fcan“conclude“that“ėTJŸ±ģĻCŽ‘ ÅžėSis“con˜tin˜uous.ީ͢ė[Theorem‘56.‘ f·ėZLet‘ehėTgŸ¤zĻiŽ‘dŚėZ,›•(ėTi–HžėS=“1ėT;–Ó1:“:“:Ž‘lÅ;‘Ó1mėZ,˜b•MŽe›ehCharath²"‘śŌDeo“dory's˜functions˜(i.e.˜measurable˜in˜ėTt;‘Ó1ė[x˜ėZandŽ”con•²!tin“uous–¦fin“ėTėZ)“satisfyingޤź)ėS(11)Ž‘W”ŚėUjėTgŸ¤zĻiŽ›dŚėS(ėTt;–Ó1ė[xėT;“ėS)ėUj– §ėa6“ėTkŸ¤zĻiŽ˜ėS(ėTt;‘Ó1ė[xėS)–nģ+“ėTcŸ¤zĻiŽ˜ėUjėTėUjŽ‘ŻdŸśōEĻqŽ‘*XĢėSforŽ‘:‚ėT– §ėU2“ė[RėT;‘ŻŲėSaėT:ėSeėT:Ž‘UMėS(ėTt;‘Ó1ė[xėS)“ėU2“ėS Ÿ±ģĻTŽŽ‘”GėT;ŽŽ”ėZwith–¦fėTkŸ¤zĻiŽ›oėU2‘ §ėSLŸü¾Ī1Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘%°’ėZ,“ėTcŸ¤zĻiŽ˜ėa>› §ėS0“ėZand“some“ėTq‘o:ėU2˜ėS[2ėT;‘Ó1qd“Ÿü¾ŠŽ‘$—ėUiėZ,“whereŽŸčO’Æ^‰ėTqd“Ÿūz•ŠŽ‘/>ėS=Ÿéf‘ §ėV8ŽŸ Śē‘ §<ŽŸµĻ‘ §:ŽŽŸņ s‘$ėU1Ž‘0Ū…ėT;‘ŻŲd– §ėS=“1ŽŽŽŸƒ Ÿų—ž‘ĢČ2ėTd–nģėS+“2Ž‘Ģȟ榉p YŸ —‘¼ĶėTd–nģėU“ėS1ŽŽŽŽŽ‘0Ū…ėT;‘ŻŲd– §>“ėS1ėT:ŽŽŽŽŽŽŸL”ėZThen–¦fthe“cost“functional“ėTJ‘“ėZis“con•²!tin“uous–¦fon“ėUT‘Č{ėZ.ŽŸ€kė]Dem.‘ ėSBecause–ßBof“metrisabilitš²!y“of“the“topMŽology“on“ėUT‘§½ėSit“is“enough“to“consider“sequen˜tial“con˜tin˜uit˜yޤ 33only‘’e.‘ÄķLet›[—(ėWŸ¤zĻnŽ–ØPėT;‘Ó1ė[AŸ¤zĻnŽ“ėS)˜bMŽe˜a˜sequence˜in˜ėUT‘$ėSsuc²!h˜that˜ėWŸ¤zĻnŽŸłŹń‘½„ŠŽŸ5‘²÷ėUŽŽŽ‘d ŽŽŽ‘!ėT*ŽŽŽŽ–$żėW˜ėSand˜ė[AŸ¤zĻnŽŸłŹń‘HŽŸ5‘²÷ėUŽŽŽ‘d ŽŽŽ‘!ėT*ŽŽŽŽ“ė[AėS.‘ÄķThen˜ėTŸ¤zĻnŽŸłŹń‘½„ŠŽŸ5‘²÷ėUŽŽŽ‘d ŽŽŽ‘!ėT*ŽŽŽŽ“˜ėSasŽ”w²!ell–“Ūand,›øxaccording“to“Theorem“5,˜the“sequence“of“correspMŽonding“solutions“(ėTuŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“of“(9)“con•²!v“ergesŽ”to–¦fthe“solution“ėTu“ėSof“(8)“wš²!eakly“in“HŸü¾Ī1Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘'Ŗ·.‘ŻŻThe“SobMŽolev“im˜bMŽedding“theorem“giv˜esޤź)’“Ś–HŸūz•Ī1Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž’ŗéŽėT,‘ž,ĻėU!‘ §ėSLŸūz•ĻqŽ‘”žėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘0xĮforŽ‘@ŸwėTq‘o:ėU2‘ §ėS[2ėT;‘Ó1qd“Ÿūz•ŠŽ‘$—ėUiėT:Ž”ėSThese–ī„inclusions“are“compact,‘Kso“wš²!e“kno˜w“that“ėTuŸ¤zĻnŽ‘²÷ėU!