\documentclass[oneside,a4paper,12pt]{book}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{geometry}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=4.00.0.2312}
%TCIDATA{Created=Thursday, December 05, 2002 08:17:53}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, December 26, 2002 14:35:52}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Standard LaTeX Book">}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX Book.cst}

\newtheorem{theorem}{Teorem}[section]
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}{Aksiom}[section]
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}{Korolar}[section]
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}{Definicija}[section]
\newtheorem{example}{Primjer}[section]
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}{Lema}[section]
\newtheorem{notation}{Napomena}[section]
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}{Propozicija}[section]
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{Dokaz.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\geometry{top=3cm,left=3.5cm,right=2.5cm,bottom=2.5cm,foot=0.5cm}
\input{tcilatex}

\begin{document}

\frontmatter
\title{O kona\v{c}nim poljima i pripadnim projektivnim geometrijama}
\author{Sun\v{c}ica Bla\v{z}ev}
\date{}
\maketitle
\tableofcontents

\chapter{Uvod}

U ovom radu, podijeljenom na dva poglavlja, ispreple\'{c}u se i povezuju
poznate i \v{s}iroko razvijene teorije polja, projektivnih prostora i
dizajna, koje same po sebi mogu odvesti istra\v{z}ivanja u sasvim novim i
neovisnim smjerovima.

Tema prvog poglavlja su polja sa kona\v{c}nim brojem elemenata, tj. kona\v{c}%
na polja. Pokazat \'{c}emo da su svaka dva kona\v{c}na polja istog reda
izomorfna, \v{s}to nam daje za pravo govoriti o jedinstvenom kona\v{c}nom
polju $F_{q}$ kojeg zovemo Galoisovo polje reda $q$, (u spomen na njegovog
pronalaza\v{c}a E. Galoisa) pri \v{c}emu je $q$ potencija prostog broja. U
literaturi se \v{c}esto umjesto $F_{q}$ upotrebljava oznaka $GF(q)$. Dokazat 
\'{c}emo i egzistenciju kona\v{c}nog polja $F_{q}$, za proizvoljnu potenciju 
$q$ prostog broja.

Cilj \'{c}e nam biti konstrukcija kona\v{c}nog polja $F_{q^{n}}$. U tu svrhu
dokazat \'{c}e se da za prirodan broj $n$ i kona\v{c}no polje $F_{q}$
postoji polinom $f(x)\in F_{q}[x]$ stupnja $n$ ireducibilan nad $F_{q}$.
Vidjet \'{c}emo da je polje razlaganja polinoma $f(x)$ nad $F_{q\text{ }}$
upravo $F_{q^{n}}$, koje je jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje polja $%
F_{q}$ generirano korijenom $y$ polinoma $f(x)$, tj. vrijedi $%
F_{q^{n}}=F_{q}(y)\cong F_{q}[x]/(f(x))$. Polje $F_{q^{n}}$ je $n-$%
dimenzionalni vektorski prostor nad $F_{q}$, s pripadnom bazom $\{1,y,\ldots
,y^{n-1}\}$. Prona\dj emo li primitivan element $z$ polja $F_{q^{n}}$, tj.
generator cikli\v{c}ke multiplikativne grupe $F_{q^{n}}^{\ast }$ polja $%
F_{q^{n}}$, odnosno $F_{q^{n}}^{\ast }=\langle z\rangle $, preostalo je
ispisati elemente polja $F_{q^{n}}$ u spomenutoj bazi. Dakle, da bi
izgradili kona\v{c}no polje $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$ potrebno je prona\'{c}i
ireducibilan polinom stupnja $n$ nad $F_{q}$, a u tu svrhu upotrijebit \'{c}%
emo ciklotomi\v{c}ke polinome nad poljem $F_{q}$.

U drugom poglavlju ovog rada definiraju se projektivne geometrije $P(V)$ kao
skup svih potprostora kona\v{c}nodimenzionalnog lijevog ili desnog
vektorskog prostora $V$ nad tijelom $K$. Ulaze\'{c}i dublje u geometriju kao
disciplinu, projektivne geometrije definirane na spomenuti na\v{c}in,
predstavljaju samo jedan od modela takozvanih projektivnih prostora,
incidencijskih struktura koje zadovoljavaju odre\dj ena svojstva, a koji se
ponekad u literaturi nazivaju i projektivne geometrije.

Posebno \'{c}emo prou\v{c}avati projektivne geometrije $P(V)$ $g-$dimenzije $%
2$, koje zovemo projektivnim ravninama, s pripadnim trodimenzionalnim
vektorskim prostorom $V$. Ovakve projektivne geometrije op\'{c}enito se
nazivaju Desarguesove projektivne ravnine, a kao takve predstavljaju jedan
od modela projektivne ravnine definirane na apstraktan na\v{c}in. Ako je $K$
polje, projektivna se ravnina $P(V)$ naziva Pappusova projektivna ravnina.

Bavit \'{c}emo se svojstvima projektivnih geometrija, te pripadnih
izomorfizama i polariteta, koordinatizacijom elementa projektivnih
geometrija, a na kraju i konikama u Pappusovoj projektivnoj ravnini, nad
poljem karakteristike razli\v{c}ite od $2$.

Posebno je interesantan dio drugog poglavlja koji se direktno ve\v{z}e na
prvo, a radi se o izgradnji projektivnih geometrija tipa $P_{n}(q)$ za koje
je pripadni vektorski prostor $V$ $n+1-$dimenzionalan nad kona\v{c}nim
poljem $F_{q}$, a koje se u literaturi \v{c}esto bilje\v{z}e i sa $PG(n,q)$.
Zalaze\'{c}i u teoriju dizajna, tra\v{z}it \'{c}emo diferencijske prikaze
spomenutih geometrija, pri \v{c}emu je neophodna izgradnja kona\v{c}nog
polja $F_{q^{n+1}}$ nad poljem $F_{q}$, jer je $P_{n}(q)$ skup svih
potprostora $n+1-$dimenzionalnog vektorskog prostora $F_{q^{n+1}}$ nad
poljem $F_{q}$.

Iskreno se zahvaljujem svom mentoru prof. dr. Vladi Cigi\'{c}u na
strpljenju, pomo\'{c}i u radu i motivaciji.

Prof. dr. Mirjani Vukovi\'{c} i prof. dr. Hasanu Jamaku hvala za \v{c}itanje
teksta i za korisne primjedbe.

\mainmatter

\chapter{Kona\v{c}na polja}

\section{Osnovni pojmovi}

\subsection{Grupe, prsteni i polja}

\begin{definition}
\textbf{Binarna relacija} ili kra\'{c}e \textbf{relacija }na skupu $S$ je
neprazan podskup $\rho \subseteq S\times S$.
\end{definition}

Ako je $\rho $ relacija na skupu $S$, \v{c}injenicu da je $(a,b)\in \rho $
bilje\v{z}imo sa $a\rho b$.

\begin{definition}
Ako binarna relacija $\rho $ na skupu $S$ zadovoljava slijede\'{c}a tri
svojstva:

\begin{enumerate}
\item[1)] \textbf{Refleksivnost}, tj. vrijedi $x\rho x$, $\forall x\in S$;

\item[2)] \textbf{Simetri\v{c}nost}, tj. vrijedi $x\rho y\Rightarrow y\rho x$%
, $\forall x,y\in S$;

\item[3)] \textbf{Tranzitivnost}, tj. vrijedi $x\rho y$, $y\rho z\Rightarrow
x\rho z$, $\forall x,y,z\in S$;

ka\v{z}emo da je $\rho $ \textbf{relacija ekvivalencije} na skupu $S$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
Neka je $\rho $ relacija ekvivalencije na skupu $S$, $x\in S$. Skup%
\begin{equation*}
\lbrack x]=\{y\in S\text{; }y\rho x\}
\end{equation*}%
zovemo \textbf{klasa ekvivalencije }elementa $x$.
\end{definition}

\begin{theorem}
Neka su $x$ i $y$ proizvoljni elementi$\ $skupa $S$, a $\rho $ relacija
ekvivalencije na $S$. Vrijedi ili $[x]=[y]$ ili $[x]\cap \lbrack
y]=\varnothing $. Pri tome je $[x]=[y]$ ako i samo ako $x\rho y$.
\end{theorem}

\textbf{Kvocijentni skup }$S/\rho $ skupa $S$ u odnosu na relaciju
ekvivalencije $\rho $ je skup svih klasa ekvivalencije s obzirom na $\rho $.
Iz prethodnog teorema slijedi da je $S/\rho $ particija skupa $S$.

\begin{definition}
Neka je $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Relaciju $\rho $ na skupu cijelih brojeva $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ definiranu sa%
\begin{equation*}
a\rho b\Leftrightarrow n\mid a-b
\end{equation*}%
zovemo \textbf{relacija kongruencije modulo }$n$.
\end{definition}

\v{C}injenicu da je $a\rho b$, gdje je $\rho $ relacija kongruencije modulo $%
n$, bilje\v{z}imo sa%
\begin{equation*}
a\equiv b(\func{mod}n).
\end{equation*}
Poka\v{z}e se da je $\rho $ relacija ekvivalencije na $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, te da su pripadne klase ekvivalencije oblika 
\begin{equation*}
\lbrack k]=\{n\cdot l+k\text{; }l\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\}\text{, }\forall k\in \{0,\ldots ,n-1\}\text{,}
\end{equation*}%
a zovemo ih \textbf{klase ostataka modulo }$n$.

\begin{definition}
Neka je $S$ neprazan skup. \textbf{Binarna operacija }ili kra\'{c}e \textbf{%
operacija} na skupu $S$ je preslikavanje $\ast :S\times S\rightarrow S$.
\end{definition}

\begin{definition}
Ure\dj en par $(G,\ast )$ koji se sastoji od nepraznog skupa $G$ i binarne
operacije $\ast $\ na $G$ zovemo \textbf{grupom}, ako su zadovoljeni slijede%
\'{c}i uvjeti:

\begin{enumerate}
\item[1)] Operacija $\ast $ je \textbf{asocijativna}, tj. $\forall a,b,c\in
G $ vrijedi $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.

\item[2)] Postoji \textbf{jedini\v{c}ni element} ili \textbf{jedinica} $e\in
G$ takav da $\forall a\in G$ vrijedi

$a\ast e=e\ast a=a$.

\item[3)] Za svaki $a\in G$ postoji \textbf{inverzni element} ili \textbf{%
inverz} $a^{-1}\in G$ takav da vrijedi $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$.
\end{enumerate}
\end{definition}

Grupa $(G,\ast )$ je \textbf{komutativna} ili \textbf{Abelova} ako $\forall
a,b\in G$ vrijedi $a\ast b=b\ast a$.

\begin{lemma}
Ako je $(G,\ast )$ grupa tada vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] Postoji jedinstveni jedini\v{c}ni element u $G$.

\item[2)] Za svaki element iz $G$ postoji jedinstveni, njemu inverzni
element u $G$.

\item[3)] Za svaki $a,b\in G$ vrijedi $(a\ast b)^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Grupu $(G,\ast )$ kra\'{c}e ozna\v{c}avamo sa $G$.

Dva naj\v{c}e\v{s}\'{c}a zapisa binarne operacije $\ast $, a time i grupe $G$
su \textbf{aditivan} i \textbf{multiplikativan} zapis. U multiplikativnom
zapisu umjesto $a\ast b$ pi\v{s}emo $a\cdot b$, odnosno $ab$, a u aditivnom
zapisu $a\ast b$ bilje\v{z}imo sa $a+b$. Jedini\v{c}ni element grupe u
aditivnom zapisu zovemo \textbf{nula} i bilje\v{z}imo ga sa $0$.

\begin{definition}
Za svaki $k\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ u grupi $(G,\cdot )$ definira se \textbf{potencija} elementa $a\in G$ s 
\textbf{eksponentom }$k$ na slijede\'{c}i na\v{c}in%
\begin{equation*}
a^{k}=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\underset{k\text{ faktora}}{\underbrace{a\cdots a}\text{ }}\text{\ \ \ } & 
;k>0 \\ 
e & ;k=0 \\ 
\underset{k\text{ faktora}}{\underbrace{a^{-1}\cdots a^{-1}}}\text{ } & ;k<0%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{lemma}
Neka je $(G,\cdot )$ grupa. Za svaki $a\in G$, $m,n\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] $(a^{m})^{n}=a^{mn}$

\item[2)] $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Za grupu ka\v{z}emo da je \textbf{kona\v{c}na}, odnosno \textbf{beskona\v{c}%
na}, ako ima kona\v{c}an, odnosno beskona\v{c}an broj elemenata. Broj
elemenata kona\v{c}ne grupe $G$ zovemo \textbf{red grupe }i bilje\v{z}imo ga
sa $\left\vert G\right\vert $.

\begin{definition}
Neprazan podskup $H\subseteq G$ je \textbf{podgrupa }grupe $G$ ako je $H$
grupa u odnosu na binarnu operaciju u $G$.
\end{definition}

Podgrupe grupe $G$ razli\v{c}ite od \textbf{trivijalnih podgrupa} $\left\{
e\right\} $ i $G$ zovemo \textbf{prave podgrupe} od $G$. \v{C}injenicu da je 
$H$ podgrupa od $G$ bilje\v{z}imo sa $H<G$.

\begin{lemma}
Neka je $(G,\cdot )$ grupa. Neprazan podskup $H$ grupe $G$ je podgrupa od $G$
ako i samo ako za svaki $a,b\in H$ vrijedi $ab^{-1}\in H$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
Neka su $H_{1}$ i $H_{2}$ podgrupe grupe $G$. Tada je $H_{1}\cap H_{2}$
podgrupa od $G$.
\end{lemma}

Neka je $(G,\cdot )$ grupa, $a\in G$. Podskup od $G$ koji se sastoji od svih
potencija elementa $a$ je podgrupa 
\begin{equation*}
\left\langle a\right\rangle =\{a^{k}\text{; }k\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\}
\end{equation*}%
od $G$ koju zovemo \textbf{podgrupa generirana elementom} $a$. \textbf{%
Generatorom }te podgrupe zovemo upravo element $a$. To je najmanja podgrupa
od $G$ koja sadr\v{z}i $a$.

\begin{definition}
Neka je $(G,\cdot )$ grupa, $a\in G$. Ako postoji $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ takav da je $a^{n}=e$, tada najmanji prirodan broj s tim svojstvom zovemo 
\textbf{redom elementa }$a$ i bilje\v{z}imo ga sa $\left\vert a\right\vert $%
. Ako takav prirodan broj $n$ ne postoji, odnosno $a^{n}\neq e$, $\forall
n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, ka\v{z}emo da je $a$ \textbf{beskona\v{c}nog reda}.
\end{definition}

Poka\v{z}e se da je red nekog elementa grupe $G$ jednak redu podgrupe od $G$
koju taj element generira.

\begin{lemma}
\label{sitno}Neka je $(G,\cdot )$ grupa, $a$ je element iz $G$ kona\v{c}nog
reda. Za cijeli broj $l\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ vrijedi $a^{l}=e$ ako i samo ako $|a|$ dijeli $l$.
\end{lemma}

\begin{definition}
Grupa $G$ je \textbf{cikli\v{c}ka} ako postoji $a\in G$ tako da vrijedi $%
G=\langle a\rangle $. Element $a$ zovemo \textbf{generator} grupe $G$.
\end{definition}

\begin{definition}
Neka je $S$ neki podskup grupe $G$. Presjek svih podgrupa od $G$ koje sadr%
\v{z}e skup $S$ je podgrupa od $G$ koju zovemo \textbf{podgrupa generirana
skupom} $S$ i bilje\v{z}imo je sa $\left\langle S\right\rangle $.
\end{definition}

Neka je $H$ podgrupa grupe $(G,\cdot )$. Poka\v{z}e se da je relacija $\rho $
na skupu $G$ definirana sa 
\begin{equation*}
a\rho b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H
\end{equation*}%
relacija ekvivalencije na $G$, s pripadnim klasama ekvivalencije oblika 
\begin{equation*}
\lbrack a]=Ha=\{ha;h\in H\}\text{,}
\end{equation*}%
koje zovemo \textbf{desne susjedne klase} grupe $G$ po podgrupi $H$.

Posve analogno, definiraju\'{c}i na $G$ relaciju $\rho _{1}$ sa 
\begin{equation*}
a\rho _{1}b\Leftrightarrow b^{-1}a\in H
\end{equation*}%
poka\v{z}emo da je $\rho _{1}$ relacija ekvivalencije na $G$, s pripadnim
klasama ekvivalencije oblika 
\begin{equation*}
\lbrack a]=aH=\{ah;h\in H\}\text{,}
\end{equation*}%
koje zovemo \textbf{lijeve susjedne klase} grupe $G$ po podgrupi $H$.

Skup svih lijevih i skup svih desnih susjednih klasa grupe $G$ po podgrupi $%
H $ istog su kardinalnog broja, kojeg nazivamo \textbf{indeks podgrupe }$H$
u grupi $G$ i bilje\v{z}imo sa $(G:H)$.

\begin{theorem}
Neka je $G$ kona\v{c}na grupa, $H<G$. Tada svaka desna ili lijeva susjedna
klasa grupe $G$ po podgrupi $H$ ima jednak broj elemenata kao i podgrupa $H$.
\end{theorem}

\begin{theorem}
(\textbf{Lagrangeov teorem}) Neka je $G$ kona\v{c}na grupa, $H<G$. Tada
vrijedi%
\begin{equation*}
|G|=|H|\cdot (G:H)\text{.}
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{corollary}
Ako je $G$ kona\v{c}na grupa, $a\in G$, tada $|a|$ dijeli $|G|$.
\end{corollary}

\begin{definition}
Podgrupu $H$ grupe $(G,\cdot )$ za koju vrijedi%
\begin{equation*}
aH=Ha,\text{ }\forall a\in G
\end{equation*}%
zovemo \textbf{normalna podgrupa }od $G$.
\end{definition}

\v{C}injenicu da je $H$ normalna podgrupa grupe $G$ bilje\v{z}imo sa $%
H\vartriangleleft G$, a budu\'{c}i da su lijeve susjedne klase jednake
odgovaraju\'{c}im desnim susjednim klasama grupe $G$ po podgrupi $H$, tada 
\'{c}emo o tim klasama govoriti kao o \textbf{susjednim} \textbf{klasama}
grupe $G$ po podgrupi $H$.

\begin{theorem}
\label{kvgru}Neka je $(G,\cdot )$ grupa, a $H\vartriangleleft G$. Skup $G/H$
svih susjednih klasa grupe $G$ po podgrupi $H$ je grupa s obzirom na binarnu
operaciju definiranu sa%
\begin{equation*}
(aH)\cdot (bH)=(ab)H\text{, }\forall a,b\in G,
\end{equation*}%
koju zovemo \textbf{kvocijentna grupa }od $G$ po podgrupi $H$.
\end{theorem}

Ako je grupa $G$ Abelova, tada je i $G/H$ Abelova. Ako je $G$ kona\v{c}na,
tada je i $G/H$ kona\v{c}na, te vrijedi $|G/H|=|G|/|H|$.

\begin{definition}
Neka su $(G,\ast )$ i $(H,\cdot )$ grupe. \textbf{Homomorfizam }sa $G$ u $H$
je preslikavanje $f:G\rightarrow H$ koje zadovoljava:%
\begin{equation*}
f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)\text{, }\forall a,b\in G\text{.}
\end{equation*}
\end{definition}

\textbf{Monomorfizam} grupa je homomorfizam koji je injekcija. \textbf{%
Epimorfizam} je homomorfizam koji je surjekcija. \textbf{Izomorfizam} je
bijektivni homomorfizam. \textbf{Automorfizam }neke grupe je izomorfizam te
grupe na samu sebe.

\textbf{Jezgra }homomorfizma\textbf{\ }$f$ sa grupe $G$ u grupu $H$ je skup%
\begin{equation*}
K\func{erf}=\{a\in G\text{; }f(a)=e_{H}\}\text{,}
\end{equation*}%
dok je \textbf{slika} tog homomorfizma skup%
\begin{equation*}
\func{Im}f=\{f(a)\text{; }a\in G\}\text{.}
\end{equation*}

\begin{theorem}
(\textbf{o homomorfizmu grupa}) Neka je $f:G\rightarrow H$ homomorfizam sa
grupe $G$ u grupu $H$. Vrijedi%
\begin{equation*}
G/K\func{erf}\cong \func{Im}f\text{.}
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{gene}

\begin{enumerate}
\item[1)] Svaka podgrupa cikli\v{c}ke grupe je cikli\v{c}ka grupa.

\item[2)] Element $a^{l}$ iz kona\v{c}ne cikli\v{c}ke grupe $\left\langle
a\right\rangle $ reda $m$ generira podgrupu $\left\langle a^{l}\right\rangle 
$ te grupe reda $\frac{m}{Nzm(m,l)}$.

\item[3)] Ako je $k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $k\mid m$, tada postoji jedinstvena podgrupa indeksa $k$ kona\v{c}ne cikli%
\v{c}ke grupe $\left\langle a\right\rangle $ reda $m$. Ako je $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $l\mid m$, tada postoji jedinstvena podgrupa reda $l$ kona\v{c}ne cikli%
\v{c}ke grupe $\left\langle a\right\rangle $ reda $m$.

\item[4)] Ako je $h\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $h\mid m$, tada postoji to\v{c}no $\varphi (h)$ elemenata reda $h$ u kona%
\v{c}noj cikli\v{c}koj grupi $\left\langle a\right\rangle $ reda $m$, gdje
je $\varphi :%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ Eulerova funkcija.

\item[5)] Postoji to\v{c}no $\varphi (m)$ generatora kona\v{c}ne cikli\v{c}%
ke grupe $\left\langle a\right\rangle $ reda $m$, a to su oni i samo oni
elementi oblika $a^{k}$, gdje je $k\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, te $Nzm(m,k)=1$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[1)] Neka je $H\neq \{e\}$ podgrupa cikli\v{c}ke grupe $\langle
a\rangle $. Poka\v{z}imo da u grupi $H$ postoji potencija elementa $a$ s
pozitivnim eksponentom. Ako su svi elementi u $H$ tog oblika, nemamo \v{s}to
pokazati. Ina\v{c}e, postoji $a^{-l}\in H$, $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, a po\v{s}to vrijedi $(a^{-l})^{-1}=a^{l}$ $\in $ $H$, tada je $a^{l}$ tra%
\v{z}ena potencija elementa $a$ s pozitivnim eksponentom.

Neka je $a^{b}$ potencija elementa $a$ iz grupe $H$, s najmanjim mogu\'{c}im
pozitivnim eksponentom. Poka\v{z}imo da je $\langle a^{b}\rangle =H$. Budu%
\'{c}i da vrijedi $\langle a^{b}\rangle \subseteq H$, treba jo\v{s} za
proizvoljan $a^{t}\in H$, $t\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ pokazati da pripada grupi $\langle a^{b}\rangle $. Prema teoremu o
dijeljenju cijelog broja $t$ s prirodnim brojem $b$ postoje jedinstveni $q$ $%
\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ i $r\in \{0,1,\ldots ,b-1\}$ takvi da vrijedi $t=q\cdot b+r.$ Iz $%
r=t-q\cdot b$ proizlazi $a^{r}=a^{t}\cdot (a^{b})^{-q}\in H,$ a kako je $%
r<b, $ $r\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
_{0}$ i $a^{b}$ potencija iz grupe $H$, s najmanjim mogu\'{c}im pozitivnim
eksponentom, slijedi $r=0,$ odnosno $t=q\cdot b,$ a tada $%
a^{t}=(a^{b})^{q}\in \langle a^{b}\rangle .$

\item[2)] Iz Leme \ref{sitno}\ slijedi da za prirodan broj $n$ vrijedi $%
(a^{l})^{n}=e$ ako i samo ako $m\mid l\cdot n.$ Me\dj utim, $m\mid l\cdot n$
je ekvivalentno sa $\frac{m}{Nzm(m,l)}$ dijeli $\frac{l}{Nzm(m,l)}\cdot n$,
a \v{s}to je opet ekvivalentno s $\frac{m}{Nzm(m,l)}$ dijeli $n$. Dakle, za
prirodan broj $n$ vrijedi%
\begin{equation*}
(a^{l})^{n}=e\Leftrightarrow \frac{m}{Nzm(m,l)}\text{ dijeli }n.
\end{equation*}%
Iz toga slijedi da je red grupe $\langle a^{l}\rangle $ upravo $\frac{m}{%
Nzm(m,l)}$, jer je to najmanji prirodan broj $n$ takav da je $(a^{l})^{n}=e.$

\item[3)] Doka\v{z}imo prvu tvrdnju. Ako je $k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $k\mid m$, tada iz 2) slijedi da $a^{k}$ generira podgrupu $\langle
a^{k}\rangle $ reda $\tfrac{m}{k}$ grupe $\langle a\rangle $. Po
Lagrangeovom teoremu indeks te podgrupe u grupi $\langle a\rangle $ je $k$.
Doka\v{z}imo jedinstvenost. Uzmemo li neku podgrupu $H$ indeksa $k$ grupe $%
\langle a\rangle $, tada iz 1) slijedi da je $H$ cikli\v{c}ka grupa, pa neka
je $H=\langle a^{c}\rangle $. Red te podgrupe je $\tfrac{m}{k}$, a prema 2)
vrijedi $Nzm(c,m)=k$, tj. $k\mid c.$ Tada je $a^{c}\in \langle a^{k}\rangle
, $ tj. $\langle a^{c}\rangle $ je podgrupa grupe $\langle a^{k}\rangle $
istog reda, odnosno $\langle a^{c}\rangle =\langle a^{k}\rangle .$

Druga tvrdnja proizlazi iz prve, jer za $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
,$ $l\mid m$ postoji jedinstvena podgrupa od $\langle a\rangle $ indeksa $%
\tfrac{m}{l},$ a prema tome, reda $l$.

\item[4)] Element $a^{d}\in \langle a\rangle $, gdje je $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $1\leqslant d\leqslant m$ reda je $h$ ako i samo ako $Nzm(d,m)=\tfrac{m}{h%
}.$ Dakle, tra\v{z}eni elementi iz $\langle a\rangle $ su oblika $a^{d},$
gdje je $d=\tfrac{m}{h}i,$ $1\leqslant i\leqslant h$ i $Nzm(i,h)=1.$ Po\v{s}%
to je broj prirodnih brojeva manjih od $h$ i relativno prostih sa $h$ jednak 
$\varphi (h),$ tada je to upravo i ukupan broj elemenata iz $\langle
a\rangle $ reda $h.$

\item[5)] Kako su generatori grupe $\langle a\rangle $ elementi te grupe
reda $m,$ tada iz 4) slijedi da ih ima to\v{c}no $\varphi (m).$ Prema 2)
vrijedi da je $a^{k}\in \langle a\rangle $ reda $m$ ako i samo ako $%
Nzm(m,k)=1.$
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
Neka je $S$ neprazan podskup grupe $(G,\cdot )$. Za skup $T\subseteq G$ ka%
\v{z}emo da je \textbf{konjugiran s }$S$ \textbf{u }$G$, ako postoji $g\in G$
tako da vrijedi $T=gSg^{-1}$. Specijalno, $a\in G$ je \textbf{konjugiran s }$%
b\in G$ \textbf{u }$G$ ako postoji $g\in G$ tako da vrijedi $a=gbg^{-1}$.
\end{definition}

\begin{definition}
Neka je $S$ neprazan podskup grupe $(G,\cdot )$. \textbf{Normalizator skupa }%
$S$ \textbf{u} $G$ je skup $N(S)=\{g\in G;$ $gS=Sg\}$. \textbf{Centralizator
skupa }$S$ \textbf{u} $G$ je skup $Z(S)=\{g\in G;$ $gs=sg$, $\forall s\in
S\} $.
\end{definition}

Ako je $a\in G$, tada se $N(\{a\})$ i $Z(\{a\})$ kra\'{c}e ozna\v{c}avaju sa 
$N(a)$ i $Z(a)$ (normalizator i centralizator elementa a u $G$). \textbf{%
Centar grupe }$G$ je $Z(G)$.

\begin{lemma}
Ako je $S$ neprazan podskup grupe $G$, tada je $N(S)<G$, $Z(S)<G$, te $%
Z(G)\vartriangleleft G$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{lijevi}Ako je $S$ neprazan podskup grupe $(G,\cdot )$, tada je ukupan
broj razli\v{c}itih podskupova od $G$ konjugiranih sa $S$ u $G$ jednak
indeksu $(G:N(S))$ podgrupe $N(S)$ u $G$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Poka\v{z}emo da je preslikavanje $\Psi \ $definirano sa $\Psi
(gN(S))=gSg^{-1}$, $\forall g\in G$, bijekcija sa skupa svih lijevih
susjednih klasa grupe $G$ po podgrupi $N(S)$ na skup svih podskupova od $G$
konjugiranih sa $S$ u $G$.
\end{proof}

\begin{definition}
Neka je $(G,\cdot )$ grupa. Relaciju $\rho $ definiranu na $G$ sa $a\rho b$
ako i samo ako je $a$ \textbf{konjugiran s }$b$ \textbf{u }$G$ zovemo 
\textbf{relacija konjugiranosti na }$G$.
\end{definition}

Poka\v{z}e se da je relacija konjugiranosti $\rho $ na $G$ relacija
ekvivalencije. Pripadne klase ekvivalencije nazivamo \textbf{klasama
konjugiranosti grupe }$G$, a oblika su 
\begin{equation*}
\lbrack a]=\{gag^{-1};g\in G\},\forall a\in G.
\end{equation*}

Lako se poka\v{z}e da je klasa konjugiranosti elementa $a\in G$ jedno\v{c}%
lana ako i samo ako je $a\in Z(G)$.

\begin{theorem}
\label{klase}Neka je $(G,\cdot )$ kona\v{c}na grupa. Tada vrijedi%
\begin{equation}
|G|=|Z(G)|+\tsum\limits_{j=1}^{k}u_{j}\text{,}  \tag*{(1)}  \label{p0}
\end{equation}%
gdje je $u_{j}$ kardinalni broj klase konjugiranosti grupe $G$ koja sadr\v{z}%
i vi\v{s}e od jednog elementa. Dakle, vrijedi $u_{j}\geqslant 2$ i $u_{j%
\text{ }}$dijeli $|G|$, $\forall j\in \{1,\ldots ,k\}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Budu\'{c}i da je relacija konjugiranosti $\rho $ na $G$ relacija
ekvivalencije, tada klase konjugiranosti \v{c}ine particiju skupa $G$, pa je
red grupe $G$ jednak sumi kardinalnih brojeva razli\v{c}itih klasa
konjugiranosti grupe $G$.

Kako, klasa konjugiranosti grupe $G$ koje se sastoje samo od jednog elementa
ima upravo $|Z(G)|$, tada vrijedi \ref{p0}, gdje su $u_{j}\geqslant 2$, $%
\forall j\in \{1,\ldots ,k\}$. Budu\'{c}i da $u_{j}$ predstavlja broj
elemenata iz $G$ konjugiranih s nekim elementom $x_{j}\in G$, tada je, prema
Lemi \ref{lijevi}, $u_{j}=(G:N(x_{j}))$, pa iz Lagrangeovog teorema slijedi\
da $u_{j}$ dijeli $|G|$.
\end{proof}

Jednad\v{z}bu \ref{p0} nazivamo \textbf{jednad\v{z}ba klasa konjugiranosti u 
}$G$.

\begin{definition}
Ure\dj ena trojka $(R,+,\cdot )$ koja se sastoji od nepraznog skupa $R$ i
dvije binarne operacije $\cdot $, $+:R\times R\rightarrow R$ je \textbf{%
prsten} ako vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] $(R,+)$ je Abelova grupa.

\item[2)] \textbf{Asocijativnost mno\v{z}enja}, tj. $\forall a,b,c\in R$
vrijedi $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.$

\item[3)] \textbf{Distributivnost} mno\v{z}enja i zbrajanja, tj. $\forall
a,b,c\in R$ vrijedi 
\begin{eqnarray*}
a\cdot (b+c) &=&a\cdot b+a\cdot c \\
(a+b)\cdot c &=&a\cdot c+b\cdot c.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{definition}

Prsten\ $(R,+,\cdot )$ ozna\v{c}avati \'{c}emo sa $R$, a skup $R\backslash
\{0\}$ sa $R^{\ast }$.

\textbf{Prsten s jedinicom} je prsten koji sadr\v{z}i jedinicu za mno\v{z}%
enje. \textbf{Komutativan prsten} je prsten u kojem je operacija mno\v{z}%
enja komutativna.

\begin{definition}
Neprazan podskup $S\subseteq R$ prstena $R$ je \textbf{potprsten} od $R$ ako
je $S$ prsten s obzirom na binarne operacije iz $R$.
\end{definition}

\textbf{Trivijalni potprsteni} prstena $R$\ su $R$ i $\{0\}$.

\begin{proposition}
Neprazan podskup $S$ prstena $R$ je potprsten od $R$ ako i samo ako za svaki 
$a,b\in S$ vrijedi $a-b\in S$, $a\cdot b\in S$.
\end{proposition}

\begin{example}
Ako na skupu $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{n}=\{[0],[1],\ldots ,[n-1]\}$ klasa ostataka modulo $n$, definiramo
operacije zbrajanja i mno\v{z}enja sa:%
\begin{eqnarray*}
\lbrack a]+[b] &=&[a+b] \\
\lbrack a]\cdot \lbrack b] &=&[a\cdot b],
\end{eqnarray*}%
tada je ure\dj ena trojka $(%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{n},+,\cdot )$ komutativan prsten s jedinicom kojeg zovemo \textbf{prsten
klasa ostataka modulo }$n$.
\end{example}

\begin{definition}
Potprsten $I$ prstena $R$ je \textbf{ideal} u $R$ ako $\forall r\in R,$ $%
\forall a\in I$ vrijedi $ar$, $ra\in I$.
\end{definition}

\textbf{Trivijalni ideali} prstena $R$\ su $R$ i $\{0\}$.

\begin{definition}
Neka je $R$ komutativan prsten s jedinicom, $a\in R$. Skup%
\begin{equation*}
(a)=\{r\cdot a\text{; }r\in R\}
\end{equation*}%
je ideal u $R$ kojeg zovemo \textbf{glavni ideal} \textbf{u} $R$ \textbf{%
generiran elemetom} $a$. Naime, ako prsten $R$ nema jedinicu onda je $%
(a)=\{r\cdot a+n\cdot a$; $r\in R$, $n\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\}$.
\end{definition}

Glavni ideal $(a)$ je najmanji ideal u $R$ koji sadr\v{z}i element $a$.

\begin{definition}
Prsten u kojem je svaki ideal glavni zovemo \textbf{prsten glavnih ideala}.
\end{definition}

\begin{example}
Prsten cijelih brojeva je prsten glavnih ideala.
\end{example}

Neka je $R$ prsten, $I$ ideal u $R$. Budu\'{c}i da je $(R,+)$ Abelova grupa,
tada je njena podgrupa $(I,+)$ normalna podgrupa. Susjedne klase grupe $%
(R,+) $ po normalnoj podgrupi $(I,+)$ su oblika $[a]=a+I$, a zovemo ih 
\textbf{klase ostataka prstena }$R$\textbf{\ modulo }$I$. Prema Teoremu \ref%
{kvgru}, ure\dj en par koji se sastoji od skupa svih spomenutih klasa
zajedno sa binarnom operacijom zbrajanja na tom skupu definiranom sa%
\begin{equation*}
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I
\end{equation*}%
je Abelova grupa $(R/I,+)$.

\begin{proposition}
Neka je $R$ prsten, $I$ ideal u $R$. Ure\dj ena trojka koja se sastoji od
skupa svih klasa ostataka prstena $R$ modulo $I$ i dvije binarne operacije
na tom skupu, definirane sa:%
\begin{eqnarray*}
(a+I)+(b+I) &=&(a+b)+I \\
(a+I)\cdot (b+I) &=&(a\cdot b)\cdot I,
\end{eqnarray*}%
$\forall a,b\in R$, je prsten kojeg zovemo \textbf{kvocijentni prsten }$R/I$ 
\textbf{prstena }$R$\textbf{\ po idealu }$I.$
\end{proposition}

Ako je $R$ komutativan prsten, tada je i $R/I$ komutativan prsten.

\begin{definition}
Neka su $R$ i $P$ dva prstena. Preslikavanje $f:R\rightarrow P$ sa svojstvom
da za svaki $a,b\in R$ vrijedi:%
\begin{eqnarray*}
f(a+b) &=&f(a)+f(b)\text{, } \\
f(a\cdot b) &=&f(a)\cdot f(b)\text{,}
\end{eqnarray*}%
je \textbf{homomorfizam }sa prstena $R$ u prsten $P$.
\end{definition}

Jezgra i slika homomorfizma prstena, kao i pojmovi monomorfizma,
epimorfizma, izomorfizma i automorfizma prstena definiraju se analogno istim
pojmovima kod grupa.

\begin{theorem}
(\textbf{o homomorfizmu prstena}) Neka je $f:R\rightarrow P$ homomorfizam sa
prstena $R$ u prsten $P$. Tada je%
\begin{equation*}
R/K\func{erf}\cong \func{Im}f\text{.}
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{example}
Preslikavanje $f$ sa prstena cijelih brojeva $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ na prsten $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{n}$ klasa ostataka modulo $n$, definirano sa $f(a)=[a]$, $\forall a\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ je epimorfizam sa prstena $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ na prsten $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{n}$. Budu\'{c}i da je 
\begin{equation*}
K\func{erf}=\{a\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\text{; }[a]=[0]\}=(n)\text{,}
\end{equation*}%
vrijedi $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(n)\cong 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{n}$.
\end{example}

\begin{definition}
Neka je $R$ prsten. Ako postoji prirodan broj $n$ takav da je 
\begin{equation*}
n\cdot a=0,\forall a\in R,
\end{equation*}
tada najmanji prirodan broj sa tim svojstvom zovemo \textbf{karakteristika
prstena} $R$. Ako takav prirodan broj $n$ ne postoji ka\v{z}emo da je 
\textbf{prsten karakteristike nula}$.$
\end{definition}

Karakteristiku prstena $R$ bilje\v{z}imo sa $k(R)$.

\begin{lemma}
\label{karak}Neka je $R$ prsten sa jedinicom $e$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] Karakteristika $k(R)$ prstena $R$ je prirodan broj ako i samo ako
je $k(R)$ najmanji prirodan broj $n$ za koji vrijedi $n\cdot e=0$.

\item[2)] Prsten $R$ je karakteristike nula ako i samo ako $\forall n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ vrijedi $n\cdot e\neq 0$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{theorem}
\label{bin}Neka je $R$ komutativan prsten proste karakteristike $p$. Tada
vrijedi%
\begin{eqnarray}
(a+b)^{p^{n}} &=&a^{p^{n}}+b^{p^{n}}\text{,}  \TCItag*{(2)}  \label{p1} \\
(a-b)^{p^{n}} &=&a^{p^{n}}-b^{p^{n}},  \TCItag*{(3)}  \label{p2}
\end{eqnarray}%
$\forall a,b\in R$\ i $\forall n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Prvu tvrdnju dokazujemo indukcijom.

\underline{Baza indukcije.} Koriste\'{c}i Binomni pou\v{c}ak dobijemo:%
\begin{equation*}
(a+b)^{p}=a^{p}+\tbinom{p}{1}a^{p-1}b+\cdots +\tbinom{p}{p-1}ab^{p-1}+b^{p}.
\end{equation*}%
Binomni koeficijenti $\tbinom{p}{k}$, $\forall k\in \{1,\ldots ,p-1\}$ su
djeljivi sa $p$, jer je $p$ prost broj i $\tbinom{p}{k}=\tfrac{p(p-1)\cdots
(p-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$. Kako je $p$ karakteristika prstena $R$, tada je $\tbinom{p}{k}%
a^{p-k}b^{k}=0$, $\forall k\in \{1,\ldots ,p-1\}$. Dakle, dokazali smo da je 
$(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$, $\forall a,b\in R.$

\underline{Pretpostavka indukcije.} Neka vrijedi $%
(a+b)^{p^{n-1}}=a^{p^{n-1}}+b^{p^{n-1}}$, $\forall a,b\in R$.

\underline{Korak indukcije.} Koriste\'{c}i dokazano, dobije se 
\begin{equation*}
(a+b)^{p^{n}}=\left( (a+b)^{p^{n-1}}\right)
^{p}=(a^{p^{n-1}}+b^{p^{n-1}})^{p}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}},\text{ }\forall
a,b\in R.
\end{equation*}%
Druga tvrdnja slijedi iz prve, jer vrijedi%
\begin{equation*}
a^{p^{n}}=[(a-b)+b)]^{p^{n}}=(a-b)^{p^{n}}+b^{p^{n}}\text{.}
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{definition}
Za element $a\neq 0$ komutativnog prstena $R$ ka\v{z}emo da je \textbf{%
djelitelj nule}, ako postoji $b\in R^{\ast }$ tako da vrijedi $ab=0$.
\end{definition}

\begin{definition}
Prsten s jedinicom $e\neq 0$, a bez djelitelja nule nazivamo\textbf{\ domena}%
, a komutativnu domenu zovemo \textbf{integralna domena}.
\end{definition}

\begin{proposition}
\label{skrac}Ako je $D$ integralna domena i $a\neq 0$, tada u $D$ vrijedi
pravilo desnog skra\'{c}ivanja, odnosno iz $ba=ca$, gdje su $b,c\in D$,
slijedi $b=c$. Vrijedi i pravilo lijevog skra\'{c}ivanja.
\end{proposition}

\begin{proof}
Ako je $ba=ca$, tada je $(b-c)a=0$. Po\v{s}to u $D$ nema djelitelja nule i $%
a\neq 0$, slijedi $b-c=0$, odnosno $b=c$.
\end{proof}

\begin{definition}
\textbf{Tijelo }je prsten u kojem svi elementi razli\v{c}iti od nule \v{c}%
ine multiplikativnu grupu.
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Polje} je komutativno tijelo.
\end{definition}

Potpuno analogno pojmu potprstena definira se podtijelo i potpolje.

\begin{definition}
Ako je broj elemenata polja $F$ kona\v{c}an, ka\v{z}emo da je $F$ \textbf{%
kona\v{c}no polje}, a spomenuti broj zovemo \textbf{red kona\v{c}nog polja}
i bilje\v{z}imo ga sa $|F|$.
\end{definition}

\begin{theorem}
Svaka kona\v{c}na integralna domena je polje.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka su $a_{1},\ldots ,a_{n}$ razli\v{c}iti elementi integralne domene $D$.
Da bi $D$ bila polje treba svakom elementu iz $D^{\ast }$ na\'{c}i
multiplikativni inverz. Neka je $a\in D^{\ast }$. Poka\v{z}imo da su svi
elementi $a_{1}a,\ldots ,a_{n}a$ me\dj usobno razli\v{c}iti. Pretpostavimo
suprotno, tj. postoje $i$, $j\in \{1,\ldots ,n\}$, $i\neq j$, tako da
vrijedi $a_{i}a=a_{j}a$. Tada iz $\Pr $opozicije \ref{skrac}, slijedi $%
a_{i}=a_{j}$, a \v{s}to je u kontradikciji s \v{c}injenicom da su svi
elementi $a_{1},\ldots ,a_{n}$ me\dj usobno razli\v{c}iti. Dakle, svaki
element iz $D$ ima prikaz oblika $a_{i}a$, gdje je $i\in \{1,\ldots ,n\}$,
pa prema tome postoji takav $k\in \{1,\ldots ,n\}$ da vrijedi $e=a_{k}a$.
Zbog komutativnosti mno\v{z}enja u $D$, $a_{k}$ je multiplikativni inverz
elementa $a$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{kar}Ako je $R\neq \{0\}$ prsten s jedinicom bez djelitelja nule, tada
vrijedi jedna od slijede\'{c}ih tvrdnji:

\begin{enumerate}
\item[1)] Karakteristika $p$ prstena $R$ je prost broj, te$\ \forall a\in R$%
, $\forall m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ vrijedi $m\cdot a=0$ ako i samo ako $p\mid m$ ili $a=0$.

\item[2)] Prsten $R$ je karakteristike $0$, te $\forall a\in R$, $\forall
m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ vrijedi $m\cdot a=0$ ako i samo ako $a=0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Prvo \'{c}emo pokazati da je karakteristika prstena $R$ ili $0$ ili prost
broj. Ako je karakteristika od $R$ prirodan broj $p$, tada je $p>1$, jer $R$
osim $0$ sadr\v{z}i i jedinicu $e\neq 0$. Pretpostavimo da je $p$ slo\v{z}en
broj, tj. $p=k\cdot l$, gdje su $k,$ $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $1<k,l<p$. Iz Leme \ref{karak}, slijedi $k\cdot e\neq 0$ i $l\cdot e\neq
0 $. Tada\ smo, kako vrijedi 
\begin{equation*}
0=p\cdot e=(k\cdot e)(l\cdot e),
\end{equation*}%
do\v{s}li u kontradikciju sa \v{c}injenicom da u prstenu $R$ nema djelitelja
nule. Dakle, $p$ je prost broj.

Neka je karakteristika prstena $R$ prost broj $p$. Ako za $m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $a\in R$ vrijedi $p\mid m$ ili $a=0$, tada je o\v{c}ito $m\cdot a=0$.
Poka\v{z}imo da vrijedi i obrat te tvrdnje. Neka je $m\cdot a=0$, gdje je $%
a\in R$, $m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Ako je $a=0$, nema se \v{s}to dokazati. Pretpostavimo li da je $a\neq 0$,
tada je $(m\cdot e)\cdot a=m\cdot a=0$. Iz $(m\cdot e)\cdot a=0$ i $a\neq 0$%
, a budu\'{c}i da $R$ nema djelitelja nule, slijedi $m\cdot e=0$, pa je,
prema Lemi \ref{karak}, $m\geqslant p$. Lako se poka\v{z}e da vrijedi $p\mid
m$.

Dokaz ostataka tvrdnje teorema je sli\v{c}an.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{prost}Kona\v{c}no polje ima za karakteristiku prost broj.
\end{theorem}

\begin{proof}
Poka\v{z}emo li da je karakteristika kona\v{c}nog polja $F$ prirodan broj,
tada iz prethodnog teorema slijedi da je taj broj prost. Promotrimo skup 
\begin{equation*}
\{n\cdot e;n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
\}\subseteq F.
\end{equation*}%
Svi elementi tog skupa ne smiju biti razli\v{c}iti, jer je polje $F$ kona%
\v{c}no. Prema tome postoje $k,l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $k\neq l$, tako da je $k\cdot e=l\cdot e$. Bez smanjenja op\'{c}enitosti
mo\v{z}emo pretpostaviti da je $l>k$, pa je $l-k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $(l-k)\cdot e=0$. Iz Leme \ref{karak}, slijedi da je karakteristika
polja $F$ prirodan broj.
\end{proof}

\begin{lemma}
Ako je $p$ prost broj, tada je kvocijentni prsten $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$ prstena $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ po glavnom idealu $(p)$ kona\v{c}no polje reda $p$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Vidjeli smo da je $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$ komutativan prsten s jedinicom koji ima $p$ razli\v{c}itih elemenata,
jer je $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)\cong 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{p}$. Kako je svaka kona\v{c}na integralna domena polje, da bi dokazali da
je $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$ polje dovoljno je pokazati da nema djelitelja nule. Elementi iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$ su klase 
\begin{equation*}
\lbrack 0]=0+(p),\text{ }[1]=1+(p),\ldots ,[p-1]=p-1+(p)
\end{equation*}%
ostataka prstena $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ modulo $(p)$. Ako je $[a]\cdot \lbrack b]=[0]$, tada je $[a\cdot b]=[0],$
tj. 
\begin{equation*}
a\cdot b\in (p)=\{k\cdot p;\text{ }k\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\}\text{.}
\end{equation*}%
Dakle, $p\mid ab$, a kako je $p$ prost broj, tada $p$ dijeli barem jednog od
faktora tog produkta. Prema tome, iz $[a]\cdot \lbrack b]=[0]$, zaklju\v{c}%
ujemo da je barem jedan od $[a]$ i $[b]$ jednak nuli u $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$. Dakle, $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$ nema djelitelja nule, a tada je $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$ kona\v{c}no polje reda $p$.
\end{proof}

Preslikavanja mogu biti kori\v{s}tena za preno\v{s}enje algebarske strukture
na skup bez strukture. Pokazat \'{c}emo kako strukturu prstena prenjeti na
skup $S$ bez stukture. Neka je $\psi :R\rightarrow S$ bijekcija sa prstena $%
R $ na skup $S$. Za $s_{1}$\ , $s_{2}\in S$ postoje jedinstveni $r_{1}$\ , $%
r_{2}\in R$ takvi da vrijedi $\psi (r_{i})=s_{i}$, $i\in \{1,2\}$. Ako
definiramo zbrajanje i mno\v{z}enje na $S$ sa%
\begin{eqnarray*}
s_{1}+s_{2} &:&=\psi (r_{1}+r_{2}), \\
s_{1}\cdot s_{2} &:&=\psi (r_{1}\cdot r_{2}),
\end{eqnarray*}%
tada je $S$ prsten u odnosu na definirane binarne operacije, a zovemo ga 
\textbf{prsten induciran preslikavanjem }$\psi $. Bijekcija $\psi
:R\rightarrow S$ je izomorfizam prstena $R$ i $S$. Na ovaj na\v{c}in se sva
svojstva prstena $R$ prenose se na $S$.

\begin{definition}
Neka je $F_{p}=\{0,1,\ldots ,p-1\}$, gdje je $p$ prost broj. Definiramo li
preslikavanje $\psi :%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)\rightarrow F_{p}$ sa $\psi ([a])=a$, $\forall a\in F_{p}$, tada polje $%
(F_{p},+,\cdot )$ inducirano preslikavanjem $\psi $ zovemo \textbf{Galoisovo
polje }reda $p.$
\end{definition}

\v{C}esto se za Galoisovo polje $F_{p}$ reda $p$ koristi oznaka $GF(p)$.

Iz definicija binarnih operacija na $F_{p}$ vidimo da su to operacije
zbrajanja, mno\v{z}enja cijelih brojeva modulo $p$. Nula i jedinica u $F_{p}$
su $0$ i $1$, te vrijedi $F_{p}\cong 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)$.

\subsection{Prsten polinoma}

Neka je $R$ prsten. \textbf{Polinom} $n-$\textbf{tog stupnja\ }nad $R$ je
izraz oblika%
\begin{equation*}
f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}=\tsum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i},
\end{equation*}%
gdje su $a_{0},\ldots ,a_{n}\in R$ \textbf{koeficijenti} polinoma $f(x)$, $%
a_{n}\neq 0$ , $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, a $x$ je neki simbol. Koeficijent $a_{n}$ zovemo \textbf{vode\'{c}i
koeficijent polinoma }$f(x)$, a \v{c}injenicu da je $f(x)$ stupnja $n$ bilje%
\v{z}imo sa $\deg f(x)=n$.

Polinom $f(x)=0$ zovemo \textbf{nulpolinom }nad $R$. Za nulpolinom ka\v{z}%
emo da je stupnja $-\infty $. Polinome oblika $f(x)=a$, $\forall a\in
R^{\ast }$, zovemo \textbf{konstantama} ili \textbf{konstantnim polinomima }%
nad $R$. Stupanj konstante je nula. Skup svih polinoma nad $R$ bilje\v{z}imo
sa $R[x]$.

Za dva polinoma nad prstenom $R$ ka\v{z}emo da su \textbf{jednaki} ako su im
jednaki koeficijenti uz iste potencije od $x$. Ako $R$ ima jedinicu $1$ i
ako je vode\'{c}i koeficijent nekog polinoma jednak $1$, takav polinom
zovemo \textbf{normirani polinom}.

Na skupu $R[x]$ svih polinoma nad prstenom $R$ definirat \'{c}emo operacije
zbrajanja i mno\v{z}enja. Zbroj polinoma $f(x)=\tsum%
\nolimits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$, $g(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\in
R[x]$ je polinom%
\begin{equation*}
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{\max (m,n)}(a_{i}+b_{i})x^{i}\text{,%
}
\end{equation*}
gdje za $i>n$ definiramo $a_{i}=0$, a za $i>m$ definiramo $b_{i}=0$. Umno%
\v{z}ak polinoma $f(x)$, $g(x)\in R[x]$ je polinom%
\begin{equation*}
(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\tsum\nolimits_{k=0}^{m+n}c_{k}x^{k}\text{,}
\end{equation*}%
gdje je $c_{k}=\tsum\nolimits_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$. O\v{c}ito su $(f+g)(x)$%
, $(f\cdot g)(x)\in R[x].$

Uz ovako definirane binarne operacije ure\dj ena trojka $(R[x],+,\cdot )$ je
prsten kojeg zovemo \textbf{prsten polinoma }nad $R$. Prsten $R$ je
potprsten tog prstena.

\begin{lemma}
\label{stupanj}Neka je $R$ prsten, a $f(x)$, $g(x)\in R[x]$. Tada je 
\begin{eqnarray*}
\deg (f+g)(x) &\leqslant &\max \{\deg f(x)\text{, }\deg g(x)\}, \\
\deg (f\cdot g)(x) &\leqslant &\deg f(x)+\deg g(x).
\end{eqnarray*}%
Ako je $R$ integralna domena, tada je $\deg (f\cdot g)(x)=\deg f(x)+\deg
g(x).$
\end{lemma}

\begin{lemma}
Neka je $R$ prsten.

\begin{enumerate}
\item[1)] $R[x]$ je komutativan prsten ako i samo ako je $R$ komutativan
prsten.

\item[2)] $R[x]$ je prsten s jedinicom ako i samo ako je $R$ prsten s
jedinicom.

\item[3)] $R[x]$ je integralna domena ako i samo ako je $R$ integralna
domena.
\end{enumerate}
\end{lemma}

Od sada pa nadalje promatrat \'{c}emo polinome nad poljem $F$.

\begin{definition}
Neka su $f(x)$ i $g(x)$ polinomi nad poljem $F$. Ka\v{z}emo da polinom $g(x)$
\textbf{dijeli} polinom $f(x)$ ako postoji takav $q(x)\in F[x]$ da vrijedi $%
f(x)=g(x)q(x)$. Polinom $g(x)$ je \textbf{djelitelj} ili \textbf{faktor} od $%
f(x)$.
\end{definition}

\begin{theorem}
(\textbf{o dijeljenju polinoma})Neka su $f(x)$ i $g(x)$ polinomi nad poljem $%
F$, $g(x)\neq 0$. Tada postoje jedinstveni $q(x)$, $r(x)\in F[x]$ tako da
vrijedi 
\begin{equation*}
f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x),
\end{equation*}%
gdje je $\deg r(x)<\deg g(x)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Prvo \'{c}emo dokazati egzistenciju. Ako je $\deg f(x)<\deg g(x)$, tada je $%
r(x)=f(x),$ $q(x)=0$. Pretpostavimo da je $\deg f(x)\geqslant \deg g(x)$.
Dokaz \'{c}emo izvr\v{s}iti indukcijom po stupnju polinoma $f(x)$.

\underline{Baza indukcije}. Ako je $\deg f(x)=0$, tada je tvrdnja trivijalna.

\underline{Pretpostavka indukcije}. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za
polinome $f(x)$ stupnja strogo manjeg od $n$.

\underline{Korak indukcije}. Doka\v{z}imo da tvrdnja vrijedi za polinome $%
f(x)$ stupnja $n$. Neka je $f(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$, $%
g(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\in F[x]$. Definiramo li 
\begin{equation*}
f_{1}(x)=f(x)-(a_{n}b_{m}^{-1})x^{n-m}g(x)\in F[x],
\end{equation*}%
tada je $\deg f_{1}(x)<n$, pa prema pretpostavci indukcije postoje $%
r_{1}(x), $ $q_{1}(x)\in F[x]$, tako da vrijedi $\deg r_{1}(x)<\deg g(x)$ i $%
f_{1}(x)=g(x)\cdot q_{1}(x)+r_{1}(x)$. Dakle, 
\begin{equation*}
f(x)=[q_{1}(x)+a_{n}b_{m}^{-1}x^{n-m}]g(x)+r_{1}(x),
\end{equation*}%
gdje su $r_{1}(x)$, $q_{1}(x)+a_{n}b_{m}^{-1}x^{n-m}\in F[x]$, $\deg
r_{1}(x)<\deg g(x)$.

Doka\v{z}imo jedinstvenost. Neka su $r_{i}(x),$ $q_{i}(x)\in F[x]$, takvi da
je 
\begin{equation*}
\deg r_{i}(x)<\deg g(x)\text{, }f(x)=g(x)\cdot q_{i}(x)+r_{i}(x),\forall
i\in \{1,2\}.
\end{equation*}%
Oduzimanjem te dvije jednakosti dobijemo $%
[q_{1}(x)-q_{2}(x)]g(x)=r_{2}(x)-r_{1}(x)$. Prema Lemi \ref{stupanj},
polinom s desne strane te jednakosti stupnja je strogo manjeg od $\deg g(x)$%
, dok je polinom s lijeve strane stupnja $-\infty $\ ili ve\'{c}eg od $\deg
g(x)$. Budu\'{c}i da dva jednaka polinoma moraju imati isti stupanj, tada
vrijedi 
\begin{equation*}
\deg (r_{2}-r_{1})(x)=\deg [(q_{1}-q_{2})g](x)=-\infty
\end{equation*}%
Odnosno, $r_{1}(x)=r_{2}(x)$ i $q_{1}(x)=q_{2}(x)$, jer je $g(x)\neq 0$.
\end{proof}

Polinom $q(x)$ iz prethodnog teorema zovemo \textbf{kvocijent polinoma }$%
f(x) $ i $g(x)$, a $r(x)$ \textbf{ostatak djeljenja} tih polinoma.

\begin{definition}
Neka je $F$ polje, $f(x)$, $g(x)$ $\in F[x]^{\ast }$. Polinom $h(x)\in F[x]$
je \textbf{zajedni\v{c}ka mjera} polinoma $f(x)$ i $g(x)$ u $F[x]$, ako
dijeli oba spomenuta polinoma. Normiranu zajedni\v{c}ku mjeru u $F[x]$
polinoma $f(x)$, $g(x)$ koju dijeli svaka zajedni\v{c}ka mjera u $F[x]$ tih
polinoma zovemo \textbf{najve\'{c}a zajedni\v{c}ka mjera }od $f(x)$ i $g(x)$
u $F[x]$.
\end{definition}

\begin{theorem}
(\textbf{o najve\'{c}oj zajedni\v{c}koj mjeri polinoma})Neka je $F$ polje.
Postoji jedinstvena najve\'{c}a zajedni\v{c}ka mjera u $F[x]$ bilo koja dva
polinoma iz $F[x]^{\ast }$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Dokaz jedinstvenosti je trivijalan. Egzistencija se doka\v{z}e pomo\'{c}u
takozvanog \textbf{Euklidovog algoritma}, koji se sastoji od uzastopne
primijene Teorema o dijeljenju polinoma. Neka su $f(x)$, $g(x)$ $\in
F[x]^{\ast }$. Bez smanjenja op\'{c}enitosti mo\v{z}emo pretpostaviti da je $%
\deg f(x)\geqslant \deg g(x)$. Tra\v{z}imo niz polinoma $r_{1}(x),r_{2}(x),%
\ldots $ nad poljem $F$ takvih da je $r_{1}(x)$ ostatak dijeljenja polinoma $%
f(x)$ sa $g(x)$, $r_{2}(x)$ ostatak dijeljenja polinoma $g(x)$ sa $r_{1}(x)$%
, a $r_{3}(x)$ ostatak dijeljenja polinoma $r_{1}(x)$ sa $r_{2}(x)$,\ldots\
Za niz ostataka $r_{1}(x),r_{2}(x),\ldots $ navedenog dijeljenja, a prema
Teoremu o dijeljenju polinoma, vrijedi da stupnjevi tih polinoma strogo
padaju. Zaklju\v{c}ujemo da u kona\v{c}no mnogo koraka moramo do\'{c}i do
ostatka $r_{k}(x)\neq 0$, tako da vrijedi da je ostatak dijeljenja polinoma $%
r_{k-1}(x)$ sa $r_{k}(x)$ nulpolinom $r_{k+1}(x)$. Doka\v{z}e se da je
polinom $c^{-1}r_{k}(x)$ upravo najve\'{c}a zajedni\v{c}ka mjera od $f(x)$ i 
$g(x),$ gdje je $c$ vode\'{c}i koeficijent polinoma $r_{k}(x)$.
\end{proof}

Pomo\'{c}u Euklidovog algoritma doka\v{z}e se i slijede\'{c}i teorem.

\begin{theorem}
\label{zabor}Neka je $F$ polje, a $f(x)$, $g(x)$ $\in F[x]^{\ast }$. Tada
postoje takvi polinomi $k(x)$, $l(x)$ $\in F[x]$ da vrijedi%
\begin{equation*}
m(x)=k(x)\cdot f(x)+l(x)\cdot g(x),
\end{equation*}%
gdje je $m(x)\in F[x]$ najve\'{c}a zajedni\v{c}ka mjera polinoma $f(x)$ i $%
g(x)$ u $F[x]$.
\end{theorem}

\begin{definition}
Neka je $f(x)$ polinom nad poljem $F$. \textbf{Nulto\v{c}ka }ili \textbf{%
korijen} \textbf{polinoma} $f(x)$ u $F$ je element $a\in F$ za koji vrijedi $%
f(a)=0$.
\end{definition}

Koriste\'{c}i teorem o dijeljenju polinoma, lako se doka\v{z}e:

\begin{lemma}
\label{korijen}Element $a$ iz polja $F$ je korijen polinoma $f(x)\in F[x]$
ako i samo ako 
\begin{equation*}
(x-a)\mid f(x).
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{definition}
Za korijen $a\in F$ polinoma $f(x)$ nad poljem $F$ ka\v{z}emo da je \textbf{%
kratnosti }$l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ ako vrijedi $(x-a)^{l}\mid f(x)$, te $(x-a)^{l+1}\nmid f(x)$.
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Derivacija polinoma} $f(x)=\tsum\nolimits_{i=o}^{n}a_{i}x^{i}$ nad
poljem $F$ je polinom $f^{\prime
}(x)=\tsum\nolimits_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}\in F[x]$ $.$
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{deriv}Korijen $a\in F$ nekog polinoma nad poljem $F$ je vi\v{s}%
ekratan ako i samo ako je $a$\ korijen i derivacije tog polinoma.
\end{lemma}

\begin{theorem}
\label{norm}Ako je $F$ polje, tada je $F[x]$ prsten glavnih ideala i za
svaki ideal $I$ u $F$, $I\neq (0)$ postoji jedinstven normiran polinom $%
g(x)\in F[x]$ takav da je $I=(g(x))$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Doka\v{z}imo egzistenciju. Za trivijalni ideal $I=\{0\}$ vrijedi $I=(0)$.
Sad pretpostavimo da je $I\neq \{0\}$ ideal u $F[x]$. Neka je $h(x)$ nenulti
polinom najmanjeg mogu\'{c}eg stupnja u idealu $I$. Ako je $a$ vode\'{c}i
koeficijent polinoma $h(x)$, tada definirajmo $g(x)=a^{-1}h(x)$ i poka\v{z}%
imo da vrijedi $I=(g(x))$. Kako je o\v{c}ito da je $(g(x))\subseteq I$,
treba jo\v{s} samo pokazati da je proizvoljan $f(x)\in I$ element glavnog
ideala $(g(x))$. Prema Teoremu o dijeljenju polinoma, postoje jedinstveni $%
q(x),$ $r(x)\in F[x]$, takvi da vrijedi $f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x),$ gdje je $%
\deg r(x)<\deg g(x)$. Iz $r(x)=f(x)-g(x)\cdot q(x)$ slijedi $r(x)\in I$, a po%
\v{s}to je $\deg r(x)<\deg g(x)$, tada je $r(x)=0$, odnosno 
\begin{equation*}
f(x)=g(x)\cdot q(x)\in (g(x)).
\end{equation*}

Doka\v{z}imo jedinstvenost. Neka je $g_{1}(x)\in F[x]$ normirani polinom
koji tako\dj er generira ideal $I$, tj. vrijedi $(g(x))=I=(g_{1}(x))$. Budu%
\'{c}i da je $g(x)\in (g_{1}(x))$, tada $g_{1}(x)\mid g(x)$, pa prema Lemi %
\ref{stupanj}, vrijedi $\deg g_{1}(x)\leqslant \deg g(x)$. Me\dj utim, iz
definicije polinoma $g(x)$, slijedi $\deg g_{1}(x)=\deg g(x)$, a tada je $%
b\cdot g_{1}(x)=g(x)$, gdje je $b\in F^{\ast }$. Kako su oba spomenuta
polinoma normirana, zaklju\v{c}ujemo da je $b=1.$
\end{proof}

\begin{definition}
Za polinom $f(x)$ $\in $ $F[x]$ ka\v{z}emo da je \textbf{ireducibilan} nad
poljem $F$, ako je pozitivnog stupnja i ako iz izraza $f(x)=a(x)\cdot b(x)$,
gdje su $a(x)$ i $b(x)$ iz prstena $F[x]$, slijedi da je jedan od tih
polinoma konstanta u $F$.
\end{definition}

Za polinom pozitivnog stupnja iz $F[x]$ koji nije ireducibilan nad $F$\ ka%
\v{z}emo da je \textbf{reducibilan} nad $F$.

Postoji veza izme\dj u ireducibilnosti nekog polinoma i korijena tog
polinoma. Ako je $f(x)\in F[x]$ polinom stupnja $\geqslant 2$ ireducibilan
nad poljem $F$, tada prema Lemi \ref{korijen}, nema korijena u $F$. Obrat
vrijedi samo za polinome stupnja $2$ i $3$.

\begin{theorem}
Polinom $f(x)\in F[x]$ stupnja $2$ ili $3$ je ireducibilan nad poljem $F$
ako i samo ako nema korijena u $F$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Doka\v{z}imo dovoljnost. Neka $f(x)$ nema nulto\v{c}ki u $F$. Pretpostavimo
li da je $f(x)$ reducibilan nad $F$, tada se mo\v{z}e zapisati u obliku $%
f(x)=k(x)\cdot l(x)$, gdje je jedan od navedenih faktora polinoma $f(x)$,
recimo $k(x)$, stupnja $1$, a drugi stupnja $1$ ili $2$, ovisno o stupnju
polinoma $f(x)$. Ako je $k(x)=cx+d\in F[x]$, tada je $f(x)=(cx+d)\cdot l(x)$%
, pa je o\v{c}ito $c^{-1}d\in F$ nulto\v{c}ka polinoma $f(x)$. Do\v{s}li smo
do kontradikcije, jer po pretpostavci taj polinom nema nulto\v{c}ki u $F$, 
\v{c}ime smo dokazali tvrdnju.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{ired}Neka je $F$ polje, $f(x)$ $\in F[x]$. Kvocijentni prsten $%
F[x]/(f(x))$ je polje ako i samo ako je polinom $f(x)$ ireducibilan nad $F$.
\end{theorem}

\begin{proof}
\fbox{$\Leftarrow $} Ako je $F$ polje tada je $F[x]/(f(x))$ komutativan
prsten s jedinicom. Treba pokazati da svaki element iz $F[x]/(f(x))$, razli%
\v{c}it od nultog, ima multiplikativni inverz. Uzmimo $[h(x)]\in \left(
F[x]/(f(x))\right) ^{\ast }$. Tada vrijedi $[h(x)]\neq \lbrack 0]=(f(x))$,
tj. $f(x)$ ne dijeli $h(x)$. Kako je $f(x)$ ireducibilan, najve\'{c}a zajedni%
\v{c}ka mjera tih polinoma u $F[x]$ je $e\in F$. Prema Teoremu \ref{zabor},
tada postoje takvi polinomi $l(x)$, $k(x)\in F[x]$ da vrijedi $e=k(x)\cdot
f(x)+l(x)\cdot h(x).$ Me\dj utim iz toga slijedi $e-l(x)\cdot h(x)=k(x)\cdot
f(x)\in (f(x))$, a pa prema definiciji klasa ostataka prstena $F[x]$ po
idealu $(f(x))$, dobijemo $[e]=[l(x)\cdot h(x)]$, odnosno $[e]=[l(x)]\cdot
\lbrack h(x)]$. Dakle, inverz elementa $[h(x)]$ u $F[x]/(f(x))$ je upravo 
\begin{equation*}
\lbrack l(x)]\in \left( F[x]/(f(x))\right) ^{\ast }.
\end{equation*}

\fbox{$\Rightarrow $} Neka je $F[x]/(f(x))$ polje. Treba pokazati da je $%
f(x) $ ireducibilan polinom nad poljem $F$. Pretpostavimo suprotno, tj.
postoje $s(x)$, $t(x)\in F[x]$, takvi da je $0<\deg s(x),\deg t(x)$ i $%
s(x)\cdot t(x)=f(x)$. Tada je $\deg s(x),\deg t(x)<\deg f(x)$ i $%
[0]=[f(x)]=[s(x)\cdot t(x)]$, a iz \v{c}ega dobijemo $[0]=[s(x)]\cdot
\lbrack t(x)]$. Budu\'{c}i da u polju $F[x]/(f(x))$ nema djelitelja nule,
tada barem jedan od $[s(x)]$ i $[t(x)]$ mora biti jednak $[0].$ Ako je $%
[s(x)]=$ $[0]=(f(x))$, tada $f(x)\mid s(x)$, \v{s}to je u kontradikciji sa $%
0<\deg s(x)<\deg f(x)$. Sli\v{c}no se poka\v{z}e da ne vrijedi $[t(x)]=$ $%
[0] $. Time smo dokazali tvrdnju.
\end{proof}

\begin{lemma}
Ako ireducibilan polinom $f(x)\in F[x]$ nad poljem $F$ dijeli polinom $%
f_{1}(x)\cdots f_{k}(x)$, gdje su $f_{i}(x)\in F[x]$, $\forall i\in
\{1,\ldots ,k\}$, tada $f(x)$ dijeli barem jednog od navedenih polinoma $%
f_{i}(x)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Po\v{s}to je $f(x)$ ireducibilan polinom nad poljem $F$, tada je, prema
prethodnom teoremu, kvocijentni prsten $F[x]/(f(x))$ polje. Iz $f(x)\mid
f_{1}(x)\cdots f_{k}(x)$ slijedi $f_{1}(x)\cdots f_{k}(x)\in (f(x))$, a
prema definiciji klasa ostataka prstena $F[x]$ po idealu $(f(x))$, dobijemo $%
[0]=[f_{1}(x)\cdots f_{k}(x)]$, odnosno $[0]=[f_{1}(x)]\cdots \lbrack
f_{k}(x)]$. Kako polje $F[x]/(f(x))$ nema djelitelja nule,\ tada postoji
barem jedan $i\in \{1,\ldots ,k\}$ takav da je $(f(x))=[0]=[f_{i}(x)]$,
odnosno $f_{i}(x)\in (f(x))$, pa $f(x)\mid f_{i}(x)$.
\end{proof}

\begin{theorem}
(\textbf{o jedinstvenosti rastava na ireducibilne polinome}) Neka je $F$
polje. Svaki polinom $f(x)\in F[x]$ pozitivnog stupnja mo\v{z}e se zapisati
u obliku 
\begin{equation}
f(x)=af_{1}^{e_{1}}(x)\cdots f_{k}^{e_{k}}(x)\text{,}  \tag*{(1)}  \label{p3}
\end{equation}%
gdje je $a$ vode\'{c}i koeficijent polinoma $f(x)$, $e_{1},\ldots ,e_{k}\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x)\in F[x]$ razli\v{c}iti, normirani i
ireducibilni polinomi nad $F$. Ovakav rastav polinoma $f(x)$ je jedinstven
do na poredak faktora.
\end{theorem}

\begin{proof}
Egzistencija se doka\v{z}e indukcijom po stupnju polinoma $f(x)$.

\underline{Baza indukcije.} Ako je $\deg f(x)=1$, tada je $f(x)$
ireducibilan polinom nad poljem $F$, a tra\v{z}eni rastav je $%
f(x)=a(a^{-1}f(x))$, gdje je $a$ vode\'{c}i koeficijent polinoma $f(x)$.

\underline{Pretpostavka indukcije.} Neka tvrdnja vrijedi za nekonstantne
polinome iz prstena $F[x]$, stupnja strogo manjeg od $n$.

\underline{Korak indukcije.} Doka\v{z}imo tvrdnju za polinom $f(x)\in F[x]$,
stupnja $n$.

Postoje dvije mogu\'{c}nosti:

\begin{enumerate}
\item[1)] Ako je $f(x)$ ireducibilan polinom nad poljem $F$, tada se tra\v{z}%
eni rastav dobije sli\v{c}no kao u bazi indukcije.

\item[2)] Ako je $f(x)$ reducibilan polinom nad poljem $F$, tada postoje
polinomi $g(x)$, $h(x)$ nad $F$ takvi da je $0<\deg g(x),\deg h(x)$ i $%
g(x)\cdot h(x)=f(x)$. Iz toga slijedi $\deg g(x),\deg h(x)<\deg f(x)$, pa
prema pretpostavci indukcije za polinome $g(x)$ i $h(x)$ vrijedi tvrdnja
teorema, a time i za $f(x)$.
\end{enumerate}

Doka\v{z}imo jedinstvenost. Pretpostavimo da postoje dva rastava polinoma $%
f(x)$ tra\v{z}enog oblika , tj. vrijedi%
\begin{equation}
f(x)=af_{1}^{e_{1}}(x)\cdots f_{k}^{e_{k}}(x),  \tag*{(2)}  \label{p4b}
\end{equation}%
\begin{equation}
f(x)=bg_{1}^{t_{1}}(x)\cdots g_{l}^{t_{l}}(x),  \tag*{(3)}  \label{p5b}
\end{equation}%
odnosno,%
\begin{equation}
af_{1}^{e_{1}}(x)\cdots f_{k}^{e_{k}}(x)=bg_{1}^{t_{1}}(x)\cdots
g_{l}^{t_{l}}(x).  \tag*{(4)}  \label{p6a}
\end{equation}%
Vode\'{c}i koeficijent polinoma s lijeve strane jednakosti \ref{p6a} je $a$,
dok je $b$ vode\'{c}i koeficijent polinoma s desne strane te jednakosti, jer
su svi navedeni polinomi $f_{i}(x)$ i $g_{j}(x)$ normirani. Budu\'{c}i da
jednaki polinomi iz $F[x]$ imaju iste koeficijente uz iste potencije
varijable $x$, tada je $a=b$.

Zbog ireducibilnosti polinoma $f_{1}(x)$, a koriste\'{c}i prethodnu lemu,
postoji barem jedan $j\in \{1,\ldots ,l\}$ takav da $f_{1}(x)$ dijeli
polinom $g_{j}(x)$. Me\dj utim, po\v{s}to su oba navedena polinoma normirana
i ireducibilna nad poljem $F$, slijedi $f_{1}(x)=g_{j}(x)$ i o\v{c}ito je $%
e_{1}=t_{j}$. Koriste\'{c}i \v{c}injenicu da je u integralnoj domeni $F[x]$
dozvoljeno desno i lijevo skra\'{c}ivanje, a zbog $f_{1}(x)\neq 0$, mo\v{z}%
emo eliminarati faktore $f_{1}^{e_{1}}(x)$ sa desne i lijeve strane
jednakosti\ \ref{p6a}. Nastavimo li postupak na opisani na\v{c}in, u kona%
\v{c}no mnogo koraka dobit \'{c}emo da se rastavi \ref{p4b} i \ref{p5b}
podudaraju do na poredak faktora.
\end{proof}

Rastav polinoma $f(x)\in F[x]$ oblika \ref{p3} zovemo \textbf{kanonski rastav%
} $f(x)$ u prstenu $F[x]$.

\subsection{Pro\v{s}irenja polja}

\begin{definition}
Za polje $F$ ka\v{z}emo da je \textbf{pro\v{s}irenje polja }$K$ ako je $K$
potpolje od $F$.
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Pravo potpolje }polja $F$ je potpolje $K\neq F.$
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Prosto polje} je polje koje nema pravih potpolja.
\end{definition}

\begin{example}
Polje racionalnih brojeva $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$ i Galoisovo polje $F_{p}$ su prosta polja.
\end{example}

Presjek bilo koje familije potpolja polja $F$ je, tako\dj er, potpolje od $F$%
. Presjek svih potpolja polja $F$ nazivamo \textbf{prosto potpolje} od $F$.
Prosto potpolje nekog polja je, o\v{c}ito, prosto polje.

\begin{theorem}
\label{galo}Prosto potpolje polja $F$ izomorfno je ili polju $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$ ili $F_{p}$ i u skladu s tim karakteristika polja $F$ je ili $0$ ili $p$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Karakteristika bilo kojeg polja je, prema Teoremu \ref{kar}, ili $0$ ili
prost broj.

Ako je prost broj $p$ karakteristika polja $F$, tada je podskup $%
\{0,e,2e,\ldots ,(p-1)e\}$ u $F$\ potpolje od $F$ sadr\v{z}ano u svakom
potpolju od $F$, dakle, to je prosto potpolje polja $F$. Lako se poka\v{z}e
da je preslikavanje definirano sa $\phi (k)=ke$, $\forall k\in F_{p}$,
izomorfizam prostog potpolja polja $F$ i Galoisovog polja $F_{p}$.

Ako je polje $F$\ karakteristike $0$, tada je podskup%
\begin{equation*}
\{(me)(ne)^{-1},\forall m\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
,\forall n\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
^{\ast }\}
\end{equation*}%
u $F$, prosto potpolje od $F$, a preslikavanje definirano sa $\phi
(mn^{-1})=(me)(ne)^{-1}$, $\forall m\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
,$ $\forall n\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
^{\ast }$, je izomorfizam prostog potpolja polja $F$ i polja $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$.
\end{proof}

\begin{definition}
Neka je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$, a $S$ podskup od $F$. Presjek $K(S)$
svih potpolja od $F$ koji sadr\v{z}e $K$ i $S$ zovemo \textbf{pro\v{s}irenje
polja }$K$\textbf{\ skupom }$S$. Ako je $S$ kona\v{c}an skup $\{\alpha
_{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ tada $K(S)$ bilje\v{z}imo sa $K(\alpha
_{1},\ldots ,\alpha _{n})$, a ako je $S=\{\alpha \}$, tada $K(\alpha )$
zovemo \textbf{jednostavno pro\v{s}irenje polja }$K$ \textbf{elementom} $%
\alpha $, kojeg nazivamo \textbf{generator }tog pro\v{s}irenja.
\end{definition}

O\v{c}ito je $K(S)$ najmanje potpolje polja $F$ koje sadr\v{z}i $K$ i $S$.

\begin{definition}
Neka je polje $F$ pro\v{s}irenje polja $K$. Element $\alpha \in F$ je 
\textbf{algebarski element }nad $K$ ako postoji polinom $f(x)\in K[x]$, razli%
\v{c}it od nulpolinoma, kojemu je $\alpha $ korijen. Za $\alpha \in F$ ka%
\v{z}emo da\ je \textbf{transcendentan element }nad $K$, ako nije algebarski
nad $K$.
\end{definition}

Svi elementi polja $K$ su algebarski nad $K$, jer je proizvoljan $a\in K$
korijen polinoma $f(x)=x-a\in K[x]$.

\begin{definition}
Pro\v{s}irenje $L$ polja $K$ je \textbf{algebarsko pro\v{s}irenje polja} $K$%
, ako je svaki element iz $L$ algebarski nad $K$.
\end{definition}

\begin{definition}
Za pro\v{s}irenje $L$ polja $K$ ka\v{z}emo da je \textbf{kona\v{c}no pro\v{s}%
irenje polja} $K$, ako je $L$ promatran kao vektorski prostor nad $K$ kona%
\v{c}nodimenzionalan. Dimenziju tog vektorskog prostora nazivamo \textbf{%
stupanj pro\v{s}irenja polja }$L$ nad $K$, a bilje\v{z}imo ga sa $[L:K]$.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{lokom}Ako je $M$ kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $L$, a $L$ kona\v{c}%
no pro\v{s}irenje polja $K$, tada je $M$ kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$
i vrijedi%
\begin{equation*}
\lbrack M:K]=[M:L]\cdot \lbrack L:K].
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ baza vektorskog prostora $M$ nad $L$, a $%
\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ baza vektorskog prostora $L$ nad $K$, odnosno
vrijedi $[M:L]=m$ i $[L:K]=n$. Dovoljno je pokazati da je skup 
\begin{equation}
\{a_{i}b_{j};1\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant n\}  \tag*{(1)}
\label{b1}
\end{equation}
baza vektorskog prostora $M$ nad $K$.

Uzmemo li proizvoljan $a\in M$, tada postoje jedinstveni $\alpha _{i}\in L$, 
$i\in \{1,\ldots ,m\}$ tako da vrijedi $a=\tsum\nolimits_{i=1}^{m}\alpha
_{i}a_{i}$. Sli\v{c}no, svaki od navedenih $\alpha _{i}\in L$ mo\v{z}e se,
na jedinstven na\v{c}in, zapisati u obliku $\alpha
_{i}=\tsum\nolimits_{j=1}^{n}\beta _{ij}b_{j}$, gdje su svi $\beta _{ij}\in
K $. Me\dj utim, tada je%
\begin{equation*}
a=\tsum\nolimits_{i=1}^{m}\alpha
_{i}a_{i}=\tsum\nolimits_{i=1}^{m}(\tsum\nolimits_{j=1}^{n}\beta
_{ij}b_{j})a_{i}=\tsum\nolimits_{i=1}^{m}\tsum\nolimits_{j=1}^{n}\beta
_{ij}a_{i}b_{j}\text{.}
\end{equation*}%
Time smo pokazali da je skup \ref{b1} upravo skup izvodnica vektorskog
prostora $M$ nad $K$. Poka\v{z}imo linearnu nezavisnost tog skupa.

Ako je 
\begin{equation*}
\tsum\nolimits_{i=1}^{m}\tsum\nolimits_{j=1}^{n}\gamma _{ij}a_{i}b_{j}=0%
\text{,}
\end{equation*}%
gdje su svi $\gamma _{ij}\in K$, tada je $\tsum\nolimits_{i=1}^{m}(\tsum%
\nolimits_{j=1}^{n}\gamma _{ij}b_{j})a_{i}=0$. Budu\'{c}i da su $%
\tsum\nolimits_{j=1}^{n}\gamma _{ij}b_{j}\in L$, za svaki $i\in \{1,\ldots
,m\}$, tada zbog linearne nezavisnosti vektora $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ nad 
$L$, slijedi $\tsum\nolimits_{j=1}^{n}\gamma _{ij}b_{j}=0$, $\forall $ $i\in
\{1,\ldots ,m\}$. No vektori $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ su linearno nezavisni
nad $K$, pa slijedi $\gamma _{ij}=0$, $\forall $ $i\in \{1,\ldots ,m\}$, $%
\forall $ $j\in \{1,\ldots ,n\}$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{konac}Svako kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$ je algebarsko pro%
\v{s}irenje nad $K$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $L$ kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$, stupnja $[L:K]=n$. Uzmimo
poizvoljan element $a\in L$ i poka\v{z}imo da je algebarski nad $K$. Skup $%
\{1,a,a^{2},\ldots ,a^{n}\}$ se sastoji od $n+1$ vektora iz vektorskog
prostora $L$ nad $K$, pa je taj skup linearno zavisan, iz \v{c}ega slijedi
da postoje $\alpha _{i}\in K$, $\forall i\in \{0,1,\ldots ,n\}$, koji nisu
svi jednaki nuli, a vrijedi $\tsum\nolimits_{i=0}^{n}\alpha _{i}a^{i}=0$.
Definiramo li $f(x):=\tsum\nolimits_{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$, slijedi $%
f(x)\in K[x]$ i $f(a)=0$, a kako je barem jedan od navedenih $\alpha _{i}\in
K$ razli\v{c}it od nule, tada je $f(x)\neq 0$, pa je $a\in L$ algebarski nad 
$K$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{peric}Neka je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$ i $\alpha \in F$. Ako sa $%
K[\alpha ]$ ozna\v{c}imo skup%
\begin{equation*}
\{f(\alpha ):f(x)\in K[x]\},
\end{equation*}%
tada vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] $K[\alpha ]$ je najmanji potprsten polja $F$ koji sadr\v{z}i $K$ i 
$\alpha $.

\item[2)] Ako je $\alpha $ transcendentan element nad $K$, tada je $K[\alpha
]\cong K[x]$.

\item[3)] Ako je $\alpha $ algebarski element nad $K$, tada je $K[\alpha
]=K(\alpha )$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Lako se provjeri da je preslikavanje $\psi :K[x]\rightarrow F$ definirano sa 
\begin{equation*}
\psi \left( f(x)\right) =f(\alpha ),\forall f(x)\in K[x],
\end{equation*}%
homomorfizam prstenova. Iz $\func{Im}\psi =K[\alpha ]$, slijedi da je $%
K[\alpha ]$ potprsten polja $F$, a po\v{s}to je sadr\v{z}an u svakom
potprstenu od $F$ koji sadr\v{z}i $K$ i $\alpha $, tada je $K[\alpha ]$
najmanji potprsten od $F$ s tim svojstvom. Time smo dokazali 1).

Iz Teorema o homomorfizmu prstenova vrijedi%
\begin{equation}
K[x]/Ker\psi \cong K[\alpha ].  \tag*{(2)}  \label{b2}
\end{equation}%
Jezgra $Ker\psi =\{f(x)\in K[x]$; $f(\alpha )=0\}$ homomorfizma $\psi $ je
ideal u $K[x]$ kojeg \'{c}emo ozna\v{c}iti sa $I_{\alpha }$.

Ako je $\alpha $ transcendentan nad $K$, tada je $I_{\alpha }=\{0\}=(0)$, pa
je $\psi $ monomorfizam i $K[x]\cong K[\alpha ]$, s \v{c}ime smo dokazali 2).

Ako je $\alpha $ algebarski nad $K$, tada je $I_{\alpha }\neq \{0\}$, a
stoga prema Teoremu \ref{norm}, postoji jedinstveni normirani polinom $%
f_{\alpha }(x)$ iz prstena $K[x]$, takav da vrijedi $I_{\alpha }=(f_{\alpha
}(x))$. Kako $1\notin I_{\alpha }$ tada je $I_{\alpha }\neq K[x]=(c)$, gdje
je $c$ proizvoljan element iz $K^{\ast }$, pa je polinom $f_{\alpha }(x)$,
koji generira ideal $I_{\alpha }$, pozitivnog stupnja. Doka\v{z}imo da je $%
f_{\alpha }(x)$ ireducibilan nad poljem $K$. Pretpostavimo li suprotno, tada
postoje $a(x)$, $b(x)\in K[x]$ takvi da je 
\begin{equation*}
0<\deg a(x),\deg b(x)\text{ i }a(x)\cdot b(x)=f_{\alpha }(x),
\end{equation*}%
iz \v{c}ega slijedi $\deg a(x),\deg b(x)<\deg f_{\alpha }(x)$. Budu\'{c}i da
je $\alpha $ korijen polinoma $f_{\alpha }(x)$, tada vrijedi $0=a(\alpha
)\cdot b(\alpha )$, odnosno $\alpha $ je korijen barem jednog od polinoma $%
a(x)$ i $b(x)$, jer $F$ nema djelitelja nule. Bez smanjenja op\'{c}enitosti
mo\v{z}emo pretpostaviti da je $a(\alpha )=0$. Me\dj utim, tada je $a(x)\in
I_{\alpha }=(f_{\alpha }(x))$,\ tj. $f_{\alpha }(x)\mid a(x)$, \v{s}to je u
kontradikciji s \v{c}injenicom $0<\deg a(x)<\deg f_{\alpha }(x).$ Dakle, $%
f_{\alpha }(x)$ je ireducibilan polinom nad poljem $K$.

Iz \ref{b2} slijedi,%
\begin{equation*}
K[x]/(f_{\alpha }(x))\cong K[\alpha ],
\end{equation*}%
pa je, prema Teoremu \ref{ired}, a zbog ireducibilnosti polinoma $f_{\alpha
}(x)$ nad $K$, $K[\alpha ]$ polje. Time smo dokazali 3).
\end{proof}

\begin{definition}
\label{m}Neka je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$ i $\alpha \in F$ algebarski
element nad $K$. \textbf{Minimalni polinom }elementa $\alpha $ nad poljem $K$
je normirani polinom iz skupa $\{f(x)\in K[x]$; $f(x)\neq 0$, $f(\alpha
)=0\} $ najmanjeg mogu\'{c}eg stupnja. Stupanj minimalnog polinoma od $%
\alpha $ nad poljem $K$, nazivamo \textbf{stupanj elementa }$\alpha $ nad $K$%
.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{minim}Neka je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$, $\alpha \in F$ algebarski
element nad $K$. Tada postoji jedinstveni minimalni polinom $f_{\alpha
}(x)\in K[x]$ od $\alpha $ nad poljem $K$. Taj polinom je ireducibilan nad $%
K $ i za svaki $f(x)\in K[x]$ vrijedi%
\begin{equation}
f(\alpha )=0\Leftrightarrow f_{\alpha }(x)\mid f(x).  \tag*{(3)}  \label{b3}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Pokazat \'{c}emo da je normiran, ireducibilan polinom $f_{\alpha }(x)$ nad
poljem $K$, iz dokaza prethodnog teorema, koji generira glavni ideal $%
I_{\alpha }=\{f(x)\in K[x]$; $f(\alpha )=0\}$ u $K[x]$, upravo minimalan
polinom elementa $\alpha $ nad $K$.

Doka\v{z}imo da za $f_{\alpha }(x)$ vrijedi tvrdnja \ref{b3}.

\underline{Nu\v{z}nost}. Ako je $\alpha $ korijen polinoma $f(x)\in K[x]$,
tada je $f(x)\in I_{\alpha }=(f_{\alpha }(x))$, iz \v{c}ega slijedi da
polinom $f_{\alpha }(x)$ dijeli $f(x)$.

\underline{Dovoljnost.} Ako polinom $f_{\alpha }(x)$ dijeli $f(x)\in K[x]$,
tada je $f(x)\in I_{\alpha }=(f_{\alpha }(x))$, pa vrijedi $f(\alpha )=0.$

Iz tvrdnje \ref{b3}, slijedi da je $f_{\alpha }(x)$ najmanjeg mogu\'{c}eg
stupnja me\dj u svim polinomima iz $I_{\alpha }/\{0\}$, odnosno $f_{\alpha
}(x)$ je minimalni polinom elementa $\alpha $ nad poljem $K$.

Ako postoji $g(x)\in K[x]$, koji je tako\dj er minimalni polinom elementa $%
\alpha $ nad poljem $K$, tada je $g(x)$ normiran polinom nad $K$, $\deg
g(x)=\deg f_{\alpha }(x)$, te vrijedi $g(\alpha )=0$. Iz \ref{b3} slijedi da 
$f_{\alpha }(x)$ dijeli polinom $g(x)$, a kako su oba navedena polinoma
normirana, te imaju isti stupanj, slijedi $f_{\alpha }(x)=g(x)$, odnosno $%
f_{\alpha }(x)$ je jedinstveni minimalni polinom elementa $\alpha $ nad $K$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{izgra}Neka je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$, $\alpha \in F$ algebarski
element stupnja $n$ nad $K,$ a $f_{\alpha }(x)\in K[x]$ minimalni polinom od 
$\alpha $ u odnosu na polje $K$. Tada vrijedi:
\end{theorem}

\begin{enumerate}
\item[1)] Jednostavno pro\v{s}irenje $K(\alpha )$ polja $K$ elementom $%
\alpha $ je izomorfno kvocijentnom prstenu $K[x]/(f_{\alpha }(x))$.

\item[2)] Za svaki element $\beta $ iz polja $K(\alpha )$ postoji jedinstven
polinom $k(x)\in K[x]$ stupnja $<n$, tako da vrijedi $\beta =k(\alpha )$.

\item[3)] Polje $K(\alpha )$ je kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$ i
vrijedi $[K(\alpha ):K]=n$, a baza vektorskog prostora $K(\alpha )$ nad $K$
je skup $\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots ,\alpha ^{n-1}\}$.

\item[4)] Polje $K(\alpha )$ je algebarsko pro\v{s}irenje polja $K$, a
stupanj svakog elementa iz $K(\alpha )$ nad poljem $K$\ dijeli stupanj od $%
\alpha $ nad $K$.
\end{enumerate}

\begin{proof}
Iz dokaza Teorema \ref{peric}, slijedi $K(\alpha )=K[\alpha ]\cong
K[x]/I_{\alpha }$, gdje je ideal $I_{\alpha }=\{f(x)\in K[x]$; $f(\alpha
)=0\}$, dok smo u dokazu Teorema \ref{minim}, pokazali da je normirani
polinom iz prstena $K[x]$ koji generira taj ideal, upravo minimalan polinom $%
f_{\alpha }(x)$ elementa $\alpha $ nad $K$. Dakle, vrijedi $K(\alpha )\cong
K[x]/(f_{\alpha }(x))$.

Doka\v{z}imo 2). Neka je $\beta $ $\in $ $K(\alpha )$. Kako vrijedi $%
K[\alpha ]$ $=K(\alpha )$, tada postoji polinom $g(x)\in K[x]$, tako da
vrijedi $\beta =g(\alpha )$. Ako je $\deg g(x)<\deg f_{\alpha }(x)=n$, tada
je tra\v{z}eni polinom $k(x)$ upravo $g(x)$. Ako je $\deg g(x)\geqslant \deg
f_{\alpha }(x)$, tada po Teoremu o djeljenju polinoma, postoje jedinstveni $%
q(x)$, $r(x)\in K[x]$, takvi da vrijedi $\deg r(x)<\deg f_{\alpha }(x)$ i $%
g(x)=f_{\alpha }(x)\cdot q(x)+r(x)$. Me\dj utim, uvr\v{s}tavaju\'{c}i $%
\alpha $ u zadnju jednakost, dobijemo $\beta =g(\alpha )=r(\alpha )$, pa je
tra\v{z}eni polinom $k(x)$ upravo $r(x)$. Time smo dokazali egzistenciju
polinoma $k(x)\in K[x]$ stupnja strogo manjeg od $n$, sa svojstvom $\beta
=k(\alpha )$. Doka\v{z}imo jedinstvenost. Neka su $k_{1}(x)$, $k_{2}(x)\in
K[x]$ polinomi stupnja $<n$, za koje vrijedi $\beta =k_{1}(\alpha
)=k_{2}(\alpha )$. Tada je $(k_{1}-k_{2})(\alpha )=0$, pa prema prethodnom
Teoremu vrijedi $f_{\alpha }(x)\mid (k_{1}-k_{2})(x)$. Me\dj utim, iz $\deg
(k_{1}-k_{2})(x)<\deg f_{\alpha }(x)=n$, slijedi $(k_{1}-k_{2})(x)=0$, tj.
polinomi $k_{1}(x)$ i $k_{2}(x)$ su jednaki. Time smo dokazali tvrdnju.

Iz 2) slijedi da je $\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots ,\alpha ^{n-1}\}$ skup
izvodnica vektorskog prostora $K(\alpha )$ nad $K$, jer svaki element iz $%
K(\alpha )$ mo\v{z}emo zapisati kao linearnu kombinaciju navedenih vektora
iz $K(\alpha )$ s skalarima iz $K$. Poka\v{z}imo da je spomenuti skup
linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje $b_{i}\in K$, $%
i\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$, koji nisu svi jednaki nuli, a vrijedi $%
b_{0}+b_{1}\alpha +b_{2}\alpha ^{2}+\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1}=0$. Me\dj %
utim, definiramo li $l(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}$,
tada je $l(x)$ polinom iz $K[x]$ razli\v{c}it od nulpolinoma i $l(\alpha )=0$%
, pa iz prethodnog teorema slijedi $f_{\alpha }(x)\mid l(x)$, \v{s}to je u
kontradikciji s \v{c}injenicom da je $0<\deg l(x)\leqslant n-1<\deg
f_{\alpha }(x)=n$. Dakle, $\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots ,\alpha ^{n-1}\}$
je baza vektorskog prostora $K(\alpha )$ nad $K$. Time smo dokazali 3).

Kako je $K(\alpha )$ kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$, tada je po
Teoremu \ref{konac}, i algebarsko pro\v{s}irenje tog polja. Dakle,
proizvoljan $\gamma \in K(\alpha )$ je algebarski element nad $K$ i vrijedi $%
K(\gamma )\subseteq K(\alpha )$. Iz 3) slijedi da je $K(\gamma )$ kona\v{c}%
no pro\v{s}irenje polja $K$, te ako je $m$ stupanj elementa $\gamma $ nad
poljem $K$, tj. $[K(\gamma ):K]=m$, tada vrijedi $n=[K(\alpha ):K(\gamma
)]\cdot m$ (po Teoremu \ref{lokom}), odnosno $m$ dijeli $n$ i time smo
dokazali tvrdnju 4).
\end{proof}

Ako je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$, $\alpha \in F$ algebarski element nad $%
K $, tada iz prethodnog teorema slijedi da je polje $K(\alpha )$ kona\v{c}%
no, a time i algebarsko pro\v{s}irenje nad $K$. Od sada \'{c}emo svako
jednostavno pro\v{s}irenje bilo kojeg polja $K$ algebarskim elementom $%
\alpha $ nad $K$, nazivati \textbf{jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje
polja} $K$ \textbf{elementom} $\alpha $.

Vrijedi i op\'{c}enitija tvrdnja:

\begin{lemma}
\label{kon}Ako je $F$ pro\v{s}irenje polja $K$, a $A$ kona\v{c}an podskup od 
$F$ koji se sastoji od algebarskih elemenata nad poljem $K$, tada je $K(A)$
kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $A=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$. Lemu doka\v{z}imo
indukcijom.

\underline{Baza indukcije.} Za $n=1$, jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje $%
K(\alpha _{1})$ polja $K$ elementom $\alpha _{1}$, je prema prethodnom
teoremu, kona\v{c}no pro\v{s}irenje od $K$.

\underline{Pretpostavka indukcije.} Neka tvrdnja vrijedi za $n-1$, tj. $%
K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})$ je kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K$%
.