‘ §ėTu“ėSin“LŸü¾ĻqŽ‘”žėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘(Wķfor“indices“ėTq‘SėSlisted“abMŽo˜v˜e.‘ ’UsingŽŸ 33the–¦festimates“(11)“on“ėTgŸ¤zĻiŽ‘ @ėSthe“folloš²!wing“con˜v˜ergence“holdsŽ”‘oČ8ėTgŸ¤zĻiŽ›dŚėS(ėUėT;–Ó1ėUėT;“uŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)‘ §ėUŽŽŽ‘ »¼!‘ §ėTgŸ¤zĻiŽ˜ėS(ėUėT;“ėUėT;“uėS)‘ ó5inŽ‘ŻLŸūz•Ī1Ž‘ĄėS( Ÿ±ģĻTŽ‘”ėS)Ž‘9ĆČėT;‘ŻŲi– §ėS=“1ėT;–Ó1:“:“:Ž‘lÅ;‘Ó1m“ėS;Ž”and–¦f nally“(bMŽecause“of“the“wš²!eak“ėU“ėScon˜v˜ergence“of“(ėWŸ¤zĻnŽ‘ØPėS))Ž”’­ˆśėTJ› ėS(ėWŸ¤zĻnŽ–ØPėT;‘Ó1ė[AŸ¤zĻnŽ“ėS)‘ §ėUŽŽŽ‘ »¼!‘ §ėTJ˜ėS(ėWėT;‘Ó1ė[AėS)ėT:ŽŸ 9b’§ ė[Q.E.D.ŽŽ¦‘ėSIf– the“set“ėUA“ėSis“closed“in“ėUT‘ć›ėSit“is“also“a“compact“set“and“ėTJ‘(½ėSwill“ha•²!v“e– a“minim²!um.‘ÆpUnfortunately‘’e,ޤ 33in–'Athe“lighš²!t“of“the“c˜haracterisation“of“w˜eak“ėU“ėSlimits“describMŽed“in“Theorem“3,‘Gww˜e“see“that“it“canŽ”not–Z5bšMŽe“closed“in“suc²!h“top˜ology“on“ėUT‘Č{ėS,‘‡)so“w²!e“cannot“establish“the“existence“of“a“solution“to“ourŽ”problem.Ž”‘Relaxation–‰is“theoretically“simple:‘Žoit“consists“of“closing“the“set“ėUA“ėSin“ėUT‘Č{ėS,‘'Obut“there“is“a“problemŽ”with–uÆthe“lacš²!k“of“precise“c˜haracterisation“of“H-closure,‘² except“for“the“case“ėTm– §ėS=“2.‘xKLet–uÆus“concen˜trateŽ”on–¦fthat“case.ŽŸ€kė[Mixtures–š’of“t•¦tw“o–š’isotropic“materials.‘ʽėSF–’eor‘msimplicitš²!y“,‘x€tak˜e–mėT Ÿ¤zĪ1ޛʫėS=‘ §ėT ‘wfėSand“ėT Ÿ¤zĪ2Ž˜ėS=– §ėT ‘“ņėS,‘x€ėTŸ¤zĪ1Ž˜ėS=“ėT–mėSso“thatŽ”ėTŸ¤zĪ2Ž‘8#ėSbMŽecomes›x1–]ėU“ėTėS.‘ĪpWith˜this˜de nitions,‘`w²!e˜can˜simply˜use˜the˜results˜of˜Theorem˜4˜and˜write˜aŽ”relaxation‘¦fasŽŸ\‘ŸšuėVŽŸ÷©š‘"ėTJŽ‘%B£ėS(ėT;‘Ó1ė[AėS)‘ §ėUŽŽŽ‘ »¼!‘ §ėSinfŽŽŽŽŽŸ33‘%B£(ėT;›Ó1ė[AėS)– §ėU2“fŽ‘„AėS(ėTMŽ;˜ė[AėS)“ėU2“ėSLŸūz•Š1Ž‘ ėS( ;˜[0ėT;˜ėS1])Ž‘@‚­ėU‘nģė`MėS(ėT  `;˜ ‘“ņėS;˜ )“:“ėTd“ėS(ė[AėS(ė[xėS))“satis es“(7)Ž‘;̐for“aėT:ėSeėT:Ž‘`zė[x“ėU2“ėS ėUgŽŽ’eiŠėT:ŽŽŽŽŽŽŸū„ė[La•¦ty“ered‘µ4materials.