\underline{Korak indukcije.} Ozna\v{c}imo sa $\overline{K}$ polje $K(\alpha
_{1},\ldots ,\alpha _{n-1})$. Prema bazi indukcije, a kako je $\alpha _{n}$
algebarski element nad poljem $K$, pa time i nad $\overline{K}$ , slijedi da
je polje $\overline{K}(\alpha _{n})$ kona\v{c}no pro\v{s}irenje od $%
\overline{K}$ . Koriste\'{c}i prepostavku indukcije i Teorem \ref{lokom},
zaklju\v{c}ujemo da je $\overline{K}(\alpha _{n})$ kona\v{c}no pro\v{s}%
irenje polja $K$. Tvrdnja je time dokazana, jer vrijedi $\overline{K}(\alpha
_{n})=\left( K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})(\alpha _{n})\right)
=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$.
\end{proof}

Prema Teoremu \ref{minim}, svaki minimalni polinom algebarskog elementa nad
nekim poljem je ujedno i ireducibilan polinom nad tim poljem. Sada \'{c}emo
pokazati da vrijedi i obrat, tj. ako je $f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom
nad poljem $K$, poka\v{z}imo da je tada $c^{-1}f(x)$ minimalni polinom nad $%
K $ nekog elementa u pro\v{s}irenju polja $K$, gdje je $c$ vode\'{c}i
koeficijent polinoma $f(x)$.

\begin{theorem}
\label{jednpr}Neka je $K$ polje, $f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom nad
poljem $K$. Tada postoji jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje polja $K$
generirano nekim korijenom polinoma $f(x)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Kako je $f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom nad poljem $K$, tada iz Teorema %
\ref{ired}, slijedi da je kvocijentni prsten $K[x]/(f(x))$ polje. Poka\v{z}%
imo da je upravo to polje jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje polja $K$
generirano nekim korijenom polinoma $f(x)$.

Prvo \'{c}emo pokazati da je polje $K[x]/(f(x))$ pro\v{s}irenje polja $K$.
Definiramo li preslikavanje $\phi :K\rightarrow K[x]/(f(x))$ sa $\phi
(a)=[a] $, $\forall a\in K$, o\v{c}ito je $\phi $ homomorfizam prstenova. Na%
\dj imo jezgru tog homomorfizma. Ako za $a\in K$ vrijedi%
\begin{equation*}
\lbrack a]=[0]=(f(x)),
\end{equation*}
tada je $a\in (f(x))$, odnosno $f(x)\mid a$, \v{s}to je mogu\'{c}e jedino u
slu\v{c}aju kad je $a=0$, tj. $K\func{erf}=\{0\}$. Tada prema Teoremu o
homomorfizmu prstenova, vrijedi $K\cong \phi (K)$, odnosno polje $K$ mo\v{z}%
emo poistovjetiti s potpoljem $\phi (K)$ polja $K[x]/(f(x))$. Dakle, polje $%
K[x]/(f(x))$ je pro\v{s}irenje polja $K$.

Poka\v{z}imo da je $\alpha =[x]=x+(f(x))\in K[x]/(f(x))$ korijen polinoma $%
f(x)$. Neka je $f(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$, gdje su svi $%
a_{i}\in K$. Budu\'{c}i da svaki element $a\in K$ mo\v{z}emo poistovjetiti
sa elementom $[a]\in K[x]/(f(x))$, tada je 
\begin{equation*}
f(\alpha
)=\tsum\nolimits_{i=0}^{n}a_{i}[x]^{i}=\tsum%
\nolimits_{i=0}^{n}[a_{i}][x^{i}]=[\tsum%
\nolimits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}]=[f(x)]=[0]=0.
\end{equation*}%
Dakle, $\alpha \in K[x]/(f(x))$ je korijen polinoma $f(x)$, odnosno $\alpha $
je algebarski element nad poljem $K$.

Poka\v{z}imo da vrijedi $K(\alpha )\cong K[x]/(f(x))$. Prema Teoremu \ref%
{minim}, postoji jedinstven minimalni polinom $f_{\alpha }(x)\in K[x]$
algebarskog elementa $\alpha \in K[x]/(f(x))$ nad poljem $K$. Prema istom
teoremu, po\v{s}to je $\alpha $ korijen polinoma $f(x)$, slijedi $f_{\alpha
}(x)\mid f(x)$. Oba navedena polinoma su ireducibilna nad $K$, pa je $%
f_{\alpha }(x)=c^{-1}\cdot f(x)$, gdje je $c$ upravo vode\'{c}i koeficijent $%
a_{n}$ polinoma $f(x)$. O\v{c}ito vrijedi $(f_{\alpha }(x))=(f(x))$, a iz
Teorema \ref{izgra}, znamo da je $K(\alpha )\cong K[x]/(f_{\alpha }(x))$.
Dakle, $K(\alpha )\cong K[x]/(f(x))$.
\end{proof}

\begin{proposition}
Neka je $K$ polje, $f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom nad poljem $K$. Tada
su svaka dva jednostavna algebarska pro\v{s}irenja polja $K$ generirana
nekim korijenima polinoma $f(x)$, me\dj usobno izomorfna.
\end{proposition}

\begin{proof}
Neka su $K(\alpha )$, $K(\beta )$ jednostavna algebarska pro\v{s}irenja
polja $K$ generirana korijenima $\alpha $, $\beta $ polinoma $f(x)$. Ako je $%
\alpha =\beta $, nema se \v{s}to pokazati. Pretpostavimo da su ti elementi
razli\v{c}iti. Neka su $f_{\alpha }(x)$, $f_{\beta }(x)\in K[x]$ minimalni
polinomi algebarskih elementa $\alpha $, $\beta $ nad poljem $K$. Na sli\v{c}%
an na\v{c}in kao u dokazu Teorema \ref{jednpr}, poka\v{z}e se $f_{\alpha
}(x)=c^{-1}\cdot f(x)=f_{\beta }(x)$, gdje je $c$ vode\'{c}i koeficijent
polinoma $f(x)$. Kako, prema Teoremu \ref{izgra}, vrijedi $K(\alpha )\cong
K[x]/(f_{\alpha }(x))$ i $K(\beta )\cong K[x]/(f_{\beta }(x))$, tada slijedi 
$K(\alpha )\cong $ $K(\beta )$.
\end{proof}

Budu\'{c}i da za svaki polinom pozitivnog stupnja nad poljem $K$\ postoji
kanonski rastav u prstenu $K[x]$, Teoremom \ref{jednpr} pokazali smo da za
svaki polinom pozitivnog stupnja nad $K$ postoji pro\v{s}irenje polja $K$ u
kojem taj polinom ima korijen. Nas \'{c}e zanimati pro\v{s}irenje polja $K$
koje sadr\v{z}i sve korijene nekog polinoma pozitivnog stupnja nad tim
poljem.

\begin{definition}
Neka je polje $F$ pro\v{s}irenje polja $K$. Polinom $f(x)\in K[x]$
pozitivnog stupnja se \textbf{razla\v{z}e }ili \textbf{faktorizira} u polju $%
F$, ako ima prikaz oblika%
\begin{equation*}
f(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{n})\text{,}
\end{equation*}%
gdje je $a_{n}\in K$ vode\'{c}i koeficijent polinoma $f(x)$, a $\alpha
_{1},\ldots ,\alpha _{n}\in F$.

Ako za polje $F$ vrijedi $F=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$, tada ka\v{z}%
emo da je polje $F$ \textbf{polje razlaganja polinoma }$f(x)$ nad $K$.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{lema1}Izomorfizam $\Psi $ polja $K$ i $\overline{K}$ inducira
izomorfizam prstena $K[x]$ i $\overline{K}[x]$ koji polinomu nad $K$ pridru%
\v{z}i polinom istog stupnja nad $\overline{K}$. Vrijedi:

Polinom iz prstena $K[x]$ je reducibilan, odnosno ireducibilan nad $K$ ako i
samo je slika tog polinoma, pri izomorfizmu izme\dj u $K[x]$ i $\overline{K}%
[x]$ kojeg $\Psi $ inducira, reducibilan, odnosno ireducibilan polinom nad
poljem $\overline{K}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Ozna\v{c}imo sa $\overline{a}$ sliku, pri izomorfizmu $\Psi $, elementa $a$
iz polja $K$. Poka\v{z}e se da je preslikavanje sa $K[x]$ u $\overline{K}[x]$
koje polinomu $f(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\in K[x]$, pridru\v{z}%
i polinom $\overline{f}(x)=\tsum\nolimits_{i=0}^{n}\overline{a}_{i}x^{i}\in 
\overline{K}[x]$, izomorfizam prstena $K[x]$ i $\overline{K}[x]$. O\v{c}ito
je da vrijedi $\deg \overline{f}(x)=\deg f(x)$.

Lako se poka\v{z}e i ostatak tvrdnje leme, koriste\'{c}i \v{c}injenicu da $%
\Psi $ inducira izomorfizam prstena $K[x]$ i $\overline{K}[x]$.
\end{proof}

\begin{definition}
Neka je polje $F$ pro\v{s}irenje polja $K$, polje $\overline{F}$ pro\v{s}%
irenje polja $\overline{K}$ i $\Psi $ neki izomorfizam sa $K$ na $\overline{K%
}$. \textbf{Produ\v{z}enje izomorfizma }$\Psi $ je izomorfizam polja $F$ i $%
\overline{F}$ \v{c}ija je restrikcija na polje $K$ upravo $\Psi $.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{produz}Neka je $\Psi $ neki izomorfizam polja $K$ i $\overline{K}$, $%
f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom nad poljem $K$, a $\overline{f}(x)\in 
\overline{K}[x]$ slika polinoma $f(x)$ pri izomorfizmu izme\dj u $K[x]$ i $%
\overline{K}[x]$ kojeg $\Psi $ inducira. Ako je $\alpha $ korijen od $f(x)$
u nekom pro\v{s}irenju polja $K$, a $\overline{\alpha }$ korijen od $%
\overline{f}(x)$ u nekom pro\v{s}irenju polja $\overline{K}$, tada postoji
izomorfizam izme\dj u jednostavnih algebarskih produ\v{z}enja $K(\alpha )$ i 
$\overline{K}(\overline{\alpha })$, sa svojstvom da $\alpha $ pridru\v{z}i $%
\overline{\alpha }$, a produ\v{z}enje je izomorfizma $\Psi $.
\end{lemma}

\begin{proof}
Uvedimo oznake iste kao i u Lemi \ref{lema1}, tj. neka je $\overline{a}$
slika, pri izomorfizmu $\Psi $, elementa $a$ iz polja $K$. Tada, kao i u
spomenutoj lemi, izomorfizam $\Psi $ polja $K$ i $\overline{K}$ inducira
izomorfizam prstena $K[x]$ i $\overline{K}[x]$, \v{c}ije se djelovanje mo%
\v{z}e zapisati u obliku%
\begin{equation*}
\tsum a_{i}x^{i}\rightarrow \tsum \overline{a}_{i}x^{i},
\end{equation*}%
$\forall a_{i}\in K$. Tako\dj er po\v{s}to je $f(x)\in K[x]$ ireducibilan
polinom nad poljem $K$, pokazali smo da je i $\overline{f}(x)\in \overline{K}%
[x]$ ireducibilan nad poljem $\overline{K}$.

Prema Teoremu \ref{minim}, za svaki algebarski element nad nekim poljem
postoji jedinstveni njemu pridru\v{z}eni minimalni polinom nad tim poljem,
pa neka je $f_{\alpha }(x)$ $\in $ $K[x]$ minimalan polinom od $\alpha $ nad
poljem $K$ i $\overline{f}_{\overline{\alpha }}(x)$ $\in $ $\overline{K}[x]$
minimalan polinom od $\overline{\alpha }$ nad $\overline{K}$. Iz Teorema \ref%
{izgra}, slijedi da je $K(\alpha )\cong K[x]/(f_{\alpha }(x))$, te 
\begin{equation*}
\overline{K}(\alpha )\cong \overline{K}[x]/(\overline{f}_{\overline{\alpha }%
}(x)).
\end{equation*}
Kako je $f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom nad poljem $K$, a $\alpha $
korijen od $f(x)$, tada se, koriste\'{c}i Teorem \ref{minim}, poka\v{z}e da
vrijedi $\deg f(x)=\deg f_{\alpha }(x)$, a sli\v{c}nim na\v{c}inom i $\deg 
\overline{f}(x)=\deg \overline{f}_{\overline{\alpha }}(x)$. Iz toga slijedi
da je $\deg f_{\alpha }(x)=\deg \overline{f}_{\overline{\alpha }}(x)$, jer
spomenuti izomorfizam prstena $K[x]$ i $\overline{K}[x]$ \v{c}uva stupanj
polinoma.

Ako je $\deg f(x)=1$, tada je $\alpha \in K$, odnosno $\overline{\alpha }\in 
\overline{K}$, pa je $K(\alpha )=K$ i $\overline{K}(\overline{\alpha })=%
\overline{K}$, pa se nema \v{s}to dokazivati.

Pretpostavimo da je $\deg f(x)>1$. U Teoremu \ref{izgra}, pokazali smo da za
svaki $\beta $ $\in K(\alpha )$ $\exists !$ $k(x)\in K[x]$ sa svojstvom $%
\deg k(x)<\deg f_{\alpha }(x)$, te $\beta =k(\alpha )$, pa definiramo li
preslikavavanje $\Phi :K(\alpha )\rightarrow \overline{K}(\overline{\alpha }%
) $ sa $\Phi (\beta )=\Phi (k(\alpha ))=\overline{k}(\overline{\alpha })$
poka\v{z}imo da je $\Phi $ tra\v{z}eni izomorfizam. Lako se provjeri da je $%
\Phi $ homomorfizam.

Ako je $\Phi (\beta _{1})=\Phi (\beta _{2})$, gdje su $\beta _{1}$ i $\beta
_{2}\in K(\alpha )$, tada postoje jedinstveni $k_{1}(x)$, $k_{2}(x)\in K[x]$
takvi da je $\deg k_{1}(x)$, $\deg k_{2}(x)<\deg f_{\alpha }(x)$, te $\beta
_{1}=k_{1}(\alpha )$, $\beta _{2}=k_{2}(\alpha )$. Kako je $\Phi (\beta
_{1})=\overline{k_{1}}(\overline{\alpha })$ i $\Phi (\beta _{2})=\overline{%
k_{2}}(\overline{\alpha })$, tada je $(\overline{k_{1}}-\overline{k_{2}})(%
\overline{\alpha })=0$. Prema Teoremu \ref{minim}, tada $\overline{f}_{%
\overline{\alpha }}(x)\mid (\overline{k_{1}}-\overline{k_{2}})(x)$, a kako
je $\deg (\overline{k_{1}}-\overline{k_{2}})(x)<\deg \overline{f}_{\overline{%
\alpha }}(x)=\deg f_{\alpha }(x)$, slijedi da je $(\overline{k_{1}}-%
\overline{k_{2}})(x)=0$, tj. $\overline{k}_{1}(x)=\overline{k}_{2}(x)$,
odnosno $k_{1}(x)=k_{2}(x)$. Dakle, $\beta _{1}=k_{1}(\alpha )=k_{2}(\alpha
)=\beta _{2}$, pa je $\Phi $ injekcija.

Uzmemo li neki $\delta \in \overline{K}(\overline{\alpha })$, tada postoji
jedinstveni $\overline{h}(x)\in \overline{K}[x]$ sa svojstvom 
\begin{equation*}
\deg \overline{h}(x)<\deg \overline{f}_{\overline{\alpha }}(x)=\deg
f_{\alpha }(x),
\end{equation*}%
te $\delta =\overline{h}(\overline{\alpha })$. Definiramo li $\gamma
=h(\alpha )$, slijedi $\Phi (\gamma )=\Phi (h(\alpha ))=\overline{h}(%
\overline{\alpha })=\delta $, pa je $\Phi $ izomorfizam.

Za polinom $l(x)=x\in K[x]$ vrijedi $l(\alpha )=\alpha $ i 
\begin{equation*}
\deg l(x)=1<\deg f(x)=\deg f_{\alpha }(x),
\end{equation*}
pa je $\Phi (\alpha )=\Phi (l(\alpha ))=\overline{l}(\overline{\alpha })=%
\overline{\alpha }$.

Ako za proizvoljan $a\in K$ definiramo $m(x)=a\in K[x]$, vrijedi $m(\alpha
)=a$ i $\deg m(x)=0<\deg f(x)=\deg f_{\alpha }(x)$, pa je $\Phi (a)=\Phi
(m(\alpha ))=\overline{m}(\overline{\alpha })=\overline{a}$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Neka je $K$ polje, $f(x)\in K[x]$ ireducibilan polinom nad poljem $K$, $%
\alpha $ i$\ \beta $ korijeni polinoma $f(x)$ u nekim pro\v{s}irenjima polja 
$K$. Tada postoji izomorfizam jednostavnih algebarskih pro\v{s}irenja $%
K(\alpha )$ i $K(\beta )$, koji fiksira elemente polja $K$, a $\alpha $
pridru\v{z}i $\beta $.
\end{corollary}

\begin{theorem}
\label{razlag}(\textbf{postojanje i jedinstvenost polja razlaganja})Za bilo
koji polinom $f(x)$ pozitivnog stupnja nad poljem $K$, postoji pripadno
polje razlaganja nad $K$, te postoji izomorfizam izme\dj u svaka dva polja
razlaganja polinoma $f(x)$\ nad $K$, koji fiksira elemente polja $K$, a
permutira korijene polinoma $f(x)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Doka\v{z}imo egzistenciju. Na\dj imo kanonski rastav polinoma $f(x)\in K[x]$
u prstenu $K[x]$, tj. zapi\v{s}imo $f(x)$ kao umno\v{z}ak vode\'{c}eg
koeficijenta i normiranih, ireducibilnih polinoma nad poljem $K$. Ako je
stupanj svakog od spomenutih ireducibilnih polinoma $1$, tada je $K$ polje
razlaganja polinoma $f(x)$ nad $K$. Ina\v{c}e, postoji polinom $f_{1}(x)\in
K[x]$, stupnja ve\'{c}eg od $1$, koji je normiran, ireducibilan nad $K$, a
dijeli $f(x)$. Prema Teoremu \ref{jednpr}, postoji jednostavno algebarsko pro%
\v{s}irenje $K(\alpha _{1})$ polja $K$ generirano korijenom $\alpha _{1}$
polinoma $f_{1}(x)$, a koje \'{c}emo ozna\v{c}iti sa $K_{1}$. U polju $K_{1}$
polinom $f_{1}(x)$, a time i $f(x)$ ima linearan faktor $(x-\alpha _{1})$.
Ako se u $K_{1}$ polinom $f(x)$ potpuno razla\v{z}e, tada je $K_{1}$ polje
razlaganja polinoma $f(x)$ nad $K$. Ina\v{c}e, u kanonskom rastavu polinoma $%
f(x)$ nad poljem $K_{1}$ postoji polinom $f_{2}(x)\in K_{1}[x]$, stupnja ve%
\'{c}eg od $1$, koji je normiran, ireducibilan nad $K_{1}$, a dijeli $f(x)$.
Ozna\v{c}imo sa $K_{2}$ jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje $K_{1}(\alpha
_{2})=K(\alpha _{1},\alpha _{2})$ polja $K_{1}$ generirano korijenom $\alpha
_{2}$ polinoma $f_{2}(x)$. Dakle, u polju $K_{2}$ polinom $f(x)$ ima
linearne faktore $(x-\alpha _{1})$ i $(x-\alpha _{2})$. Ako se u $K_{2}$
polinom $f(x)$ potpuno razla\v{z}e, tada je $K_{2}$ polje razlaganja
polinoma $f(x)$ nad $K$. Ina\v{c}e, nastavimo postupak i u kona\v{c}no mnogo
koraka polinom $f(x)$ razlo\v{z}it \'{c}e se na linearne faktore u nekom pro%
\v{s}irenju polja $K$, koje je upravo polje razlaganja polinoma $f(x)$ nad $%
K $, \v{s}to je, iz upravo opisanog postupka, o\v{c}igledno.

Jedinstvenost slijedi kao poseban slu\v{c}aj tvrdnje:

Neka je $\Psi $ neki izomorfizam polja $K$ i $\overline{K}$, $f(x)\in K[x]$
polinom pozitivnog stupnja, a $\overline{f}(x)\in \overline{K}[x]$ slika
polinoma $f(x)$ pri izomorfizmu izme\dj u $K[x]$ i $\overline{K}[x]$ kojeg $%
\Psi $ inducira. Ako je $K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ polje
razlaganja polinoma $f(x)$ nad poljem $K$, $\overline{K}(\overline{\alpha }%
_{1},\ldots ,\overline{\alpha }_{n})$ polje razlaganja polinoma $\overline{f}%
(x)$ nad $\overline{K}$, tada postoji izomorfizam izme\dj u polja $K(\alpha
_{1},\ldots ,\alpha _{n})$ i $\overline{K}(\overline{\alpha }_{1},\ldots ,%
\overline{\alpha }_{n})$, sa svojstvom da elementima $\alpha _{1},\ldots
,\alpha _{n}$ pridru\v{z}i elemente $\overline{\alpha }_{1},\ldots ,%
\overline{\alpha }_{n}$, a produ\v{z}enje je izomorfizma $\Psi $.

Dokaz tvrdnje je sli\v{c}an dokazu egzistencije, uz kori\v{s}tenje Leme \ref%
{produz}.
\end{proof}

Iz Leme \ref{kon} slijedi:

\begin{lemma}
Polje razlaganja bilo kojeg polinoma nad poljem $K$ je kona\v{c}no pro\v{s}%
irenje polja $K$.
\end{lemma}

\section{Izgradnja kona\v{c}nih polja}

\subsection{Karakterizacija kona\v{c}nih polja}

\begin{lemma}
\label{redkp}Ako je $F$ kona\v{c}no polje, a $K$ potpolje od $F$, tada je $%
|F|=q^{n}$, gdje je $q=|K|,$ $n=[F:K]$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Polje $F$ je kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $K,$ jer $F$ ima kona\v{c}no
mnogo elemenata, pa je kona\v{c}nodimenzionalan vektorski prostor nad $K$.
Ako je $[F:K]=n$, slijedi da svaka baza tog vektorskog prostora ima $n$
elemenata, a neka je $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ jedna od tih baza. Tada se
svaki element iz $F$ mo\v{z}e jednozna\v{c}no prikazati kao linearna
kombinacija $\alpha _{1}a_{1}+\cdots +\alpha _{n}a_{n}$, gdje su $\alpha
_{i}\in K$, $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}$. Polje $F$ ima $q^{n}$ elemenata,
jer svaki od koeficijenata $\alpha _{i}$ mo\v{z}e poprimiti $q$ razli\v{c}%
itih vrijednosti.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{rrred}Red kona\v{c}nog polja $F$ je $p^{n}$, gdje je prost broj $p$
karakteristika polja $F$, dok je $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ stupanj pro\v{s}irenja polja $F$ nad svojim prostim potpoljem.
\end{theorem}

\begin{proof}
Po Teoremu \ref{prost}, karakteristika kona\v{c}nog polja $F$ je prost broj $%
p,$ pa iz Teorema \ref{galo}, slijedi da je prosto potpolje $K$ polja $F$,
izomorfno Galoisovom polju $F_{p}$. Budu\'{c}i da je $|F_{p}|=p$, tada je $%
|K|=p$, pa iz prethodne leme slijedi $|F|=p^{n}$, gdje je $[F:K]=n$.
\end{proof}

\begin{lemma}
Ako je $f(x)\in F_{p}[x]$ ireducibilan polinom stupnja $n$ nad $F_{p}$, tada
jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje $F_{p}(\alpha )$ polja $F_{p}$
generirano korijenom $\alpha $ tog polinoma ima red $p^{n}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Element $\alpha $ je algebarski nad $F_{p}$, pa postoji jedinstven minimalni
polinom $f_{\alpha }(x)\in F_{p}[x]$ pridru\v{z}en $\alpha $ nad poljem $%
F_{p}$. Budu\'{c}i da je $\alpha $ korijen ireducibilnog polinoma $f(x)$,
tada je $n=\deg f(x)=\deg f_{\alpha }(x)$. Iz Teorema \ref{izgra} slijedi 
\begin{equation*}
\lbrack F_{p}(\alpha ):F_{p}]=\deg f_{\alpha }(x)=n,
\end{equation*}
a prema Lemi \ref{redkp}, $|F_{p}(\alpha )|=|F_{p}|^{n}=p^{n}$.
\end{proof}

Nas zanima da li za svaki prost broj $p$ i prirodan broj $n$ postoji kona%
\v{c}no polje reda $p^{n}$. Prethodna lema nam ne daje rje\v{s}enje tog
problema, jer ne znamo da li postoji ireducibilan polinom stupnja $n$ nad
poljem $F_{p}$.

\begin{lemma}
\label{elem}Ako je $F$ kona\v{c}no polje reda $q$, tada za svaki $a\in F$
vrijedi $a^{q}=a$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Tvrdnja je o\v{c}ita za $a=0$. Po\v{s}to je $(F^{\ast },\cdot )$
multiplikativna grupa reda $q-1$, a iz Lagrangeovog teorema slijedi da red
svakog elementa dijeli red grupe, tada $a^{q-1}=1$, $\forall a\in F^{\ast }$%
. Pomno\v{z}imo li zadnju jednakost s elementom $a$ dobijemo $a^{q}=a$, $%
\forall a\in F^{\ast }$.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{potp}Neka je $F$ kona\v{c}no polje reda $q$, a $K$ potpolje od $F$.
Tada je $F$ polje razlaganja polinoma $x^{q}-x\in K[x]$ nad $K$ i vrijedi $%
x^{q}-x=\tprod\limits_{a\in F}(x-a)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Polinom $x^{q}-x$ ima najvi\v{s}e $q$ razli\v{c}itih korijena u polju $F$, a
prema prethodnoj lemi, svi elementi polja $F$ su korijeni tog polinoma.
Dakle, $x^{q}-x$ ima to\v{c}no $q$ korijena u $F$ i vrijedi $%
x^{q}-x=\tprod\limits_{a\in F}(x-a)$, tj. polinom $x^{q}-x$ se potpuno razla%
\v{z}e u $F$. Polje $F$ je upravo i polje razlaganja polinoma $x^{q}-x$ nad $%
K$, jer se taj polinom ne mo\v{z}e potpuno razlo\v{z}iti ni u jednom pravom
potpolju od $F$, koje sadr\v{z}i $K$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{pjkp}(\textbf{postojanje i jedinstvenost kona\v{c}nog polja}) Za
svaki prost broj $p$ i prirodan broj $n$ postoji kona\v{c}no polje reda $%
p^{n}$. Svako kona\v{c}no polje reda $p^{n}$ izomorfno je polju razlaganja
polinoma $x^{p^{n}}-x\in F_{p}[x]$ nad poljem $F_{p}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
\underline{Egzistencija.} Poka\v{z}imo da je polje razlaganja polinoma $%
f(x)=x^{p^{n}}-x$ nad poljem $F_{p}$ kona\v{c}no polje reda $p^{n}$.

Prema Teoremu \ref{razlag}, postoji polje razlaganja $F$ polinoma $f(x)$ nad 
$F_{p}$, za koje vrijedi da je kona\v{c}no pro\v{s}irenje polja $F_{p}$, a
tada je $F$ kona\v{c}no polje. Budu\'{c}i da je $F_{p}$ potpolje od $F$,
tada je po Teoremu \ref{galo}, karakteristika polja $F$ upravo $p$.

Svi korijeni polinoma $f(x)$ u $F$ su razli\v{c}iti, jer derivacija $%
f^{\prime }(x)=p^{n}x^{p^{n}-1}-1=-1$ tog polinoma nema nulto\v{c}ki u $F$
(koristiti Lemu \ref{deriv}). Dakle, postoji to\v{c}no $p^{n}$ korijena
polinoma $f(x)$ u polju $F$.

Promotrimo skup $S=\{a\in F;$ $a^{p^{n}}=a\}$ svih nulto\v{c}ki polinoma $%
f(x)$ u polju $F$. Poka\v{z}emo li da je $S$ potpolje od $F$, tada kako je $%
F $ polje razlaganja polinoma $f(x)$ nad $F_{p}$, slijedi $S=F$, pa je $%
|F|=|S|=p^{n}$, s \v{c}ime je dokazana egzistencija.

Budu\'{c}i da je $F$ karakteristike $p$, koriste\'{c}i Teorem \ref{bin},
dobijemo 
\begin{eqnarray*}
(a-b)^{p^{n}} &=&a^{p^{n}}-b^{p^{n}}=a-b,\text{ }\forall a,b\in S, \\
(a\cdot b^{-1})^{p^{n}} &=&a^{p^{n}}\cdot (b^{-1})^{p^{n}}=a^{p^{n}}\cdot
(b^{p^{n}})^{-1}=a\cdot b^{-1},\text{ }\forall a\in S,\forall b\in
S\backslash \{0\}.
\end{eqnarray*}%
Dakle, $S$ je potpolje polja $F$. O\v{c}ito je da $F_{p}\subseteq S$.

\underline{Jedinstvenost.} Neka je $L$ kona\v{c}no polje reda $p^{n}$, tada
je prema Teoremu \ref{rrred}, karakteristika polja $L$ upravo $p$, a prosto
potpolje tog polja je izomorfno polju $F_{p}$. Iz prethodne leme, slijedi da
je $L$ polje razlaganja polinoma $x^{p^{n}}-x\in F_{p}[x]$ nad poljem $%
F_{p}. $ Kako su svaka dva polja razlaganja nekog polinoma, pozitivnog
stupnja, nad poljem $F_{p}$ izomorfna, zaklju\v{c}ujemo $L\cong F$.
\end{proof}

Iz prethodnog teorema slijedi da za prost broj $p$ i prirodan broj $n$ mo%
\v{z}emo govoriti o jednozna\v{c}no definiranom kona\v{c}nom polju reda $%
q=p^{n}$. To polje zovemo\textbf{\ Galoisovo polje reda }$q$ i bilje\v{z}imo
ga sa $F_{q}$.

\begin{corollary}
Dva su kona\v{c}na polja izomorfna ako i samo ako imaju isti red.
\end{corollary}

\begin{theorem}
\label{cikl}Svaka kona\v{c}na podgrupa multiplikativne grupe $F^{\ast }$
polja $F$ je cikli\v{c}ka grupa.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $G$ podgrupa reda $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ grupe $(F^{\ast },\cdot )$. Dokaz je trivijalan, ako je $l=1$, tj. $%
G=\{1\} $.

Pretpostavimo da je $l>1$. Neka je $l=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}$
rastav broja $l$ na proste faktore, gdje su svi $p_{i}$ me\dj usobno razli%
\v{c}iti prosti brojevi, a svi $e_{i}\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Polinom $x^{l/p_{i}}-1\in F[x]$ ima najvi\v{s}e $\tfrac{l}{p_{i}}$
korijena u $G$, $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}.$ Po\v{s}to je $\tfrac{l}{p_{i}%
}$ $<l,$ tada postoje $a_{i}\in G$ sa svojstvom $a_{i}^{l/p_{i}}\neq 1.$
Definiramo li $b_{i}=a_{i}^{l/p_{i}^{e_{i}}}$, slijedi $%
b_{i}^{p_{i}^{e_{i}}}=a_{i}^{l}=1$, pa $|b_{i}|$ dijeli $p_{i}^{e_{i}}.$ Red
elementa $b_{i}$ je upravo $p_{i}^{e_{i}}$, jer ako pretpostavimo da je $%
|b_{i}|=p_{i}^{s_{i}}$, za bilo koji $s_{i}\in \{0,\ldots ,e_{i}-1\}$, tada
je $b_{i}^{p_{i}^{e_{i}-1}}=1$, \v{s}to je u kontradikciji sa $%
b_{i}^{p_{i}^{e_{i}-1}}=a_{i}^{l/p_{i}}\neq 1$. Na\dj imo elemente $a_{i}$ i 
$b_{i}$, $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}.$

Poka\v{z}emo li da $b=b_{1}\cdots b_{n}\in G$, ima red $l$, tada je $G$ cikli%
\v{c}ka grupa, a element $b$ njen generator. Pretpostavimo suprotno, \ tj. $%
|b|$ dijeli $l$ i $|b|$ $\neq $ $l.$ Iz $|b|$ dijeli $p_{1}^{e_{1}}\cdots
p_{n}^{e_{n}}$ i $|b|$ $\neq $ $l$, slijedi da postoji $j\in \{1,\ldots ,n\}$%
, takav da $|b|$ dijeli $\tfrac{l}{p_{j}}.$ Bez smanjenja op\'{c}enitosti mo%
\v{z}emo pretpostaviti da je $j=1$, pa vrijedi 
\begin{equation}
1=b^{l/p_{1}}=b_{1}^{l/p_{1}}\cdots b_{n}^{l/p_{1}}.  \tag*{(3)}  \label{p3a}
\end{equation}%
Me\dj utim, $\forall i\in \{2,\ldots ,n\}$, broj $p_{i}^{e_{i}}$ dijeli $%
\tfrac{l}{p_{1}}$, a tada $b_{i}^{l/p_{1}}=1$, pa iz \ref{p3a} slijedi $%
1=b_{1}^{l/p_{1}}$, odnosno $|b_{1}|$ dijeli $\tfrac{l}{p_{1}}$, \v{s}to je
u kontradikciji s \v{c}injenicom $|b_{1}|=p_{1}^{e_{1}}$.
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{mult}Multiplikativna grupa $F_{q}^{\ast }$ kona\v{c}nog polja $F_{q}$
je cikli\v{c}ka grupa.
\end{corollary}

\begin{definition}
Generatore cikli\v{c}ke multiplikativne grupe $F_{q}^{\ast }$ kona\v{c}nog
polja $F_{q}$ zovemo \textbf{primitivni elementi} polja $F_{q}$.
\end{definition}

Kako je $q-1$ red cikli\v{c}ke multiplikativne grupe $F_{q}^{\ast }$ kona%
\v{c}nog polja $F_{q}$, tada iz Teorema \ref{gene}, slijedi da polje $F_{q}$
ima $\varphi (q-1)$ primitivnih elementa, gdje je $\varphi $ Eulerova
funkcija.

\begin{definition}
Elemente polja $F$ oblika $a^{2}$, gdje je $a\in F$, zovemo \textbf{%
kvadratima} polja $F$. Elemente polja $F$ koji nisu kvadrati zovemo \textbf{%
nekvadratima }u $F$.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{asti}Za kona\v{c}no polje $F_{p^{n}}$ vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] Ako je $p=2$, tada su svi elementi iz $F_{p^{n}}$ kvadrati u $%
F_{p^{n}}$.

\item[2)] Ako je $p\neq 2$, tada pola elemenata u multiplikativnoj grupi $%
F_{p^{n}}^{\ast }$ \v{c}ine kvadrati. Svi nekvadrati u $F_{p^{n}}$ su oblika 
$\lambda x^{2}$, gdje je $x\in F_{p^{n}}^{\ast }$, a $\lambda $ fiksni
nekvadrat u $F_{p^{n}}$.

\item[3)] Svaki element iz $F_{p^{n}}$ mo\v{z}e se napisati kao suma dva
kvadrata iz $F_{p^{n}}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[1)] Za proizvoljan $x\in F_{2^{n}}$, koriste\'{c}i Lemu \ref{elem},
dobijemo $x=x^{2^{n}}=(x^{2^{n-1}})^{2}$, \v{c}ime smo dokazali tvrdnju.

\item[2)] Neka je $a$ generator cikli\v{c}ke multiplikativne grupe $%
F_{p^{n}}^{\ast }$. O\v{c}ito su sve parne potencije elementa $a$, kvadrati
u $F_{p^{n}}$. Poka\v{z}imo da su svi kvadrati u $F_{p^{n}}^{\ast }$ parne
potencije elementa $a$. Neka je $y\in F_{p^{n}}^{\ast }$ kvadrat. Tada
postoji $b\in F_{p^{n}}^{\ast }$, takav da je $y=b^{2}$. Kako je $b=a^{k}$
za neko $k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ ($1\leq k\leq p^{n}-1$), to je $y=a^{2k}$. Budu\'{c}i da je $%
2k=t(p^{n}-1)+r$, $0\leq r<p^{n}-1$, $t\in \{0,1,2\}$, to je $y=a^{r}$. No, $%
p^{n}-1$ je paran broj, pa je $r$ tako\dj er paran broj. Neka je $r=2s$.
Tada je $y=a^{2s}$. Dakle, kvadrat svakog elementa iz $F_{p^{n}}^{\ast }$ je
parna potencija elementa $a$. Iz toga zaklju\v{c}ujemo ne samo da postoje
nekvadrati u $F_{p^{n}}$, nego ih je u $F_{p^{n}}$ ukupno $\frac{p^{n}-1}{2}$%
.

Lako se poka\v{z}e da svi kvadrati u $F_{p^{n}}$, razli\v{c}iti od nule, 
\v{c}ine podgrupu multiplikativne grupe $F_{p^{n}}^{\ast }$, a ozna\v{c}imo
je sa $K$. Iz prethodnog razmatranja zaklju\v{c}ujemo $|K|=\frac{p^{n}-1}{2}$%
, a po Lagrangeovom teoremu vrijedi da je $(F_{p^{n}}^{\ast }:K)=2$, odnosno
postoje dvije susjedne klase grupe $F_{p^{n}}^{\ast }$ u odnosu na $K$. O%
\v{c}ito je da svi kvadrati \v{c}ine jednu klasu, a drugu svi nekvadrati u $%
F_{p^{n}}^{\ast }$. Fiksiramo li neki nekvadrat $\lambda $ $\in F_{p^{n}}$,
tada su svi nekvadrati iz $F_{p^{n}}$ u klasi 
\begin{equation*}
\lbrack \lambda ]=\lambda K=\{\lambda x^{2};x\in F_{p^{n}}^{\ast }\}.
\end{equation*}

\item[3)] Ako je $p=2$, tvrdnja slijedi iz 1). Ako je $p\neq 2$, tada je o%
\v{c}ito da se svaki kvadrat u $F_{p^{n}}$ mo\v{z}e zapisati kao suma dva
kvadrata iz $F_{p^{n}}$. Neka je $a$ generator cikli\v{c}ke grupe $%
F_{p^{n}}^{\ast }$. Ako poka\v{z}emo da postoje $s,t\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
_{0}$ takvi da vrijedi 
\begin{equation*}
1=a^{2s+1}+a^{2t+1}\text{,}
\end{equation*}%
tada pomno\v{z}imo li tu jednakost sa $a^{2u+1}$, za bilo koji $u\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
_{0}$ dobijemo 
\begin{equation*}
a^{2u+1}=a^{2(s+u+1)}+a^{2(t+u+1)}\text{.}
\end{equation*}%
Odnosno, svaki nekvadrat u $F_{p^{n}}$ je suma dva kvadrata u $F_{p^{n}}$.

Pretpostavimo li suprotno, tada za proizvoljan $s\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
_{0}$, a budu\'{c}i da je 
\begin{equation*}
1-a^{2s+1}\in F_{p^{n}}^{\ast }
\end{equation*}%
(jer je $p^{n}-1$ paran broj) postoji $t\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
_{0}$ tako da vrijedi $1-a^{2s+1}=a^{2t}$.

Kako je o\v{c}ito da brojeve $s$ i $t$ mo\v{z}emo uzimati modulo $\frac{%
p^{n}-1}{2}$, tada je uz to ograni\v{c}enje preslikavanje $s$ $\mapsto t$
bijektivno. Prema tome, nekom broju 
\begin{equation*}
t\equiv 0\text{ }(\func{mod}\tfrac{p^{n}-1}{2})
\end{equation*}%
pripada broj $s$ takav da vrijedi $1=a^{2s+1}+a^{0}$, iz \v{c}ega slijedi da
je $0=a^{2s+1}$, \v{s}to je nemogu\'{c}e.
\end{enumerate}
\end{proof}

Iz Korolara \ref{mult}, i \v{c}injenice da je svako kona\v{c}no pro\v{s}%
irenje nekog polja, algebarsko pro\v{s}irenje nad tim poljem, slijedi:

\begin{lemma}
\label{prim}Ako je $F_{r}$ kona\v{c}no pro\v{s}irenje kona\v{c}nog polja $%
F_{q}$, tada je $F_{r}$ jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje polja $F_{q}$
generirano bilo kojim primitivnim elementom polja $F_{r}$.
\end{lemma}

Poslijedica prethodne leme je \v{c}injenica da je svako kona\v{c}no polje
jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje svog prostog potpolja, generirano bilo
kojim svojim primitivnim elementom.

\begin{theorem}
\label{kriterij}(\textbf{kriterij potpolja}) Svako potpolje polja $F_{p^{m}}$
je reda $p^{n}$, gdje je $n$ prirodan broj i $n\mid m$.

Za $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $n\mid m$ postoji jedinstveno potpolje reda $p^{n}$ polja $F_{p^{m}}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Ako je $K$ potpolje polja $F_{p^{m}}$, tada je $K$ kona\v{c}no polje
karakteristike $p$, pa je prema Lemi \ref{redkp}, $|K|=p^{n}$, $n=[K:F_{p}]$%
. Iz Teorema \ref{lokom}, slijedi 
\begin{equation*}
\lbrack F_{p^{m}}:F_{p}]=[F_{p^{m}}:K]\cdot \lbrack K:F_{p}],
\end{equation*}
odnosno $n\mid m$.

Neka je $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $n\mid m$. Prema Teoremu \ref{pjkp}, polje $F_{p^{n}}$ je polje
razlaganja polinoma $x^{p^{n}}-x\in F_{p}[x]$ nad poljem $F_{p}$ i sadr\v{z}%
i samo korijene tog polinoma. Treba pokazati da je polje $F_{p^{n}}$
potpolje od $F_{p^{m}}$. Budu\'{c}i da $n\mid m$, tada $p^{n}-1\mid p^{m}-1$%
, iz \v{c}ega slijedi $x^{p^{n}-1}-1\mid x^{p^{m}-1}-1$ u $F_{p}[x]$, te
naposlijetku $x^{p^{n}}-x\mid x^{p^{m}}-x$ u $F_{p}[x]$, pa su svi korijeni
polinoma $x^{p^{n}}-x\in F_{p}[x]$ sadr\v{z}ani u polju razlaganja $%
F_{p^{m}} $ polinoma $x^{p^{m}}-x\in F_{p}[x]$ nad poljem $F_{p}$. Dakle, $%
F_{p^{n}}$ je potpolje od $F_{p^{m}}$.

Doka\v{z}imo da postoji jedinstveno potpolje polja $F_{p^{m}}$ reda $p^{n}$.
Ako pretpostavimo da postoje dva razli\v{c}ita potpolja od $F_{p^{m}}$ reda $%
p^{n}$, tada prema Lemi \ref{potp}, $F_{p^{m}}$ sadr\v{z}i vi\v{s}e od $%
p^{n} $ razli\v{c}itih korijena polinoma $x^{p^{n}}-x\in F_{p}[x]$ nad
poljem $F_{p}$, \v{s}to je nemogu\'{c}e.
\end{proof}

Sada \'{c}emo prou\v{c}avati ireducibilne polinome nad kona\v{c}nim poljima.

\begin{corollary}
Za svako kona\v{c}no polje $F_{q}$ i za svaki prirodan broj $n$ postoji
polinom u prstenu $F_{q}[x]$ stupnja $n$, ireducibilan nad $F_{q}$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Prema prethodnom teoremu, polje $F_{q}$ je potpolje polja $F_{q^{n}}$. Iz
Leme \ref{prim}, slijedi da je $F_{q^{n}}$ jednostavno algebarsko pro\v{s}%
irenje polja $F_{q}$ generirano primitivnim elementom $\alpha $ polja $%
F_{q^{n}}$, tj. $F_{q^{n}}=F_{q}(\alpha )$. Za algebarski element $\alpha $,
prema Teoremima \ref{minim} i \ref{izgra} postoji jedinstven minimalni
polinom $f_{\alpha }(x)\in F_{q}[x]$ i vrijedi $\deg f_{\alpha
}(x)=[F_{q}(\alpha ):F_{q}]$. Stupanj pro\v{s}irenja polja $F_{q}(\alpha
)=F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$ iznosi, po Lemi \ref{redkp}, upravo $n$. Kako je
minimalni polinom bilo kojeg algebarskog elementa nad nekim poljem ujedno i
ireducibilan polinom nad tim poljem, dokazali smo tvrdnju.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{imi}Neka je $f(x)\in F_{q}[x]$ ireducibilan polinom nad poljem $F_{q}$
i $\alpha $ korijen tog polinoma u nekom pro\v{s}irenju polja $F_{q}$. Za
polinom $h(x)\in F_{q}[x]$ vrijedi 
\begin{equation*}
h(\alpha )=0\Leftrightarrow f(x)\mid h(x).
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Element $\alpha $ je algebarski nad poljem $F_{q}$, pa postoji jedinstven
minimalni polinom $f_{\alpha }(x)\in F_{q}[x]$ elementa $\alpha $ nad $F_{q}$%
. Po\v{s}to je $f(x)$ ireducibilan polinom kojem je $\alpha $ korijen,
slijedi $f_{\alpha }(x)=c^{-1}f(x)$, gdje je $c$ vode\'{c}i koeficijent
polinoma $f(x)$, a tada tvrdnja leme slijedi iz Teorema \ref{minim}
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{polin}Neka je $f(x)\in F_{q}[x]$ ireducibilan polinom stupnja $n$ nad
poljem $F_{q}$ i $m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Tada $f(x)$ dijeli polinom $x^{q^{m}}-x$ ako i samo ako $n\mid m$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Prema Teoremu \ref{jednpr}, postoji jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje $%
F_{q}(\alpha )$ polja $F_{q}$ generirano nekim korijenom $\alpha $ polinoma $%
f(x)$. Tada postoji jedinstven minimalni polinom $f_{\alpha }(x)$ $\in
F_{q}[x]$ elementa $\alpha $ i vrijedi 
\begin{equation*}
\lbrack F_{q}(\alpha ):F_{q}]=\deg f_{\alpha }(x)=\deg f(x)=n.
\end{equation*}%
Prema Lemi \ref{redkp}, red polja $F_{q}(\alpha )$ je $|F_{q}|^{n}=q^{n}$.
Iz Teorema \ref{pjkp}\ slijedi da je $F_{q^{m}}$ polje razlaganja polinoma $%
x^{q^{m}}-x$ nad poljem $F_{q}$, koje se sastoji samo od korijena tog
polinoma.

\fbox{$\Rightarrow $} Ako $f(x)\mid x^{q^{m}}-x$, tada je korijen $\alpha $
polinoma $f(x)$ ujedno i korijen polinoma $x^{q^{m}}-x$, pa je $F_{q}(\alpha
)=$ $F_{q^{n}}$ potpolje polja $F_{q^{m}}$, a prema Teoremu \ref{kriterij},
vrijedi $n\mid m.$

\fbox{$\Leftarrow $} Iz Teorema \ref{kriterij}, po\v{s}to $n\mid m$, slijedi
da je $F_{q}(\alpha )=$ $F_{q^{n}}$ potpolje polja $F_{q^{m}}$, a tada je $%
\alpha $ korijen polinoma $x^{q^{m}}-x$, pa prema prethodnoj lemi $f(x)\mid
x^{q^{m}}-x$.
\end{proof}

Prona\dj imo polje razlaganja ireducibilnog polinoma $f(x)\in F_{q}[x]$ nad
poljem $F_{q}$.

\begin{theorem}
\label{jednos}Ako je $f(x)\in F_{q}[x]$ ireducibilan polinom stupnja $n$ nad 
$F_{q}$, tada je $F_{q^{n}}$ polje razlaganja polinoma $f(x)$ nad $F_{q}$.
Ako je $\alpha \in F_{q^{n}}$ neki korijen polinoma $f(x)$, tada su svi
korijeni tog polinoma me\dj usobno razli\v{c}iti elementi 
\begin{equation*}
\alpha ,\alpha ^{q},\alpha ^{q^{2}},\ldots ,\alpha ^{q^{n-1}}
\end{equation*}
polja $F_{q^{n}}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Iz Teorema \ref{jednpr} znamo da postoji jednostavno algebarsko pro\v{s}%
irenje $F_{q}(\alpha )$ polja $F_{q}$ generirano nekim korijenom $\alpha $
polinoma $f(x)$. Budu\'{c}i da je minimalan polinom elementa $\alpha $ nad $%
F_{q}$ polinom $c^{-1}f(x)$, gdje je $c$ vode\'{c}i koeficijent od $f(x)$,
tada je $[F_{q}(\alpha ):F_{q}]=\deg f(x)=n$ (vidjeti Teorem \ref{izgra}),
pa prema Lemi \ref{redkp} vrijedi $|F_{q}(\alpha )|=$ $|F_{q}|^{n}=q^{n}$,
tj. $F_{q}(\alpha )=F_{q^{n}}$.

Da bi dokazali da je $F_{q}(\alpha )=F_{q^{n}}$ polje razlaganja polinoma $%
f(x)$ nad $F_{q}$, prvo doka\v{z}imo tvrdnju:

Ako je $\beta \in F_{q^{n}}$ korijen polinoma $f(x)$, tada je i $\beta
^{q}\in F_{q^{n}}$ tako\dj er korijen tog polinoma.

Neka je $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in F_{q}[x]$, $\beta \in
F_{q^{n}}$ i $f(\beta )=0$. Iz Leme \ref{elem}, slijedi $a_{i}^{q}=a_{i}$, $%
\forall i\in \{0,1,\ldots ,n\}$. Po\v{s}to je broj $q$ potencija
karakteristike polja $F_{q}$, a koja je prost broj, koriste\'{c}i Teorem \ref%
{bin}, dobijemo:%
\begin{eqnarray*}
f(\beta ^{q}) &=&a_{0}+a_{1}\beta ^{q}+\cdots +a_{n}(\beta
^{q})^{n}=a_{0}^{q}+a_{1}^{q}\beta ^{q}+\cdots +a_{n}^{q}(\beta ^{n})^{q}= \\
&=&(a_{0}+a_{1}\beta +\cdots +a_{n}\beta ^{n})^{q}=0\text{.}
\end{eqnarray*}%
Dakle, elementi $\alpha $, $\alpha ^{q}$, $\alpha ^{q^{2}}$,\ldots , $\alpha
^{q^{n-1}}$ polja $F_{q^{n}}$, su korijeni polinoma $f(x)$. Ako poka\v{z}emo
da su navedeni korijeni svi me\dj usobno razli\v{c}iti, tada kako je $n$
stupanj polinoma $f(x)$, slijedi da su to jedini korijeni polinoma $f(x)$ u
polju $F_{q^{n}}$, odnosno polinom $f(x)$ se potpuno razla\v{z}e u $%
F_{q^{n}} $.

Pretpostavimo suprotno, tj. postoje takvi $i$, $j\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
_{0}$ da vrijedi $0\leqslant i<j\leqslant n-1$, te $\alpha ^{q^{j}}=$ $%
\alpha ^{q^{i}}$. Slijedi 
\begin{equation*}
\alpha ^{q^{n-j+i}}=\alpha ^{q^{n-j}\cdot q^{i}}=(\alpha
^{q^{i}})^{q^{n-j}}=(\alpha ^{q^{j}})^{q^{n-j}}=\alpha ^{q^{n}}=\alpha \text{%
.}
\end{equation*}
Dakle, $\alpha $ je korijen polinoma $x^{q^{n-j+i}}-x\in F_{q}[x]$, pa iz
Leme \ref{imi} dobijemo 
\begin{equation*}
f(x)\mid x^{q^{n-j+i}}-x,
\end{equation*}
a tada $n\mid n-j+i$ (koristiti Lemu \ref{polin}), \v{s}to je u
kontradikciji s \v{c}injenicom $n-j+i<n$. Dakle, svi elementi $\alpha
,\alpha ^{q},\alpha ^{q^{2}},\ldots ,\alpha ^{q^{n-1}}$polja $F_{q^{n}}$ su
razli\v{c}iti.

Pokazali smo da se polinom $f(x)\in F_{q}[x]$ potpuno razla\v{z}e u $%
F_{q^{n}}$, a kako vrijedi $F_{q}(\alpha )=F_{q^{n}}$, taj polinom se ne mo%
\v{z}e potpuno razlo\v{z}iti ni u jednom pravom potpolju od $F_{q^{n}}$ koje
sadr\v{z}i $F_{q}$, tj. polje $F_{q^{n}}$ je polje razlaganja polinoma $f(x)$
nad $F_{q}$.
\end{proof}

U prethodnom teoremu pokazali smo da je polje razlaganja ireducibilnog
polinoma nad kona\v{c}nim poljem $F_{q}$ upravo jednostavno algebarsko pro%
\v{s}irenje polja $F_{q}$ generirano nekim korijenom tog polinoma.

\begin{corollary}
Polja razlaganja svaka dva ireducibilna polinoma istog stupnja nad poljem $%
F_{q}$, su izomorfna.
\end{corollary}

\begin{definition}
Neka je $\alpha \in F_{q^{n}}$.\textbf{\ Elementi polja} $F_{q^{n}}$ \textbf{%
konjugirani} \textbf{s} $\alpha $ \textbf{u odnosu na }$F_{q}$ su elementi $%
\alpha $, $\alpha ^{q}$, $\alpha ^{q^{2}}$,\ldots , $\alpha ^{q^{n-1}}$ iz $%
F_{q^{n}}$.
\end{definition}

Koriste\'{c}i Teorem \ref{jednos} i \v{c}injenicu da je svaki minimalni
polinom nekog elementa nad poljem $K$ ireducibilan polinom nad $K$, lako se
doka\v{z}e:

\begin{corollary}
\label{munja}Neka je $\alpha \in F_{q^{n}}$. Tada:

\begin{enumerate}
\item[1)] Ako je $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ stupanj minimalnog polinoma elementa $\alpha $ nad poljem $F_{q}$, tada $%
d\mid n$ i $\{\alpha $, $\alpha ^{q}$, $\alpha ^{q^{2}}$,\ldots , $\alpha
^{q^{d-1}}\}$ je skup svih razli\v{c}itih elemenata iz $F_{q^{n}}$
konjugiranih s $\alpha $ u odnosu na\textbf{\ }$F_{q}$.

Ako je $d\neq n$, tada se svaki od elemenata iz navedenog skupa pojavljuje u
skupu $\{\alpha $, $\alpha ^{q}$, $\alpha ^{q^{2}}$,\ldots , $\alpha
^{q^{n-1}}\}$ to\v{c}no $\tfrac{n}{d}$ puta.

\item[2)] Neka je $\{\alpha $, $\alpha ^{q}$, $\alpha ^{q^{2}}$,\ldots , $%
\alpha ^{q^{d-1}}\}$ skup svih razli\v{c}itih elemenata iz $F_{q^{n}}$
konjugiranih s $\alpha $ u odnosu na\textbf{\ }$F_{q}$. Tada $d\mid n$ i $d$
je upravo stupanj minimalnog polinoma elementa $\alpha $ nad $F_{q}$.
\end{enumerate}
\end{corollary}

\begin{theorem}
\label{redpe}Elementi polja $F_{q}$ konjugirani s $\alpha \in F_{q}^{\ast }$
u odnosu na bilo koje potpolje tog polja imaju isti red u grupi $F_{q}^{\ast
}$ kao i element $\alpha $. Specijalno, ako je $\alpha $ primitivan element
polja $F_{q}$, tada su svi elementi iz $F_{q}$ konjugirani s $\alpha $ u
odnosu na bilo koje potpolje polja $F_{q}$, tako\dj er primitivni elementi
polja $F_{q}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Budu\'{c}i da je $F_{q}$ kona\v{c}no polje, tada je $q=p^{m}$, gdje je prost
broj $p$ karakteristika tog polja, a $m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Uzmimo $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, takav da $n\mid m$ i promatrajmo elemente iz polja $F_{q}=$ $F_{p^{m}}$
konjugirane s $\alpha $ u odnosu na potpolje $F_{p^{n}}$ polja $F_{p^{m}}$.
Ako je $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, takav da $n\cdot l=m$, tada su to upravo elementi 
\begin{equation*}
\alpha ,\alpha ^{p^{n}},\alpha ^{(p^{n})^{2}},\ldots ,\alpha
^{(p^{n})^{l-1}}.
\end{equation*}

Kako je multiplikativna grupa $F_{q}^{\ast }$ polja $F_{q}$ cikli\v{c}ka,
tada element $\alpha $ generira neku cikli\v{c}ku podgrupu te grupe i $%
|\alpha |\mid (p^{m}-1)=|F_{q}^{\ast }|$. Prema Teoremu \ref{gene},
generatori grupe $\langle \alpha \rangle $ su oblika $\alpha ^{k}$, gdje je $%
k$ prirodan broj, takav da je $Nzm(|\alpha |,k)=1$. Tvrdnja teorema je
zadovoljena, jer je svaki od brojeva $1$, $p^{n}$, $p^{2n}$,\ldots , $%
p^{(l-1)n}$, zbog $|\alpha |\mid (p^{m}-1)$, relativno prost s $|\alpha |$.
\end{proof}

\subsection{Ciklotomi\v{c}ki polinomi}

\begin{definition}
Ako je $K$ neko polje, $n$ prirodan broj, tada polje razlaganja polinoma $%
x^{n}-1\in K[x]$ nad poljem $K$ zovemo $\mathbf{n-}$\textbf{to ciklotomi\v{c}%
ko polje nad poljem }$K$ i bilje\v{z}imo sa $K^{(n)}$.\textbf{\ Korijeni }$%
\mathbf{n-}$\textbf{tog stupnja iz jedinice} nad poljem $K$ su korijeni tog
polinoma u $K^{(n)}$. Skup svih spomenutih korijena ozna\v{c}avamo sa $%
E^{(n)}$.
\end{definition}

\begin{example}
U slu\v{c}aju kada je $K$ polje racionalnih brojeva $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$, $n$-to ciklotomi\v{c}ko polje nad poljem\textbf{\ }$%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$ je potpolje polja kompleksnih brojeva $%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$. Korijeni $n-$tog stupnja iz jedinice nad poljem $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$ su vrhovi pravilnog $n$-terokuta upisanog u jedini\v{c}nu kru\v{z}nicu
kompleksne ravnine sa sredi\v{s}tem u ishodi\v{s}tu.
\end{example}

\begin{theorem}
\label{primit}Neka je $K$ polje karakteristike $p$, $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] Ako $p\nmid n$, tada postoji u $K^{(n)}$ to\v{c}no $n$ razli\v{c}%
itih korijena polinoma $x^{n}-1\in K[x]$, a $E^{(n)}$ je cikli\v{c}ka
podgrupa reda $n$ multiplikativne grupe $K^{(n)\ast }$ polja $K^{(n)}$.

\item[2)] Ako $p\mid n$ i $n=m\cdot p^{e}$, gdje su $m$, $e\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $p\nmid m$, tada postoji u $K^{(n)}$ to\v{c}no $m$ razli\v{c}itih
korijena polinoma $x^{n}-1\in K[x]$. Svaki od spomenutih korijena je
kratnosti $p^{e}$ i vrijedi $K^{(n)}=K^{(m)}$, $E^{(n)}=E^{(m)}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[1)] Slu\v{c}aj $n=1$ je trivijalan. Za $n\geqslant 2$ polinom $%
f(x)=x^{n}-1\in K[x]$ ima u $K^{(n)}$ samo jednostruke korijene, jer
polinomi $f(x)$ i $f^{\prime }(x)=nx^{n-1}$ nemaju zajedni\v{c}kih korijena
u $K^{(n)}$, kako je, po Teoremu \ref{kar}, $0$ jedini korijen polinoma $%
f^{\prime }(x)=nx^{n-1}$ u $K^{(n)}$. Dakle, skup $E^{(n)}$ sastoji se od to%
\v{c}no $n$ razli\v{c}itih elemenata i vrijedi $E^{(n)}\subset K^{(n)\ast }$.

Poka\v{z}imo da je $E^{(n)}$ podgrupa multiplikativne grupe $K^{(n)\ast }$
polja $K^{(n)}$, tj. da za proizvoljne $a$, $b\in E^{(n)}$, vrijedi $a\cdot
b^{-1}\in E^{(n)}$. Iz $a^{n}=1$, $b^{n}=1$, slijedi 
\begin{equation*}
(a\cdot b^{-1})^{n}=a^{n}(b^{n})^{-1}=1,
\end{equation*}%
pa je $a\cdot b^{-1}\in E^{(n)}$. Po\v{s}to je, po Teoremu \ref{cikl}, svaka
kona\v{c}na podgrupa grupe $K^{(n)\ast }$, cikli\v{c}ka, slijedi da je $%
E^{(n)}$ cikli\v{c}ka grupa reda $n$.

\item[2)] Ako $p\mid n$ tada je karakteristika polja $K$ prost broj, odnosno 
$K$ je kona\v{c}no polje, pa koriste\'{c}i Teorem \ref{bin}, dobijemo:%
\begin{equation}
f(x)=x^{n}-1=x^{m\cdot p^{e}}-1^{p^{e}}=(x^{m}-1)^{p^{e}}.  \tag*{(1)}
\label{c1}
\end{equation}%
Budu\'{c}i da $p\nmid m$, tada prema 1), postoji u polju $K^{(m)}$ to\v{c}no 
$m$ razli\v{c}itih korijena polinoma $x^{m}-1\in K[x]$. Koriste\'{c}i 1),
zaklju\v{c}ujemo da je $K^{(n)}=K^{(m)}$ i $E^{(n)}=E^{(m)}$, te da polinom $%
f(x)$ ima to\v{c}no $m$ razli\v{c}itih korijena u $K^{(n)}$, a kratnost
svakog od njih je $p^{e}$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
Ako je $K$ polje karakteristike $p$, $n$ prirodan broj takav da $p\nmid n$,
tada generatore cikli\v{c}ke grupe $E^{(n)}\subset K^{(n)\ast }$ nazivamo 
\textbf{primitivni korijeni }$\mathbf{n-}$\textbf{tog stupnja iz jedinice }%
nad poljem $K$.
\end{definition}

Ako je $K$ polje karakteristike $p$, $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $p\nmid n$, tada u $K^{(n)}$ postoji to\v{c}no $\varphi (n)$ primitivnih
korijena\textbf{\ }$n-$tog\textbf{\ }stupnja iz jedinice\textbf{\ }nad $K$.
Ako je $\zeta $ jedan od spomenutih korijena, tada prema Teoremu \ref{gene},
slijedi da su svi primitivni korijeni $n-$tog\textbf{\ }stupnja iz jedinice%
\textbf{\ }nad $K$, oblika $\zeta ^{i}$, gdje je $i$ prirodan broj manji od $%
n$ i relativno prost sa $n$.

\begin{definition}
Neka je $K$ polje karakteristike $p$, $n$ prirodan broj takav da $p\nmid n$,
te $\zeta $ jedan od primitivnih korijena\textbf{\ }$n-$tog\textbf{\ }%
stupnja iz jedinice\textbf{\ }nad $K$. Tada polinom%
\begin{equation*}
Q_{n}(x)=\tprod\limits_{\QTATOP{i=1}{Nzm(i,n)=1}}^{n}(x-\zeta ^{i})
\end{equation*}%
zovemo $\mathbf{n-}$\textbf{ti ciklotomi\v{c}ki polinom }nad poljem $K$.
\end{definition}

O\v{c}ito je da $Q_{n}(x)$ pripada prstenu $K^{(n)}[x]$, te $\deg
Q_{n}(x)=\varphi (n)$, svi korijeni polinoma $Q_{n}(x)$ su primitivni
korijeni $n-$tog\textbf{\ }stupnja iz jedinice\textbf{\ }nad $K$ i samo oni,
a $Q_{n}(x)$ ne ovisi o izboru nekog od tih korijena $\zeta $.

Od sada pa na dalje simbolom $\tprod\limits_{d\mid n}$ \'{c}emo ozna\v{c}iti
umno\v{z}ak po svim djeliteljima $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ prirodnog broja $n$.

\begin{theorem}
\label{z}Neka je $K$ polje karakteristike $p$, $n$ prirodan broj takav da $%
p\nmid n$. Tada vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] $x^{n}-1=\tprod\limits_{d\mid n}Q_{d}(x)$, gdje su $Q_{d}(x)$ $d-$%
ti ciklotomi\v{c}ki polinomi nad poljem $K$.

\item[2)] Koeficijenti $n-$tog ciklotomi\v{c}kog polinoma $Q_{n}(x)$\textbf{%
\ }nad poljem $K$ su elementi ili iz prostog potpolja polja $K$, za $p$ je
prost broj, ili iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, ako je $K$ polje karakteristike $0$.

\item[3)] $Q_{n}(x)=\prod\limits_{d\mid n}(x^{\frac{n}{d}}-1)^{\mu (d)}$,
gdje je $Q_{n}(x)$ $n-$ti ciklotomi\v{c}ki polinom nad poljem $K$, a $\mu :%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ M\"{o}biusova funkcija.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[1)] Polje razlaganja polinoma $x^{n}-1\in K[x]$ nad poljem $K$ je $n-$%
to ciklotomi\v{c}ko polje $K^{(n)}$ nad $K$. Ako je $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $d\mid n$, tada $x^{d}-1\mid x^{n}-1$, pa je $K^{(d)}$ potpolje polja $%
K^{(n)}$. Iz \v{c}injenice da $p\nmid n$ slijedi $p\nmid d$, te postoje
ciklotomi\v{c}ki polinomi $Q_{d}(x)$ i $Q_{n}(x)$ nad poljem $K$.

Neka je $\zeta \in K^{(n)}$ korijen polinoma $x^{n}-1\in K[x]$, tj. vrijedi $%
\zeta ^{n}=1$. Definiramo li $d:=|\zeta |$, slijedi $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $d\mid n$ i $\zeta $ je primitivan korijen $d-$tog stupnja iz jedinice
nad poljem $K$, tj. $\zeta $ je nulto\v{c}ka polinoma $Q_{d}(x)\in
K^{(n)}[x] $.

Obrnuto, ako je $\zeta \in K^{(n)}$ korijen polinoma $Q_{d}(x)\in K^{(n)}[x]$%
, gdje je $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $d\mid n$, tada je $\zeta ^{d}=1$, iz \v{c}ega slijedi $\zeta ^{n}=1$,
tj. $\zeta $ je korijen polinoma $x^{n}-1\in K[x]$.

Iz Teorema \ref{primit}, znamo da su svi korijeni u $K^{(n)}$\ polinoma $%
x^{n}-1\in K[x]$ jednostruki, \v{s}to po definiciji vrijedi i za korijene u $%
K^{(n)}$\ $d-$tog ciklotomi\v{c}kog polinoma $Q_{d}(x)\in K^{(n)}[x]$, gdje
je $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $d\mid n$. Kako je o\v{c}ito da su skupovi korijena razli\v{c}itih
polinoma oblika $Q_{d}(x)\in K^{(n)}[x]$, gdje $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $d\mid n$, me\dj usobno disjunktni, tada iz prethodnog razmatranja,
slijedi 
\begin{equation*}
x^{n}-1=\tprod\limits_{d\mid n}Q_{d}(x)\text{.}
\end{equation*}

\item[2)] Tvrdnju doka\v{z}imo indukcijom.

\underline{Baza indukcije}. Za $n=1$ vrijedi $Q_{1}(x)=x-1$ i tvrdnja je o%
\v{c}ita.

\underline{Pretpostavka indukcije}. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve $%
d$-te ciklotomi\v{c}ke polinome $Q_{d}(x)$ nad poljem $K$, gdje je $d\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $d<n$ i $p\nmid d$.

\underline{Korak indukcije}. Doka\v{z}imo da tvrdnja vrijedi za $Q_{n}(x)$.

Prema 1) vrijedi%
\begin{equation}
Q_{n}(x)=\dfrac{x^{n}-1}{\tprod\limits_{\QTATOP{d\mid n}{1\leqslant d<n}%
}Q_{d}(x)}\text{.}  \tag*{(2)}  \label{c2}
\end{equation}%
Prema pretpostavci indukcije, koeficijenti polinoma $\tprod\limits_{\QTATOP{%
d\mid n}{1\leqslant d<n}}Q_{d}(x)$ su ili iz prostog potpolja polja $K$, za $%
p$ je prost broj, ili iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, ako je $p=0$. Taj polinom je normiran, jer su mu svi faktori normirani
polinomi, a sva njegova, do sada navedena, svojstva vrijede i za polinom $%
x^{n}-1\in K[x]$.

Ako je $p$ prost broj, tada iz \ref{c2} i Teorema o dijeljenju polinoma,
slijedi da $Q_{n}(x)$ ima tra\v{z}ena svojstva.

Ako je $p=0$, tada su koeficijenti polinoma $Q_{n}(x)$ iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, jer se diobom polinoma $x^{n}-1\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ s normiranim polinomom iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$\ ne izlazi iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$.

\item[3)] Ova tvrdnja doka\v{z}e se (vidjeti \cite{redei} i \cite{lidl}) kori%
\v{s}tenjem svojstava M\"{o}biusove funkcije i \v{c}injenice da za prirodan
broj $d$, takav da $d\mid n$ vrijedi $x^{\frac{n}{d}}-1\mid x^{n}-1$,
odnosno $K^{(\frac{n}{d})}\subset K^{(n)}$ i $E^{(\frac{n}{d})}\subset
E^{(n)}$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proposition}
Neka je $K$ polje karakteristike $p$, te $r$ prost broj takav da $r\neq p$.
Tada za $r^{k}-$ti ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{r^{k}}(x)$ nad poljem $K$
vrijedi:%
\begin{equation}
Q_{r^{k}}(x)=1+x^{r^{k-1}}+x^{2r^{k-1}}+\cdots +x^{(r-1)r^{k-1}}\text{, }%
\forall k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.  \tag*{(3)}  \label{c3}
\end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
Iz zadanih podataka zaklju\v{c}ujemo da $p\nmid r^{i}$, $\forall i\in
\{1,\ldots ,k\}$, pa iz prethodnog teorema slijedi%
\begin{equation*}
x^{r^{k}}-1=\tprod\limits_{i=0}^{k}Q_{r^{i}}(x)=(x^{r^{k-1}}-1)Q_{r^{k}}(x)%
\text{.}
\end{equation*}%
Budu\'{c}i da je%
\begin{eqnarray*}
x^{r^{k}}-1
&=&(x^{r^{k-1}}-1)[(x^{r^{k-1}})^{r-1}+(x^{r^{k-1}})^{r-2}+\cdots
+x^{r^{k-1}}+1] \\
&=&(x^{r^{k-1}}-1)[x^{(r-1)r^{k-1}}+x^{(r-2)r^{k-1}}+\cdots +x^{r^{k-1}}+1],
\end{eqnarray*}%
tada vrijedi \ref{c3}.
\end{proof}

\begin{corollary}
Neka je $K$ polje karakteristike $p$, te $r$ prost broj takav da $r\neq p$.
Tada za $r-$ti ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{r}(x)$ nad poljem $K$ vrijedi:%
\begin{equation*}
Q_{r}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{r-1}.
\end{equation*}
\end{corollary}

\begin{lemma}
\label{obrisana}Neka je $K$ polje karakteristike $p$, te $n$ prirodan broj
takav da $p\nmid n$. Ako je $d\neq n$ prirodan dijelitelj broja $n$, tada $%
n- $ti ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{n}(x)$ nad poljem $K$ dijeli polinom $%
\frac{x^{n}-1}{x^{d}-1}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Kako je $d$ prirodan dijelitelj broja $n$, tada $x^{d}-1$ dijeli polinom $%
x^{n}-1$, pa je $d$-to ciklotomi\v{c}ko polje $K^{(d)}$ nad $K$ potpolje od $%
n$-tog ciklotomi\v{c}kog polja $K^{(n)}$ nad $K$. Najve\'{c}a zajedni\v{c}ka
mjera polinoma $x^{d}-1,$ $Q_{n}(x)\in K^{(n)}[x]$ u prstenu $K^{(n)}[x]$ je 
$1$, budu\'{c}i da, a zbog $d\neq n$, spomenuti polinomi nemaju zajedni\v{c}%
kih korijena u $K^{(n)}$. Kako polinom $Q_{n}(x)$ dijeli $x^{n}-1$ (prema
Teoremu \ref{z}), tada iz $x^{n}-1=\frac{x^{n}-1}{x^{d}-1}\cdot (x^{d}-1)$,
te $Nzm(x^{d}-1,Q_{n}(x))=1$, zaklju\v{c}ujemo da $Q_{n}(x)$ dijeli $\frac{%
x^{n}-1}{x^{d}-1}$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{gemo}Neka je $K$ polje, $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Tada vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[1)] Ciklotomi\v{c}ko polje $K^{(n)}$ je jednostavno algebarsko pro\v{s}%
irenje polja $K$.

\item[2)] Neka je $K=F_{q}$ i $Nzm(n,q)=1$. Tada je $[K^{(n)}:K]=d$, gdje je 
$d$ najmanji prirodan broj takav da vrijedi $q^{d}\equiv 1(\func{mod}n)$.
Ukupan broj razli\v{c}itih minimalnih polinoma primitivnih korijena $n-$tog
stupnja iz jedinice nad poljem $K$ je $\tfrac{\varphi (n)}{d}$, stupnja su $%
d $, pripadno polje razlaganja je $K^{(n)}$, a njihov umno\v{z}ak je $n$-ti
ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{n}(x)$ nad poljem $K$.

\item[3)] Ako je $K=%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$, tada je $[K^{(n)}:K]=\varphi (n)$ i $n-$ti ciklotomi\v{c}ki polinom $%
Q_{n}(x)$ nad poljem $K$ je normiran, ireducibilan polinom stupnja $\varphi
(n)$ nad $K$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[1)] Ozna\v{c}imo sa $p$ karakteristiku polja $K$.

Ako $p\nmid n$, tada je $E^{(n)}$, prema Teoremu \ref{primit}, cikli\v{c}ka
podgrupa reda $n$ multiplikativne grupe $K^{(n)\ast }$ polja $K^{(n)}$.
Izaberemo li bilo koji generator $\zeta $ te podgrupe, tj. primitivni korijen%
\textbf{\ }$n-$tog\textbf{\ }stupnja iz jedinice\textbf{\ }nad $K$, o\v{c}%
ito je 
\begin{equation*}
x^{n}-1=(x-1)(x-\zeta )(x-\zeta ^{2})\cdots (x-\zeta ^{n-1}).
\end{equation*}%
Tada vrijedi $K(\zeta )=K^{(n)}$, jer se polinom $x^{n}-1\in K[x]$ potpuno
razla\v{z}e u polju $K(\zeta )$, a ne razla\v{z}e se ni u jednom pravom
potpolju polja $K(\zeta )$, koje sadr\v{z}i $K$.

Ako $p\mid n$ i $n=m\cdot p^{e}$, gdje su $m$, $e\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ i $p\nmid m$, tada je po Teoremu \ref{primit}, $K^{(n)}=K^{(m)}$, $%
E^{(n)}=E^{(m)}$. Tvrdnja se doka\v{z}e sli\v{c}no kao i u prethodnom slu%
\v{c}aju i vrijedi $K^{(n)}=K^{(m)}=K(\zeta )$, gdje je $\zeta $ primitivni
korijen\textbf{\ }$m-$tog\textbf{\ }stupnja iz jedinice\textbf{\ }nad $K$,
odnosno $\langle \zeta \rangle =E^{(m)}=E^{(n)}$.

\item[2)] Karakteristika polja $F_{q}$ je prost broj, a $q$ je potencija tog
broja. Budu\'{c}i da je $Nzm(n,q)=1$, tada karakteristika polja $F_{q}$ ne
dijeli $n$, pa polinom $x^{n}-1$ iz prstena $F_{q}[x]$ ima u $F_{q}^{(n)}$ to%
\v{c}no $n$ razli\v{c}itih korijena. Kao i u dokazu prethodne tvrdnje,
vrijedi $F_{q}^{(n)}=F_{q}(\zeta )$, gdje je $\zeta \in F_{q}^{(n)}$
primitivan korijen $n$-tog stupnja iz jedinice nad poljem $F_{q}$. Po\v{s}to
je $\zeta $ algebarski element nad $F_{q}$, tada postoji jedinstven
minimalni polinom $f_{\zeta }(x)\in F_{q}[x]$ pridru\v{z}en elementu $\zeta $
nad poljem $F_{q}$ i prema Teoremu \ref{izgra}, vrijedi $%
[F_{q}^{(n)}:F_{q}]=\deg f_{\zeta }(x)$. Ozna\v{c}imo li sa $d$ stupanj
polinoma $f_{\zeta }(x)$, slijedi $f_{\zeta }(x)\mid x^{n}-1$ i $f_{\zeta
}(x)\mid Q_{n}(x)$, jer je $\zeta $ korijen polinoma $x^{n}-1$ i $%
Q_{n}(x)\in F_{q}[x]$ (koristimo Teorem \ref{minim}). Prema Lemi \ref{redkp}%
, vrijedi $|F_{q}^{(n)}|=|F_{q}|^{d}=q^{d}$, tj. $F_{q}^{(n)}=F_{q^{d}}$, pa
tada za $\zeta \in F_{q^{d}}^{\ast }$ vrijedi $n\mid q^{d}-1$ (jer je $%
|\zeta |=n$).

Poka\v{z}imo da je $d$ najmanji prirodan broj za koji vrijedi $n\mid q^{d}-1$%
. Pretpostavimo suprotno, tj. postoji $l\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $l<d$ i $n\mid q^{l}-1$. Me\dj utim, iz $n=|\zeta |$, slijedi $\zeta
^{q^{l}-1}=1$, odnosno $\zeta \in $ $F_{q^{l}}$. Tada je $%
F_{q}^{(n)}=F_{q}(\zeta )=$ $F_{q^{d}}\subseteq F_{q^{l}}$, tj. $F_{q^{d}}$
je potpolje polja $F_{q^{l}}$, pa $d\mid l$. Do\v{s}li smo do kontradikcije,
jer je prema pretpostavci $l<d$, \v{c}ime smo dokazali tvrdnju.

Za minimalni polinom $f_{\zeta }(x)\in F_{q}[x]$ elementa $\zeta $ u odnosu
na polje $F_{q}$ znamo da je normiran, ireducibilan stupnja $d$ nad $F_{q}$,
a pokazali smo da $f_{\zeta }(x)$ dijeli $Q_{n}(x)$. Prema Teoremu \ref%
{jednos}, polje razlaganja polinoma $f_{\zeta }(x)$ nad $F_{q}$ jest $%
F_{q}^{(n)}=F_{q^{d}}$. Svi korijeni \ tog polinoma u polju $F_{q^{d}}$,
koji su tada korijeni i od $Q_{n}(x)$, su razli\v{c}iti elementi $\zeta $, $%
\zeta ^{q}$, \ldots , $\zeta ^{q^{d-1}}$ polja $F_{q^{d}}$ konjugirani sa $%
\zeta $ u odnosu na $F_{q}$, i primitivni su korijeni $n$-tog stupnja iz
jedinice nad $F_{q}$ (pogledati Teorem \ref{redpe}).

Poznato je da su korijeni polinoma $Q_{n}(x)\in F_{q}[x]$ u $F_{q}^{(n)}$
svi primitivni korijeni $n-$tog stupnja iz jedinice nad poljem $F_{q}$ i
samo oni, te da je 
\begin{equation*}
\deg Q_{n}(x)=\varphi (n).
\end{equation*}%
Odaberimo u $F_{q}^{(n)}=F_{q^{d}}$ primitivni korijen $n-$tog stupnja iz
jedinice nad $F_{q}$ koji nije konjugiran elementu $\zeta $ u odnosu na $%
F_{q}$. Sli\v{c}nim postupkom kao kod $\zeta $, zaklju\v{c}ujemo da je
minimalni polinom novoizabranog elementa stupnja $d$, da dijeli $Q_{n}(x)$,
pripadno polje razlaganja je $F_{q}^{(n)}=F_{q^{d}}$, te ima $d$ razli\v{c}%
itih korijena u $F_{q^{d}}$ koji su upravo primitivni korijeni $n-$tog
stupnja iz jedinice nad poljem $F_{q}$. O\v{c}ito je da spomenuti polinom i
polinom $f_{\zeta }(x)$\ nemaju zajedni\v{c}kih korijena u polju $F_{q^{d}}$%
. Nastavimo li postupak dalje, dobit \'{c}emo da se polinom $Q_{n}(x)$ mo%
\v{z}e zapisati kao produkt svih $\tfrac{\varphi (n)}{d}$ razli\v{c}itih
minimalnih polinoma primitivnih korijena $n-$tog stupnja iz jedinice nad
poljem $F_{q}$.

\item[3)] Za $n=1$ dokaz je trivijalan. Pretpostavimo da je $n>1$.

Iz dokaza tvrdnje 1) slijedi da je $n-$to ciklotomi\v{c}ko polje $K^{(n)}$
nad poljem $K=%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$ upravo jednostavno algebarsko pro\v{s}irenje $K(\zeta )$ polja $K$
generirano primitivnim korijenom $\zeta $ $n$-tog stupnja iz jedinice nad
poljem $K$, tj. da je $K^{(n)}=K(\zeta )$.

Prema Teoremu \ref{z}, vrijedi $Q_{n}(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]\subset K[x]$. Doka\v{z}emo li da je $n-$ti ciklotomi\v{c}ki
polinom $Q_{n}(x)$ ireducibilan nad $K$, tada budu\'{c}i da je $\zeta $
korijen tog polinoma, o\v{c}ito je $Q_{n}(x)$ upravo minimalan polinom
elementa $\zeta $ nad $K$, pa je $[K^{(n)}:K]=\deg Q_{n}(x)=\varphi (n)$
(koristiti Teorem \ref{izgra}).

Da bi dokazali da je polinom $Q_{n}(x)$ ireducibilan nad $K=%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$, dovoljno je pokazati da je $Q_{n}(x)$ ireducibilan nad $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, jer je $K$ polje razlomaka Gausovog prstena $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ (vidjeti \cite{peric}, I. dio, str.81.).

Neka je $k(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ ireducibilan polinom nad $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ koji je djelitelj polinoma $Q_{n}(x)$. Ako poka\v{z}emo da je $%
k(x)=Q_{n}(x)$, dokazali smo tvrdnju.

Ozna\v{c}imo li sa $\zeta \in K^{(n)}$ neki korijen polinoma $k(x)$, tada je 
$\zeta $ primitivan korijen $n-$tog stupnja iz jedinice nad poljem $K$.

Poka\v{z}imo da je $\zeta ^{p}\in K^{(n)}$ tako\dj er korijen polinoma $k(x)$%
, za bilo koji prost broj $p$, takav da $p\nmid n$. Pretpostavimo li
suprotno, tada postoji dijelitelj $l(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ polinoma $Q_{n}(x)$, takav da je $l(x)$ ireducibilan nad $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ i $l(\zeta ^{p})=0$. Neka je 
\begin{equation}
Q_{n}(x)=k(x)\cdot l(x)\cdot m(x)\text{,}  \tag*{(4)}  \label{c4}
\end{equation}%
gdje je $m(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$. Kako je polinom $Q_{n}(x)$ normiran polinom, tada to vrijedi i
za $k(x)$, $l(x)$ i $m(x)$.

Polinom $k(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ je upravo minimalan polinom elementa $\zeta $ nad poljem $K=%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$, jer je normiran i ireducibilan polinom nad poljem $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, a time i nad $K$. Budu\'{c}i da je $\zeta $ korijen polinoma $l(x^{p})\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]\subset K[x]$, tada iz Teorema \ref{minim}\ slijedi da $k(x)$
dijeli $l(x^{p})$, pa postoji polinom $t(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$, tako da vrijedi 
\begin{equation}
l(x^{p})=k(x)\cdot t(x).  \tag*{(5)}  \label{c5}
\end{equation}

Ozna\v{c}imo sa $\overline{a}$ sliku, pri prirodnom epimorfizmu $\Psi :%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)=P$, definiranom sa $\Psi (a)=a+(p)$, $\forall a\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$. Epimorfizam $\Psi $ inducira epimorfizam izme\dj u prstena $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ i $P[x]$, \v{c}ije se djelovanje mo\v{z}e zapisati u obliku $%
\tsum a_{i}x^{i}\rightarrow \tsum \overline{a}_{i}x^{i}$, $\forall a_{i}\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$. Sliku polinoma $f(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ pri spomenutom, induciranom epimorfizmu ozna\v{c}imo sa $%
\overline{f}(x)$. Na ovaj na\v{c}in izraz \ref{c4} prelazi u 
\begin{equation}
\overline{Q}_{n}(x)=\overline{k}(x)\cdot \overline{l}(x)\cdot \overline{m}(x)%
\text{,}  \tag*{(6)}  \label{c6}
\end{equation}%
a izraz \ref{c5} u 
\begin{equation}
\overline{l}(x^{p})=\overline{k}(x)\cdot \overline{t}(x).  \tag*{(7)}
\label{c7}
\end{equation}%
Kako, prema Teoremu \ref{z}, polinom $Q_{n}(x)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$ dijeli polinom $x^{n}-1\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$, tada polinom $\overline{Q}_{n}(x)\in P[x]$ dijeli $x^{n}-%
\overline{1}\in P[x]$. Svi korijeni polinoma $\overline{Q}_{n}(x)$ u $n-$tom
ciklotomi\v{c}kom polju nad poljem $P$ su me\dj usobno razli\v{c}iti, jer to
vrijedi i za korijene polinoma $x^{n}-\overline{1}\in P[x]$, budu\'{c}i da
karakteristika $p$ polja $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
/(p)=P$ ne dijeli $n$ (Teorem \ref{primit}). Tako\dj er, koriste\'{c}i
Teorem \ref{bin}, iz \ref{c7} dobijemo $[\overline{l}(x)]^{p}=\overline{l}%
(x^{p})=\overline{k}(x)\cdot \overline{t}(x)$, pa je svaki korijen polinoma $%
\overline{k}(x)$ ujedno i korijen od $\overline{l}(x)$, a tada iz \ref{c6}
slijedi da polinom $\overline{Q}_{n}(x)$ ima vi\v{s}estrukih korijena u $n-$%
tom ciklotomi\v{c}kom polju nad poljem $P$. Do\v{s}li smo do kontradikcije,
a time dokazali da je $\zeta ^{p}\in K^{(n)}$ korijen polinoma $k(x)$, za
svaki prost broj $p$, takav da $p\nmid n$.

U kona\v{c}no mnogo koraka, koriste\'{c}i prethodno dokazano, te rastav
prirodnog broja na proste faktore, lako se poka\v{z}e da su svi primitivni
korijeni $n-$tog stupnja iz jedinice nad poljem $K$, a koji su oblika $\zeta
^{i}$, gdje je $i\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $i<n$, te $Nzm(i,n)=1$, ujedno korijeni i polinoma $f(x)$, a tada je $%
f(x)=Q_{n}(x)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
(\textbf{Wedderburnov teorem}) Svako kona\v{c}no tijelo je polje.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $K$ kona\v{c}no tijelo. Sli\v{c}no kao kod kona\v{c}nog polja, doka%
\v{z}e se da je karakteristika od $K$ prost broj $p$, te da je prosto
potpolje tijela $K$ izomorfno polju $F_{p}$. Po\v{s}to je $K$ kona\v{c}%
nodimenzionalan vektorski prostor nad svojim prostim potpoljem, sli\v{c}no
dokazu Leme \ref{redkp}, poka\v{z}e se da je red od $K$ potencija prostog
broja $p.$

Ozna\v{c}imo li sa $Z(K)$ \textbf{centar tijela }$K$, tj. skup $\{k\in K;$ $%
kx=xk$, $\forall x\in K\}$, lako se poka\v{z}e da je $Z(K)$ potpolje tijela $%
K$. Kako je $Z(K)$ kona\v{c}no polje karakteristike $p$, red $q$ polja $Z(K)$
je potencija broja $p$. Budu\'{c}i da je tijelo $K$ kona\v{c}nodimenzionalan
vektorski prostor nad poljem $Z(K)$, slijedi $|K|=q^{n}$, gdje je $%
n=[K:Z(K)] $ dimenzija tog vektorskog prostora.

Doka\v{z}emo li da je $n=1$, tada je $K=Z(K)$ i tijelo $K$ je polje, pa je
teorem dokazan.

Pretpostavimo suprotno, tj. $n>1$.

Nije te\v{s}ko dokazati da je \textbf{normalizator }$N(a)=\{k\in K;$ $%
ka=ak\} $ \textbf{elementa }$a\in K$ \textbf{u tijelu }$K$, podtijelo od $K$%
. Budu\'{c}i da $N(a)$ sadr\v{z}i polje $Z(K)$, tada je $|N(a)|=q^{r}$, gdje
je $r\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ dimenzija kona\v{c}nodimenzionalnog vektorskog prostora $N(a)$ nad $Z(K)$.
Poka\v{z}imo da $r\mid n$. Kako je $N(a)^{\ast }$ podgrupa grupe $(K^{\ast
},\cdot )$, tada prema Lagrangeovom teoremu $|N(a)^{\ast }|=q^{r}-1$ dijeli $%
|K^{\ast }|=q^{n}-1$. Po\v{s}to postoje jedinstveni $t$, $s\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ takvi da je $0\leq s<r$ i $n=t\cdot r+s$, tada 
\begin{equation*}
q^{n}-1=q^{t\cdot r}q^{s}-1=q^{s}(q^{t\cdot r}-1)+q^{s}-1.
\end{equation*}
Budu\'{c}i da $q^{r}-1$ dijeli $q^{n}-1$ i $q^{t\cdot r}-1$, tada $q^{r}-1$
dijeli $q^{s}-1$, iz \v{c}ega, zbog $0\leq s<r$, slijedi $s=0$, pa je $%
n=t\cdot r$.

Ako je $a\in K\backslash Z(K)$ i $q^{r}$ red tijela $N(a)$, tada vrijedi $%
r\neq n$, jer ako je $r=n$, tada je $a\in Z(K)$.

Budu\'{c}i da je $Z(K)^{\ast }$ centar grupe $(K^{\ast },\cdot )$, a $%
N(a)^{\ast }$ normalizator elementa $a\in K^{\ast }$ u toj grupi, tada je
jednad\v{z}ba%
\begin{equation}
|K^{\ast }|=|Z(K)^{\ast }|+\tsum\limits_{j=1}^{k}u_{j}\text{,}  \tag*{(8)}
\label{c8}
\end{equation}%
jednad\v{z}ba klasa konjugiranosti u $(K^{\ast },\cdot )$ (vidjeti Teorem %
\ref{klase}), gdje je $u_{j}$ kardinalni broj klase $[a_{j}]$ konjugiranosti
u $K^{\ast }$ koja sadr\v{z}i vi\v{s}e od jednog elementa, a vrijedi $%
u_{j}\geq 2$ i $u_{j\text{ }}$dijeli $|K^{\ast }|=q^{n}-1$, te $u_{j}$ je
jednak indeksu $(K^{\ast }:N(a_{j})^{\ast })$ podgrupe $N(a_{j})^{\ast }$ u $%
(K^{\ast },\cdot )$. Prema prethodnom razmatranju i Lagrangeovom teoremu
vrijedi $u_{j}=\frac{q^{n}-1}{q^{r_{j}}-1}$, gdje je $q^{r_{j}}-1$ red grupe 
$N(a_{j})^{\ast }$, pa je $r_{j}$ prirodni djelitelj broja $n$, $\forall
j\in \{1,\ldots ,k\}$. Me\dj utim, $a_{j}\in K^{\ast }\backslash Z(K)^{\ast
} $, jer ako $a_{j}\in Z(K)^{\ast }$, tada se u klasi konjugiranosti
elementa $a_{j}$ u grupi $(K^{\ast },\cdot )$\ nalazi samo $a_{j}$. Dakle,
vrijedi $r_{j}\neq n$, $\forall j\in \{1,\ldots ,k\}$, pa jednad\v{z}ba \ref%
{c8}, prelazi u 
\begin{equation}
q^{n}-1=q-1+\tsum\limits_{j=1}^{k}\frac{q^{n}-1}{q^{r_{j}}-1}\text{,} 
\tag*{(9)}  \label{c9}
\end{equation}%
gdje su $r_{j}\neq n$ prirodni djelitelji broja $n$.

Prema Teoremu \ref{z}, znamo da $n-$ti ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{n}(x)$%
\textbf{\ }nad poljem $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$ dijeli polinom $x^{n}-1$, te pripada prstenu $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\lbrack x]$. Budu\'{c}i da za svaki $j\in \{1,\ldots ,k\}$, a prema Lemi \ref%
{obrisana}, vrijedi $Q_{n}(x)\mid \frac{x^{n}-1}{x^{r_{j}}-1}$, slijedi $%
Q_{n}(q)\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$, $Q_{n}(q)\mid q^{n}-1$ i $Q_{n}(q)\mid \frac{q^{n}-1}{q^{r_{j}}-1}$. Tada
iz \ref{c9} dobijemo $Q_{n}(q)\mid q-1$. Kako je 
\begin{equation*}
Q_{n}(x)=\tprod\limits_{\QTATOP{i=1}{Nzm(i,n)=1}}^{n}(x-\zeta ^{i})\text{,}
\end{equation*}%
gdje je $\zeta $ jedan od primitivnih korijena\textbf{\ }$n-$tog\textbf{\ }%
stupnja iz jedinice\textbf{\ }nad $%
%TCIMACRO{\U{211a} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Q}
%EndExpansion
$, pa je $\zeta \in 
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
$ i $\zeta ^{i}\neq 1$ ($\forall i\in \{1,\ldots ,n\}$, takav da je $%
Nzm(i,n)=1$), te $n$, $q>1$, slijedi 
\begin{equation*}
Q_{n}(q)=|Q_{n}(q)|=\tprod\limits_{\QTATOP{i=1}{Nzm(i,n)=1}}^{n}|q-\zeta
^{i}|>\tprod\limits_{\QTATOP{i=1}{Nzm(i,n)=1}}^{n}(q-1)\geq q-1\text{,}
\end{equation*}%
\v{s}to je u kontradikciji s \v{c}injenicom $Q_{n}(q)\mid q-1$. Time smo
dokazali da je $n=1$.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{q-1}Polje $F_{q}$ je $(q-1)$-vo ciklotomi\v{c}ko polje nad bilo kojim
svojim potpoljem.
\end{lemma}

\begin{proof}
Promotrimo polinom $f(x)=x^{q-1}-1\in F_{q}[x]$. Njegovi su korijeni u $%
F_{q} $ svi elementi iz $F_{q}^{\ast }$ i samo oni, tj. $f(x)$ se potpuno
razla\v{z}e u polju $F_{q}$. Kako se taj polinom ne mo\v{z}e faktorizirati
ni u jednom pravom potpolju od $F_{q}$, slijedi da je $F_{q}$ polje
razlaganja polinoma $x^{q-1}-1$ nad bilo kojim potpoljem polja $F_{q}$.
\end{proof}

\begin{notation}
Prethodna lema mo\v{z}e se dokazati i kori\v{s}tenjem Teorema \ref{gemo}.
\end{notation}

\begin{notation}
\label{napa}Iz dokaza Leme \ref{q-1} o\v{c}ito je da vrijedi $F_{q}^{\ast
}=E^{(q-1)}$, gdje je $E^{(q-1)}$ skup svih korijena $(q-1)-$vog stupnja iz
jedinice nad bilo kojim potpoljem polja $F_{q}$, pa su svi primitivni
korijeni $(q-1)-$vog stupnja iz jedinice nad bilo kojim potpoljem polja $%
F_{q}$ upravo primitivni elementi polja $F_{q}$ i obratno. Ozna\v{c}imo li
sa $p$ karakteristiku polja $F_{q}$, tada $p\nmid q-1$, pa iz Teorema \ref{z}
slijedi $Q_{q-1}(x)\in F_{p}[x]$, gdje je $Q_{q-1}(x)$ $(q-1)$-vi ciklotomi%
\v{c}ki polinom nad bilo kojim potpoljem polja $F_{q}$.
\end{notation}

\begin{definition}
Minimalni polinom nad $F_{q}$ primitivnog elementa polja $F_{q^{n}}$ zovemo 
\textbf{primitivni polinom} polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$.
\end{definition}

\begin{corollary}
Bilo koji primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$ je normiran,
ireducibilan polinom nad $F_{q}$ stupnja $n$, s pripadnim poljem razlaganja $%
F_{q^{n}}$, a svi njegovi korijeni u $F_{q^{n}}$ su me\dj usobno razli\v{c}%
iti, primitivni elementi polja $F_{q^{n}}$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Neka je $f_{\alpha }(x)\in F_{q}[x]$ minimalan polinom nad $F_{q}$
primitivnog elementa $\alpha $ polja $F_{q^{n}}$, tj. $f_{\alpha }(x)$ je
primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$. Iz Definicije \ref{m} i
Teorema \ref{minim} slijedi da je $f_{\alpha }(x)$ normiran, ireducibilan
polinom nad $F_{q}$. Budu\'{c}i da, prema Lemi \ref{prim}, vrijedi $%
F_{q^{n}}=F_{q}(\alpha )$, a po\v{s}to je $[F_{q}(\alpha ):F_{q}]=\deg $ $%
f_{\alpha }(x)$ (pogledati Teorem \ref{izgra}), zaklju\v{c}ujemo da je
stupanj polinoma $f_{\alpha }(x)$ upravo $n$. Po Teoremu\ \ref{jednos}, $%
F_{q^{n}}$ je polje razlaganja ireducibilnog polinoma $f_{\alpha }(x)$,
stupnja $n$, nad poljem $F_{q}$, a svi korijeni tog polinoma u $F_{q^{n}}$
su me\dj usobno razli\v{c}iti elementi iz $F_{q^{n}}$ konjugirani s $\alpha $
u odnosu na $F_{q}$, koji su prema Teoremu \ref{redpe}, primitivni elementi
polja $F_{q^{n}}$.
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{muka}Umno\v{z}ak svih razli\v{c}itih primitivnih polinoma polja $%
F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$, kojih ima to\v{c}no $\frac{\varphi (q^{n}-1)}{n}$,
je $(q^{n}-1)$-vi ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{q^{n}-1}(x)$ nad poljem $%
F_{q} $.
\end{corollary}

\begin{proof}
Iz Leme \ref{q-1} slijedi da je polje $F_{q^{n}}$ $(q^{n}-1)-$vo ciklotomi%
\v{c}ko polje nad poljem $F_{q}$, a prema Napomeni \ref{napa} primitivni
korijeni $(q^{n}-1)-$vog stupnja iz jedinice nad $F_{q}$ su upravo
primitivni elementi polja $F_{q^{n}}$ i samo oni. Koriste\'{c}i te \v{c}%
injenice, tvrdnja korolara slijedi iz Teorema \ref{gemo}.
\end{proof}

\subsection{Konstrukcija ireducibilnih polinoma i kona\v{c}nih polja nad $%
F_{q}$}

\subsubsection{Konstrukcija ireducibilnih polinoma stupnja $n$ nad $F_{q}$}

\begin{definition}
Neka su $m$, $q\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$. Prirodan broj $n$ je \textbf{pokazatelj kojemu pripada }$q$\textbf{\
modulo }$m$ ako je $n$ najmanji prirodni broj za koji vrijedi $q^{n}\equiv 1(%
\func{mod}m)$.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{i}Neka je $n>1$ prirodan broj, a $I(q,n;x)$ umno\v{z}ak svih
normiranih, ireducibilnih polinoma nad poljem $F_{q}$, stupnja $n$. Tada
vrijedi 
\begin{equation*}
I(q,n;x)=\prod\limits_{m}Q_{m}(x),
\end{equation*}%
gdje se produkt uzima po svim prirodnim djeliteljima $m$ broja $q^{n}-1$ za
koje je $n$ je pokazatelj kojemu pripada $q$ modulo $m$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Iz Teorema \ref{jednos} znamo da je $F_{q^{n}}$ polje razlaganja bilo kojeg
ireducibilnog polinoma nad $F_{q}$, stupnja $n$ i svi korijeni tog polinoma
su razli\v{c}iti, tj. kratnosti $1.$ Tako\dj er, bilo koja dva razli\v{c}%
ita, normirana, ireducibilna polinoma nad $F_{q}$, stupnja $n$ nemaju zajedni%
\v{c}kih korijena u $F_{q^{n}}$, jer ako je $\beta \in F_{q^{n}}$ zajedni%
\v{c}ki korijen tih polinoma, svi ostali njihovi korijeni su jednaki, a to
su upravo svi elementi iz $F_{q^{n}}$ konjugirani s $\beta $ u odnosu na $%
F_{q}$. Tada bi spomenuti polinomi bili jednaki, \v{s}to je u kontradikciji
s po\v{c}etnom pretpostavkom. Iz ovog razmatranja, zaklju\v{c}ujemo da su
svi korijeni polinoma $I(q,n;x)$ elementi polja $F_{q^{n}}$, a kratnosti su $%
1$.