›2³ėSThe–case“of“la•²!y“ered–materials“is“quite“di eren²!t.˜SuppMŽose“that“a“sequenceŽ”of–XIc²!haracteristic“functions“(ėTŸ¤zĻnŽ‘ØPėS),›gédepMŽending“only“on“ėTxŸ¤zĪ1Ž‘ĄėS,˜wš²!eakly“ėU“ėScon˜v˜erges“to“ėW‘±ŌėSin“LŸü¾Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[0ėT;“ėS1]Ÿü¾ĻmŽ‘ÄėS)Ž‘Ff'.Ž”De neŽŸ&2Ÿķ’’ÅA¬ėTaŸ¤zĪ+ŽŽŽ’Õ2‰ėS=ŸņOž‘0ĻĻmŽŸ °‘ §Ÿõ˜óėVXŽŽŸ "捑†ĻiĪ=1ŽŽ‘®ėėTŸ¤zĻiŽ‘dŚėT Ÿ¤zĻiŽ‘oėT;ŽŽŽŸ$uPŸų—ž’ĒÄĒėS1Ž’ÄyŸ榉p ę6Ÿ —ėTaŸ¤zŠŽŽŽŽŽŽ’Õ2‰ėS=ŸņOž‘0ĻĻmŽŸ °‘ §Ÿõ˜óėVXŽŽŸ "捑†ĻiĪ=1ŽŽŸų—ž‘%ĢėTŸ¤zĻiŽŽ‘āŸ榉p 'Ÿ —ėT Ÿ¤zĻiŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤėK6ŽŒ‹lėŸņ’VżėCOptimal–UUdesign“and“høćyp•Gerb“olic‘UUproblemsŽŽ »š żNķėSalmost–“Öevš²!erywhere“on“ .‘¦.Using“the“results“for“la˜y˜ered“materials“giv˜en“abMŽo˜v˜e,‘Ļ2w˜e“see“that“theŽ© 33H-limit–¦fof“the“sequence“(ė[AŸ¤zĻnŽ‘ØPėS)“de ned“b²!y“(2)“is“a“matrix“functionޤ33(12)Ž‘}ūŽė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ÆėS=‘ §diagŽ‘DŹ(ėTaŸ¤zŠŽ–xėT;›Ó1aŸ¤zĪ+Ž“ėT;˜aŸ¤zĪ+Ž“ėT;˜:˜:˜:Ž‘lÅ;˜aŸ¤zĪ+Ž“ėS)ėT;‘ ĘfėSaėT:ėSeėT:‘¦fėSonŽ‘/s1 ėT:ŽŽ”ėSIt–¦fis“impMŽortanš²!t“to“notice“that“ė[AŸ¤zŠ1Ž‘ ¦nėSis“computed“from“ėWY‹ėS,“so“w˜e“ha˜v˜e“the“follo˜wing“relaxationŽŸ4S-ŸÜiŠ‘k0"ėV8ŽŸ Śē‘k0">ޤH÷‘k0">Ž”‘k0">Ž”‘k0">Ž”‘k0"<ŽŸµĻ‘k0">Ž”‘k0">Ž”‘k0">Ž”‘k0">Ž”‘k0":ŽŽŸķ’‘væėTJ‘ ėS(ŽŽ’‚!9ėWėS)– §=“ŸńėVZŽ‘ żŸ ķēĪ ŸX.·TŽŽŸņOž‘˜ŠĻmŽŸ °‘r؟õ˜óėVXŽŽŸ "捑z‡ĻiĪ=1ŽŽ‘)ģėTŸ¤zĻiŽ–dŚėS(ė[xėS)ėTgŸ¤zĻiŽ“ėS(ėTt;–Ó1ė[xėT;“uėS(ėTt;“ė[xėS))“ėTdė[x“ėTdt‘ §ėUŽŽŽ‘ »¼!‘ §ėSinfŽŽŽŽŽŸ$uP’‚!9ėW– §ėU2“ėSLŸūz•Š1Ž‘ ėS( ;–Ó1[0ėT;“ėS1]Ÿūz•ĻmŽ‘ÄėS)Ž‘I#,ėT;ŸņOž‘ģŽĻmŽŸ °‘ ĘfŸõ˜óėVXŽŽŸ "捑 ĪEĻiĪ=1ŽŽ‘jŖėTŸ¤zĻiŽ‘oėS=“1“;ŽŽŽŽŽŽŸ4īźwhere–¦fėTu“ėSis“calculated“from“(8)“with“ė[A“ėSde ned“bš²!y“(12)“and“ėT“ėSb˜y“(2Ÿ¤zĪ1Ž‘ĄėS).ŽŸ33‘The–ıAuthors“wish“to“thank“Professor“Luc“T‘’eartar“for“sho²!wing“them“some“of“his“unpublishedަnotes.