Svaki element iz $F_{q^{n}}$ je algebarski nad poljem $F_{q}$, jer je $%
F_{q^{n}}$ kona\v{c}no, a time i algebarsko pro\v{s}irenje nad poljem $F_{q}$%
. Ozna\v{c}imo sa $S$ skup elemenata iz $F_{q^{n}}$ koji su stupnja $n$ nad $%
F_{q}$. Kako je $n>1$, vrijedi $S\subseteq F_{q^{n}}^{\ast }$.

Doka\v{z}imo da je $\alpha \in F_{q^{n}}$ korijen polinoma $I(q,n;x)$ ako i
samo ako je $\alpha \in S$.

Ako je $\alpha \in F_{q^{n}}$ korijen od $I(q,n;x)$, tada je $\alpha $
korijen nekog normiranog, ireducibilnog polinoma nad $F_{q}$, stupnja $n$.
Lako se poka\v{z}e da je taj polinom upravo minimalni polinom elementa $%
\alpha $ nad $F_{q}$, a tada je stupanj elementa $\alpha $ nad $F_{q}$
upravo $n$, tj. $\alpha \in S$.

Ako je $\alpha \in S\subseteq F_{q^{n}}$, tada je minimalni polinom elementa 
$\alpha $ nad $F_{q}$ stupnja $n$. To je normirani, ireducibilni polinom nad 
$F_{q}$, pa je djelitelj polinoma $I(q,n;x)$. Po\v{s}to je $\alpha $ korijen
svog minimalnog polinoma, slijedi da je korijen i od $I(q,n;x)$.

Iz upravo dokazane tvrdnje i \v{c}injenice da su svi korijeni polinoma $%
I(q,n;x)$ kratnosti $1$ slijedi 
\begin{equation*}
I(q,n;x)=\prod\limits_{\alpha \in S}(x-\alpha )\text{.}
\end{equation*}%
Poka\v{z}imo da je za svaki $\alpha \in S$ broj $n$ pokazatelj kojem pripada 
$q$ modulo $|\alpha |$. Budu\'{c}i da $\alpha $ pripada skupu $S\subseteq
F_{q^{n}}$ slijedi $|\alpha |$ dijeli $q^{n}-1$. Pretpostavimo suprotno, tj.
postoji $k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $k<n$, takav da vrijedi $|\alpha |$ dijeli $q^{k}-1$, a tada je $\alpha
\in F_{q^{k}}$. Kako je $n$ stupanj od $\alpha $ nad $F_{q}$, slijedi $%
F_{q}(\alpha )=F_{q^{n}}$, pa iz $\alpha \in F_{q^{k}}$ dobijemo $%
F_{q^{n}}=F_{q}(\alpha )\subseteq F_{q^{k}}$, tj. $F_{q^{n}}$ je potpolje
polja $F_{q^{k}}$. Zaklju\v{c}ujemo da $n\mid k$, \v{s}to je u suprotnosti
sa po\v{c}etnom pretpostavkom $k<n$.

Grupiramo li elemente iz $S$ u disjunktne skupove $S_{m}=\{\alpha \in S;$ $%
|\alpha |=m\}$, po njihovim redovima u grupi $(F_{q^{n}}^{\ast },\cdot )$,
tada je $I(q,n;x)=\prod\limits_{m}\prod\limits_{\alpha \in S_{m}}(x-\alpha )$%
, gdje se umno\v{z}ak uzima po prirodnim djeliteljima $m$ broja $q^{n}-1$ za
koje je $n$ pokazatelj kojem pripada $q$ modulo $m$.

Ako je $m$ takav prirodan broj da je $n$ pokazatelj kojem pripada $q$ modulo 
$m$, tada poka\v{z}imo da je $E^{(m)}$ cikli\v{c}ka podgrupa reda $m$ grupe $%
F_{q}^{(m)\ast }$. Karakteristika polja $F_{q}$ je prost broj, a $q$ je
potencija tog broja. Budu\'{c}i da $m\mid q^{n}-1$, tada karakteristika
polja $F_{q}$ ne dijeli $m$, pa prema Teoremu \ref{primit}, $E^{(m)}$ ima tra%
\v{z}ena svojstva i postoji $m-$ti ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{m}(x)$ nad
poljem $F_{q}$. Iz Teorema \ref{gemo}, slijedi 
\begin{equation*}
\lbrack F_{q}^{(m)}:F_{q}]=n,
\end{equation*}%
tj. $F_{q}^{(m)}=F_{q^{n}}$ i $Q_{m}(x)$ se mo\v{z}e zapisati kao umno\v{z}%
ak svih razli\v{c}itih minimalnih polinoma primitivnih korijena $m-$tog
stupnja iz jedinice nad $F_{q}$, koji su stupnja $n$.

Poka\v{z}imo, ako je $m$ prirodni broj, za koji je $n$ pokazatelj kojem
pripada $q$ modulo $m$ da tada vrijedi: $\alpha \in F_{q^{n}}$ je korijen
polinoma $Q_{m}(x)$ ako i samo ako je $\alpha \in S_{m}$.

Ako je $\alpha \in F_{q^{n}}=$ $F_{q}^{(m)}$ korijen polinoma $Q_{m}(x)$,
tada je $\alpha $ primitivan korijen $m-$tog stupnja iz jedinice nad poljem $%
F_{q}$, odnosno $|\alpha |=m$ i stupanj minimalnog polinoma elementa $\alpha 
$ nad $F_{q}$ je $n$, pa slijedi $\alpha \in S_{m}$.

Ako je $\alpha \in S_{m}$, tada vrijedi $\alpha \in F_{q^{n}}=F_{q}^{(m)}$ i 
$|\alpha |=m$, iz \v{c}ega zaklju\v{c}ujemo da je $\alpha $ primitivni
korijen $m$-tog stupnja iz jedinice nad poljem $F_{q}$, tj. $\alpha $ je
korijen polinoma $Q_{m}(x)$.

Kako su svi korijeni polinoma $Q_{m}(x)$ elementi iz $F_{q^{n}}$, a
kratnosti su $1$, tada iz upravo dokazane tvrdnje, slijedi 
\begin{equation*}
Q_{m}(x)=\prod\limits_{\alpha \in S_{m}}(x-\alpha )\text{,}
\end{equation*}%
gdje je $m$ prirodan djelitelj broja $q^{n}-1$, za koji je $n$ pokazatelj
kojemu pripada $q$ modulo $m$.
\end{proof}

\begin{notation}
Ako je $m$ prirodan djelitelj broja $q^{n}-1$, za koji je $n$ pokazatelj
kojemu pripada $q$ modulo $m$, tada je, prema Teoremu \ref{gemo}, $m-$ti
ciklotomi\v{c}ki polinom $Q_{m}(x)$ nad $F_{q}$, koji je djelitelj od $%
I(q,n;x)$, umno\v{z}ak $\tfrac{\varphi (m)}{n}$ razli\v{c}itih normiranih,
ireducibilnih polinoma stupnja $n$ nad $F_{q}$, a prema Teoremu \ref{z}
vrijedi 
\begin{equation}
Q_{m}(x)=\prod\limits_{d\mid m}(x^{\frac{m}{d}}-1)^{\mu (d)}\text{,} 
\tag*{(1)}  \label{i1}
\end{equation}%
gdje je $\mu :%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
\rightarrow 
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ M\"{o}biusova funkcija definirana sa:%
\begin{eqnarray*}
\mu (1) &=&1\text{;} \\
\mu (d) &=&(-1)^{k}\text{, ako je }d\text{ umno\v{z}ak }k\text{ razli\v{c}%
itih prostih brojeva;} \\
\mu (d) &=&0\text{, ako je }d\text{ djeljiv sa kvadratom nekog prostog
broja. }
\end{eqnarray*}
\end{notation}

Teorem \ref{i} daje na\v{c}in kako prona\'{c}i normirane, ireducibilne
polinome nad poljem $F_{q}$, stupnja $n$. Ako me\dj u tim polinomima tra\v{z}%
imo primitivne polinome polja $F_{q}^{n}$ nad $F_{q}$, tada su to upravo
ireducibilni polinomi kanonskog rastava $(q^{n}-1)-$vog ciklotomi\v{c}kog
polinoma $Q_{q^{n}-1}(x)$ nad $F_{q}$, u prstenu $F_{q}[x]$ (prema Korolaru %
\ref{muka}). Me\dj utim, \v{c}esto je broj $q^{n}-1$ prevelik, odnosno taj
proces je mukotrpan, pa \'{c}emo poku\v{s}ati na\'{c}i elegantniji na\v{c}in
dobivanja primitivnih polinoma polja $F_{q}^{n}$ nad $F_{q}$.

\begin{example}
\label{i2}Prona\'{c}i sve ireducibilne polinome stupnja $4$ nad poljem $%
F_{2} $.

Tra\v{z}imo $m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$, $m\mid 2^{4}-1$, gdje je $4$ pokazatelj kojem pripada $2$ modulo $m$. Svi
prirodni djelitelji broja $2^{4}-1$ su elementi iz skupa $\{1,3,5,15\}.$ Iz
tog skupa \'{c}emo isklju\v{c}iti $1$ i $3$, jer $4$ nije pokazatelj kojemu
pripada $2$ modulo $1$, odnosno modulo $3$.

Iz Teorema \ref{i}, slijedi $I(2,4;x)=Q_{5}(x)\cdot Q_{15}(x)$. Kako je $4$
pokazatelj kojemu pripada $2$ modulo $5$, odnosno modulo $15$, tada se prema
Teoremu \ref{gemo}, $Q_{15}(x)$ mo\v{z}e zapisati kao umno\v{z}ak $\frac{%
\varphi (15)}{4}=2$ normirana, ireducibilna polinoma nad $F_{2}$ stupnja $4$%
, dok je, zbog $\frac{\varphi (5)}{4}=1,$ $Q_{5}(x)$ normiran, ireducibilan
polinom nad $F_{2}$ stupnja $4$.

Prona\dj imo $Q_{5}(x)$ i $Q_{15}(x)$ pomo\'{c}u \ref{i1}. Slijedi, 
\begin{eqnarray*}
Q_{5}(x) &=&(x^{5}-1)(x-1)^{-1}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1, \\
Q_{15}(x) &=&(x^{15}-1)(x^{5}-1)^{-1}(x^{3}-1)^{-1}(x-1)= \\
&=&\cdots =x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x+1\text{.}
\end{eqnarray*}%
Polinom $Q_{5}(x+1)=x^{4}+x^{3}+1$ je tako\dj er ireducibilan polinom
stupnja $4$ nad poljem $F_{2}$. Kako je polinom $I(2,4;x)$ umno\v{z}ak svih
normiranih, ireducibilnih polinoma nad $F_{2}$ stupnja $4$, tada polinom $%
Q_{5}(x+1)$ mora dijeliti $Q_{15}(x)$. Iz 
\begin{equation*}
(x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x+1):(x^{4}+x^{3}+1)=x^{4}+x+1\text{, }
\end{equation*}%
zaklju\v{c}ujemo da su svi normirani, ireducibilni polinomi nad $F_{2}$
stupnja $4$, upravo polinomi%
\begin{equation*}
x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,\text{ }x^{4}+x^{3}+1\text{ i }x^{4}+x+1\text{.}
\end{equation*}%
Me\dj u tim polinomima, primitivni polinomi polja $F_{2^{4}}$ nad $F_{2}$ su
djelitelji od $Q_{15}(x)$, tj. 
\begin{equation*}
x^{4}+x^{3}+1\text{ i }x^{4}+x+1\text{.}
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
Prona\'{c}i sve ireducibilne polinome stupnja $2$ nad $F_{3}$.

Lako se poka\v{z}e da su $4$ i $8$ jedini prirodni brojevi $m$, djelitelji
broja $3^{2}-1$, za koje je $2$ pokazatelj kojemu pripada $3$ modulo $m$.
Tada su svi normirani, ireducibilni polinomi nad poljem $F_{3}$ stupnja $2$
faktori polinoma 
\begin{equation*}
I(3,2;x)=Q_{4}(x)\cdot Q_{8}(x)\text{.}
\end{equation*}%
Kako je $\frac{\varphi (8)}{2}=2$, slijedi da je $Q_{8}(x)$ umno\v{z}ak dva
normirana, ireducibilna polinoma nad $F_{3}$ stupnja $2,$ dok je zbog $\frac{%
\varphi (4)}{2}=1$ polinom $Q_{4}(x)$ upravo normiran, ireducibilan polinom
nad poljem $F_{3}$ stupnja $2$. Iz \ref{i1} slijedi:%
\begin{eqnarray*}
Q_{4}(x) &=&(x^{4}-1)(x^{2}-1)^{-1}=x^{2}+1, \\
Q_{8}(x) &=&(x^{8}-1)(x^{4}-1)^{-1}=x^{4}+1\text{.}
\end{eqnarray*}%
Po\v{s}to je polinom $Q_{4}(x+1)=x^{2}+2x+2$, ireducibilan nad $F_{3}$
stupnja $2$, tada dijeli polinom $I(3,2;x)$, odnosno polinom $Q_{8}(x)$. Iz 
\begin{equation*}
Q_{8}(x)=(x^{2}-x-1)(x^{2}+x-1)=(x^{2}+2x+2)(x^{2}+x+2)
\end{equation*}%
slijedi da su svi normirani, ireducibilni polinomi nad poljem $F_{3}$
stupnja $2$ upravo 
\begin{equation*}
x^{2}+1,\text{ }x^{2}+2x+2\text{ i }x^{2}+x+2\text{.}
\end{equation*}%
Me\dj u njima, primitivni polinomi polja $F_{3^{2}}$ nad $F_{3}$ su 
\begin{equation*}
x^{2}+2x+2\text{ \ i }x^{2}+x+2\text{,}
\end{equation*}%
jer su to djelitelji od $Q_{8}(x)$.
\end{example}

\subsubsection{Konstrukcija kona\v{c}nog polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$}

Kako je polje $F_{q^{n}}$ $n-$dimenzionalni vektorski prostor nad $F_{q}$,
konstruirati kona\v{c}no polje $F_{q^{n}}$ zna\v{c}i ispisati sve elemente
tog vektorskog prostora kao linearnu kombinaciju vektora pripadne baze.

Prvi korak je prona\'{c}i neki normiran, ireducibilan polinom $f(x)$ nad
poljem $F_{q}$, stupnja $n$. Prema Teoremu \ref{jednpr}, postoji jednostavno
algebarsko pro\v{s}irenje $F_{q}(y)$ polja $F_{q}$ generirano nekim
korijenom $y$ polinoma $f(x)$. Poka\v{z}e se da je $f(x)$ upravo minimalan
polinom elementa $y$ nad poljem $F_{q}$, a iz Teorema \ref{izgra}, zaklju%
\v{c}ujemo $[F_{q}(y):F_{q}]=\deg f(x)=n$ i baza vektorskog prostora $%
F_{q}(y)=F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$ je upravo $\{1,y^{2},\ldots ,y^{n-1}\}$.
Polje $F_{q^{n}}$ je, prema Teoremu \ref{jednos}, polje razlaganja polinoma $%
f(x)$ nad poljem $F_{q}$.

Ako je $f(x)=x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-\cdots -a_{1}x-a_{0}\in F_{q}[x]$, tada
vrijedi 
\begin{equation}
y^{n}=a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{1}y+a_{0},  \tag*{(2)}  \label{z1}
\end{equation}%
jer je $y$ korijen polinoma $f(x)$. Ako je $y$ primitivan element polja $%
F_{q^{n}}$, tj. $F_{q^{n}}^{\ast }=\langle y\rangle $, odnosno $f(x)$
primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$, tada je 
\begin{equation*}
F_{q^{n}}=\{0,y,y^{2},\ldots ,y^{n-1},a_{n-1}y^{n-1}+\cdots
+a_{1}y+a_{0},\ldots ,y^{q^{n}-1}=1\},
\end{equation*}%
gdje se pri raspisivanju elemenata polja $F_{q^{n}}$, u spomenutoj bazi
koristimo sa \ref{z1}.

Ina\v{c}e, treba prona\'{c}i primitivan element polja $F_{q^{n}}$, odnosno
pridru\v{z}eni primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$. Dakle, ako
nije suvi\v{s}e komplicirano, tj. broj $q^{n}-1$ nije prevelik, bilo bi
dobro odmah prona\'{c}i primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$, a
koji je jedan od ireducibilnih polinoma kanonskog rastava $(q^{n}-1)-$vog
ciklotomi\v{c}kog polinoma $Q_{q^{n}-1}(x)$ nad $F_{q}$, u prstenu $F_{q}[x]$%
.

Ako $f(x)$ nije primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$, tada ni
jedan korijen tog polinoma nije primitivan element polja $F_{q^{n}}$, jer su
to elementi iz $F_{q^{n}}$ konjugirani s $y$ u odnosu nad $F_{q}$, a koji po
Teorem \ref{redpe} imaju isti red u grupi $(F_{q^{n}}^{\ast },\cdot )$.

Ozna\v{c}imo li sa $G_{1}=\langle y\rangle $, tada vrijedi $G_{1}\neq
F_{q^{n}}^{\ast }$. Uzmimo proizvoljan $z\in F_{q^{n}}^{\ast }/G_{1}$ i prona%
\dj imo $G_{2}=\langle z\rangle $. Ako je $G_{2}=F_{q^{n}}^{\ast }$ tada je $%
z$ primitivan element polja $F_{q^{n}}$, pa je $F_{q^{n}}=\{0,z,z^{2},\ldots
,z^{q^{n}-1}=1\}$ i sve spomenute elemente polja $F_{q^{n}}$ zapi\v{s}emo u
bazi $\{1,y,\ldots ,y^{n-1}\}$. Ina\v{c}e, uzmimo proizvoljan $w\in
F_{q^{n}}^{\ast }$, koji ne pripada ni jednoj od grupa $G_{1}$ i $G_{2}$, i
potragu nastavljamo dalje... U kona\v{c}no mnogo koraka, prona\'{c}i \'{c}%
emo primitivan element polja $F_{q^{n}}.$

Postupak pronala\v{z}enja primitivnog elementa polja $F_{q^{n}}$ mo\v{z}emo
pojednostaviti u slu\v{c}aju da prona\dj emo prirodne brojeve $r_{1},\ldots
,r_{k}$, koji su u parovima relativno prosti, tako da vrijedi $%
q^{n}-1=r_{1}\cdots r_{k}$, te elemente $y_{1},\ldots ,y_{k}\in
F_{q^{n}}^{\ast }$ sa svojstvom $|y_{i}|=r_{i}$, $\forall i\in \{1,\ldots
,k\}$. Tada je $y_{1}\cdots y_{k}$ primitivan element polja $F_{q^{n}}$
(vidjeti \cite{hall}, str. 39.)

Tako\dj er, postupak biranja kandidata za primitivan element polja $%
F_{q^{n}} $ mo\v{z}emo olak\v{s}ati tako da prona\dj emo stupanj minimalnog
polinoma, odabranog elementa nad poljem $F_{q}$. Ako je taj stupanj $n$,
kandidat je dobar, jer primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$ mora
imati stupanj $n$. Ina\v{c}e tra\v{z}imo dalje.

Sada \'{c}emo objasniti na koji na\v{c}in mo\v{z}emo prona\'{c}i \underline{%
minimalni polinom} $g(x)$ nekog elementa $y^{k}\in F_{q^{n}}$ nad poljem $%
F_{q}$, gdje je $k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$.

Najprije \'{c}emo prona\'{c}i stupanj polinoma $g(x)$. To mo\v{z}emo u\v{c}%
initi na dva na\v{c}ina:

\begin{enumerate}
\item[1)] Prema Korolaru \ref{munja}, ako je $y^{k},(y^{k})^{q},\ldots
,(y^{k})^{q^{d-1}}$ skup svih me\dj usobno razli\v{c}itih elemenata iz $%
F_{q^{n}}$ konjugiranih sa $y^{k}$ u odnosu na $F_{q}$, tada je $d$ stupanj
minimalnog polinoma elementa $y^{k}$ u odnosu na $F_{q}$.

\item[2)] Element $y^{k}$ odre\dj uje podgrupu grupe $F_{q^{n}}^{\ast }$
koja je cikli\v{c}ka, a red joj ozna\v{c}imo sa $m$. Prona\dj emo li
pokazatelj $d$ kojemu pripada $q$ modulo $m$, tada je $d$ stupanj minimalnog
polinoma elementa $y^{k}$ u odnosu na polje $F_{q}$. To slijedi iz \v{c}%
injenice da je $y^{k}$ primitivan korijen $\ m-$tog stupnja iz jedinice nad
poljem $F_{q}$, tj. korijen $m-$tog ciklotomi\v{c}kog polinoma $Q_{m}(x)$
nad poljem $F_{q}$ i Teorema \ref{gemo}, prema kojem je $%
F_{q}^{(m)}=F_{q^{d}}$, a $Q_{m}(x)$ umno\v{z}ak svih razli\v{c}itih,
minimalnih polinoma primitivnih korijena $m$-tog stupnja iz jedinice nad
poljem $F_{q}$, koji su stupnja $d$.
\end{enumerate}

Ako je $d$ stupanj minimalnog polinoma $g(x)$ elementa $y^{k}$ nad poljem $%
F_{q}$, ozna\v{c}imo $g(x)=x^{d}-b_{d-1}x^{d-1}-\cdots -b_{1}x-b_{0}\in
F_{q}[x]$ i prona\dj imo sve navedene $b_{i}\in F_{q}$. Kako je $y^{k}$ nulto%
\v{c}ka polinoma $g(x)$, tada vrijedi 
\begin{equation*}
(y^{k})^{d}=b_{d-1}(y^{k})^{d-1}+\cdots +b_{1}y^{k}+b_{0}.
\end{equation*}%
Koeficijente $b_{i}\in F_{q}$, dobijemo iz zadnje jednad\v{z}be, tako da sve
vektore u toj jednad\v{z}bi napi\v{s}emo kao linearnu kombinaciju vektora
baze, te izjedna\v{c}imo koeficijente uz iste vektore s lijeve i desne
strane jednad\v{z}be.

\begin{example}
Konstruirati polje $F_{2^{4}}$ nad $F_{2}$.

Potreban nam je normiran, ireducibilan polinom nad $F_{2}$ stupnja $4$, koji
je po mogu\'{c}nosti primitivan polinom polja $F_{2^{4}}$ nad $F_{2}$. U
Primjeru \ref{i2} prona\v{s}li smo dva primitivna polinoma polja $F_{2^{4}}$
nad $F_{2}$. Odaberimo jedan, recimo $f(x)=x^{4}+x+1$. Svi korijeni tog
polinoma su primitivni elementi polja $F_{2^{4}}$ i neka je $y$ jedan od
njih. Vrijedi $F_{2^{4}}=F_{2}(y)$, baza vektorskog prostora $F_{2^{4}}$ nad 
$F_{2}$ je $\{1,y,y^{2},y^{3}\}$ i elementi polja $F_{2^{4}}$ su $%
0,y,y^{2},\ldots ,y^{15}=1$.

Ispi\v{s}imo navedene elemente u spomenutoj bazi, koriste\'{c}i \v{c}%
injenicu da je $f(y)=0$, tj. $y^{4}=y+1$. Slijedi:%
\begin{eqnarray*}
y^{5} &=&y^{4}\cdot y=(1+y)y=y+y^{2} \\
y^{6} &=&(y+y^{2})y=y^{2}+y^{3} \\
y^{7} &=&(y^{2}+y^{3})y=\cdots =1+y+y^{3} \\
y^{8} &=&(1+y+y^{3})y=\cdots =1+y^{2} \\
y^{9} &=&(1+y^{2})y=y+y^{3} \\
y^{10} &=&(y+y^{3})y=\cdots =1+y+y^{2} \\
y^{11} &=&(1+y+y^{2})y=y+y^{2}+y^{3} \\
y^{12} &=&(y+y^{2}+y^{3})y=\cdots =1+y+y^{2}+y^{3} \\
y^{13} &=&(1+y+y^{2}+y^{3})y=\cdots =1+y^{2}+y^{3} \\
y^{14} &=&(1+y^{2}+y^{3})y=\cdots =1+y^{3} \\
y^{15} &=&(1+y^{3})y=\cdots =1\text{.}
\end{eqnarray*}%
Prona\dj imo minimalni polinom elementa $z=y^{5}$ nad poljem $F_{2}$.

U skupu elemenata iz $F_{2^{4}}$ konjugiranih sa $z$ u odnosu na $F_{2}$
razli\v{c}iti su samo $z$ i $z^{2}$, pa je minimalni polinom $g(x)\in
F_{2}[x]$ elementa $z$ nad $F_{2}$ stupnja $2$. Ako je $%
g(x)=x^{2}-a_{1}x-a_{0}\in F_{2}[x]$, koeficijente $a_{1}$ i $a_{0}$ prona%
\'{c}i \'{c}emo koriste\'{c}i \v{c}injenicu $g(z)=0$, odnosno%
\begin{equation}
z^{2}=a_{0}+a_{1}z\text{.}  \tag*{(3)}  \label{t1}
\end{equation}%
Raspi\v{s}imo elemente cikli\v{c}ke grupe $\langle z\rangle $ u bazi $%
\{1,y,y^{2},y^{3}\}$ vektorskog prostora $F_{2^{4}}$ nad $F_{2}$. Slijedi:%
\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&(y+y^{2})^{2}=\cdots =1+y+y^{2} \\
z^{3} &=&(1+y+y^{2})(y+y^{2})=\cdots =1\text{.}
\end{eqnarray*}%
Dakle, \ref{t1} se mo\v{z}e zapisati u obliku $%
1+y+y^{2}=a_{0}+a_{1}(y+y^{2}) $. Izjedna\v{c}avaju\'{c}i koeficijente uz
iste vektore s lijeve i desne strane zadnje jednad\v{z}be dobijemo $a_{0}=1$
i $a_{1}=1$. Prema tome, minimalni polinom elementa $z=y^{5}$ nad $F_{2}$ je 
\begin{equation*}
g(x)=x^{2}+x+1\in F_{2}[x].
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
Konstruirati polje $F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$.

U ovom primjeru je te\v{s}ko odmah do\'{c}i do primitivnog polinoma polja $%
F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$, jer je $3^{4}-1=80$. Dakle, treba na\'{c}i bilo koji
ireducibilan polinom stupnja $4$ nad poljem $F_{3}$. Takvi polinomi su
faktori $m-$tih ciklotomi\v{c}kih polinoma $Q_{m}(x)\in F_{3}[x]$, gdje je $%
m $ prirodan djelitelj broja $3^{4}-1$, za koji je $4$ pokazatelj kojem
pripada $3$ modulo $m$, a \v{s}to slijedi iz Teorema \ref{i}. Tra\v{z}eni
ciklotomi\v{c}ki polinomi su npr. $Q_{5}(x)$, $Q_{10}(x)$, $Q_{16}(x)$, $%
Q_{20}(x)$,... Budu\'{c}i da je $5\cdot 16=80$ i $Nzm(5,16)=1$, bilo bi
dobro odabrati $Q_{16}(x)$, jer su njegovi korijeni u $F_{3^{4}}$ primitivni
korijeni $16-$tog stupnja iz jedinice nad $F_{3}$, tj. elementi grupe $%
F_{3^{4}}^{\ast }$ reda $16$.

Kako je $4$ pokazatelj kojem pripada $3$, po modulu $16$, tada je prema
Teoremu \ref{gemo}, $Q_{16}(x)$ umno\v{z}ak $\frac{\varphi (16)}{4}=2$
normiranih, ireducibilnih polinoma nad $F_{3}$, stupnja $4$. Iz formule \ref%
{i1}, slijedi $Q_{16}(x)=x^{8}+1$. Vrijedi:%
\begin{equation*}
x^{8}+1=(x^{4}-x^{2}-1)(x^{4}+x^{2}-1)=(x^{4}+2x^{2}+2)(x^{4}+x^{2}+2).
\end{equation*}%
Odaberimo ireducibilan polinom $f(x)=x^{4}+2x^{2}+2$. Neka je $y\in
F_{3^{4}} $ korijen tog polinoma. Znamo da je red elementa $y$ u grupi $%
F_{3^{4}}^{\ast }$ upravo $16$, jer je $Q_{16}(y)=0$, te $F_{3^{4}}=F_{3}(y)$%
, a baza vektorskog prostora $F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$ je $\{1,y,y^{2},y^{3}\}$%
.

Ispi\v{s}imo elemente cikli\v{c}ke grupe $G_{1}=\langle y\rangle $ u
navedenoj bazi, koriste\'{c}i \v{c}injenicu da je $f(y)=0$, tj. $%
y^{4}=1+y^{2}$. Slijedi:%
\begin{eqnarray*}
y^{5} &=&y^{4}\cdot y=(1+y^{2})y=y+y^{3} \\
y^{6} &=&(y+y^{3})y=\cdots =1+2y^{2} \\
y^{7} &=&(1+2y^{2})y=\cdots =y+2y^{3} \\
y^{8} &=&(y+2y^{3})y=\cdots =2 \\
y^{9} &=&2y \\
y^{10} &=&(2y)y=2y^{2} \\
y^{11} &=&(2y^{2})y=2y^{3} \\
y^{12} &=&(2y^{3})y=\cdots =2+2y^{2} \\
y^{13} &=&(2+2y^{2})y=\cdots =2y+2y^{3} \\
y^{14} &=&(2y+2y^{3})y=\cdots =2+y^{2} \\
y^{15} &=&(2+y^{2})y=\cdots =2y+y^{3} \\
y^{16} &=&(2y+y^{3})y=\cdots =1\text{.}
\end{eqnarray*}%
Po\v{z}eljno bi bilo prona\'{c}i neki element $F_{3^{4}}^{\ast }$, koji je
reda $5$. Jedan od takvih elemenata je $z=2y+y^{2}\notin G_{1}$, jer vrijedi%
\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&(2y+y^{2})^{2}=\cdots =1+2y^{2}+y^{3} \\
z^{3} &=&(1+2y^{2}+y^{3})(2y+y^{2})=\cdots =1+2y^{2}+2y^{3} \\
z^{4} &=&(1+2y^{2}+2y^{3})(2y+y^{2})=\cdots =y+y^{2} \\
z^{5} &=&(y+y^{2})(2y+y^{2})=\cdots =1\text{.}
\end{eqnarray*}%
Dakle, primitivan element polja $F_{3^{4}}$ je $w=y\cdot
z=y(2y+y^{2})=2y^{2}+y^{3}$. Elementi polja $F_{3^{4}}$ su $%
0,w,w^{2},w^{3},\ldots ,w^{3^{4}-1}=1$, a treba ih ispisati u bazi $%
\{1,y,y^{2},y^{3}\}$ vektorskog prostora $F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$, uz kori%
\v{s}tenje \v{c}injenice da je $y^{4}=1+y^{2}$.

Prona\dj imo primitivan polinom polja $F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$ pridru\v{z}en
elementu $w$. Ozna\v{c}imo taj polinom sa 
\begin{equation*}
g(x)=x^{4}-a_{3}x^{3}-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\in F_{3}[x].
\end{equation*}%
Njegove koeficijente \'{c}emo prona\'{c}i koriste\'{c}i \v{c}injenicu da je $%
w$ korijen tog polinoma. Dakle, vrijedi%
\begin{equation}
w^{4}=a_{3}w^{3}+a_{2}w^{2}+a_{1}w+a_{0}.  \tag*{(4)}  \label{t4}
\end{equation}%
Zapi\v{s}imo elemente $w$, $w^{2}$, $w^{3}$ i $w^{4}$ u bazi $%
\{1,y,y^{2},y^{3}\}$ vektorskog prostora $F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$. Vrijedi:%
\begin{eqnarray*}
w^{2} &=&(2y^{2}+y^{3})^{2}=\cdots =2+y+y^{3} \\
w^{3} &=&(2+y+y^{3})(2y^{2}+y^{3})=\cdots =2+2y+y^{2} \\
w^{4} &=&(2+2y+y^{2})(2y^{2}+y^{3})=\cdots =1+y+2y^{2}+y^{3}\text{.}
\end{eqnarray*}%
Uvrstimo li dobivene prikaze za $w$, $w^{2}$, $w^{3}$ i $w^{4}$ u \ref{t4},
dobijemo%
\begin{equation*}
1+y+2y^{2}+y^{3}=a_{0}+a_{1}(2y^{2}+y^{3})+a_{2}(2+y+y^{3})+a_{3}(2+2y+y^{2}).
\end{equation*}%
Izjedna\v{c}avaju\'{c}i koeficijente uz iste vektore s lijeve i desne strane
zadnje jednakosti, dobije se sustav jednad\v{z}bi%
\begin{eqnarray*}
1 &=&a_{0}+2a_{2}+2a_{3} \\
1 &=&a_{2}+2a_{3} \\
2 &=&2a_{1}+a_{3} \\
1 &=&a_{1}+a_{2},
\end{eqnarray*}%
\v{c}ije je rje\v{s}enje $a_{0}=1$, $a_{1}=2$, $a_{2}=2$ i $a_{3}=1$.
Uvrstimo li upravo izra\v{c}unate vrijednosti u \ref{t4}, slijedi da je
jedan od primitivnih polinoma polja $F_{3^{4}}$ nad $F_{3}$ polinom $%
g(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x+2$, a pridru\v{z}en je elementu $w$.
\end{example}

\begin{example}
Zadan je primitivni polinom $f(x)=x^{3}+4x+3\in F_{5}[x]$ polja $F_{5^{3}}$
nad poljem $F_{5}$. Ako je $y$ korijen tog polinoma u $F_{5^{3}}$, odredimo
minimalan polinom elementa $y^{4}\in F_{5^{3}}$.

Iz zadanih podataka zaklju\v{c}ujemo $\langle y\rangle =F_{5^{3}}^{\ast }$, $%
F_{5^{3}}=F_{5}(y)$, baza vektorskog prostora $F_{5^{3}}$ nad poljem $F_{5}$
je $\{1,y,y^{2}\}$, te vrijedi $y^{3}=y+2$.

Po Teoremu \ref{gene}, red elementa $y^{4}$ u $F_{5^{3}}^{\ast }$ je $\frac{%
124}{Nzm(4,124)}=31$, pa je $y^{4}$ primitivan korijen $31-$vog stupnja iz
jedinice nad poljem $F_{5}$. Po\v{s}to $31\mid (5^{3}-1)$, te $3$ je
pokazatelj kojemu pripada $5$ modulo $31$, slijedi da je minimalan polinom $%
g(x)\in F_{5}[x]$ elementa $y^{4}$ nad poljem $F_{5}$\ stupnja $3$. Ozna\v{c}%
imo sa $z$ element $y^{4}$. Ako je $g(x)=x^{3}-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\in
F_{5}[x]$, pripadne koeficijente prona\'{c}i \'{c}emo koriste\'{c}i \v{c}%
injenicu da je $z$ korijen polinoma $g(x)$, odnosno 
\begin{equation}
z^{3}=a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}.  \tag*{(5)}  \label{t5}
\end{equation}%
Napi\v{s}imo elemente $z$, $z^{2}$ i $z^{3}$ u bazi $\{1,y,y^{2}\}$
vektorskog prostora $F_{5^{3}}$ nad poljem $F_{5}$. Vrijedi%
\begin{eqnarray*}
z &=&y^{4}=(y+2)y=2y+y^{2}, \\
z^{2} &=&(2y+y^{2})^{2}=\cdots =3+y \\
z^{3} &=&(3+y)(2y+y^{2})=\cdots =2+2y.
\end{eqnarray*}%
Dakle, \ref{t5} se mo\v{z}e zapisati u obliku:%
\begin{equation*}
2+2y=a_{0}+a_{1}(2y+y^{2})+a_{2}(3+y).
\end{equation*}%
Izjedna\v{c}avaju\'{c}i koeficijente uz iste vektore s lijeve i desne strane
zadnje jednad\v{z}be dobijemo sustav%
\begin{eqnarray*}
2 &=&a_{0}+3a_{2} \\
2 &=&2a_{1}+a_{2} \\
0 &=&a_{1},
\end{eqnarray*}%
\v{c}ije je rje\v{s}enje $a_{0}=1$, $a_{1}=0$ i $a_{2}=2$. Dakle, minimalan
polinom elementa $z=y^{4}$ nad poljem $F_{5\text{ }}$ je $%
g(x)=x^{3}+3x^{2}+4\in F_{5}[x]$.
\end{example}

U slijede\'{c}im primjerima ozna\v{c}iti \'{c}emo sa $f(x)$ primitivan
polinom polja $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$, a sa $y$ korijen tog polinoma, tj.
primitivan element polja $F_{q^{n}}$. Dakle, vrijedi $F_{q^{n}}^{\ast
}=\langle y\rangle $ i $F_{q^{n}}=F_{q}(y)$, a potrebno je samo ispisati
elemente iz $F_{q^{n}}$ u bazi $\{1,y,y^{2},\ldots ,y^{n-1}\}$ vektorskog
prostora $F_{q^{n}}$ nad $F_{q}$.

\begin{example}
\label{1}$F_{2}=\{0,1\}$; $f(x)=x^{2}+x+1\in F_{2}[x]$; $F_{4}=F_{2}(y)$.
\end{example}

\begin{example}
\label{2}$F_{3}=\{0,1,2\}$; $f(x)=x^{2}+2x+2\in F_{3}[x]$; $F_{9}=F_{3}(y)$.
\end{example}

\begin{example}
\label{3}$F_{2}=\{0,1\}$; $f(x)=x^{3}+x+1\in F_{2}[x]$; $F_{8}=F_{2}(y)$.
\end{example}

\begin{example}
$F_{5}=\{0,1,2,3,4\}$; $f(x)=x^{3}+4x+3\in F_{5}[x]$; $F_{125}=F_{5}(y)$.
\end{example}

\begin{example}
$F_{3}=\{0,1,2\}$; $f(x)=x^{4}+x^{3}+2x^{2}+2x+2\in F_{3}[x]$; $%
F_{81}=F_{3}(y)$.
\end{example}

\begin{example}
$F_{2}=\{0,1\}$; $f(x)=x^{6}+x^{5}+x^{2}+x+1\in F_{2}[x]$; $F_{64}=F_{2}(y)$.
\end{example}

\begin{example}
$F_{2}=\{0,1\}$; $f(x)=x^{9}+x^{8}+x^{6}+x^{5}+1\in F_{2}[x]$; $%
F_{512}=F_{2}(y)$.
\end{example}

\subsubsection{Prikaz primitivnog polinoma u odnosu na dva potpolja}

Ako neko polje $F_{q^{n}}$ ima potpolja razli\v{c}ita od prostog, tj. broj $%
n $ je slo\v{z}en broj, mo\v{z}emo poznavaju\'{c}i primitivan polinom polja $%
F_{q^{n}}$ nad nekim potpoljem na\'{c}i primitivan polinom polja $F_{q^{n}}$
nad nekim drugim potpoljem.

\begin{example}
\label{pr5} Zadan je primitivan polinom $f(x)=x^{4}+x^{3}+2x^{2}+2x+2\in
F_{3}[x]$ polja $F_{81}$ nad poljem $F_{3}$. Prona\dj imo primitivan polinom
polja $F_{81}$ nad poljem $F_{9}$.

Ozna\v{c}imo li sa $z\in F_{81}$ korijen polinoma $f(x)$, tada je $\langle
z\rangle =F_{81}^{\ast }$, $F_{81}=F_{3}(z)$, baza vektorskog prostora $%
F_{81}$ nad $F_{3}$ je $\{1,z,z^{2},z^{3}\}$, te $z^{4}=1+z+z^{2}+2z^{3}$.

Jedan od primitivnih polinoma polja $F_{81}$ nad $F_{9}$ je minimalan
polinom elementa $z$ nad poljem $F_{9}$, a ozna\v{c}imo ga sa $g(x)\in
F_{9}[x]$. Iz Leme \ref{prim}, slijedi $F_{81}=F_{9}(z)$, a kako je, prema
Teoremu \ref{izgra}, $[F_{9}(z):F_{9}]=\deg g(x)$, slijedi da je polinom $%
g(x)$ stupnja $2$. Neka je $g(x)=x^{2}-ax-b\in F_{9}[x]$.

Budu\'{c}i da je $z$ korijen polinoma $g(x)$, vrijedi 
\begin{equation}
z^{2}=b+az.  \tag*{(6)}  \label{t6}
\end{equation}%
Treba prona\'{c}i koeficijente $a,b\in F_{9}$.

Kako $9|81$, tada prema Teoremu \ref{kriterij}, postoji jedinstveno potpolje
polja $F_{81}$ reda $9$. Prona\dj emo li jedinstvenu podgrupu reda $8$
multiplikativne grupe $F_{81}^{\ast }$ polja $F_{81}$ i dodamo joj jo\v{s} $%
0,$ dobili smo polje $F_{9}$. Element $z^{10}\in F_{81}$ generira, po
Teoremu \ref{gene}, podgrupu reda $\frac{80}{Nzm(10,80)}=8$ grupe $%
F_{81}^{\ast }$, pa je $z^{10}$ jedan od primitivnih elemenata polja $F_{9}$%
. Ozna\v{c}imo $z^{10}$ sa $y$.

Polje $F_{9}$ je dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $F_{3}$ i
vrijedi $F_{9}=F_{3}(y)$, a baza tog prostora je $\{1,y\}$. Napi\v{s}emo li
koeficijente $a,b\in F_{9}$ polinoma $g(x)$ u toj bazi, tj. neka je $%
a=a_{0}+a_{1}y$, $b=b_{0}+b_{1}y$, gdje su svi navedeni $a_{i},b_{i}\in
F_{3} $, tada \ref{t6} poprima oblik 
\begin{equation}
z^{2}=b_{0}+a_{0}z+b_{1}z^{10}+a_{1}z^{11}\text{.}  \tag*{(7)}  \label{t7}
\end{equation}%
Da bi prona\v{s}li koeficijente $a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}\in F_{3}$ napi\v{s}%
imo vektore $z^{10}$ i $z^{11}$ u bazi $\{1,z,z^{2},z^{3}\}$ vektorskog
prostora $F_{81}$ nad $F_{3}$. Vrijedi 
\begin{eqnarray*}
z^{10} &=&z+2z^{2} \\
z^{11} &=&z^{2}+2z^{3}\text{.}
\end{eqnarray*}%
Uvr\v{s}tavanjem dobivenih vrijednosti u \ref{t7} dobijemo%
\begin{equation*}
z^{2}=b_{0}+a_{0}z+b_{1}(z+2z^{2})+a_{1}(z^{2}+2z^{3})\text{.}
\end{equation*}%
Izjedna\v{c}avaju\'{c}i koeficijente uz iste vektore s desne i lijeve
strane, zadnje jednakosti, slijedi sustav%
\begin{eqnarray*}
0 &=&b_{0} \\
0 &=&a_{0}+b_{1} \\
1 &=&2b_{1}+a_{1} \\
0 &=&2a_{1}\text{,}
\end{eqnarray*}%
a tada je $b_{0}=0$, $b_{1}=2$, $a_{0}=1$ i $a_{1}=0$. Dakle, primitivan
polinom polja $F_{81}$ nad $F_{9}$ je $g(x)=x^{2}+2x+y\in F_{9}[x]$, gdje je 
$y$ primitivan element polja $F_{9}$.
\end{example}

U slijede\'{c}em primjeru pokazati \'{c}emo proceduru obrnutu od one kori%
\v{s}tene u Primjeru \ref{pr5}.

\begin{example}
\label{pr6} Zadan je primitivan polinom $f(x)=x^{2}+2x+y$ polja $F_{81}$ nad 
$F_{9}$, gdje je $y$ primitivan element polja $F_{9}$. Prona\dj imo
primitivan polinom polja $F_{81}$ nad $F_{3}$.

Neka je $g(x)=x^{2}+2x+2\in F_{3}[x]$ primitivan polinom polja $F_{9}$ nad $%
F_{3}$, \v{c}iji je korijen $y$ (vidjeti Primjer \ref{2}). Tada vrijedi $%
F_{9}=F_{3}(y)$, baza vektorskog prostora $F_{9}$ nad $F${}$_{3}$ je $%
\{1,y\} $, te $y^{2}=y+1$.

Ako je $z$ $\in F_{81}$ korijen polinoma $f(x)$, tada je $F_{81}=F_{9}(z)$, $%
\langle z\rangle =F_{81}^{\ast }$, baza vektorskog prostora $F_{81}$ nad $%
F_{9}$ je $\{1,z\}$, te vrijedi $z^{2}=2y+z$. Prema Lemi \ref{prim} zaklju%
\v{c}ujemo $F_{81}=F_{3}(z)$, a po dokazu Teorema \ref{lokom}, slijedi da je 
$\{1,y,z,yz\}$ baza vektorskog prostora $F_{81}$ nad $F_{3}$. Jedan od
primitivnih polinoma polja $F_{81}$ nad $F_{3}$ je upravo minimalan polinom
elementa $z$ nad $F_{3}$, stupnja je $4$ (jer je $[F_{3}(z):F_{3}]=4$), a
ozna\v{c}imo ga sa 
\begin{equation*}
h(x)=x^{4}-a_{3}x^{3}-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\in F_{3}[x]\text{.}
\end{equation*}%
Koeficijente polinoma $h(x)$ prona\'{c}i \'{c}emo koriste\'{c}i \v{c}%
injenicu da je $h(z)=0$, odnosno%
\begin{equation}
z^{4}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}\text{.}  \tag*{(8)}  \label{t8}
\end{equation}%
Napi\v{s}imo vektore $z^{2},z^{3},z^{4}\in F_{81}$ u bazi $\{1,y,z,yz\}$
vektorskog prostora $F_{81}$ nad $F_{3}$. Vrijedi 
\begin{eqnarray*}
z^{2} &=&2y+z \\
z^{3} &=&(2y+z)z=\cdots =2y+z+2yz \\
z^{4} &=&(2y+z+2yz)z=\cdots =1+z+yz\text{.}
\end{eqnarray*}%
Uvrstimo li dobivene vrijednosti u \ref{t8} tada je 
\begin{equation*}
1+z+yz=a_{0}+a_{1}z+a_{2}(2y+z)+a_{3}(2y+z+2yz)\text{.}
\end{equation*}%
Izjedna\v{c}avanjem koeficijenata istih vektora s lijeve i desne strane te
jednakosti, slijedi sustav jednad\v{z}bi%
\begin{eqnarray*}
1 &=&a_{0} \\
0 &=&2a_{2}+2a_{3} \\
1 &=&a_{1}+a_{2}+a_{3} \\
1 &=&2a_{3}\text{,}
\end{eqnarray*}%
iz \v{c}ega dobijemo $a_{0}=1,$ $a_{1}=1$, $a_{2}=1$, te $a_{3}=2$. Dakle,
minimalni polinom polja $F_{81}$ nad $F_{3}$ je $%
h(x)=x^{4}+x^{3}+2x^{2}+2x+2\in F_{3}[x]$.
\end{example}

U prethodnom primjeru pokazali smo da primitivnom polinomu 
\begin{equation*}
x^{4}+x^{3}+2x^{2}+2x+2\in F_{3}[x]\text{,}
\end{equation*}%
polja $F_{81}$ nad poljem $F_{3}$, pripada primitivni polinom $x^{2}+2x+y\in
F_{9}[x]$ polja $F_{81}$ nad $F_{9}$, gdje je $y$ primitivan element polja $%
F_{9}$.

\begin{example}
\label{pr7}Primitivnom polinomu $g(x)=x^{6}+x^{5}+x^{2}+x+1\in F_{2}[x]$,
polja $F_{64}$ nad poljem $F_{2}$, pripada primitivni polinom $%
f(x)=x^{3}+(1+y)x^{2}+yx+y+1\in F_{4}[x]$ polja $F_{64}$ nad $F_{4}$, gdje
je $y$ primitivan element polja $F_{4}$.
\end{example}

\begin{example}
\label{pr8}Primitivnom polinomu $g(x)=x^{9}+x^{8}+x^{6}+x^{5}+1\in F_{2}[x]$%
, polja $F_{512}$ nad poljem $F_{2}$, odgovara primitivni polinom $%
f(x)=x^{3}+x^{2}+(1+y)x+y\in F_{8}[x]$ polja $F_{512}$ nad $F_{8}$, gdje je $%
y$ primitivan element polja $F_{8}$.
\end{example}

U slijede\'{c}im \'{c}emo primjerima konstruirati polje $F_{p^{n}}$ nad $%
F_{p}$, gdje je $n$ slo\v{z}en broj, koriste\'{c}i primitivan polinom polja $%
F_{p^{n}}$ nad nekim potpoljem od $F_{p^{n}}$ razli\v{c}itim od $F_{p}$.

\begin{example}
\label{pr9}Izgraditi polje $F_{64}$ nad poljem $F_{2}$.

Prvo se izgradi polje $F_{4}$ nad $F_{2}$. Ako ozna\v{c}imo sa $y$ korijen
primitivnog polinoma $x^{2}+x+1\in F_{2}[x]$ polja $F_{4}$ nad $F_{2}$, tada
je $y$ primitivan element polja $F_{4}$ i vrijedi $\langle y\rangle
=F_{4}^{\ast }$, $F_{4}=F_{2}(y)$, a baza vektorskog prostora $F_{4}$ nad $%
F_{2}$ je skup $\{1,y\}$, pa je $F_{4}=\{0,1,y,y^{2}=1+y\}$ (pogledati
Primjer \ref{1}).

Tada na\dj emo primitivan polinom polja $F_{64}$ nad $F_{4}$, a to je prema
Primjeru \ref{pr7}, polinom $f(x)=x^{3}+(1+y)x^{2}+yx+y+1\in F_{4}[x]$. Ako
sa $z$ ozna\v{c}imo korijen tog polinoma vrijedi%
\begin{equation*}
z^{3}=1+y+yz+(1+y)z^{2},
\end{equation*}%
$F_{64}=F_{4}(z)$, baza vektorskog prostora $F_{64}$ nad $F_{4}$ je $%
\{1,z,z^{2}\}$ i $z$ je primitivan element polja $F_{64}$. Kako je skup $%
\{1,y,z,yz,z^{2},yz^{2}\}$\ baza vektorskog prostora $F_{64}$ nad poljem $%
F_{2}$, treba jo\v{s} sve elemente $\{0,z,z^{2},\ldots ,z^{63}=1\}$ polja $%
F_{64}$ ispisati u toj bazi.
\end{example}

\begin{example}
Izgraditi polje $F_{81}$ nad poljem $F_{3}$.

Postupak je sli\v{c}an kao u prethodnom primjeru. Koristi se polje 
\begin{equation*}
F_{9}=\{0,\text{ }1,\text{ }y,\text{ }y^{2}=1+y,\text{ }y^{3}=1+2y,\text{ }%
y^{4}=2,\text{ }y^{5}=2y,\text{ }y^{6}=2+2y,\text{ }y^{7}=2+y\}
\end{equation*}%
(vidjeti Primjer \ref{2}) i primitivan polinom $f(x)=x^{2}+2x+y\in F_{9}[x]$
polja $F_{81}$ nad $F_{9}$ (vidjeti Primjer \ref{pr6}).
\end{example}

\begin{example}
Izgraditi polje $F_{512}$ nad poljem $F_{2}$.

Postupak je sli\v{c}an kao u prethodnom primjeru. Koristi se polje 
\begin{equation*}
F_{8}=\{0,\text{ }1,\text{ }y,\text{ }y^{2},\text{ }y^{3}=1+y,\text{ }%
y^{4}=y+y^{2},\text{ }y^{5}=1+y+y^{2},\text{ }y^{6}=1+y^{2}\}
\end{equation*}%
(vidjeti Primjer \ref{3}) i primitivan polinom $f(x)=x^{3}+x^{2}+(1+y)x+y\in
F_{8}[x]$ polja $F_{512}$ nad $F_{8}$, (vidjeti Primjer \ref{pr8}).
\end{example}

\chapter{Projektivne geometrije}

\section{Projektivne i afine geometrije}

\subsection{Osnovni pojmovi\label{osnov}}

\textbf{Permutacije} skupa $\mathcal{X}$ su bijekcije sa $\mathcal{X}$ na $%
\mathcal{X}$. Skup svih permutacija skupa $\mathcal{X}$ ozna\v{c}imo sa $%
\Sigma _{\mathcal{X}}$. Djelovanje permutacije $\alpha \in \Sigma _{\mathcal{%
X}}$ na elementu $x\in \mathcal{X}$ bilje\v{z}imo sa $x^{\alpha }$.

\textbf{Produkt} permutacija $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$ $\in \Sigma _{%
\mathcal{X}}$ definiramo kao preslikavanje $\alpha _{1}\alpha _{2}$ dobiveno
kompozicijom preslikavanja $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$, tj. $x^{\alpha
_{1}\alpha _{2}}=(x^{\alpha _{1}})^{\alpha _{2}}$, $\forall x\in \mathcal{X}$%
. Produkt permutacija skupa $\mathcal{X}$ je permutacija skupa $\mathcal{X}$.

$\Sigma _{\mathcal{X}}$ je grupa s obzirom na mno\v{z}enje permutacija. Ako
je $|\mathcal{X}|=n$, tada $|\Sigma _{\mathcal{X}}|=n!$.

Grupu $\Sigma _{\mathcal{X}}$ zovemo\textbf{\ simetri\v{c}nom grupom }skupa%
\textbf{\ }$\mathcal{X}$, a svaku njenu podgrupu nazivamo \textbf{%
permutacijskom grupom} skupa $\mathcal{X}$.

\begin{definition}
\label{strogo}Neka je $G$ permutacijska grupa skupa $\mathcal{X}$. Grupa $G$
je $n$\textbf{-tranzitivna} na skupu $\mathcal{X}$ ako za svake dvije $n$%
-torke $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ razli\v{c}itih
elemenata iz $\mathcal{X}$, postoji permutacija $g\in G$ sa svojstvom $%
x_{i}^{g}=y_{i}$, $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}$. Grupa $G$ je \textbf{%
strogo }$n$\textbf{-tranzitivna} na skupu $\mathcal{X}$, ako je za bilo koju 
$n$-torku razli\v{c}itih elemenata iz $\mathcal{X}$, identiteta jedini
element iz $G$ koji fiksira tu $n$-torku. Ako je $G$ $1$-tranzitivna na $%
\mathcal{X}$, tada ka\v{z}emo da je \textbf{tranzitivna} na $\mathcal{X}$.
\end{definition}

\begin{definition}
\label{strukt}\textbf{Incidencijskom strukturom} $\mathfrak{I}\mathcal{\ }$%
nazivamo ure\dj en par $(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ nep- raznih, disjunktnih
skupova $\mathcal{X}$ i $\mathfrak{B}$ zajedno sa relacijom $\mathcal{I}$ $%
\subseteq \mathcal{X}\times \mathfrak{B}$.
\end{definition}

Elemente iz $\mathcal{X}=\{A,B,C,\ldots \}$ zovemo \textbf{to\v{c}kama},
elemente skupa $\mathfrak{B}=\{a,b,c,\ldots \}$ \textbf{blokovima}, dok $%
\mathcal{I}$ nazivamo \textbf{relacijom incidencije}. Ako $\left( A,b\right)
\in \mathcal{I}$, ka\v{z}emo da je to\v{c}ka $A$ incidentna s blokom $b$ i pi%
\v{s}emo $A\mathcal{I}b$. Naj\v{c}e\v{s}\'{c}e je $\mathfrak{B}\subset 2^{%
\mathcal{X}}$ i $\mathcal{I}=\in $.

\begin{definition}
\label{inci} Neka su $\mathfrak{I}_{1}=(\mathcal{X}_{1},\mathfrak{B}_{1})$ i 
$\mathfrak{I}_{2}=(\mathcal{X}_{2},\mathfrak{B}_{2})$ incidencijske
strukture, sa pripadnim relacijama incidencije $\mathcal{I}_{1}\subset 
\mathcal{X}_{1}\times \mathfrak{B}_{1}$ i $\mathcal{I}_{2}\subset \mathcal{X}%
_{2}\times \mathfrak{B}_{2}$. Bijekciju $\alpha $ to\v{c}aka iz $\mathfrak{I}%
_{1}$ na to\v{c}ke iz $\mathfrak{I}_{2}$, blokova iz $\mathfrak{I}_{1}$ na
blokove iz $\mathfrak{I}_{2}$, sa svojstvom%
\begin{equation*}
P\mathcal{I}_{1}l\Leftrightarrow P^{\alpha }\mathcal{I}_{2}l^{\alpha }\text{%
, }\forall P\in \mathcal{X}_{1}\text{, }\forall l\in \mathfrak{B}_{1}\text{,}
\end{equation*}%
zovemo \textbf{izomorfizam }incidencijskih struktura $\mathfrak{I}_{1}$ i $%
\mathfrak{I}_{2}$.
\end{definition}

Za dvije incidencijske strukture ka\v{z}emo da su \textbf{izomorfne}, ako
postoji barem jedan izomorfizam tih struktura.

\begin{definition}
\textbf{Izomorfizam} sa tijela $K$ na tijelo $L$ je bijekcija $\phi
:K\rightarrow L$ za koju vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] $(k_{1}+k_{2})^{\phi }=k_{1}^{\phi }+k_{2}^{\phi }$,

\item[b)] $(k_{1}k_{2})^{\phi }=k_{1}^{\phi }k_{2}^{\phi }$; $\forall k_{1}$%
, $k_{2}\in K$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\textbf{Automorfizam} tijela $K$ je izomorfizam sa $K$ na samog sebe.

\begin{definition}
\textbf{Antiizomorfizam} sa tijela $K$ na tijelo $L$ je bijekcija $\phi
:K\rightarrow L$ za koju vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] $(k_{1}+k_{2})^{\phi }=k_{1}^{\phi }+k_{2}^{\phi }$,

\item[b)] $(k_{1}k_{2})^{\phi }=k_{2}^{\phi }k_{1}^{\phi }$; $\forall k_{1}$%
, $k_{2}\in K$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\textbf{Antiautomorfizam} tijela $K$ je antiizomorfizam sa $K$ na samog
sebe. Ako je $K$ polje, svaki automorfizam nad $K$ je antiizomorfizam i
obratno.

\begin{definition}
\label{semi}Neka je $V$ lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$, $W$\
lijevi vektorski prostor nad tijelom $L$, a $\phi $ je izomorfizam sa $K$ na 
$L$. Preslikavanje $\alpha $ sa $V$ u $W$ koje zadovoljava

\begin{enumerate}
\item[a)] $(v_{1}+v_{2})^{\alpha }=v_{1}^{\alpha }+v_{2}^{\alpha }$ , $%
\forall v_{1}$,$v_{2}\in V$;

\item[b)] $(kv)^{\alpha }=k^{\phi }v^{\alpha }$, $\forall v\in V$, $\forall
k\in K$;
\end{enumerate}

zovemo \textbf{semilinearna transformacija} sa $V$ u $W$ s asociranim
izomorfizmom $\phi $.
\end{definition}

U slu\v{c}aju da su $V$ i $W$ desni vektorski prostori, pripadnu
semilinearnu transformaciju definirati \'{c}emo kao i u prethodnom slu\v{c}%
aju uz promijenu uvjeta $b)$ u 
\begin{equation*}
(vk)^{\alpha }=v^{\alpha }k^{\phi },\forall v\in V,\forall k\in K\text{.}
\end{equation*}%
Ako je $V$ lijevi, a $W$ desni vektorski prostor, pri definiranju
semilinearne transformacije sa $V$ u $W$ zahtjevamo da je $\phi $
antiizomorfizam sa $K$ na $L$, a uvjet $b)$ mijenjamo u 
\begin{equation*}
(kv)^{\alpha }=v^{\alpha }k^{\phi },\forall v\in V,\forall k\in K\text{.}
\end{equation*}

Od sada pa nadalje smatrat \'{c}emo da je $V$ lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$.

\textbf{Linearna transformacija} sa $V$ u $V$ je semilinearna transformacija
sa $V$ u $V$ kojoj je asocirana identiteta $i$ $\in $ $AutK$.

\textbf{Produkt} semilinearnih transformacija $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$
sa $V$ u $V$, s asociranim automorfizmima $\phi _{1}$,$\phi _{2}\in $ $AutK,$
definiramo kao preslikavanje $\alpha _{1}\alpha _{2}$ dobiveno kompozicijom
preslikavanja $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$, tj. $v^{\alpha _{1}\alpha
_{2}}=(v^{\alpha _{1}})^{\alpha _{2}}$, $\forall v\in V$.

Produkt $\alpha _{1}\alpha _{2}$ semilinearnih transformacija $\alpha _{1}$
i $\alpha _{2}$ jest semilinearna transformacija sa $V$ u $V$ kojoj je
asociran automorfizam $\phi _{1}\phi _{2}\in $ $AutK.$

Za semilinearnu transformaciju sa $V$ u $V$ ka\v{z}emo da je \textbf{%
regularna }ako je bijektivna. Ina\v{c}e, nazivamo je \textbf{singularnom }%
semilinearnom transformacijom.

Sve regularne semilinearne transformacije sa $V$ na $V$ \ formiraju grupu s
obzirom na mno\v{z}enje, koju bilje\v{z}imo sa $\Gamma L(V)$. Grupu svih
regularnih linearnih transformacija sa $V$ na $V$ ozna\v{c}avamo sa $GL(V)$
i zovemo \textbf{op\'{c}a linearna grupa}.

Neka je $V$ $n$- dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$, a $%
\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n}\right\} $ njegova baza.

Vektore iz $V$ predstavljamo red\v{c}anim matricama, tako da vektoru $%
v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}$ pripada matrica $\left( v_{1},\ldots
,v_{n}\right) $.

U slu\v{c}aju da je $V$\ kona\v{c}nodimenzionalni, desni vektorski prostor
nad nekim tijelom, tada vektore iz $V$ predstavljamo stup\v{c}anim matricama.

Po\v{s}to je linearna transformacija $f:V\rightarrow V$ odre\dj ena
djelovanjem na bazi, jednozna\v{c}no ju odre\dj uje matrica $A=\left(
a_{ij}\right) $ tipa $\left( n\times n\right) $ \v{c}iji redci predstavljaju
slike $e_{1}^{f},\ldots ,e_{n}^{f}$ vektora baze, tj. $\forall i\in
\{1,\ldots ,n\}$ vrijedi $e_{i}^{f}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}$. Matricu $A$
zovemo \textbf{matri\v{c}nim prikazom }ili \textbf{matri\v{c}nom
reprezentacijom }transformacije $f$ u bazi $\left\{ e_{1},\ldots
,e_{n}\right\} .$

Djelovanje transformacije $f$ na vektoru $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V$ mo%
\v{z}e se predo\v{c}iti matri\v{c}nim produktom, tj. vrijedi

\begin{equation*}
v^{f}=\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}^{f}=\sum_{j=1}^{n}\left(
\sum_{i=1}^{n}v_{i}a_{ij}\right) e_{j}=\left( v_{1},\ldots ,v_{n}\right)
\left( 
\begin{tabular}{lll}
$a_{11}$ & $\ldots $ & $a_{1n}$ \\ 
$\vdots $ &  & $\vdots $ \\ 
$a_{n1}$ & $\ldots $ & $a_{nn}$%
\end{tabular}%
\right) =vA.
\end{equation*}

Slijede\'{c}i teorem je jako va\v{z}an, a njegov dokaz mo\v{z}emo prona\'{c}%
i u raznoj literaturi, primjerice u \cite{palman}.

\begin{theorem}
\label{glv}Grupa $GL(V)$ je tranzitivna na bazama od $V$.
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{skal}Neka je $V$ kona\v{c}nodimenzionalan vektorski prostor nad
poljem $K$. Regularna semilinearna transformacija koja fiksira svaki
jednodimenzionalan potprostor od $V$ je linearna transformacija \v{c}iji je
matri\v{c}ni prikaz skalarna matrica, tj. matrica oblika $\lambda I$, gdje
je $I$ jedini\v{c}na matrica, te $\lambda \in K$.
\end{theorem}

Ako je $K$ polje, matrici $A$ linearne transformacije mo\v{z}emo pridru\v{z}%
iti determinantu $\det A=|A|$, a na taj na\v{c}in dobili smo izomorfizam sa $%
GL(V)$ na $K$.

Grupu svih regularnih linearnih transformacija kojima je determinanta matri%
\v{c}nog prikaza jednaka 1 ozna\v{c}avamo s $SL(V)$ i zovemo \textbf{%
specijalna linearna grupa}.

\begin{definition}
Neka je $V$ lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.\ Preslikavanje $%
f^{\prime }$ sa $V$ u $K$ koje zadovoljava:

\begin{enumerate}
\item[a)] $(v_{1}+v_{2})f^{\prime }=v_{1}f^{\prime }+v_{2}f^{\prime }$, $%
\forall v_{1}$,$v_{2}\in V$

\item[b)] $(kv)f^{\prime }=k(vf^{\prime })$, $\forall v\in V$, $\forall k\in
K$

zovemo \textbf{linearni funkcional }nad $V$.
\end{enumerate}
\end{definition}

Skup svih linearnih funkcionala nad $V$ ozna\v{c}avamo sa $V^{\prime }.$

$V^{\prime }$ mo\v{z}emo na prirodan na\v{c}in snabdjeti strukturom
vektorskog prostora.

\textbf{Zbroj} linearnih funkcionala $f^{\prime }$, $g^{\prime }\in
V^{\prime }$ definiramo kao preslikavanje $f^{\prime }+$ $g^{\prime }$ sa $V$
u $K$ za koje vrijedi

\begin{equation*}
v(f^{\prime }+g^{\prime })=vf^{\prime }+vg^{\prime }\text{, }\forall v\in V.
\end{equation*}

\textbf{Produkt} linearnog funkcionala $f^{\prime }\in V^{\prime }$ i
skalara $\lambda \in K$ definiramo kao preslikavanje $f^{\prime }\lambda
:V\rightarrow K$ koje zadovoljava%
\begin{equation*}
v(f^{\prime }\lambda )=(vf^{\prime }\text{ })\lambda \text{, }\forall v\in V.
\end{equation*}%
Poka\v{z}e se da su $f^{\prime }+$ $g^{\prime }$ i $f^{\prime }\lambda \in
V^{\prime }$, $\forall f^{\prime }$, $g^{\prime }\in V^{\prime }$, $\forall
\lambda \in K$. Uz operacije zbrajanja funkcionala i mno\v{z}enja sa
skalarom $V^{\prime }$ je desni vektorski prostor nad tijelom $K$, kojeg
zovemo \textbf{dualni prostor} ili \textbf{dual} prostora $V$. Dual $%
(V^{\prime })^{\prime }$ prostora $V^{\prime }$ bilje\v{z}imo sa $V^{\prime
\prime }$, a zovemo ga \textbf{bidual }od $V$, a vrijedi $V\cong V^{\prime
\prime }$.

Neka je $n$ dimenzija od \ $V$, a $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n}\right\} $
njegova baza. Tada je $V^{\prime }$ $n$-dimenzionalni, desni vektorski
prostor, a jedna od baza za $V^{\prime }$ je skup vektora $\left\{
f_{1}^{^{\prime }},\ldots ,f_{n}^{^{\prime }}\right\} $ takvih da vrijedi $%
e_{j}f_{i}^{^{\prime }}=\delta _{ij}$ ; $\forall i$, $j\in \left\{ 1,\ldots
,n\right\} .$ Ovako definiranu bazu za $V^{\prime }$ nazivamo \textbf{%
dualnom bazom} baze $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n}\right\} $.

Vektori iz $V^{\prime }$ reprezentiraju se stup\v{c}anim matricama.

Po\v{s}to, za svaki $h^{\prime }\in V^{\prime }$ postoje jedinstveni $%
h_{j}\in K$, $j\in \left\{ 1,\ldots ,n\right\} $ tako da $h^{\prime
}=\sum_{j=1}^{n}f_{j}^{^{\prime }}h_{j}$ , tada vektoru $h^{\prime }\in
V^{\prime }$\ jednozna\v{c}no pridru\v{z}imo matricu 
\begin{equation*}
\left( 
\begin{tabular}{l}
$h_{1}$ \\ 
$\vdots $ \\ 
$h_{n}$%
\end{tabular}%
\right)
\end{equation*}%
tipa $(n\times 1).$

Djelovanje funkcionala $h^{\prime }$ na vektoru $v=\left( v_{1},\ldots
,v_{n}\right) \in V$ mo\v{z}e se predo\v{c}iti matri\v{c}nim produktom, tj.
vrijedi

\begin{equation*}
vh^{\prime }=(\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i})(\sum_{j=1}^{n}f_{j}^{^{\prime
}}h_{j})=\sum_{i=1}^{n}v_{i}h_{i}=\left( v_{1},\ldots ,v_{n}\right) \left( 
\begin{tabular}{l}
$h_{1}$ \\ 
$\vdots $ \\ 
$h_{n}$%
\end{tabular}%
\right) =\left( v_{1},\ldots ,v_{n}\right) \left( h_{1},\ldots ,h_{n}\right)
^{\prime }.
\end{equation*}

U slu\v{c}aju da je $V$\ $n$-dimenzionalni, desni vektorski prostor nad
tijelom $K,$ tada je $V^{\prime }\ $lijevi vektorski prostor nad istim
tijelom i dok vektore iz $V$ predstavljamo stup\v{c}anim matricama, vektore
iz $V^{\prime }$ predstavljamo red\v{c}anim matricama.

Neka je $V$\ $n$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.
Ako je $\alpha $ regularna semilinearna transformacija na $V$ s asociranim
automorfizmom $\phi \in AutK$, tj. $\alpha \in \Gamma L(V)$, vrijedi $%
v^{\alpha }=v^{\phi }A=\left( v_{1}^{\phi },\ldots ,v_{n}^{\phi }\right) A$, 
$\forall v\in V$, gdje je $A$ matri\v{c}ni prikaz transformacije $\alpha $ u
bazi $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n}\right\} $ od $V$, te $v=%
\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}$. Definiramo li%
\begin{equation*}
(w^{\prime })^{\alpha ^{\prime }}:=A^{-1}(w^{\phi })^{\prime
}=A^{-1}(w_{1}^{\phi },\ldots ,w_{n}^{\phi })^{\prime },
\end{equation*}%
$\forall w^{\prime }\in V^{\prime }$, gdje je $w^{\prime
}=\sum_{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }w_{i}$ prikaz vektora $w^{\prime }\in
V^{\prime }$ u dualnoj bazi $\left\{ f_{1}^{\prime },\ldots ,f_{n}^{\prime
}\right\} $ baze $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n}\right\} $, poka\v{z}e se da je 
$\alpha ^{\prime }\in \Gamma L(V^{\prime })$, te vrijedi $v^{\alpha
}(w^{\prime })^{\alpha ^{\prime }}=(vw^{\prime })^{\phi }$, $\forall v\in V$%
, $\forall w^{\prime }\in V^{\prime }$, a opisano pridru\v{z}ivanje $\alpha
\rightarrow \alpha ^{\prime }$ je izomorfizam sa $\Gamma L(V)$ na $\Gamma
L(V^{\prime })$.

Neka je $V$ kona\v{c}nodimenzionalani, lijevi (ili desni) vektorski prostor
nad tijelom $K$. Skup svih potprostora od $V$, zajedno sa relacijom sadr\v{z}%
avanja, zovemo\textbf{\ projektivnom geometrijom} i bilje\v{z}imo je sa $%
P(V) $.

Neka je $V$ \ $n+1$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.
Tada ka\v{z}emo je projektivna geometrija $P(V)$ $g$-dimenzije $n$. $G$%
-dimenziju bilo kojeg potprostora $U$ prostora $V$ definiramo kao algebarsku
dimenziju umanjenju za $1$, a to bilje\v{z}imo $g\dim d(U)=\dim (U)-1$.
Potprostore od $V$ $g$-dimenzije $0$ zovemo \textbf{to\v{c}kama} u
projektivnoj geometriji $P(V)$. Potprostore od $V$ $g$-dimenzije $1$ zovemo 
\textbf{pravcima} u $P(V)$, dok \textbf{hiperravninama} u $P(V)$ nazivamo
potprostore od $V$ $g$-dimenzije $n-1$. \textbf{Prazan prostor} u $P(V)$ je
potprostor od $V$ $g$-dimenzije $-1$, tj. nulpotprostor od $V$.

Ako je $V$ \ $n+1$-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$, tada \'{c}%
emo uvesti oznaku $P_{n}(K)$ za projektivnu geometriju $P(V)$. U slu\v{c}aju
kad je $K=F_{q}$, tj. $K$ je kona\v{c}no polje reda $q$, a $V$ \ $n+1$%
-dimenzionalni vektorski prostor nad tim poljem, za pripadnu projektivnu
geometriju uvodimo posebnu oznaku $P_{n}(q)$.

Projektivnu geometriju $g$-dimenzije $2$ zovemo\textbf{\ projektivna ravnina}%
, dok projektivnu geometriju $g$-dimenzije 1 zovemo\textbf{\ projektivni
pravac}.

Za potprostor $U$ prostora $V$ ka\v{z}emo da je \textbf{incidentan} sa
potprostorom $W$, ako je $U\subseteq W$ ili $W\subseteq U$. Osim toga, za
potprostore $U$ i $W$ prostora $V$ takve da je $U\subseteq W$, re\'{c}i \'{c}%
emo jo\v{s} i da $U$ le\v{z}i u $W$, $W$ prolazi kroz $U$, $W$ sadr\v{z}i $U$%
.

Ako to\v{c}ke iz $P(V)$ le\v{z}e na istom pravcu iz te projektivne
geometrije, ka\v{z}emo da su \textbf{kolinearne} u $P(V)$. Za pravce iz $%
P(V) $ koji su incidentni sa istom to\v{c}kom iz te projektivne geometrije,
ka\v{z}emo da su \textbf{konkurentni} u $P(V)$.

Ako je $W$ potprostor od $V,$ tada je projektivna geometrija $P(W)$ sadr\v{z}%
ana u geometriji $P(V)$.

Koriste\'{c}i Grassmanovu formulu za dimenziju sume i presjeka dva
potprostora nekog kona\v{c}nodimenzionalnog vektorskog prostora dobijemo:

\begin{lemma}
\label{gras}Neka su $U$ i $W$ elementi projektivne geometrije $P(V)$.
Vrijedi:%
\begin{equation*}
g\dim (U+W)+g\dim (U\cap W)=g\dim (U)+g\dim (W).
\end{equation*}
\end{lemma}

U slijede\'{c}im definicijama promatrat \'{c}emo projektivne geometrije iste 
$g$-dimenzije, a ve\'{c}e od 1.

\begin{definition}
\textbf{Homomorfizam} sa projektivne geometrije $P(V)$ u projektivnu
geometriju $P(W)$ je preslikavanje $\alpha $ skupa elemenata iz $P(V)$ na
skup elemenata iz $P(W)$, koje \v{c}uva incidenciju, tj. vrijedi%
\begin{equation*}
M\subset N\Rightarrow M^{\alpha }\subset N^{\alpha }\text{; }\forall M\text{%
, }N\in P(V)\text{.}
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Izomorfizam} sa projektivne geometrije $P(V)$ na projektivnu
geometriju $P(W)$ je homomorfizam sa $P(V)$ na $P(W)$, koji je jo\v{s} i
bijekcija.
\end{definition}

\textbf{Automorfizam} ili \textbf{kolineacija} projektivne geometrije $P(V)$
je izomorfizam sa $P(V)$ na samu sebe. Skup svih automorfizama projektivne
geometrije $P(V)$ ozna\v{c}imo sa $AutP(V)$. Poka\v{z}e se da je $AutP(V)$
grupa uz kompoziciju kao operaciju.

\begin{definition}
\textbf{Antiizomorfizam} sa projektivne geometrije $P(V)$ na projektivnu
geometriju $P(W)$ je takva bijekcija $\alpha $ skupa elemenata iz $P(V)$ na
skup elemenata iz $P(W)$, za koju vrijedi%
\begin{equation*}
M\subset N\Rightarrow N^{\alpha }\subset M^{\alpha }\text{; }\forall M\text{%
, }N\in P(V)\text{.}
\end{equation*}
\end{definition}

\textbf{Korelacija} projektivne geometrije $P(V)$ je antiizomorfizam sa $%
P(V) $ na samu sebe.

\textbf{Polaritet} projektivne geometrije $P(V)$ je korelacija\textbf{\ }%
reda $2$.

U ovim definicijama izuzeli smo slu\v{c}aj projektivnog pravca, jer bi bilo
koja bijekcija njegovih to\v{c}aka zadovoljavala svaku od gore navedenih
definicija.

\begin{theorem}
\label{gdim}Neka su $P(V)$ i $P(W)$ projektivne geometrije $g$-dimenzije $n$%
, a $\alpha $ izomorfizam sa $P(V)$ na $P(W)$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] $g\dim M^{\alpha }=g\dim M$, $\forall M\in P(V)$.

\item[b)] $\alpha ^{-1}$ je izomorfizam sa $P(W)$ na $P(V)$, i za svaka dva
elementa $M$ i $N$ projektivne geometrije $P(V)$ vrijedi $M\subset
N\Leftrightarrow M^{\alpha }\subset N^{\alpha }.$

\item[c)] $(M+N)^{\alpha }=M^{\alpha }+N^{\alpha },$

$(M\cap N)^{\alpha }=M^{\alpha }\cap N^{\alpha }$; $\forall M,N\in P(V).$
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[a)] Uzmimo proizvoljan $M\in P(V)$. Bez smanjenja op\'{c}enitosti mo%
\v{z}emo pretpostaviti da je $M\neq 0$, $M\neq V$. Odaberimo neku bazu $%
\{e_{1},\ldots ,e_{k}\}$ za $M$ i nadopunimo je do baze $\{e_{1},\ldots
,e_{n+1}\}$ za $V$. Definiramo li $M_{0}=0$, $M_{i}=\langle e_{1},\ldots
,e_{i}\rangle $, $\forall i\in \{1,\ldots ,n+1\}$, tada vrijedi 
\begin{equation*}
M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \subset M_{k}\subset \cdots \subset
M_{n+1}=V\text{.}
\end{equation*}%
O\v{c}ito je $M=M_{k}$ i $\dim M_{i}=i,\forall i\in \{0,1,\ldots ,n+1\}$. Po%
\v{s}to su svi potprostori $M_{i}$ prostora $V$ me\dj usobno razli\v{c}iti,
a $\alpha $ je bijekcija, isto vrijedi i za potprostore $M_{i}^{\alpha }$
prostora $W$. Po definiciji, izomorfizam $\alpha $ \v{c}uva incidenciju, pa
slijedi 
\begin{equation*}
O=M_{0}^{\alpha }\subset M_{1}^{\alpha }\subset \cdots \subset M_{k}^{\alpha
}\subset \cdots \subset M_{n+1}^{\alpha }=V^{\alpha }.
\end{equation*}%
Iz $M_{i}^{\alpha }\neq M_{i+1}^{\alpha }$, zaklju\v{c}ujemo da je $\dim
M_{i}^{\alpha }<\dim M_{i+1}^{\alpha }$, $\forall i\in \{0,1,\ldots ,n\}$. Po%
\v{s}to je $\dim W=n+1$, a skupova $M_{i}^{\alpha }$ ima ukupno $n+2$,
slijedi $\dim M_{i}^{\alpha }=i$, a time $\dim M_{i}^{\alpha }=\dim M_{i}$, $%
\forall i\in \{0,1,\ldots ,n+1\}$. Stoga, vrijedi $\dim M^{\alpha }=\dim M$
i $V^{\alpha }=W$.

\item[b)] Odaberimo $U_{1}$, $U_{2}\in P(W)$, tako da vrijedi $U_{1}\subset
U_{2}$. Poka\v{z}emo li da $\alpha ^{-1}$ \v{c}uva incidenciju, tj. da
vrijedi $U_{1}^{\alpha ^{-1}}\subset U_{2}^{\alpha ^{-1}}$, tada je tvrdnja
dokazana, jer je $\alpha ^{-1}$ bijekcija potprostora od $W$ na potprostore
od $V$. Po\v{s}to je $U_{1}$ potprostor od $U_{2}$, tada postoji komplement $%
U_{3}\subset U_{2}$ prostora $U_{1}$ u $U_{2}$. Zbog bijektivnosti od $%
\alpha $, postoje jedinstveni $M_{1}$, $M_{2}$ i $M_{3}\in P(V)$, tako da je 
$U_{1}=M_{1}^{\alpha }$, $U_{2}=M_{2}^{\alpha }$ i $U_{3}=M_{3}^{\alpha }$,
pa vrijedi $M_{1}^{\alpha }\dotplus M_{3}^{\alpha }=M_{2}^{\alpha }$ i $%
M_{1}^{\alpha }\cap M_{3}^{\alpha }=0$. Pokazat \'{c}emo da je $M_{2}$
direktna suma prostora $M_{1}$ i $M_{3}$. Uzimaju\'{c}i u obzir da $\alpha $ 
\v{c}uva incidenciju, tada iz $M_{1}\cap M_{3}\subset M_{1},M_{3}$, slijedi $%
(M_{1}\cap M_{3})^{\alpha }\subset M_{1}^{\alpha },M_{3}^{\alpha }$, pa je $%
(M_{1}\cap M_{3})^{\alpha }\subset M_{1}^{\alpha }\cap M_{3}^{\alpha }=0$.
Tada je $(M_{1}\cap M_{3})^{\alpha }=0$, a zbog bijektivnosti od $\alpha $
vrijedi $M_{1}\cap M_{3}=0$.

Iz $M_{1},M_{3}\subset M_{1}+M_{3}$, slijedi $M_{1}^{\alpha },M_{3}^{\alpha
}\subset (M_{1}+M_{3})^{\alpha }$, jer $\alpha $ \v{c}uva incidenciju, a
tada je 
\begin{equation}
M_{2}^{\alpha }=M_{1}^{\alpha }+M_{3}^{\alpha }\subset (M_{1}+M_{3})^{\alpha
}.  \tag*{(1)}  \label{dim1}
\end{equation}%
Koriste\'{c}i a) i do sada pokazano, raspisujemo 
\begin{eqnarray*}
\dim M_{2}^{\alpha } &=&\dim M_{1}^{\alpha }+\dim M_{3}^{\alpha }=\dim
M_{1}+\dim M_{3}=\dim (M_{1}+M_{3}) \\
&=&\dim (M_{1}+M_{3})^{\alpha }\text{.}
\end{eqnarray*}%
Dakle, $\dim M_{2}^{\alpha }=\dim (M_{1}+M_{3})^{\alpha }$ , \v{s}to uz \ref%
{dim1}, povla\v{c}i $M_{2}^{\alpha }=(M_{1}+M_{3})^{\alpha }$, a tada, zbog
bijektivnosti od $\alpha $, vrijedi $M_{2}=M_{1}+M_{3},$ gdje je navedena
suma direktna, jer je $M_{1}\cap M_{3}=0$. Zaklju\v{c}ujemo da je $%
M_{1}\subset M_{2}$, a time $U_{1}^{\alpha ^{-1}}\subset U_{2}^{\alpha
^{-1}} $.

\item[c)] Koriste\'{c}i do sada pokazano, a sli\v{c}nim postupkom kao u
dokazu a) dokazuje se i ova tvrdnja.
\end{enumerate}
\end{proof}

Na sli\v{c}an na\v{c}in kao prethodni teorem doka\v{z}e se:

\begin{theorem}
\label{pomoc} Neka su $P(V)$ i $P(W)$ projektivne geometrije $g$-dimenzije $%
n $, a $\beta $ antiizomorfizam sa $P(V)$ na $P(W)$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] $g\dim M^{\beta }+g\dim M=n-1$, $\forall M\in P(V)$.

\item[b)] $\beta ^{-1}$ je antiizomorfizam sa $P(W)$ na $P(V)$ i vrijedi $%
M\subset N\Leftrightarrow N^{\beta }\subset M^{\beta }$, $\forall M$, $N\in
P(V)$.

\item[c)] $(M+N)^{\beta }=M^{\beta }\cap N^{\beta }$,

$(M\cap N)^{\beta }=M^{\beta }+N^{\beta }$; $\forall M$, $N\in P(V)$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection{Homogene koordinate}

Neka je $V$ $n+1$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.
Tada je dualni prostor $V^{\prime }$ prostora $V$, desni vektorski prostor
nad tijelom $K$, a $P(V^{\prime })$ projektivna geometrija koju zovemo 
\textbf{dualna projektivna geometrija} geometrije $P(V)$. Svaka projektivna
i njoj dualna geometrija imaju jednake $g$-dimenzije, a u ovom slu\v{c}aju
ona iznosi $n$.

Neka je $U$ potprostor od $V$. \textbf{Anihilator }od $U$ je skup 
\begin{equation*}
U^{a_{V}}:=\left\{ v^{\prime }\in V^{\prime }\text{; }uv^{\prime }=0\text{, }%
\forall u\in U\right\} \text{,}
\end{equation*}%
gdje je $uv^{\prime }=(u_{1},\ldots ,u_{n+1})\left( 
\begin{array}{c}
v_{1} \\ 
\vdots \\ 
v_{n+1}%
\end{array}%
\right) =\tsum\nolimits_{i=1}^{n+1}u_{i}v_{i}$ obi\v{c}ni skalarni produkt
("po koordinatama").

Ako dimenzija od $U$ iznosi $i$, poka\v{z}e se da je $U^{a_{V}}$ $n+1-i$
dimenzionalni potprostor od $V^{\prime }$.

Neka su $U_{1}$ i $U_{2}$ potprostori od $V$. Tada vrijedi:%
\begin{gather*}
U_{1}\subset U_{2}\Rightarrow U_{2}^{a_{V}}\subset U_{1}^{a_{V}}, \\
(U_{1}+U_{2})^{a_{V}}=U_{1}^{a_{V}}\cap U_{2}^{a_{V}}, \\
(U_{1}\cap U_{2})^{a_{V}}=U_{1}^{a_{V}}+U_{2}^{a_{V}}\text{.}
\end{gather*}

\begin{theorem}
\label{iden}Preslikavanje $a_{V}:P(V)\rightarrow P(V^{\prime })$ koje svakom
elementu projektivne geometrije $P(V)$ pridru\v{z}i njegov anihilator,\ je
antiizomorfizam projektivnih geometrija $P(V)$ i $P(V^{\prime })$. Vrijedi $%
a_{V}a_{V^{\prime }}=i_{AutP(V)}$, te $a_{V^{\prime
}}a_{V}=i_{AutP(V^{\prime })}$.
\end{theorem}

Antiizomorfizam $a_{V\text{ }}$ zovemo \textbf{dualnim} ili \textbf{%
anihilatorskim preslikavanjem} projektivne geometrije $P(V)$ na njoj dualnu
projektivnu geometriju $P(V^{\prime })$.

\begin{lemma}
\label{prrav}Za elemente projektivne ravnine $P(V)$ vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] Postoji to\v{c}no jedan pravac incidentan s dvije razli\v{c}ite to%
\v{c}ke.

\item[b)] Postoji to\v{c}no jedna to\v{c}ka incidentna s dva razli\v{c}ita
pravca.

\item[c)] Svaki pravac je incidentan sa barem tri razli\v{c}ite to\v{c}ke.

\item[d)] Svaka to\v{c}ka je incidentna sa barem tri razli\v{c}ita pravca.

\item[e)] Postoje \v{c}etiri to\v{c}ke tako da bilo koje tri nisu kolinearne.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.

Pomo\'{c}u Leme \ref{gras} doka\v{z}u se tvrdnje a) i b).

\begin{enumerate}
\item[c)] Uzmimo proizvoljni pravac $W$ u $P(V)$. Tada je $W$
dvodimenzionalan vektorski prostor nad tijelom $K$, a neka je njegova baza $%
\{f_{1},f_{2}\}$. Bilo koja dva vektora iz skupa $\{f_{1}$, $f_{2}$, $%
f_{1}+f_{2}\}$ su linearno nezavisna, pa su to\v{c}ke pravca $W$, tj.
jednodimenzionalni potprostori razapeti vektorima $f_{1}$, $f_{2}$ i $%
f_{1}+f_{2}$, me\dj usobno razli\v{c}ite. Dakle, svaki pravac iz $P(V)$
incidentan je sa barem tri razli\v{c}ite to\v{c}ke.

\item[d)] Ako je $A$ neka to\v{c}ka iz projektivne ravnine $P(V)$, tada
prema Teoremu \ref{pomoc}, $A$ pripada pravcu $l\in P(V)$ ako i samo ako to%
\v{c}ka $l^{a_{V}}\in P(V^{\prime })$ pripada pravcu $\allowbreak
A^{a_{V}}\in P(V^{\prime })$. Dakle, broj pravaca iz $P(V)$ incidentnih s to%
\v{c}kom $A$ jednak je broju to\v{c}aka iz $P(V^{\prime })$ incidentnih s
pravcem $A^{a_{V}}\in P(V^{\prime })$. Budu\'{c}i da se sli\v{c}no dokazu
tvrdnje c), poka\v{z}e da ta tvrdnja vrijedi i u dualnoj projektivnoj
ravnini $P(V^{\prime })$ ravnine $P(V)$, slijedi da tra\v{z}eni broj nije
manji od $3$.

\item[e)] Uzmimo neku bazu $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ za $V$. Poka%
\v{z}imo da su to\v{c}ke, tj. jednodimenzionalni potprostori od $V$ razapeti
vektorima $e_{1},e_{2},e_{3\text{ }}$i $e_{1}+e_{2}+e_{3}$ tra\v{z}ene to%
\v{c}ke. Pretpostavimo suprotno, tj. da neke tri od njih pripadaju pravcu iz 
$P(V)$. Po\v{s}to je pravac u $P(V)$ dvodimenzionalni potprostor od $V$,
slijedi da su vektori koji razapinju te to\v{c}ke linearno zavisni. Do\v{s}%
li smo do kontradikcije, jer su bilo koja tri vektora iz skupa $\left\{
e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}+e_{2}+e_{3}\right\} $ linearno nezavisna. Time smo
dokazali tvrdnju.
\end{enumerate}
\end{proof}

Neka je $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $ baza $n+1$-dimenzionalnog
lijevog vektorskog prostora $V$ nad tijelom $K$, a $\left\{ f_{1}^{^{\prime
}},\ldots ,f_{n+1}^{^{\prime }}\right\} $ baza za $V^{\prime }$ dualna bazi $%
\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $.

To\v{c}ke u $P(V)$ su jednodimenzionalni potprostori od $V$, pa ako je $M$
neka od tih to\v{c}aka, tada postoji vektor $m\neq 0$, $m=\left(
m_{1},\ldots ,m_{n+1}\right) \in V$, tako da vrijedi 
\begin{equation*}
M=\left\langle m\right\rangle =\langle \left( m_{1},\ldots ,m_{n+1}\right)
\rangle =\left\{ k\left( m_{1},\ldots ,m_{n+1}\right) \text{; }k\in
K\right\} .
\end{equation*}

Hiperravnine u $P(V)$ su $n$-dimenzionalni potprostori od $V$, pa ako je $U$
neka od tih hiperravnina, slijedi da je $U^{a_{V}}$ to\v{c}ka u $P(V^{\prime
})$, pa postoji vektor $u^{\prime }\neq 0$, $u^{\prime }=\left( u_{1},\ldots
,u_{n+1}\right) ^{\prime }\in V^{\prime }$, tako da vrijedi 
\begin{equation*}
U^{a_{V}}=\langle u^{\prime }\rangle =\langle \left( u_{1},\ldots
,u_{n+1}\right) ^{\prime }\rangle =\left\{ \left( u_{1},\ldots
,u_{n+1}\right) ^{\prime }l\text{ ; }l\in K\right\} .
\end{equation*}%
Dakle, hiperravnini $U$ (koja je $g-$dimenzije $n-1$) jednozna\v{c}no je
pridru\v{z}ena to\v{c}ka $\langle u^{\prime }\rangle =U^{a_{v}}$ i to nam
omogu\'{c}uje pripadanje to\v{c}ke $M=\langle m\rangle $ hiperravnini $U$
izraziti sa $mu^{\prime }=0$ (\v{s}to je jako prihvatljivo i elegantno).

Gore navedeno je koordinatizacija to\v{c}aka i hiperravnina u $P(V)$, a
pripadne prikaze zovemo \textbf{homogenim koordinatama}.

Ako je $P(V)$ projektivna ravnina, na pokazani na\v{c}in mo\v{z}emo
koordinatizirati cijelu ravninu (kako u projektivnoj ravnini $P(V)$ postoje
samo to\v{c}ke i hiperravnine, \v{s}to omogu\v{c}uje prikaz to\v{c}aka i
pravaca iz $P(V)$ u homogenim koordinatama).

\begin{lemma}
\label{broj}U projektivnoj geometriji $P_{n}\left( q\right) $ vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] Svaka hiperravnina incidentna je s to\v{c}no $\frac{q^{n}-1}{q-1}$
to\v{c}aka.

\item[b)] Svaka to\v{c}ka incidentna je s to\v{c}no $\frac{q^{n}-1}{q-1}$
hiperravnina.

\item[c)] Postoji to\v{c}no $\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$ to\v{c}aka incidentnih s
dvije razli\v{c}ite hiperravnine.

\item[d)] Postoji to\v{c}no $\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$ hiperravnina incidentnih
s dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke.

\item[e)] Postoji to\v{c}no $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ to\v{c}aka, i to\v{c}no $%
\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ hiperravnina u $P_{n}\left( q\right) $.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
Projektivna geometrija $P_{n}(q)=P\left( V\right) \ $je skup svih
potprostora $\left( n+1\right) $-dimenzionalnog vektorskog prostora $%
V=F_{q^{n+1}}$ nad poljem $K=F_{q}$.

\begin{enumerate}
\item[a)] Neka je $U$ hiperravnina u $P\left( V\right) $. Tada je $U$ $n$%
-dimenzionalni vektorski potprostor od $V$ nad poljem $F_{q}$. Odaberemo li
bazu $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n}\right\} $ za $U$, tada su to\v{c}ke iz $U$
oblika $\langle x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}\rangle $, gdje su $x_{i}$
takvi elementi polja $F_{q}$ koji nisu svi jednaki nuli. Ure\dj enih $n$%
-torki $(x_{1},\ldots ,x_{n})\neq \left( 0,\ldots ,0\right) $ elemenata iz $%
F_{q}$ ima ukupno $q^{n}-1$. Po\v{s}to po $q-1$ njih odre\dj uju istu to\v{c}%
ku na hiperravnini $U$, jer je $\langle x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}\rangle
=\left\{ kx_{1}e_{1}+\cdots +kx_{n}e_{n};k\in F_{q}\right\} $, slijedi da ta
hiperravnina ima to\v{c}no $\frac{q^{n}-1}{q-1}$ to\v{c}aka.

\item[b)] Ako je $A$ neka to\v{c}ka iz projektivne geometrije $P(V)$, tada
prema Teoremu \ref{pomoc}, slijedi da je $A$ incidentna s hiperravninom $%
U\in P(V)$ ako i samo ako je to\v{c}ka $U^{a_{V}}\in P(V^{\prime })$
incidentna s hiperravninom $\allowbreak A^{a_{V}}\in P(V^{\prime })$. Dakle,
broj hiperravnina iz $P(V)$ incidentnih s to\v{c}kom $A$ jednak je broju to%
\v{c}aka iz $P(V^{\prime })$ incidentnih s hiperravninom $A^{a_{V}}\in
P(V^{\prime })$. Budu\'{c}i da se sli\v{c}no dokazu tvrdnje a), poka\v{z}e
da ta tvrdnja vrijedi i u dualnoj projektivnoj geometriji $P(V^{\prime })$
geometrije $P(V)$, slijedi da je tra\v{z}eni broj $\frac{q^{n}-1}{q-1}$.

\item[c)] Ako su $U$ i $W$ dvije razli\v{c}ite hiperravnine u $P(V)$, tada
su $U$ i $W$ $n$-dimenzionalni vektorski prostori od $V$ nad $K$. Sve to\v{c}%
ke koje pripadaju objema hiperravninama su jednodimenzionalni potprostori od 
$U\cap W$ i samo oni. Budu\'{c}i da je $U\neq W$, iz Grassmanove formule za
dimenziju sume i presjeka dva potprostora nekog kona\v{c}nodimenzionalnog
vektorskog prostora, slijedi da je $U\cap W$ $n-1$ dimenzionalni potprostor
od $V$, a tada se sli\v{c}no dokazu tvrdnje a) poka\v{z}e da postoji to\v{c}%
no $\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$ to\v{c}aka incidentnih s $U\cap W\in P(V)$, a
time i s hiperravninama $U$ i $W$.