ŽŸ!¼^’ČēŃė[ReferencesŽŸ33ėS[1]–äxR.“Dautra²!y‘’e,‘óüJ.-L.“Lions:‘ZóYż': ó3 cmti10ėYMathematic›’p¹al–$analysis“and“numeric˜al“metho˜ds“for“scienc˜e“and“te˜ch-ަnolo‘’p¹gy,‘źźV‘’)ol.VėS,–¦fSpringer-V‘’eerlag,“1992.ަ[2]–|­G.“A.“F‘’erancfort,›²?F.“Murat:‘ŠkėZOptimal“bMŽounds“for“conduction“in“t•²!w“o-dimensional,˜t“w“o-phase,ަanisotropic–ėmediaėS,‘üBin“ėYNon-classic–’p¹al›*c“ontinuum˜me“chanicsėS,–üBR.J.›ėKnops,“A.A.˜Lacey˜(eds.),“Cam-ަbridge›¦fUniv•²!ersit“y˜Press,˜1986,˜pp.˜197{212ަ[3]–ķŻF.“Murat,›ÅL.“T‘’eartar:‘™ėZCalculus“of“v‘’dDariations“and“homogenisationėS,˜in“ėYT‘’)opics–A$in“the“mathematic‘’p¹alަmo›’p¹del‘Fling–źźof“c˜omp˜osite“materialsėS,–¦fA.“Cherk‘’dDaev,“R.“Kohn“(eds.),“Birkh‘ś†fauser,“1997,“pp.“139{173ަ[4]–‹CF.“Murat,›ÄyL.“T‘’eartar:‘§–ėZH-con•²!v“ergenceėS,˜in‘‹CėYT‘’)opics–½win“the“mathematic›’p¹al“mo˜del‘Fling“of“c˜omp˜ositeަmaterialsėS,–¦fA.“Cherk‘’dDaev,“R.“Kohn“(eds.),“Birkh‘ś†fauser,“1997,“pp.“21{43ަ[5]–ڰL.“T‘’eartar:‘FqėZCompMŽensated“compactness“and“applications“to“partial“di eren²!tial“equationsėS,‘'ĀinަėYNonline›’p¹ar–üanalysis“and“me˜chanics:‘ešHeriot-Watt“Symp˜osium,‘d€V‘’)ol.“IVėS,–ī½Pitman,‘@ŅSan“F‘’erancisco,ަ1979,–¦fpp.“136-212ަ[6]–$$L.“T‘’eartar:‘ŁXėZHomogenization“and“Hyp•MŽerb“olicit²!yėS,‘C“to›$$app“ear˜in˜Ann.–WScuola˜Norm.“Sup.“Pisa,ަmemorial–¦fv²!olume“for“Ennio“De“Giorgiަ[7]–ÖL.“T‘’eartar:‘=KėZHomogenization,›ā CompMŽensated“Compactness,˜H-measuresėS,˜lecture“notes“in“prepa-ަration.ŽŽŸėMNenad–UUAntonišøć‘ūGc“&“Ma˜rk˜o“V˜rdoljak’6ˤėK7ŽŒų‚÷ƒ’Ą;čÕįŚĢļD ó{ĀÖN ff cmbx12ókĀÖN  cmbx12óa—³īĶ ó3 msam10ó`%n² ó3 eufm10ó]m#½R ó3 cmss10ó\ßź ó3 cmmi10óSKń`y ó3 cmr10óMm#½R cmss10óKņ"V cmbx10óCKń`y cmr10ó:”q[˜ cmsl9ó3o“‹Ē cmr9ó%¾KČ cmsy8ó$×2cmmi8ó#|{Ycmr8ó q”% cmsy6ó ;Īcmmi6ó ¹AaØcmr6łŽšßßßßß