\item[d)] Kori\v{s}tenjem anihilatorskog preslikavanja $a_{V}$ poka\v{z}e se
da je ukupan broj hiperravnina iz $P(V)$ incidentnih sa razli\v{c}itim to%
\v{c}kama $A$, $B\in P(V)$ jednak ukupnom broju to\v{c}aka iz $P(V^{\prime
}) $ incidentnih sa razli\v{c}itim hiperavninama $A^{a_{V}}$, $B^{a_{V}}\in
P(V^{\prime })$. Budu\'{c}i da se sli\v{c}no dokazu tvrdnje c), poka\v{z}e
da ta tvrdnja vrijedi i u dualnoj projektivnoj geometriji $P(V^{\prime })$
geometrije $P(V)$, slijedi da je tra\v{z}eni broj $\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$.

\item[e)] Ako je $\left\{ f_{1},\ldots ,f_{n+1}\right\} $ baza za $V$, tada
su to\v{c}ke iz $P(V)$ oblika 
\begin{equation*}
\langle x_{1}f_{1}+\cdots +x_{n+1}f_{n+1}\rangle ,
\end{equation*}%
gdje su $x_{i}$ takvi elementi polja $F_{q}$ koji nisu svi jednaki nuli. Ure%
\dj enih $\left( n+1\right) $-torki $(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\neq \left(
0,\ldots ,0\right) $ elemenata iz $F_{q}$ ima ukupno $q^{n+1}-1$. Po\v{s}to
po $q-1$ njih odre\dj uju istu to\v{c}ku u $P(V)$, jer je 
\begin{equation*}
\langle x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n+1}e_{n+1}\rangle =\left\{ kx_{1}e_{1}+\cdots
+kx_{n+1}e_{n+1};k\in F_{q}\right\} ,
\end{equation*}%
tada u toj projektivnoj geometriji postoji to\v{c}no $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$
to\v{c}aka.

Na sli\v{c}an na\v{c}in poka\v{z}e se da je $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ ukupan
broj to\v{c}aka u dualnoj projektivnoj geometriji $P(V^{\prime })$
geometrije $P(V)$. Kako smo to\v{c}ke iz $P(V^{\prime })$ identificirali sa
hiperravninama u $P(V)$, slijedi da je $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ ukupan broj
hiperravnina u $P\left( V\right) $.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{brojcic}Projektivna ravnina $P_{2}(q)$ ima ukupno $q^{2}+q+1$ to\v{c}%
aka i isto toliko pravaca. Svaki pravac iz $P_{2}(q)$ incidentan je sa to%
\v{c}no $q+1$ to\v{c}aka te projektivne ravnine, a svaka to\v{c}ka iz $%
P_{2}(q)$ incidentna je s to\v{c}no $q+1$ pravaca u $P_{2}(q)$.
\end{corollary}

\begin{definition}
Neka je $P(V)$ $n$-dimenzionalna projektivna geometrija. \textbf{Frame} za $%
P(V)$ je skup od $n+2$ takve to\v{c}ke iz $P(V)$ da bilo kojih $n+1$ ne
pripada istoj hiperravnini.
\end{definition}

Prema prethodnoj definiciji, frame za projektivni pravac \v{c}ine bilo koje
tri razli\v{c}ite to\v{c}ke tog projektivnog pravca, dok frame u
projektivnoj ravnini \v{c}ine takve \v{c}etiri to\v{c}ke da bilo koje tri
nisu kolinearne. U slijede\'{c}oj lemi, dokazat \'{c}emo egzistenciju frama
u svakoj projektivnoj geometriji $P(V)$.

\begin{lemma}
\label{baza}Neka je $V$ $n+1$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$. Ako je $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $ baza za $V$,
tada je skup $E_{1},\ldots ,E_{n+2},$ takav da $E_{i}=\left\langle
e_{i}\right\rangle $, $\forall i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} $ i $%
E_{n+2}=\langle e_{1}+\cdots +e_{n+1}\rangle ,$ frame za $P(V)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Pretpostavimo suprotno, tj. da u skupu $E_{1},\ldots ,E_{n+2}$ postoji
podskup koji se sastoji od $n+1$ to\v{c}aka, a pripada nekoj hiperravnini u $%
P(V)$. Po\v{s}to je hiperravnina $n$- dimenzionalni potprostor od $V$,
slijedi da su $n+1$ vektora iz skupa $\left\{ e_{1},\ldots
,e_{n+1},e_{1}+\cdots +e_{n+1}\right\} $, koji generiraju to\v{c}ke iz
spomenutog podskupa, linearno zavisni, \v{s}to je u kontradikciji s \v{c}%
injenicom da je bilo koji podskup od $n+1$ vektora iz skupa $\left\{
e_{1},\ldots ,e_{n+1},e_{1}+\cdots +e_{n+1}\right\} $, linearno nezavisan.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{frame}Neka je $V$ $n+1$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$. Ako je $E_{1},\ldots ,E_{n+2}$ frame za $P(V)$, tada postoji
takva baza $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $ za $V$ da vrijedi $%
E_{i}=\left\langle e_{i}\right\rangle $, $\forall i\in \left\{ 1,\ldots
,n+1\right\} $ i $E_{n+2}=\left\langle e_{1}+\cdots +e_{n+1}\right\rangle $.
\end{lemma}

\begin{proof}
Ozna\v{c}imo sa $f_{i}$ vektore iz $V$\ koji razapinju to\v{c}ke $E_{i}$,
tj. vrijedi $E_{i}=\left\langle f_{i}\right\rangle $, $\forall i\in \left\{
1,\ldots ,n+1\right\} $. Poka\v{z}imo da ti vektori \v{c}ine bazu za $V$.
Pretpostavimo suprotno tj. da su linearno zavisni. U tom slu\v{c}aju
razapinju potprostor od $V$ \v{c}ija je dimenzija manja od $n+1$, pa to\v{c}%
ke koje ti vektori odre\dj uju pripadaju nekoj hiperavnini, \v{s}to je u
suprotnosti sa \v{c}injenicom da je $E_{1}$,$\ldots $, $E_{n+2}$ frame za $%
P(V)$. Time smo dokazali tvrdnju.

Po\v{s}to je $\left\{ f_{1},\ldots ,f_{n+1}\right\} $ baza za $V$, tada je $%
E_{n+2}=\langle \sum_{i=1}^{n+1}x_{i}f_{i}\rangle ,$ $x_{i}\in K$. Poka\v{z}%
imo da su $x_{i}\neq 0$, $\forall i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} $.
Pretpostavimo li suprotno tj. da je neki od njih jednak nuli, tada $E_{n+2}$
pripada potprostoru od $V$ razapetom s $n$ vektora $f_{i}$, pa slijedi da $%
n+1$ to\v{c}aka iz frama pripada hiperravnini u $P(V)$, \v{s}to je u
suprotnosti sa definicijom frama. Time smo dokazali tvrdnju.

I naposlijetku, definirajmo $e_{i}=x_{i}f_{i}$ ,$\forall i\in \left\{
1,\ldots ,n+1\right\} $. Po\v{s}to su $x_{i}\neq 0,$ slijedi da je $\left\{
e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $ baza za $V$, $E_{n+2}=\langle
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}f_{i}\rangle =\left\langle e_{1}+\cdots
+e_{n+1}\right\rangle $, te $\forall i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} $
vrijedi $E_{i}=\left\langle f_{i}\right\rangle =\left\langle
x_{i}^{-1}e_{i}\right\rangle =\left\langle e_{i}\right\rangle $ $.$
\end{proof}

\begin{definition}
\textbf{Ravninskom figurom} nazivamo bilo koji podskup to\v{c}aka i pravaca
neke projektivne ravnine.
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Obi\v{c}ni }$\mathbf{n}$\textbf{-terovrh} , ili skra\'{c}eno $%
\mathbf{n}$\textbf{-terovrh} projektivne ravnine je ravninska figura koja se
sastoji od $n$ to\v{c}aka u cikli\v{c}kom redoslijedu, od kojih bilo koje
tri susjedne nisu kolinearne i od $n$ spojnica parova susjednih to\v{c}aka.
Spomenute to\v{c}ke zovemo \textbf{vrhovima}, a spojnice \textbf{stranicama}
obi\v{c}nog $n$-terovrha.
\end{definition}

\begin{definition}
\textbf{Potpuni \v{c}etverovrh} projektivne ravnine je ravninska figura koja
se sastoji od \v{c}etiri to\v{c}ke tako da bilo koje tri nisu kolinearne i
svih \v{s}est spojnica parova susjednih to\v{c}aka.
\end{definition}

Spomenute to\v{c}ke zovemo \textbf{vrhovima}, a spojnice \textbf{stranicama}
potpunog \v{c}etverovrha. Dvije stranice potpunog \v{c}etverovrha koje ne
prolaze istim vrhom nazivamo \textbf{suprotnim} \textbf{stranicama}. Sjeci%
\v{s}ta parova suprotnih stranica zovemo \textbf{dijagonalne to\v{c}ke}, a
spojnice dijagonalnih to\v{c}aka nazivamo \textbf{dijagonalnim stranicama}
potpunog \v{c}etverovrha.

\begin{theorem}
Dijagonalne to\v{c}ke potpunog \v{c}etverovrha projektivne ravnine $P_{2}(q)$
su kolinearne ako i samo ako postoji $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ tako da vrijedi $q=2^{n}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Ozna\v{c}imo $P_{2}\left( q\right) =P\left( V\right) $, gdje je $V$
trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K=F_{q}$, odnosno $%
V=F_{q^{3}} $. Neka je $E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}$ potpuni \v{c}etverovrh
projektivne ravnine $P\left( V\right) $. Tada bilo koja tri pripadna vrha
nisu kolinearna, odnosno $E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}$ je frame za $P\left(
V\right) $. Prema Lemi \ref{frame}, postoji takva baza $\left\{
e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ za $V$ da vrijedi $E_{i}=\left\langle
e_{i}\right\rangle $, $\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} $ i $%
E_{4}=\left\langle e_{1}+e_{2}+e_{3}\right\rangle $, odnosno $%
E_{1}=\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle $, $E_{2}=\left\langle
\left( 0,1,0\right) \right\rangle $, $E_{3}=\left\langle \left( 0,0,1\right)
\right\rangle $ i $E_{4}=\left\langle \left( 1,1,1\right) \right\rangle $.
Presje\v{c}emo li parove suprotnih stranica tog potpunog \v{c}etverovrha
dobit \'{c}emo da su dijagonalne to\v{c}ke $\left\langle \left( 1,1,0\right)
\right\rangle $, $\left\langle \left( 1,0,1\right) \right\rangle $ i $%
\left\langle \left( 0,1,1\right) \right\rangle $. Na\dj imo npr. to\v{c}ku $%
\langle (x_{1},x_{2},x_{3})\rangle =\left( E_{1}+E_{2}\right) \cap \left(
E_{3}+E_{4}\right) $. Ozna\v{c}imo $E_{1}+E_{2}=\langle
(a_{1},a_{2},a_{3})^{\prime }\rangle $. Prema Lemi \ref{prrav}, takav pravac
postoji i jedinstven je. To\v{c}ka $\left\langle \left( 1,0,0\right)
\right\rangle $ je incidentna sa hiperravninom $\langle
(a_{1},a_{2},a_{3})^{\prime }\rangle $ ako i samo ako je $a_{1}=0$. Tako\dj %
er, iz $\left\langle \left( 0,1,0\right) \right\rangle \in \langle
(0,a_{2},a_{3})^{\prime }\rangle $ slijedi $a_{2}=0$. Dakle, $%
E_{1}+E_{2}=\langle (0,0,a_{3})^{\prime }\rangle $, pa je $a_{3}\neq 0$,
odnosno $E_{1}+E_{2}=\left\langle \left( 0,0,a_{3}\right) ^{\prime
}\right\rangle =a_{3}^{-1}\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle $. Na sli\v{c}an
na\v{c}in dobijemo $E_{3}+E_{4}=\langle (1,-1,0)^{\prime }\rangle $, pa je%
\begin{equation*}
\ \langle (x_{1},x_{2},x_{3})\rangle =\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle \cap
\langle (1,-1,0)^{\prime }\rangle .
\end{equation*}%
Po\v{s}to je $\langle (x_{1},x_{2},x_{3})\rangle \in \langle (0,0,1)^{\prime
}\rangle $, tada je $x_{3}=0$, dok iz $\langle (x_{1},x_{2},0)\rangle \in
\langle (1,-1,0)^{\prime }\rangle $ slijedi $x_{1}=x_{2}$. Dakle, $\langle
(x_{1},x_{2},x_{3})\rangle =\langle (x_{1},x_{1},0)\rangle $, pa je $%
x_{1}\neq 0$, odnosno%
\begin{equation*}
\langle (x_{1},x_{2},x_{3})\rangle =\langle (x_{1},x_{1},0)\rangle
=x_{1}^{-1}\langle (1,1,0)\rangle .
\end{equation*}%
Sli\v{c}nim na\v{c}inom dobiju se i preostale dvije dijagonalne to\v{c}ke.
Pravac koji sadr\v{z}i dijagonalne to\v{c}ke $\left\langle \left(
1,1,0\right) \right\rangle $ i $\left\langle \left( 1,0,1\right)
\right\rangle $ je $\langle (-1,1,1)^{\prime }\rangle $. Dakle, dijagonalne
to\v{c}ke potpunog \v{c}etverovrha su kolinearne $\Leftrightarrow
\left\langle \left( 0,1,1\right) \right\rangle \in \langle (-1,1,1)^{\prime
}\rangle \Leftrightarrow 2\cdot 1=0\Leftrightarrow $ karakteristika polja $%
K=F_{q}$ je $2$ (vidjeti Lemu \ref{karak}) $\Leftrightarrow $ postoji $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ tako da vrijedi $q=2^{n}$.
\end{proof}

Parovima \textbf{suprotnih} \textbf{stranica} obi\v{c}nog \v{s}esterovrha $%
P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}$ projektivne ravnine nazivamo parove stranica 
$P_{1}P_{2}$ i $P_{4}P_{5}$, $P_{2}P_{3}$ i $P_{5}P_{6}$, $P_{3}P_{4}$ i $%
P_{6}P_{1}$.

\begin{theorem}
\textbf{(Pappusov teorem) }Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor
nad tijelom $K$. $K$ je polje ako i samo ako za svaki obi\v{c}ni \v{s}%
esterovrh u projektivnoj ravnini $P(V)$ kojemu vrhovi naizmjenice le\v{z}e
na dva razli\v{c}ita pravca, vrijedi da su mu sjeci\v{s}ta parova suprotnih
stranica kolinearne to\v{c}ke.
\end{theorem}

\begin{proof}
Uzmimo bilo koji frame $P_{1},P_{5},P_{4},P_{2}$ u $P(V)$. Odaberemo li bazu
za $V$ koja taj frame odre\dj uje, dobijemo da su $P_{1}=\left\langle \left(
1,0,0\right) \right\rangle $, $P_{5}=\left\langle \left( 0,1,0\right)
\right\rangle $, $P_{4}=\left\langle \left( 0,0,1\right) \right\rangle $ i $%
P_{2}=\left\langle \left( 1,1,1\right) \right\rangle $. O\v{c}ito su pravci $%
P_{1}+P_{5}$, $P_{2}+P_{4}$ razli\v{c}iti pravci projektivne ravnine $P(V)$,
koje \'{c}emo ozna\v{c}iti redom sa $k$ i $m$. Ako je $P_{3}$ proizvoljna to%
\v{c}ka pravca $k$, razli\v{c}ita od $P_{1}$ i $P_{5}$, tada ona ima
jedinstven prikaz oblika $\left\langle \left( x,1,0\right) \right\rangle $, $%
x\in K^{\ast }$. To dobijemo tako da prvo na\dj emo koordinate pravca $k$, a
po\v{s}to 
\begin{equation*}
k=\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle +\left\langle \left(
0,1,0\right) \right\rangle ,
\end{equation*}%
slijedi da je $k=$ $\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle $. To\v{c}ka $%
\left\langle \left( a,b,c\right) \right\rangle \in P(V)$ je na pravcu $k$
ako i samo ako $c=0$. Ako je $\left\langle \left( a,b,0\right) \right\rangle 
$ razli\v{c}ita od $P_{1}$ i $P_{5}$, tada su $a,b\in K^{\ast }$, pa je 
\begin{equation*}
\left\langle \left( a,b,0\right) \right\rangle =b\left\langle \left(
b^{-1}a,1,0\right) \right\rangle =\left\langle \left( b^{-1}a,1,0\right)
\right\rangle .
\end{equation*}%
\FRAME{fhF}{3.3382in}{1.5947in}{0pt}{}{}{copy of slika1a.dxf}{\special%
{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file
"F";width 3.3382in;height 1.5947in;depth 0pt;original-width
5.0021in;original-height 3.4653in;cropleft "0";croptop "1";cropright
"1";cropbottom "0";filename '../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/Copy of
slika1a.dxf';file-properties "XNPEU";}} Na sli\v{c}an na\v{c}in dobijemo da
proizvoljna to\v{c}ka $P_{6}$ pravca $m$, razli\v{c}ita od $P_{2}$ i $P_{4}$
ima jedinstven prikaz oblika $\left\langle \left( 1,1,y\right) \right\rangle 
$, $y\in K$, $y\neq 1$. Poka\v{z}e se da su to\v{c}ke $A=\left(
P_{1}+P_{2}\right) \cap \left( P_{4}+P_{5}\right) $, $B=\left(
P_{2}+P_{3}\right) \cap \left( P_{5}+P_{6}\right) $ i $C=\left(
P_{3}+P_{4}\right) \cap \left( P_{6}+P_{1}\right) $, redom oblika $%
\left\langle \left( 0,1,1\right) \right\rangle $, $\left\langle \left(
1,x^{-1}+y\left( 1-x^{-1}\right) ,y\right) \right\rangle $ i $\left\langle
\left( x,1,y\right) \right\rangle $ (vidjeti Sliku 2.1). To\v{c}ka $B$ je na
pravcu $A+C=\langle (x^{-1}\left( 1-y\right) ,-1,1)^{\prime }\rangle $ ako i
samo ako $x^{-1}y=yx^{-1\text{ }}$.

Doka\v{z}imo dovoljnost. Neka za svaki obi\v{c}ni \v{s}esterovrh u
projektivnoj ravnini $P(V)$ kojemu vrhovi naizmjenice le\v{z}e na dva razli%
\v{c}ita pravca, vrijedi da su mu sjeci\v{s}ta parova suprotnih stranica
kolinearne to\v{c}ke. Iz prethodnog razmatranja slijedi da za svaki izbor $x$%
, $y\in K$, gdje je $x\neq 0$, $y\neq 1$ i $(x,y)\neq (1,0)$, to\v{c}ke $%
P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},P_{6}$ formiraju obi\v{c}ni \v{s}esterovrh
projektivne ravnine $P(V)$ kojemu stranice naizmjenice le\v{z}e na razli\v{c}%
itim pravcima $k$ i $m$, a tada%
\begin{equation}
x^{-1}y=yx^{-1}\text{, }\forall x\neq 0\text{, }y\neq 1\text{ i }(x,y)\neq
(1,0).  \tag*{(1)}  \label{bla}
\end{equation}%
Iz \ref{bla} slijedi $xy=yx$, $\forall x\neq 0$, $y\neq 1$ i $(x,y)\neq
(1,0) $ i o\v{c}ito je mno\v{z}enje u $K$ komutativno, odnosno tijelo $K$ je
polje.

Doka\v{z}imo nu\v{z}nost. Ako je $K$ polje i $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}$
obi\v{c}ni \v{s}esterovrh u $P(V)$, o\v{c}ito je skup $%
\{P_{1},P_{5},P_{4},P_{2}\}$ frame za $P(V)$, a tada iz po\v{c}etnog
razmatranja zaklju\v{c}ujemo da su sjeci\v{s}ta parova suprotnih stranica
tog \v{s}esterovrha, kolinearne to\v{c}ke.
\end{proof}

\begin{theorem}
\textbf{(Desarguesov teorem) }Neka je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski
prostor nad tijelom $K$, a $A_{1}B_{1}C_{1}$ i $A_{2}B_{2}C_{2}$ takva dva
trovrha u projektivnoj ravnini $P(V)$, da su svi navedeni vrhovi razli\v{c}%
iti. Pravci $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ i $C_{1}C_{2}$ su konkurentni u $P(V)$
ako i samo ako su to\v{c}ke $A_{1}B_{1}\cap A_{2}B_{2}$, $B_{1}C_{1}\cap
B_{2}C_{2}$ i $C_{1}A_{1}\cap C_{2}A_{2}$ kolinearne u $P(V)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka su pravci $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ i $C_{1}C_{2}$ incidentni sa to%
\v{c}kom $S\in P(V)$. Poka\v{z}imo da su tada to\v{c}ke $L:=A_{1}B_{1}\cap
A_{2}B_{2}$, $M:=B_{1}C_{1}\cap B_{2}C_{2}$ i $N:=C_{1}A_{1}\cap C_{2}A_{2}$
kolinearne (vidjeti Sliku 2.2.). Izaberimo netrivijalne vektore iz $V$ koji
razapinju jednodimenzionalne potprostore $S$, $A_{1}$, $A_{2}$, $B_{1}$, $%
B_{2}$, $C_{1}$ i $C_{2}$, tj. neka vrijedi $S=\langle s\rangle $, $%
A_{1}=\langle a_{1}\rangle $, $A_{2}=\langle a_{2}\rangle $, $B_{1}=\langle
b_{1}\rangle $, $B_{2}=\langle b_{2}\rangle $, $C_{1}=\langle c_{1}\rangle $
i $C_{2}=\langle c_{2}\rangle $. Po\v{s}to su svi vrhovi trovrha $%
A_{1}B_{1}C_{1}$ i $A_{2}B_{2}C_{2}$ me\dj usobno razli\v{c}iti, tada su
bilo koja dva od navedenih netrivijalnih vektora, koji razapinju te vrhove,
linearno nezavisna.\FRAME{fhF}{3.218in}{2.2131in}{0pt}{}{}{slika2.dxf}{%
\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display
"USEDEF";valid_file "F";width 3.218in;height 2.2131in;depth
0pt;original-width 5.0021in;original-height 4.5212in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/slika2.dxf';file-properties "XNPEU";}%
} Iz \v{c}injenice da su pravci $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ i $C_{1}C_{2}$
incidentni sa to\v{c}kom $S$, slijedi da se vektor $s$ mo\v{z}e napisati kao
linearna kombinacija vektora koji razapinju te dvodimenzionalne vektorske
prostore, tj. vrijedi $\ s=\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}$, $s=\beta
_{1}b_{1}+\beta _{2}b_{2}$ i $s=\gamma _{1}c_{1}+\gamma _{2}c_{2}$, gdje su $%
\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\beta _{1}$, $\beta _{2}$, $\gamma _{1}$, $%
\gamma _{2}\in K$. Oduzmemo li od prve jednakosti drugu dobijemo $\alpha
_{1}a_{1}-\beta _{1}b_{1}=\beta _{2}b_{2}-\alpha _{2}a_{2}$, a na sli\v{c}an
na\v{c}in dobije se i $\beta _{1}b_{1}-\gamma _{1}c_{1}=\gamma
_{2}c_{2}-\beta _{2}b_{2}$, te $\gamma _{1}c_{1}-\alpha _{1}a_{1}=\alpha
_{2}a_{2}-\gamma _{2}c_{2}$. Iz prethodnog, slijedi da vektor $l:=\alpha
_{1}a_{1}-\beta _{1}b_{1}$ pripada ne samo dvodimenzionalnom prostoru,
odnosno pravcu $A_{1}B_{1}$ ve\'{c} i pravcu $A_{2}B_{2}$, pa zbog $\alpha
_{1}a_{1}-\beta _{1}b_{1}\neq 0$, vrijedi $L=\langle l\rangle $. \v{C}%
injenicu da je $l$ razli\v{c}it od nulvektora dokazujemo kontradikcijom. Ako
vrijedi $\alpha _{1}a_{1}-\beta _{1}b_{1}=0$, tada je $\beta
_{2}b_{2}-\alpha _{2}a_{2}=0$, a zbog linearne nezavisnosti vektora $a_{1}$
i $b_{1}$, te $a_{2}$ i $b_{2}$ slijedi da su svi koeficijenti $\alpha _{1}$%
, $\alpha _{2}$, $\beta _{1}$, $\beta _{2}$ jednaki $0$, a tada $S=\langle
s\rangle =\langle \alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}\rangle $ nije to\v{c}ka
u $P(V)$, \v{s}to je u suprotnosti s po\v{c}etnom pretpostavkom. Na sli\v{c}%
an na\v{c}in zaklju\v{c}ujemo da su vektori $m:=\beta _{1}b_{1}-\gamma
_{1}c_{1}$ i $n:=\gamma _{1}c_{1}-\alpha _{1}a_{1}$ razli\v{c}iti od
nulvektora, te da vrijedi $M=\langle m\rangle $ i $N=\langle n\rangle $. Iz $%
(\alpha _{1}a_{1}-\beta _{1}b_{1})+(\beta _{1}b_{1}-\gamma
_{1}c_{1})+(\gamma _{1}c_{1}-\alpha _{1}a_{1})=0$, slijedi da su vektori $l$%
, $m$ i $n$ linearno zavisni, a tada su to\v{c}ke $L$, $M$ i $N$ kolinearne.

Obrat teorema dokazujemo na sli\v{c}an na\v{c}in.
\end{proof}

Neka je $V$ dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$.
Koordinatizirat \'{c}emo to\v{c}ke projektivnog pravca $P(V)$. Neka je $%
E_{1} $, $E_{2}$, $E_{3}$ frame za $P(V)$, a $\left\{ e_{1},e_{2}\right\} $
baza za $V$ koja odre\dj uje taj frame, tj. vrijedi $E_{1}=\left\langle
e_{1}\right\rangle $, $E_{2}=\left\langle e_{2}\right\rangle $, $%
E_{3}=\left\langle e_{1}+e_{2}\right\rangle $.

To\v{c}ke iz $P(V)$ su ili $E_{1}$ ili su oblika $\left\langle
xe_{1}+e_{2}\right\rangle $, $x\in K$. To slijedi iz \v{c}injenice da su to%
\v{c}ke projektivnog pravca $P(V)$ koje su razli\v{c}ite od $E_{1}$, oblika $%
\left\langle ae_{1}+be_{2}\right\rangle $, gdje su $a,b\in K$, $b\neq 0$, a
tada $\left\langle ae_{1}+be_{2}\right\rangle =b\left\langle
b^{-1}ae_{1}+e_{2}\right\rangle =\left\langle
b^{-1}ae_{1}+e_{2}\right\rangle $. Dakle, svaka to\v{c}ka iz $P(V)$ razli%
\v{c}ita od $E_{1}$\ na jedinistven na\v{c}in se mo\v{z}e zapisati u obliku $%
\left\langle xe_{1}+e_{2}\right\rangle $.

To\v{c}ki $E_{1}$ pridru\v{z}imo koordinatu $\infty $, dok to\v{c}kama
oblika $\left\langle xe_{1}+e_{2}\right\rangle $ pridru\v{z}imo koordinatu $%
x\in K.$ Dobili smo bijekciju izme\dj u to\v{c}aka projektivnog pravca $P(V)$
i elemenata iz $K\cup \left\{ \infty \right\} .$Ovakve koordinate to\v{c}aka
projektivnog pravca $P(V)$ zovemo \textbf{parametarskim koordinatama}.
Pokazat \'{c}emo da navedena koordinatizacija ne ovisi o izboru baze koja
odre\dj uje frame, ve\'{c} samo o izabranom framu.

Neka je\textbf{\ }$\left\{ f_{1},f_{2}\right\} $ takva baza za $V$ da
vrijedi $E_{1}=\left\langle f_{1}\right\rangle $, $E_{2}=\left\langle
f_{2}\right\rangle $, $E_{3}=\left\langle f_{1}+f_{2}\right\rangle $. Tada
postoji $c\in K^{\ast }$ takav da $e_{i}=cf_{i},$ $\forall $ $i\in \left\{
1,2\right\} $ i vrijedi%
\begin{equation*}
\left\langle xe_{1}+e_{2}\right\rangle =\left\langle
xcf_{1}+cf_{2}\right\rangle =c\langle c^{-1}xcf_{1}+f_{2}\rangle
=\left\langle xf_{1}+f_{2}\right\rangle \text{.}
\end{equation*}%
Time smo dokazali tvrdnju.

\subsection{Fundamentalni teorem}

Neka su $V$ i $W$ kona\v{c}nodimenzionalni, lijevi ili desni vektorski
prostori nad tijelima $K$ i $L$, $\dim V=\dim W$, a $\mathbf{\alpha }$
semilinearna transformacija sa $V$ u $W$. Po\v{s}to je slika, pri djelovanju
preslikavanja $\mathbf{\alpha }$, svakog potprostora od $V$ potprostor od $W$
i budu\'{c}i da za svaka dva potprostora $M$ i $N$ vektorskog prostora $V$
vrijedi $M\subset N\Rightarrow M^{\mathbf{\alpha }}\subset N^{\mathbf{\alpha 
}}$, definiramo li $M^{\alpha }:=M^{\mathbf{\alpha }}$, $\forall M\in P(V)$,
slijedi da semilinearna transformacija $\mathbf{\alpha }$ inducira
homomorfizam $\alpha $ sa $P(V)$ u $P(W)$. Ako je $\mathbf{\alpha }$
bijekcija, onda je $\alpha $ tako\dj er bijekcija i vrijedi 
\begin{equation*}
\langle v\rangle ^{\alpha }=\langle v^{\mathbf{\alpha }}\rangle \text{, }%
\forall v\in V\text{.}
\end{equation*}%
Iz toga slijedi da elementi iz $\Gamma L(V)$ induciraju kolineacije
projektivne geometrije $P(V)$. Preslikavanje koje svakom elementu iz $\Gamma
L(V)$ pridru\v{z}i kolinaciju nad $P(V)$, koju taj element inducira, je
homomorfizam sa $\Gamma L(V)$ u $AutP(V)$, kojeg zovemo\textbf{\ prirodni} 
\textbf{homomorfizam}. Podgrupu grupe $AutP(V)$ koju inducira grupa $\Gamma
L(V)$ ozna\v{c}imo sa $P\Gamma L(V)$, a sa $PGL(V)$ ozna\v{c}imo podgrupu
grupe $AutP(V)$ koju inducira grupa $GL(V)$. Ako je $K$ polje, podgrupu
grupe $AutP(V)$ koju inducira grupa $SL(V)$ ozna\v{c}imo sa $PSL(V)$.

Za dokaze koji slijede nu\v{z}no je na\v{c}initi koordinatizaciju dijela
projektivne ravnine $P(V)$.

Neka je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.
Izaberimo frame $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, $E_{4}$ za $P(V)$ i bazu $\left\{
e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ za $V$ koja ga odre\dj uje, tj. takvu bazu da
vrijedi $E_{1}=\left\langle e_{1}\right\rangle $, $E_{2}=\left\langle
e_{2}\right\rangle $, $E_{3}=\left\langle e_{3}\right\rangle $, $%
E_{4}=\left\langle e_{1}+e_{2}+e_{3}\right\rangle $.

To\v{c}ke iz $P(V)$ koje ne pripadaju pravcu $E_{1}+E_{2}$ mogu se na
jedinstven na\v{c}in napisati u obliku $\left\langle
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle $, gdje su $x$, $y$ $\in K$. To slijedi iz 
\v{c}injenice da su sve navedene to\v{c}ke oblika $\left\langle
ae_{1}+be_{2}+ce_{3}\right\rangle $, gdje $c\in K^{\ast }$. Stoga je%
\begin{equation*}
\left\langle ae_{1}+be_{2}+ce_{3}\right\rangle =c\langle
c^{-1}ae_{1}+c^{-1}be_{2}+e_{3}\rangle =\langle
c^{-1}ae_{1}+c^{-1}be_{2}+e_{3}\rangle .
\end{equation*}%
Ako to\v{c}ki $\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle $ pridru\v{z}%
imo ure\dj en par $(x,y)$ dobili smo bijekciju izme\dj u to\v{c}aka $P(V)$,
koje ne pripadaju pravcu $E_{1}+E_{2}$ i ure\dj enih parova elemenata tijela 
$K$. Time smo koordinatizirali dio ravnine $P(V)$.\FRAME{fhF}{3.5674in}{%
2.3056in}{0pt}{}{}{slika3.dxf}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 3.5674in;height
2.3056in;depth 0pt;original-width 5.0021in;original-height 2.898in;cropleft
"0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/slika3.dxf';file-properties "XNPEU";}%
}

Ako to\v{c}ku $\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle $ "projiciramo"
iz $E_{2}$ na pravac $E_{1}+E_{3}$ (vidjeti Sliku 2.3.), tj. ako presje\v{c}%
emo pravac $\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle +E_{2}$ s pravcem $%
E_{1}+E_{3}$ dobili smo to\v{c}ku $\left\langle xe_{1}+e_{3}\right\rangle $.

Ako to\v{c}ku $\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle $ "projiciramo"
iz $E_{1}$ na pravac $E_{2}+E_{3}$, tj. ako presje\v{c}emo pravac $%
\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle +E_{1}$ s pravcem $E_{2}+E_{3}$
dobili smo to\v{c}ku $\left\langle ye_{2}+e_{3}\right\rangle .$

Ostalo je pokazati kako smo do\v{s}li do to\v{c}aka $\left\langle
xe_{1}+e_{3}\right\rangle $ i $\left\langle ye_{2}+e_{3}\right\rangle $. U%
\v{c}init \'{c}emo to na primjeru prve od navedenih to\v{c}aka. Ponovno
treba napomenuti da je to\v{c}ka u $P(V)$ jednodimenzionalni, a pravac
dvodimenzionalni vektorski potprostor od $V$. Da bi na\v{s}li to\v{c}ku koja
je incidentna sa dva razli\v{c}ita pravca, treba na\'{c}i netrivijalni
vektor iz $V$ koji pripada zadanim dvodimenzionalnim potprostorima. U
konkretnom primjeru jedan je pravac razapet s vektorima $xe_{1}+ye_{2}+e_{3}$
i $e_{2}$, a drugi s $e_{1}$ i $e_{3}$. Po\v{s}to vrijedi $xe_{1}+e_{3}=$ $%
\left( xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right) -ye_{2}$, iz prethodnog razmatranja
slijedi da je to\v{c}ka $\left\langle xe_{1}+e_{3}\right\rangle $ u sjeci%
\v{s}tu pravaca $\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle +E_{2}$ i $%
E_{1}+E_{3}$.

Gore dobiveni rezultati nalikuju na koordinatizaciju Euklidske ravnine u
Kartezijevom koordinatnom sustavu. Zamislimo da je pravac $E_{1}+E_{3}$ os $%
x $, a pravac $E_{2}+E_{3}$ os $y$. Sukladno navedenoj koordinatizaciji
dijela projektivne ravnine $P(V)$, dobili smo da se "projiciranjem" to\v{c}%
ke $(x,y) $ iz $E_{2}$ na os $x$ dobije to\v{c}ka $(x,0)$, dok je to\v{c}ka $%
(0,y)$ "projekcija" to\v{c}ke $(x,y)$ iz $E_{1}$ na os $y$. Zamislimo li da
je $E_{1}$ beskona\v{c}no daleka to\v{c}ka osi $y$, a $E_{2}$ beskona\v{c}no
daleka to\v{c}ka $x-$osi, opisano projiciranje nam postaje intuitivno jasno.
U \ref{afgeom} vidjet \'{c}emo kako iz projektivne ravnine $P_{2}(%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
)$ dobiti strukturu izomorfnu Euklidskoj ravnini, gdje \'{c}e sve ovdje
navedeno dobiti potpun smisao.

Koriste\'{c}i prethodno pokazanu koordinatizaciju dijela projektivne ravnine 
$P(V)$ prona\dj imo jednad\v{z}bu pravca koji sadr\v{z}i to\v{c}ke $%
\left\langle me_{2}+e_{1}\right\rangle $ i $\left\langle
be_{2}+e_{3}\right\rangle $.

\begin{lemma}
\label{lema}Neka je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$, te $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ baza za $V$. To\v{c}ka $%
\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle \in P(V)$ pripada pravcu $%
\left\langle me_{2}+e_{1}\right\rangle +\left\langle
be_{2}+e_{3}\right\rangle $ ako i samo ako vrijedi $y=xm+b$.
\end{lemma}

\begin{proof}
\fbox{$\Leftarrow :$} Neka za to\v{c}ku $\left\langle
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle \in P(V)$ vrijedi $y=xm+b$. Tada ona
pripada navedenom pravcu, jer je 
\begin{equation*}
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}=xe_{1}+\left( xm+b\right) e_{2}+e_{3}=x\left(
me_{2}+e_{1}\right) +be_{2}+e_{3},
\end{equation*}%
tj. vektor $xe_{1}+ye_{2}+e_{3}$ se mo\v{z}e napisati kao linearna
kombinacija vektora $me_{2}+e_{1}$ i $be_{2}+e_{3}$ koji taj pravac
razapinju.

\fbox{$\Rightarrow :$} Ako to\v{c}ka $\left\langle
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle $ pripada pravcu $\left\langle
me_{2}+e_{1}\right\rangle +\left\langle be_{2}+e_{3}\right\rangle $ tada je $%
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}=k\left( me_{2}+e_{1}\right) +l\left( be_{2}+e_{3}\right) 
$, pa vrijedi 
\begin{equation*}
k=x\text{, }l=1\text{ i }y=km+lb=xm+b\text{.}
\end{equation*}
\end{proof}

Ova lema \'{c}e nam biti od velike va\v{z}nosti, jer se pomo\'{c}u nje mo%
\v{z}e dati geometrijska interpretacija operacija u tijelu $K$ (vidjeti u
dokazu slijede\'{c}eg teorema).

\begin{theorem}
\label{preth}Ako je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$, a $W$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $L$%
, $\alpha $ izomorfizam sa projektivne ravnine $P(V)$ na projektivnu ravninu 
$P(W)$, tada su $K$ i $L$ izomorfna tijela, a $\alpha $ je inducirana
bijektivnom semilinearnom transformacijom sa $V$ na $W$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Izaberimo frame $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$ u $P(W)$ i bazu $\left\{
f_{1},f_{2},f_{3}\right\} $ za $W$, koja ga odre\dj uje, tj. tako da vrijedi 
$F_{1}=\left\langle f_{1}\right\rangle $, $F_{2}=\left\langle
f_{2}\right\rangle $, $F_{3}=\left\langle f_{3}\right\rangle $, $%
F_{4}=\left\langle f_{1}+f_{2}+f_{3}\right\rangle $. Prema Teoremu \ref{gdim}%
, preslikavanje $\alpha ^{-1}$ je izomorfizam sa $P(W)$ na $P(V)$, te $%
\alpha ^{-1}$ i $\alpha $ to\v{c}kama pridru\v{z}e to\v{c}ke, a pravcima
pravce. Poka\v{z}imo da to\v{c}ke $E_{i}=F_{i}^{\alpha ^{-1}}$, $i\in
\left\{ 1,\ldots ,4\right\} $ \v{c}ine frame za $P(V)$. Pretpostavimo
suprotno tj. da su neke tri od njih kolinearne. Po\v{s}to $\alpha $ \v{c}uva
relaciju incidencije, slijedi da su i slike tih to\v{c}aka, pri
preslikavanju $\alpha $, kolinearne, \v{s}to je u suprotnosti sa \v{c}%
injenicom da to\v{c}ke $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3}$, $F_{4}$ \v{c}ine frame za $%
P(W)$. Time smo tvrdnju dokazali.

Neka je $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ baza za $V$ koja odre\dj uje
frame $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, $E_{4}$, tj. tako da vrijedi $%
E_{1}=\left\langle e_{1}\right\rangle $, $E_{2}=\left\langle
e_{2}\right\rangle $, $E_{3}=\left\langle e_{3}\right\rangle $, $%
E_{4}=\left\langle e_{1}+e_{2}+e_{3}\right\rangle $.

Izomorfizam $\alpha $ na pravcima oblika $E_{i}+E_{j}$ djeluje na slijede%
\'{c}i na\v{c}in 
\begin{equation*}
\left( E_{i}+E_{j}\right) ^{\alpha }=E_{i}^{\alpha }+E_{j}^{\alpha
}=F_{i}+F_{j},\forall i,j\in \left\{ 1,\ldots ,4\right\} ,i\neq j\text{,}
\end{equation*}%
\v{s}to tako\dj er slijedi iz Teorema \ref{gdim}.

Promotrimo djelovanje izomorfizma $\alpha $ na to\v{c}kama pravca $%
E_{1}+E_{3}$ razli\v{c}itim od to\v{c}ke $E_{1}$. Zbog bijektivnosti od $%
\alpha $, njihove slike su to\v{c}ke pravca $F_{1}+F_{3}$ razli\v{c}ite od to%
\v{c}ke $F_{1}$. Dakle za svaki $x\in K$ postoji jedinstveni $y\in L$ tako da%
\begin{equation*}
\langle xe_{1}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=\left\langle
yf_{1}+f_{3}\right\rangle .
\end{equation*}%
Stoga, ako definiramo $x^{\phi }:=y$, dobili smo bijekciju $\phi $ sa $K$ na 
$L$ (surjektivnost se doka\v{z}e kori\v{s}tenjem izomorfizma $\alpha
^{-1}:P(W)\rightarrow P(V)$). Poka\v{z}imo da je $\phi $ tra\v{z}eni
izomorfizam tijela $K$ i $L$.

Prvo \'{c}emo, pomo\'{c}u bijekcije $\phi $, zapisati slike svih to\v{c}aka
iz $P(V)$ pri izomorfizmu $\alpha $.

Poka\v{z}imo da vrijedi $\langle xe_{1}+xe_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=$ $%
\langle x^{\phi }f_{1}+x^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $, $\forall x\in K$.

To\v{c}ka $\left\langle xe_{1}+xe_{2}+e_{3}\right\rangle $ je sjeci\v{s}te
pravaca $\left\langle xe_{1}+e_{3}\right\rangle +E_{2}$ i $E_{3}+E_{4}$.
Stoga je to\v{c}ka $\langle xe_{1}+xe_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }$, a prema
Teoremu \ref{gdim}, sjeci\v{s}te slika $\langle x^{\phi }f_{1}+f_{3}\rangle
+F_{2}$ i $F_{3}+F_{4}$ tih pravaca pri preslikavanju $\alpha $, a tada
vrijedi $\langle xe_{1}+xe_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=\langle x^{\phi
}f_{1}+x^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $.

Poka\v{z}imo da vrijedi $\langle ye_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=$ $\langle
y^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $, $\forall y\in K$. To\v{c}ka $\left\langle
ye_{2}+e_{3}\right\rangle $ je sjeci\v{s}te pravaca $\left\langle
ye_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle +E_{1}$ i $E_{2}+E_{3}$. Prema tome, to\v{c}%
ka $\langle ye_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }$ je sjeci\v{s}te slika $\langle
y^{\phi }f_{1}+y^{\phi }f_{1}+f_{3}\rangle +F_{1}$ i $F_{2}+F_{3}$ tih
pravaca pri preslikavanju $\alpha $, a tada vrijedi $\langle
ye_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=\langle y^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $.

Poka\v{z}imo da vrijedi $\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=$ $%
\langle x^{\phi }f_{1}+y^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $, $\forall x$, $y\in K$.
To\v{c}ka $\left\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\right\rangle $ je sjeci\v{s}te
pravaca $\left\langle xe_{1}+e_{3}\right\rangle +E_{2}$ i $\left\langle
ye_{2}+e_{3}\right\rangle +E_{1}$ (pogledati Sliku 2.3.). Tada je to\v{c}ka $%
\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }$ sjeci\v{s}te slika $\langle
x^{\phi }f_{1}+f_{3}\rangle +F_{2}$ i $\langle y^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle
+F_{1}$ tih pravaca pri preslikavanju $\alpha $, pa vrijedi $\langle
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=$ $\langle x^{\phi }f_{1}+y^{\phi
}f_{2}+f_{3}\rangle $.

Po\v{s}to je $E_{4}^{\alpha }=F_{4}$, slijedi $1_{K}^{\phi }=1_{L}$.

Doka\v{z}imo da vrijedi svojstvo $(x+b)^{\phi }=x^{\phi }+b^{\phi }$, $%
\forall x$, $b\in K$. Uzmimo proizvoljne elemente $x$, $b$ tijela $K$. To%
\v{c}ka $\langle xe_{1}+(x+b)e_{2}+e_{3}\rangle $ je sjeci\v{s}te pravaca $%
\left\langle xe_{1}+e_{3}\right\rangle +E_{2}$ i $\left\langle
e_{1}+e_{2}\right\rangle +\left\langle be_{2}+e_{3}\right\rangle $ (iz Leme %
\ref{lema}). Tada je to\v{c}ka 
\begin{equation*}
\langle xe_{1}+(x+b)e_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=\langle x^{\phi
}f_{1}+(x+b)^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle
\end{equation*}%
sjeci\v{s}te slika $\langle x^{\phi }f_{1}+f_{3}\rangle +F_{2}$ i $%
\left\langle f_{1}+f_{2}\right\rangle +\langle b^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $
spomenutih pravaca pri preslikavanju $\alpha $, odnosno $\langle x^{\phi
}f_{1}+(x+b)^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $ $=\langle x^{\phi }f_{1}+(x^{\phi
}+b^{\phi })f_{2}+f_{3}\rangle $, a to povla\v{c}i $(x+b)^{\phi }$ $=x^{\phi
}+b^{\phi }$, \v{s}to zbog proizvoljnosti elemenata $x$, $b$ tijela $K$
vrijedi $\forall x$, $b\in K$.

Da bi smo dokazali da je $\phi $ izomorfizam tijela $K$ i $L$ potrebno je jo%
\v{s} pokazati da vrijedi i svojstvo $(xm)^{\phi }=x^{\phi }m^{\phi }$, $%
\forall x$, $m\in K$. Uzmimo proizvoljne elemente $x$, $m$ tijela $K$. To%
\v{c}ka $\left\langle xe_{1}+xme_{2}+e_{3}\right\rangle $ je sjeci\v{s}te
pravaca $\left\langle xe_{1}+e_{3}\right\rangle +E_{2}$ i $\left\langle
me_{2}+e_{1}\right\rangle +E_{3}$ (iz Leme \ref{lema}). Tada je to\v{c}ka $%
\langle xe_{1}+(xm)e_{2}+e_{3}\rangle ^{\alpha }=\langle x^{\phi
}f_{1}+(xm)^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $ sjeci\v{s}te slika $\langle x^{\phi
}f_{1}+f_{3}\rangle +F_{2}$ i $\langle m^{\phi }f_{2}+f_{1}\rangle +F_{3}$
tih pravaca pri preslikavanju $\alpha $, pa $\langle x^{\phi
}f_{1}+(xm)^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle =\langle x^{\phi }f_{1}+x^{\phi
}m^{\phi }f_{2}+f_{3}\rangle $, a to povla\v{c}i $(xm)^{\phi }=x^{\phi
}m^{\phi }$, \v{s}to zbog proizvoljnosti elemenata $x$, $m$ tijela $K$
vrijedi $\forall x$, $m\in K$.

I napokon, ako sa $\mathbf{\alpha }$ ozna\v{c}imo bijektivnu semilinearnu
transformaciju sa $V$ na $W$, s asociranim izomorfizmom $\phi :K\rightarrow
L $, za koju vrijedi $e_{i}^{\mathbf{\alpha }}=f_{i}$, $\forall i\in
\{1,2,3\}$, slijedi da $\mathbf{\alpha }$ inducira zadani izomorfizam
projektivnih ravnina $P(V)$ i $P(W)$.
\end{proof}

Iz prethodnog teorema slijedi:

\begin{corollary}
(\textbf{Fundamentalni teorem}) Neka je $P(V)$ projektivna ravnina. Vrijedi $%
AutP(V)=P\Gamma L(V)$.
\end{corollary}

\begin{lemma}
Neka je $V$ trodimenzionalni lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$, tada
koriste\'{c}i bilo koju fiksnu bazu za $V$, djelovanje kolineacije $\alpha
\in AutP(V)$ na elementima iz projektivne ravnine $P(V)$ mo\v{z}e se
zapisati u obliku 
\begin{eqnarray*}
\langle v\rangle ^{\alpha } &=&\langle v^{\phi }A\rangle \text{,} \\
\langle w^{\prime }\rangle ^{\alpha } &=&\langle A^{-1}(w^{\phi })^{\prime
}\rangle \text{,}
\end{eqnarray*}%
$\forall v,w\in V$, gdje je $A$ regularna $(3\times 3)$ matrica, te $\phi
\in AutK$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Odaberimo neku bazu za $V$ i na\dj imo njoj dualnu bazu za $V^{\prime }$. Iz
Fundamentalnog teorema slijedi da je kolineacija $\alpha \in AutP(V)$
inducirana regularnom semilinearnom transformacijom $\mathbf{\alpha }\in
\Gamma L(V)$. Neka je $\phi \in AutK$ automorfizam tijela $K$ asociran
transformaciji $\mathbf{\alpha }$, a $A$ matri\v{c}ni prikaz od $\mathbf{%
\alpha }$ u odabranoj fiksnoj bazi za $V$, odnosno vrijedi $v^{\mathbf{%
\alpha }}=v^{\phi }A$, $\forall v\in V$. Kako transformacija $\mathbf{\alpha 
}\in \Gamma L(V)$ inducira automorfizam $\alpha $, djelovanje $\alpha $ na to%
\v{c}kama iz $P(V)$ mo\v{z}e se zapisati u obliku $\langle v\rangle ^{\alpha
}=\langle v^{\mathbf{\alpha }}\rangle =\langle v^{\phi }A\rangle $, $\forall
v\in V\backslash \{0\}$.

U \ref{osnov} vidjeli smo da transformaciji $\mathbf{\alpha }\in \Gamma L(V)$
mo\v{z}emo pridru\v{z}iti transformaciju $\mathbf{\alpha }^{\prime }\in
\Gamma L(V^{\prime })$ definiranu sa $(w^{\prime })^{\mathbf{\alpha }%
^{\prime }}=A^{-1}(w^{\phi })^{\prime },\forall w^{\prime }\in V^{\prime }$,
gdje vektore iz $V^{\prime }$ zapisujemo u dualnoj bazi odabrane, fiksne
baze za $V$, te vrijedi $v^{\mathbf{\alpha }}(w^{\prime })^{\mathbf{\alpha }%
^{\prime }}=(vw^{\prime })^{\phi }$, $\forall v\in V$, $\forall w^{\prime
}\in V^{\prime }$. Djelovanje kolineacije $\alpha \in AutP(V)$ na pravcima
iz $P(V)$, koje identificiramo sa to\v{c}kama u $P(V^{\prime })$, podudara
se sa djelovanjem kolineacije $\alpha ^{\prime }\in P\Gamma L(V^{\prime
})=AutP(V^{\prime })$ inducirane transformacijom $\mathbf{\alpha }^{\prime }$%
, na spomenutim to\v{c}kama, jer 
\begin{eqnarray*}
\langle v\rangle ^{\alpha } &\in &\langle w^{\prime }\rangle ^{\alpha
}\Leftrightarrow \langle v\rangle \in \langle w^{\prime }\rangle
\Leftrightarrow vw^{\prime }=0\Leftrightarrow v^{\phi }(w^{\prime })^{\phi
}=0\Leftrightarrow v^{\mathbf{\alpha }}(w^{\prime })^{\mathbf{\alpha }%
^{\prime }}=0\Leftrightarrow \\
\langle v^{\mathbf{\alpha }}\rangle &\in &\langle (w^{\prime })^{\mathbf{%
\alpha }^{\prime }}\rangle \Leftrightarrow \langle v\rangle ^{\alpha }\in
\langle w^{\prime }\rangle ^{\alpha ^{\prime }}\text{,}
\end{eqnarray*}%
$\forall v\in V$, $\forall w^{\prime }\in V^{\prime }$. Dakle, $\alpha $ na
pravcima iz $P(V)$ djeluje:%
\begin{equation*}
\langle w^{\prime }\rangle ^{\alpha }=\langle w^{\prime }\rangle ^{\alpha
^{\prime }}=\langle A^{-1}(w^{\phi })^{\prime }\rangle \text{, }\forall
w^{\prime }\in V^{\prime }\backslash \{0\}.
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{theorem}
Ako je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$, a $W$
trodimenzionalni, desni vektorski prostor nad tijelom $L$, $\alpha $
izomorfizam sa projektivne ravnine $P(V)$ na projektivnu ravninu $P(W)$,
tada su $K$ i $L$ antiizomorfna tijela, a $\alpha $ je inducirana
bijektivnom semilinearnom transformacijom sa $V$ na $W$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Dokaz je sli\v{c}an dokazu Teorema \ref{preth}.
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{povpol}Ako je $V$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$, $W$ trodimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $L$,
a $\alpha :$ $P(V)\rightarrow P(W)$ antiizomorfizam projektivnih ravnina $%
P(V)$ i $P(W)$, tada su $K$ i $L$ antiizomorfna tijela i vrijedi $\alpha
=\theta a_{W^{\prime }}=a_{V}\psi $, gdje su $\theta :P(V)\rightarrow
P(W^{\prime })$ i $\psi :P(V^{\prime })\rightarrow P(W)$ izomorfizmi
projektivnih ravnina, inducirani bijektivnim semilinearnim transformacijama $%
\mathbf{\theta }:V\rightarrow W^{\prime }$ i $\mathbf{\psi }:V^{\prime
}\rightarrow W$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Definiramo li $\theta :=\alpha a_{W\text{ }}$, tada po\v{s}to su $\alpha $ i 
$a_{W\text{ }}$ antiizomorfizmi, tada je $\theta $ izomorfizam projektivnih
ravnina $P(V)$ i $P(W^{\prime })$. Iz prethodnog teorema, slijedi da su $K$
i $L$ antiizomorfna tijela, a izomorfizam $\theta $ induciran je bijektivnom
semilinearnom transformacijom sa $V$ na $W^{\prime }$. Pomo\'{c}u Teorema %
\ref{iden} dobijemo 
\begin{equation*}
\alpha =\alpha a_{W\text{ }}a_{W^{\prime }}=\theta a_{W^{\prime }}.
\end{equation*}%
Sli\v{c}no se doka\v{z}e i ostatak korolara.
\end{proof}

Poka\v{z}e se da prethodno dokazani teoremi i korolari vrijede i za
projektivne geometrije $g$-dimenzije ve\'{c}e od $2$. Da bi Fundamentalani
teorem vrijedio i za projektivne pravce, izomorfizme projektivnih pravaca
definiramo na slijede\'{c}i na\v{c}in:

\begin{definition}
Neka su $V$ i $W$ dvodimenzionalni lijevi ili desni vektorski prostori nad
nekim tijelima. Preslikavanje elemenata projektivnog pravca $P(V)$ na
elemente projektivnog pravca $P(W)$ inducirano bijektivnom semilinearnom
transformacijom sa $V$ na $W$ je \textbf{izomorfizam} projektivnih pravaca $%
P(V)$ i $P(W)$.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{Ink}Neka je $V$ $n+1$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad
tijelom $K$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] Grupa $PGL(V)$, a time i $P\Gamma L(V)$, je tranzitivna na
frame-ovima\label{tranz} od $P(V)$.

\item[b)] Podgrupa od $P\Gamma L(V)$ koja fiksira frame za $P(V)$ po to\v{c}%
kama izomorfna je sa $AutK$.

\item[c)] Podgrupa od $PGL(V)$ koja fiksira frame za $P(V)$ po to\v{c}kama
izomorfna je sa $InK$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[a)] Neka su $E_{1},\ldots ,E_{n+2}$ i $F_{1},\ldots ,F_{n+2}$
frame-ovi projektivne geometrije $P(V)$, a $\left\{ e_{1},\ldots
,e_{n+1}\right\} $ i $\left\{ f_{1},\ldots ,f_{n+1}\right\} $ baze za $V$,
koje ih odre\dj uju. Iz Teorema \ref{glv}, slijedi da postoji transformacija 
$\mathbf{\alpha }\in GL(V)$ koja ima svojstvo: $e_{i}^{\mathbf{\alpha }%
}=f_{i},$ $\forall i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} $. Tada $\mathbf{%
\alpha }$\textbf{\ }inducira automorfizam $\alpha \in PGL(V)$, za koji
vrijedi $E_{i}^{\alpha }=\langle e_{i}\rangle ^{\alpha }=\langle e_{i}^{%
\mathbf{\alpha }}\rangle =\left\langle f_{i}\right\rangle =F_{i}$, $\forall
i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} ,$ 
\begin{equation*}
E_{n+2}^{\alpha }=\langle (e_{1}+\cdots +e_{n+1})^{\mathbf{\alpha }}\rangle
=\left\langle f_{1}+\cdots +f_{n+1}\right\rangle =F_{n+2}.
\end{equation*}%
Time smo dokazali tvrdnju.

\item[b)] Izaberimo frame $E_{1},\ldots ,E_{n+2}$ u $P(V)$ i bazu $\left\{
e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $ za $V$ koja ga odre\dj uje, tj. tako da
vrijedi $E_{i}=\left\langle e_{i}\right\rangle $, $\forall i\in \left\{
1,\ldots ,n+1\right\} $ i $E_{n+2}=\left\langle e_{1}+\cdots
+e_{n+1}\right\rangle $. \v{Z}elimo na\'{c}i takve elemente iz $P\Gamma L(V)$
koji fiksiraju to\v{c}ke $E_{i}$, $\forall i\in \left\{ 1,\ldots
,n+2\right\} $. Na\dj imo semilinearne transformacije koje tra\v{z}ene
automorfizme induciraju. Regularne semilinearne transformacije sa $V$ na $V$
sa svojstvom da fiksiraju to\v{c}ke $E_{i}$, $\forall i\in \left\{ 1,\ldots
,n+1\right\} $ su transformacije oblika%
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}e_{i}\rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}x_{i}^{\phi
}k_{i}e_{i},
\end{equation*}%
$\forall x_{i}\in K$, gdje je $\phi \in AutK$, $k_{i}\in K^{\ast }$, $%
\forall i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} $. Me\dj u njima tra\v{z}imo one
transformacije koje fiksiraju i $E_{n+2}$, tj. tako da je 
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n+1}e_{i}\rightarrow
\sum_{i=1}^{n+1}k_{i}e_{i}=k\sum_{i=1}^{n+1}e_{i},k\in K^{\ast }.
\end{equation*}%
Me\dj utim, tada je $k_{i}=k$, $\forall $ $i\in \left\{ 1,\ldots
,n+1\right\} $, pa su spomenute transformacije, koje \'{c}emo ozna\v{c}iti
sa $\theta (\phi ,k)$, oblika su $\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}e_{i}\rightarrow
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}^{\phi }ke_{i}$, $x_{i}\in K$, a \v{c}ine podgrupu $S$
grupe $\Gamma L(V)$. Grupa $S$ inducira podgrupu $T$ grupe $P\Gamma L(V)$, a
svi elementi iz $T$ fiksiraju izabrani frame. Radi se o prirodnom
homomorfizmu izme\dj u $\Gamma L(V)$ i $P\Gamma L(V)$ restringiranom na
grupu $S$. Ako jezgru tog homomorfizma ozna\v{c}imo sa $U$, vrijedi $%
S/U\cong T$. Na\dj imo grupu $U$ i poka\v{z}imo da je $S/U\cong AutK$.

Grupu $U$ \v{c}ine transformacije $\theta (\phi ,k)$ koje induciraju
identitetu na $P(V)$, odnosno fiksiraju jednodimenzionalne potprostore od $V$%
, tj. takve da%
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}e_{i}\rightarrow \sum_{i=1}^{n+1}x_{i}^{\phi
}ke_{i}=l\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}e_{i},
\end{equation*}%
$\forall x_{i}\in K,$ gdje je $l\in K^{\ast }$. Tada $\sum_{i=1}^{n+1}\left(
x_{i}^{\phi }k-lx_{i}\right) e_{i}=0$, pa $x_{i}^{\phi }k=lx_{i}$, $\forall
x_{i}\in K$, a iz toga $k=l$, $x_{i}^{\phi }=kx_{i}k^{-1}$. Ako sa $\omega
_{k}$ ozna\v{c}imo unutra\v{s}nji automorfizam $x\rightarrow k^{-1}xk$ na
tijelu $K$, vrijedi $\phi =\omega _{k^{-1}}\in InK$. Dakle 
\begin{equation*}
U=\left\{ \theta (\omega _{k^{-1}},k);\text{ }k\in K^{\ast }\right\} .
\end{equation*}%
Definirajmo $\theta (\phi ,k)^{\Psi }=\phi \omega _{k}$ i poka\v{z}imo da je 
$\Psi $ epimorfizam grupa $S$ i $AutK$. Da bi dokazali da je $\Psi $
homomorfizam potrebno je pokazati da\ 
\begin{equation*}
\theta (\phi ,k)\theta (\nu ,h)=\theta (\phi \nu ,k^{\nu }h)\text{ i\ }\phi
\nu \omega _{k^{\nu }h}=\phi \omega _{k}\nu \omega _{h},
\end{equation*}%
gdje su $\phi $, $\nu \in AutK$, a $k,$ $h\in K^{\ast }$. To dobijemo
raspisivanjem%
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}e_{i}\overset{\theta (\phi ,k)}{\longrightarrow }%
\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}^{\phi }ke_{i}\overset{\theta (\nu ,h)}{\longrightarrow 
}\sum_{i=1}^{n+1}\left( x_{i}^{\phi }k\right) ^{\nu
}he_{i}=\sum_{i=1}^{n+1}x_{i}^{\phi \nu }k^{\nu }he_{i},\text{ }\forall
x_{i}\in K\text{,}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
x^{\phi \nu \omega _{k^{\nu }h}}=h^{-1}\left( k^{\nu }\right) ^{-1}x^{\phi
\nu }k^{\nu }h=\left[ \left( k^{-1}x^{\phi }k\right) ^{\nu }\right] ^{\omega
_{h}}=x^{\phi \omega _{k}\nu \omega _{h}},\forall x\in K\text{,}
\end{equation*}%
pa vrijedi%
\begin{equation*}
\left[ \theta (\phi ,k)\theta (\nu ,h)\right] ^{\Psi }=\theta (\phi \nu
,k^{\nu }h)^{\Psi }=\phi \nu \omega _{k^{\nu }h}=\phi \omega _{k}\nu \omega
_{h}=\theta (\phi ,k)^{\Psi }\theta (\nu ,h)^{\Psi }\text{.}
\end{equation*}%
Ako je $\lambda \in AutK$ definirajmo $\phi =\lambda $, $k=1$. Tada $\theta
(\phi ,k)^{\Psi }=\phi \omega _{k}=\lambda ,$ i $\Psi $ je epimorfizam. Poka%
\v{z}imo da je jezgra tog epimorfizma $U$. 
\begin{equation*}
Ker\Psi =\left\{ \theta (\phi ,k)\text{; }\phi \omega _{k}=i_{AutK}\right\}
=\left\{ \theta (\phi ,k)\text{; }\phi =\omega _{k^{-1}}\right\} =U
\end{equation*}%
Tada $AutK\cong S/U\cong T$, \v{c}ime smo tvrdnju b) dokazali.

\item[c)] Dokaz ove tvrdnje je sli\v{c}an dokazu prethodne uz zamjenu $\phi
=i_{AutK}$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{pravac}Neka je $V$ dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$.
Grupa $AutP(V)$ se mo\v{z}e zapisati u parametarskom obliku na to\v{c}kama
projektivnog pravca $P(V)$, kao skup preslikavanja%
\begin{equation}
x\rightarrow \frac{x^{\phi }a+b}{x^{\phi }c+d}\text{, }  \tag*{(1)}
\label{Aut}
\end{equation}%
gdje su $a$, $b$, $c$ i $d\in K$ takvi da je $ad-bc\neq 0$, $\phi \in AutK$,
te $x\in K\cup \{\infty \}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$ frame za $P(V)$, a $\left\{
e_{1},e_{2}\right\} $ baza za $V$ koja odre\dj uje taj frame, tj. vrijedi $%
E_{1}=\left\langle e_{1}\right\rangle $, $E_{2}=\left\langle
e_{2}\right\rangle $, $E_{3}=\left\langle e_{1}+e_{2}\right\rangle $. Po\v{s}%
to za projektivnu geometriju $P(V)$, bilo koje $g$-dimenzije, vrijedi $%
AutP(V)=P\Gamma L(V)$, tada izaberemo li neku kolineaciju $\alpha $
projektivnog pravca $P(V),$ slijedi da je inducirana transformacijom $%
\mathbf{\alpha }\in \Gamma L(V)$. Neka je automorfizam $\phi \in AutK$
asociran s $\mathbf{\alpha }$, a $A=\left( 
\begin{array}{cc}
a & c \\ 
b & d%
\end{array}%
\right) $ matrica te transformacije u bazi $\left\{ e_{1},e_{2}\right\} $ od 
$V$, gdje su $a,b,c,d\in K$. Po\v{s}to je $\mathbf{\alpha }$ regularna,
slijedi $\det A=ad-bc\neq 0$. Tada je $v^{\mathbf{\alpha }}=v^{\phi }A$, $%
\forall v\in V$.

Promatrajmo djelovanje $\alpha $ na to\v{c}kama $\left\langle
xe_{1}+e_{2}\right\rangle =\left\langle \left( x,1\right) \right\rangle \in
P(V)$. Vrijedi%
\begin{equation*}
\langle (x,1)\rangle ^{\alpha }=\langle (x,1)^{\mathbf{\alpha }}\rangle
=\langle (x^{\phi },1)\left( 
\begin{array}{cc}
a & c \\ 
b & d%
\end{array}%
\right) \rangle =\langle (x^{\phi }a+b,x^{\phi }c+d)\rangle \text{,}
\end{equation*}%
odnosno%
\begin{equation*}
\langle \left( x,1\right) \rangle ^{\alpha }=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\langle (\dfrac{x^{\phi }a+b}{x^{\phi }c+d},1)\rangle & \text{; }x^{\phi }c+d%
\text{ }\neq 0 \\ 
\left\langle \left( 1,0\right) \right\rangle & \text{; }x^{\phi }c+d\text{ }%
=0%
\end{array}%
\right. \text{,}
\end{equation*}%
\v{s}to u parametarskim koordinatama mo\v{z}emo zapisati kao%
\begin{equation*}
x\rightarrow \left\{ 
\begin{array}{ll}
\dfrac{x^{\phi }a+b}{x^{\phi }c+d}, & \text{; }x^{\phi }c+d\text{ }\neq 0 \\ 
\infty & \text{; }x^{\phi }c+d\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}%
Na sli\v{c}an na\v{c}in poka\v{z}e se%
\begin{equation*}
\langle \left( 1,0\right) \rangle ^{\alpha }=\left\{ 
\begin{array}{ll}
\langle (\dfrac{a}{c},1)\rangle & \text{; }c\text{ }\neq 0 \\ 
\langle \left( 1,0\right) \rangle & \text{; }c=0%
\end{array}%
\right. \text{,}
\end{equation*}%
\v{s}to u parametarskim koordinatama mo\v{z}emo zapisati kao%
\begin{equation*}
\infty \rightarrow \left\{ 
\begin{array}{ll}
\dfrac{a}{c}, & \text{; }c\text{ }\neq 0 \\ 
\infty & \text{; }c\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}%
Ako definiramo $\infty ^{-1}:=0$, $\infty ^{\phi }:=\infty $, $\infty \cdot
c+d:=\infty \cdot c$, $\infty \cdot c:=\infty $, $\infty +d:=\infty $ i $%
\dfrac{\infty \cdot a}{\infty \cdot c}:=\dfrac{a}{c}$, $\forall a,b,c$, $%
d\in K$ i $\phi \in AutK$, tada se djelovanje $\alpha $ na to\v{c}kama iz $%
P(V)$ u parametarskom obliku mo\v{z}e zapisati na tra\v{z}eni na\v{c}in.
\end{proof}

Iz prethodnog teorema slijedi:

\begin{corollary}
\label{pglv}Neka je $V$ dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$.
Grupa $PGL(V)$ se mo\v{z}e zapisati u parametarskom obliku na to\v{c}kama
projektivnog pravca $P(V)$, kao skup preslikavanja oblika \ref{Aut}, gdje $%
\phi =i_{AutK}$, odnosno to su preslikavanja $x\rightarrow \frac{xa+b}{xc+d}$%
, gdje su $a$, $b$, $c$ i $d\in K$ takvi da je $ad-bc\neq 0$ i $x\in K\cup
\{\infty \}$.
\end{corollary}

\begin{corollary}
\label{tritran}Neka je $V$ dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$%
. Grupa $PGL(V)$ je strogo $3$-tranzitivna na to\v{c}kama iz $P(V)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Po\v{s}to je $PGL(V)$ tranzitivna na frame-ovima od $P(V)$, a frame
projektivnog pravca \v{c}ine bilo koje njegove tri razli\v{c}ite to\v{c}ke,
slijedi da je $PGL(V)$ $3$-tranzitivna na to\v{c}kama iz $P(V)$. Iz Teorema %
\ref{tranz} c) i \v{c}injenice da je K polje slijedi stroga \ $3$%
-tranzitivnost.
\end{proof}

\subsection{Afine geometrije\label{afgeom}}

\begin{definition}
Neka je $P=P(V)$ projektivna geometrija, $W$ hiperravnina u $P(V)$. Afina
geometrija $A=P^{W}=P(V)\backslash W$ je skup elemenata iz $P(V)$ koji nisu
sadr\v{z}ani u $W$.
\end{definition}

\begin{definition}
Neka su $P$ i $P^{\prime }$ projektivne geometrije, $W\in P$ i $U\in $ $%
P^{\prime }$ hiperravnine. \textbf{Izomorfizam} afinih geometrija $P^{W}$ i $%
P^{^{\prime }U}$ je izomorfizam projektivnih geometrija $P$ i $P^{\prime }$
koji hiperravnini $W$ pridru\v{z}i hiperavninu $U$.
\end{definition}

Ako je $P=P(V)$ projektivna geometrija, $W$ hiperravnina u $P(V)$, $A=P^{W}$
afina geometrija, tada iz prethodne definicije slijedi da je grupa $AutA$
svih automorfizama afine ravnine $A$ podgrupa od $AutP$ koja fiksira $W$.

\begin{lemma}
Neka je $P(V)$ projektivna geometrija. Grupa $PGL(V)$ je tranzitivna na
hiperravninama u $P(V)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $V$ $n+1$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$, $%
W $ i $T$ \ hiperravnine u $P(V)$, skup $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ baza za $W$%
, a skup $\{f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ baza za $T$. Pro\v{s}irimo te skupove do
baza $\left\{ e_{1},\ldots ,e_{n+1}\right\} $ i $\left\{ f_{1},\ldots
,f_{n+1}\right\} $ od $V$. Po\v{s}to je $GL(V)$ tranzitivna na bazama od $V$%
, tada postoji $\mathbf{\alpha \in }$ $GL(V)$, tako da $e_{i}^{\mathbf{%
\alpha }}=f_{i}$, $\forall i\in \left\{ 1,\ldots ,n+1\right\} $. Iz toga
slijedi $W^{\mathbf{\alpha }}=T$ , \v{s}to vrijedi i za kolineaciju
(automorfizam) $\alpha \in PGL(V)$ koju $\mathbf{\alpha }$ inducira. Time je
tvrdnja dokazana.
\end{proof}

Iz prethodne leme slijedi da su svake dvije afine geometrije, dobivene iz
iste projektivne geometrije izomorfne. Zbog toga \'{c}emo afinu geometriju
dobivenu iz projektivne geometrije $P(V)$ ozna\v{c}iti $A=A(V)$. Ako je $V$ $%
n+1$-dimenzionalan vektorski prostor nad poljem $K$, afinu geometriju
dobivenu iz $P(V)$ ozna\v{c}it \'{c}emo $A(V)=A_{n}(K)$. Ako je $K$ kona\v{c}%
no polje $F_{q}$, tada bilje\v{z}imo $A_{n}(K)=A_{n}(q)$.

\begin{definition}
$G$-dimenzija afine geometrije jednaka je $g$-dimenziji projektivne
geometrije iz koje je dobivena.
\end{definition}

Afinu geometriju $g$-dimenzije $1$ zovemo \textbf{afini pravac}, a afinu
geometriju $g$-dimenzije $2$ zovemo \textbf{afina ravnina}.

Neka je $V$ $3$-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$, a $%
W $ pravac u $P(V)$. Koordinatizirat \'{c}emo afinu ravninu $A(V)=P^{W}$.

Izaberimo frame $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, $E_{4}$ za $P(V)$, takav da je $%
W=E_{1}+E_{2}$. To \'{c}emo napraviti tako da prvo na\dj emo bazu $\left\{
e_{1},e_{2}\right\} $ za $W$ i pro\v{s}irimo je do baze $\left\{
e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ za $V$. Tada, prema Lemi \ref{baza}, postoji
frame $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, $E_{4}$ u $P(V)$ kojeg ta baza odre\dj uje,
tj. vrijedi $E_{1}=\left\langle e_{1}\right\rangle $, $E_{2}=\left\langle
e_{2}\right\rangle $, $E_{3}=\left\langle e_{3}\right\rangle $, $%
E_{4}=\left\langle e_{1}+e_{2}+e_{3}\right\rangle $, pa je o\v{c}ito da je $%
W=E_{1}+E_{2}$. Neka je $\{f_{1}^{^{\prime }},f_{2}^{^{\prime
}},f_{3}^{^{\prime }}\}$ dualna baza baze $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} 
$. To\v{c}ke iz $W$ su ili $E_{2}$ ili imaju jedinstven prikaz oblika $%
\langle e_{1}+ae_{2}\rangle $, gdje je $a\in K$, dok sve to\v{c}ke afine
ravnine $A(V)$ imaju jedinstven prikaz oblika $\langle
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle $, gdje su $x,y\in K$. Pravci u $P(V)$ su to\v{c}%
ke u projektivnoj ravnini $P(V^{\prime })$, a vrijedi $W=$ $\langle
f_{3}^{^{\prime }}\rangle $.

Pravci afine ravnine $A(V)$ imaju jedinstven prikaz oblika $\langle
f_{1}^{^{\prime }}a_{1}+f_{2}^{^{\prime }}a_{2}+f_{3}^{^{\prime
}}a_{3}\rangle $, gdje su $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}\in K$, tako da $a_{1}$ i $%
a_{2}$ ne smiju istovremeno biti $0$.

Ako je $a_{2}\neq 0$, tada su ti pravci oblika $\langle f_{1}^{^{\prime
}}m+f_{2}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle $, gdje su $m$, $b\in K$.
To\v{c}ka $\left\langle e_{1}-me_{2}\right\rangle $ je sjeci\v{s}te pravaca $%
\langle f_{1}^{^{\prime }}m+f_{2}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle $
i $W$. To\v{c}ke pravca $\langle f_{1}^{^{\prime }}m+f_{2}^{^{\prime
}}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle $ koje pripadaju afinoj ravnini $A(V)$ su
oblika $\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle $, gdje su $x$,$y\in K$, takvi da
je $y=-xm-b$.

Ako je $a_{2}=0$, dobijemo pravce afine ravnine $A(V)$ oblika $\langle
f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle $, gdje je $b\in K$. To\v{c}ka 
$E_{2}=\left\langle e_{2}\right\rangle $ je sjeci\v{s}te pravaca $\langle
f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle $ i $W$. To\v{c}ke pravca $%
\langle f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle $ koje pripadaju $A(V)$
su oblika $\langle -be_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle $, $\forall y\in K$.

Za dva pravca afine ravnine $A(V)$ re\'{c}i \'{c}emo da su \textbf{paralelni}
u $A(V)$, ako su jednaki ili ako se ne sijeku u ravnini $A(V)$. Zapravo svi
su pravci iz $A(V)$ koji prolaze istom to\v{c}kom sa pravca $W$ me\dj usobno
paralelni u $A(V)$, i \v{c}ine takozvani \textbf{pramen paralelnih pravaca},
jer je afina ravnina $A(V)$ nastala "izbacivanjem" upravo pravca $W$ sa svim
njegovim to\v{c}kama iz $P(V)$. Dakle, svi pramenovi paralelnih pravaca iz $%
A(V)$ su oblika: $\{\langle f_{1}^{^{\prime }}m+f_{2}^{^{\prime
}}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle ;b\in K\}$ ili $\{\langle f_{1}^{^{\prime
}}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle ;b\in K\}$. U projektivnoj ravnini $P(V)$,
pravci iz pramena $\{\langle f_{1}^{^{\prime }}m+f_{2}^{^{\prime
}}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle ;b\in K\}$ sijeku se u to\v{c}ci $\left\langle
e_{1}-me_{2}\right\rangle \in $ $W$, dok se pravci iz pramena $\{\langle
f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}b\rangle ;b\in K\}$ sijeku u to\v{c}ci $%
E_{2}=\left\langle e_{2}\right\rangle $ sa pravca $W$.

Na\'{c}i \'{c}emo jednostavniji na\v{c}in reprezentacije elemenata afine
ravnine $A(V)$. Tu ravninu mo\v{z}emo smatrati incidencijskom strukturom u
kojoj su to\v{c}ke upravo to\v{c}ke iz $A(V)$, blokovi su pravci iz $A(V)$,
a relacija incidencije je relacija sadr\v{z}avanja.

\begin{theorem}
Neka je $K$ tijelo, $A$ takva incidencijska struktura u kojoj su to\v{c}ke
ure\dj eni parovi $\left( x,y\right) $ elemenata iz $K$, blokovi ure\dj eni
parovi $\left[ m,b\right] $ i simboli $[b]$, a incidencijska relacija u $A$
zadana je sa

\begin{enumerate}
\item[a)] $\left( x,y\right) \in $ $\left[ m,b\right] \iff y=xm+b$,

\item[b)] $\left( x,y\right) \in \left[ b\right] \iff x=b$,
\end{enumerate}

gdje su $x,y,m,b\in K$. Tada je $A\cong A(V)$, gdje je $V$ $3$%
-dimenzionalni, lijevi vektorski prostor nad tijelom $K$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Izaberimo frame od $P(V)$ i bazu $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ za $V$ koja ga odre%
\dj uje, kao u prethodnom razmatanju, te na taj na\v{c}in izvr\v{s}imo
koordinatizaciju afine ravnine $A(V)$. Definirajmo takvo preslikavanje $%
\alpha $ elemenata iz $A$ na elemente iz $A(V)$ da vrijedi:%
\begin{equation*}
\left( x,y\right) \rightarrow \langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left[ m,b\right] \rightarrow \langle f_{1}^{^{\prime }}(-m)+f_{2}^{^{\prime
}}+f_{3}^{^{\prime }}(-b)\rangle
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\left[ b\right] \rightarrow \langle f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime
}}(-b)\rangle \text{.}
\end{equation*}%
O\v{c}ito je $\alpha $ bijekcija to\v{c}aka iz $A$ na to\v{c}ke iz $A(V)$,
blokova iz $A$ na blokove iz $A(V)$. Po\v{s}to u incidencijskoj strukturi $A$
vrijedi svojstvo a), te%
\begin{multline*}
\left( x,y\right) \in \left[ m,b\right] \Leftrightarrow y=xm+b\text{,} \\
y=xm+b\Leftrightarrow \left( x,y\right) ^{\alpha }=\langle
xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle \in \langle f_{1}^{^{\prime
}}(-m)+f_{2}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}(-b)\rangle =\left[ m,b\right]
^{\alpha }\text{,}
\end{multline*}%
iz toga slijedi da je $\left( x,y\right) \in \left[ m,b\right]
\Leftrightarrow \left( x,y\right) ^{\alpha }\in \left[ m,b\right] ^{\alpha }$%
, a dobijemo tako\dj er i%
\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in \left[ b\right] \Leftrightarrow x=b\Leftrightarrow
\left( x,y\right) ^{\alpha }=\langle xe_{1}+ye_{2}+e_{3}\rangle \in \langle
f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}(-b)\rangle =\left[ b\right] ^{\alpha }%
\text{,}
\end{equation*}%
pa iz Definicije \ref{inci}, zaklju\v{c}ujemo da je $\alpha $ izomorfizam
incidencijskih struktura $A$ i $A(V)$.
\end{proof}

Sukladno definiciji paralelnosti blokova, tj. pravaca u $A(V)$, za dva bloka
iz incidencijske strukture $A$ re\'{c}i \'{c}emo da su \textbf{paralelna} u $%
A$ ako su jednaka ili ako nisu incidentna sa zajedni\v{c}kom to\v{c}kom iz $%
A $. O\v{c}ito je da izomorfizam $\alpha $ incidencijskih struktura $A$ i $%
A(V) $ (iz dokaza prethodnog teorema) "\v{c}uva" paralelnost, tj. dva bloka
u $A$ su me\dj usobno paralelna u $A$ ako i samo ako su njihove slike pri
tom izomorfizmu me\dj usobno paralelni blokovi u $A(V)$. Prema tome, svi
pramenovi paralelnih pravaca iz $A$ su oblika: $\{\left[ b\right] ;b\in K\}$
ili $\{\left[ m,b\right] ;b\in K\}$.

Ako je $K$ polje realnih brojeva, tada ovakav na\v{c}in reprezentacije afine
ravnine $A_{2}(K)$ predstavlja Euklidsku ravninu, a sukladno tome blokove iz 
$A$ mo\v{z}emo zvati pravcima. Iz prethodnog razmatranja, vidimo da se
Euklidska ravnina mo\v{z}e "ugraditi" u projektivnu ravninu $P_{2}(K)$, a
jasan je i na\v{c}in kako to u\v{c}initi.

Paralelni pravci iz pramena $\left\{ \left[ m,b\right] ;b\in K\right\} $ u $%
A $ su izomorfni paralelnim pravcima iz pramena $\{\langle f_{1}^{^{\prime
}}(-m)+f_{2}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}(-b)\rangle ;b\in K\}$ u $%
A_{2}(K)$, kojima, da bi $A_{2}(K)$ "ugradili" u projektivnu ravninu $%
P_{2}(K)$, treba dodati "izba\v{c}enu" to\v{c}ku $\langle
e_{1}+me_{2}\rangle $. Nadalje, paralelni pravci iz pramena $\left\{ \left[ b%
\right] ;b\in K\right\} $ u $A$ izomorfni su paralenim pravcima iz pramena $%
\{\langle f_{1}^{^{\prime }}+f_{3}^{^{\prime }}(-b)\rangle ;b\in K\}$ u $%
A_{2}(K)$, kojima treba dodati "izba\v{c}enu" to\v{c}ku $\left\langle
e_{2}\right\rangle $. I na kraju dodamo, pravac $W$ koji \'{c}e sadr\v{z}%
avati samo navedene to\v{c}ke. Dakle, da bi Euklidsku ravninu "ugradili" u
projektivnu ravninu, svakom pramenu paralelnih pravaca moramo dodati po
jednu "\textbf{beskona\v{c}no daleku to\v{c}ku}"\textbf{\ }u kojoj \'{c}e se
svi pravci tog pramena sije\'{c}i. Naposlijetku, dodamo jedan "\textbf{%
beskona\v{c}no daleki pravac}" koji \'{c}e sadr\v{z}avati samo beskona\v{c}%
no daleke to\v{c}ke.

\section{Izgradnja projektivnih geometrija tipa $P_{n}(q)$}

\subsection{Simetri\v{c}ni dizajni}

Sad \'{c}emo se baviti posebnim vrstama incidencijskih struktura (vidjeti
Definiciju \ref{strukt}) kojima \'{c}e pripadati projektivne geometrije tipa 
$P_{n}(q)$.

\begin{definition}
\label{dizajn}Neka su $t,v$, $k$ i $\lambda $ prirodni brojevi za koje
vrijedi $v>k\geq t$. Incidencijsku strukturu $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$
u kojoj je relacija incidencije $\mathcal{I}=\in $, a vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] skup $\mathcal{X}$ sastoji se od to\v{c}no $v$ to\v{c}aka,

\item[b)] elementi skupa $\mathfrak{B}$, tj. blokovi su podskupovi od $%
\mathcal{X}$,

\item[c)] svakom bloku pripada to\v{c}no $k$ to\v{c}aka,

\item[d)] svaki podskup od $t$ razli\v{c}itih to\v{c}aka nalazi se u to\v{c}%
no $\lambda $ blokova,

zovemo $t-(v,k,\lambda )$ dizajn.
\end{enumerate}
\end{definition}

Brojeve $t,v$, $k$ i $\lambda $ iz prethodne definicije zovemo \textbf{%
parametrima} dizajna $D$.

Zahtjevati \'{c}emo da u promatranim dizajnima nema ponavljanja blokova.

\begin{example}
\label{pr2}Ako je $\mathcal{X}=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, a skup $\mathfrak{B}$ se
sastoji od tro\v{c}lanih podskupova skupa $\mathcal{X}$ i to $\{1,2,4\}$, $%
\{2,3,5\}$, $\{3,4,6\}$, $\{4,5,7\}$, $\{5,6,1\}$, $\{6,7,2\}$ i $\{7,1,3\}$%
, te vrijedi $\mathcal{I}=\in $, tada je incidencijska struktura $D=(%
\mathcal{X},\mathfrak{B})$ $2-(7,3,1)$ dizajn.\FRAME{fhF}{1.6189in}{1.7789in%
}{0pt}{}{}{slika9.dxf}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width 1.6189in;height
1.7789in;depth 0pt;original-width 4.5463in;original-height 5.0021in;cropleft
"0.009125";croptop "0.999161";cropright "1.009125";cropbottom
"-0.000839";filename
'../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/slika9.dxf';file-properties "XNPEU";}%
}

Slika 2.4. je shematski prikaz ovog dizajna, \v{c}ije su to\v{c}ke prikazane
upravo to\v{c}kama, blokovi su predo\v{c}eni kao du\v{z}ine incidentne sa po
tri to\v{c}ke, osim bloka $\{4,5,7\}$ koji je, na navedenoj slici, kru\v{z}%
nica.
\end{example}

\begin{example}
\label{pr1}Neka je $\mathcal{X}$ skup ostataka dijeljenja cijelih brojeva sa 
$11$, tj. $\mathcal{X}=\{0,1,\ldots ,10\}$, $\Delta =\{1,3,4,5,9\}\subset 
\mathcal{X}$. Ako su blokovi podskupovi $\Delta +i=$ $\{x+i;$ $x\in \Delta
\} $ skupa $\mathcal{X}$, $\forall i\in \mathcal{X}$, a navedena operacija
zbrajanje modulo $11$, te $\mathcal{I}=\in $, tada je incidencijska
struktura $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ $2-(11,5,2)$ dizajn.
\end{example}

\begin{lemma}
U $t-(v,k,\lambda )$ dizajnu ukupan broj blokova iznosi:%
\begin{equation*}
b=\lambda \frac{\binom{v}{t}}{\binom{k}{t}}.
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $D$ $t-(v,k,\lambda )$ dizajn. U dizajnu $D$ ima ukupno $\binom{v}{t}
$ $t-$\v{c}lanih podskupova razli\v{c}itih to\v{c}aka, a po\v{s}to je svaki
od tih podskupova incidentan s to\v{c}no $\lambda $ blokova, na taj na\v{c}%
in dobili smo $\lambda \binom{v}{t}$ blokova. Svaki blok iz $D$ ima to\v{c}%
no $k\geq t$ to\v{c}aka, a time ukupno $\binom{k}{t}$ podskupova od po $t$
razli\v{c}itih to\v{c}aka. Dakle, u skupu od $\lambda \binom{v}{t}$ blokova
ima po $\binom{k}{t}$ jednakih, \v{s}to zna\v{c}i da razli\v{c}itih blokova
u $D$ ima ukupno $\lambda \frac{\binom{v}{t}}{\binom{k}{t}}$.
\end{proof}

Na sli\v{c}an se na\v{c}in doka\v{z}e i slijede\'{c}a lema

\begin{lemma}
\label{r}U $t-(v,k,\lambda )$ dizajnu svaka to\v{c}ka incidentna je s to\v{c}%
no%
\begin{equation*}
r=\lambda \frac{\binom{v-1}{t-1}}{\binom{k-1}{t-1}}\text{ blokova.}
\end{equation*}
\end{lemma}

Iz prethodne dvije leme slijedi:

\begin{proposition}
\label{bk}U $t-(v,k,\lambda )$ dizajnu vrijedi $b\cdot k=v\cdot r$.
\end{proposition}

Nas \'{c}e posebno interesirati $2-(v,k,\lambda )$ dizajni.

\begin{definition}
Neka je $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ $2-(v,k,\lambda )$ dizajn, gdje je $%
\mathcal{X}=\{P_{1},\ldots ,P_{v}\}$ i $\mathfrak{B}=\{l_{1},\ldots ,l_{b}\}$%
. \textbf{Incidencijska matrica} dizajna $D$ je $(v\times b)$ matrica $%
A=(a_{ij})$ sa svojstvom%
\begin{equation*}
a_{ij}=\left\{ 
\begin{array}{c}
1,\text{ ako }P_{i}\in l_{j} \\ 
0,\text{ ako }P_{i}\notin l_{j}%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}
\end{definition}

Ozna\v{c}imo sa $I_{v}$ jedini\v{c}nu $(v\times v)$ matricu, a sa $J_{v}$
matricu tipa $(v\times v)$, kojoj su svi elementi jednaki $1$.

\begin{lemma}
\label{det}Za incidencijsku matricu $A\ 2-(v,k,\lambda )$ dizajna vrijedi 
\begin{equation*}
AA^{T}=(r-\lambda )I_{v}+\lambda J_{v}\text{ i }\det (AA^{T})=rk(r-\lambda
)^{v-1}\neq 0.
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Umno\v{z}ak $i$-tog i $j$-tog retka matrice $A$ je $(AA^{T})_{ij}=%
\tsum_{k=1}^{b}a_{ik}a_{jk}$, a predstavlja ukupan broj blokova incidentnih
s to\v{c}kama $P_{i}$ i $P_{j}$. Dakle,%
\begin{equation*}
(AA^{T})_{ij}=\left\{ 
\begin{array}{c}
r,\text{ ako }i=j \\ 
\lambda ,\text{ ako }i\neq j%
\end{array}%
\right. .
\end{equation*}%
Pa vrijedi $AA^{T}=(r-\lambda )I_{v}+\lambda J_{v}$. Po\v{s}to je $r=\lambda 
\frac{v-1}{k-1}$ (iz Leme \ref{r}) slijedi $r\neq \lambda $, jer ako $%
r=\lambda $ tada je $v=k$, \v{s}to je u kontradikciji sa Definicijom \ref%
{dizajn}. Determinantu matrice $AA^{T}$\ \'{c}emo izra\v{c}unati tako da
svedemo tu matricu na donje trokutastu. Najprije od svakog retka oduzmemo
slijede\'{c}i, izlu\v{c}imo $r-\lambda $ iz prvih $v-1$ redaka, zatim prvom
stupcu dodamo preostale stupce. Naposlijetku, razvijemo determinantu po
prvom stupcu.
\end{proof}

\begin{proposition}
\textbf{(Fisherova nejednakost)} U $2-(v,k,\lambda )$ dizajnu vrijedi $b\geq
v$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Neka je $A$ incidencijska matrica nekog $2-(v,k,\lambda )$ dizajna. Iz
prethodne leme slijedi da je $AA^{T}$ regularna matrica ranga $v$. Po\v{s}to
rang produkta dviju matrica ne smije biti ve\'{c}i od ranga bilo kojeg
faktora tog produkta, slijedi 
\begin{equation*}
v=r(AA^{T})\leq r(A)\leq b.
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{definition}
\textbf{Simetri\v{c}ni dizajn }je $2-(v,k,\lambda )$ dizajn u kojem je
ukupan broj blokova jednak ukupnom broju to\v{c}aka.
\end{definition}

Po\v{s}to je u simetri\v{c}nom $2-(v,k,\lambda )$ dizajnu $b=v$, tada prema
Propoziciji \ref{bk}, vrijedi $k=r$.

Dizajni iz Primjera \ref{pr2}\ i Primjera \ref{pr1} su simetri\v{c}qni. Iz
Leme \ref{broj} slijedi:

\begin{proposition}
\label{proj}Projektivna geometrija $P_{n}\left( q\right) $ je simetri\v{c}ni 
$2-(\frac{q^{n+1}-1}{q-1},\frac{q^{n}-1}{q-1},\frac{q^{n-1}-1}{q-1})$ dizajn
u kojem su blokovi hiperravnine u $P_{n}\left( q\right) $, a to\v{c}ke su
upravo to\v{c}ke u $P_{n}\left( q\right) .$
\end{proposition}

\begin{lemma}
\label{blok}Svaka dva razli\v{c}ita bloka simetri\v{c}nog $2-(v,k,\lambda )$
dizajna sijeku se u to\v{c}no $\lambda $ to\v{c}aka.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $A$ incidencijska matrica simetri\v{c}nog $2-(v,k,\lambda )$ dizajna 
$D$. Po\v{s}to u dizajnu $D$ vrijedi $k=r$, tada dobijemo $AJ_{v}=J_{v}A$,
jer umno\v{z}ak $(AJ_{v})_{ij}$ predstavlja ukupan broj blokova incidentnih
s to\v{c}kom $P_{i}$, a umno\v{z}ak $(J_{v}A)_{ij}$ predstavlja ukupan broj
to\v{c}aka incidentnih s blokom $l_{j}$. Iz Leme \ref{det}, slijedi da je $%
\det (AA^{T})\neq 0$, pa je $(v\times v)$ matrica $A$ regularna, a vrijedi i 
$AA^{T}=(r-\lambda )I_{v}+\lambda J_{v}$. Pomno\v{z}imo li s desna tu
jednakost matricom $A$ i iskoristimo li $AJ_{v}=J_{v}A$ dobijemo 
\begin{equation*}
A(A^{T}A)=A[(r-\lambda )I_{v}+\lambda J_{v}]\text{,}
\end{equation*}%
a \v{s}to zbog regularnosti od $A$ daje $A^{T}A=(r-\lambda )I_{v}+\lambda
J_{v}$. Umno\v{z}ak $i$-tog i $j$-tog stupca matrice $A$ je $%
(A^{T}A)_{ij}=\tsum_{k=1}^{v}a_{ki}a_{kj}$, a predstavlja ukupan broj to\v{c}%
aka incidentnih s blokovima $l_{i}$ i $l_{j}$. Po\v{s}to je 
\begin{equation*}
(A^{T}A)_{ij}=\left\{ 
\begin{array}{c}
r,\text{ ako }i=j \\ 
\lambda ,\text{ ako }i\neq j%
\end{array}%
\right. \text{, }
\end{equation*}%
slijedi da su svaka dva razli\v{c}ita bloka dizajna $D$ incidentna s to\v{c}%
no $\lambda $ to\v{c}aka.
\end{proof}

\begin{definition}
\label{izo}\textbf{Izomorfizam }simetri\v{c}nih dizajna $D_{1}=(\mathcal{X}%
_{1},\mathfrak{B}_{1})$ i $D_{2}=(\mathcal{X}_{2},\mathfrak{B}_{2})$ je
bijekcija $\alpha :\mathcal{X}_{1}\rightarrow \mathcal{X}_{2}$ za koju
vrijedi%
\begin{equation*}
\forall l\in \mathfrak{B}_{1}\Longrightarrow \{P^{\alpha }\text{; }P\in
l\}\subset \mathfrak{B}_{2}\text{.}
\end{equation*}
\end{definition}

Pro\v{s}irimo li domenu izomorfizma $\alpha $, iz prethodne definicije, na
skup $\mathfrak{B}_{1}$, tako da definiramo $l^{\alpha }:=\{P^{\alpha }$; $%
P\in l\}$, $\forall $ $l\in \mathfrak{B}_{1}$, lako se poka\v{z}e da je $%
\alpha $ bijekcija sa skupa $\mathfrak{B}_{1}$ na $\mathfrak{B}_{2}$ i da
vrijedi%
\begin{equation*}
P\in l\Leftrightarrow P^{\alpha }\in l^{\alpha },\forall P\in \mathcal{X}%
_{1},\forall l\in \mathfrak{B}_{1}.
\end{equation*}%
Za dva simetri\v{c}na dizajna ka\v{z}emo da su \textbf{izomorfna}, ako
postoji barem jedan izomorfizam tih dizajna. O\v{c}ito je da izomorfni
simetri\v{c}ni dizajni imaju iste parametre.

\begin{definition}
\textbf{Automorfizam} ili \textbf{kolineacija} simetri\v{c}nog dizajna $D$
je izomorfizam dizajna $D$ na samog sebe.
\end{definition}

Skup svih automorfizama simetri\v{c}nog dizajna $D$ je grupa s obzirom na
kompoziciju kao operaciju. Tu grupu ozna\v{c}avamo sa $AutD$, a zovemo je 
\textbf{puna grupa kolineacija }dizajna $D$. Podgrupu grupe $AutD$ nazivamo 
\textbf{grupa kolineacija }dizajna $D$.

\begin{definition}
Neka je $G$ permutacijska grupa skupa $\mathcal{X}$.

\textbf{Orbita }elementa $x\in \mathcal{X}$ je skup $x^{G}=\{x^{g};$ $g\in
G\}\subseteq \mathcal{X}$.

\textbf{Stabilizator }elementa $x\in \mathcal{X}$ je skup $G_{x}=\{g\in G;$ $%
x^{g}=x$ $\}\subseteq G$.
\end{definition}

Lako se doka\v{z}e slijede\'{c}a lema.

\begin{lemma}
Ako je $G$ permutacijska grupa skupa $\mathcal{X}$, tada $G_{x}<G$, $\forall
x\in \mathcal{X}$.
\end{lemma}

\begin{theorem}
\label{red}Neka je $G$ permutacijska grupa skupa $\mathcal{X}$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] Grupa $G$ odre\dj uje particiju skupa $\mathcal{X}$ na orbite
pojedinih elemenata.

\item[b)] Ako je $|\mathcal{X}|<\infty $, tada vrijedi $|G|=|G_{x}|\cdot
|x^{G}|$, $\forall x\in \mathcal{X}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[a)] Definirajmo relaciju $\rho $ na skupu $\mathcal{X}$. Za elemente $%
x $ i $y$ iz skupa $\mathcal{X}$ ka\v{z}emo da su u relaciji $\rho $ ako i
samo ako postoji $g\in G$ tako da vrijedi $x^{g}=$ $y$. Relacija $\rho $ je
refleksivna jer $\forall x\in \mathcal{X}$ vrijedi $x^{i_{G}}=x$, simetri%
\v{c}na jer ako za proizvoljne $x$, $y$ iz skupa $\mathcal{X}$ postoji $g\in
G$ tako da je $x^{g}=$ $y$, tada slijedi $y^{g^{-1}}=$ $x$, a po\v{s}to $%
g^{-1}\in G$, slijedi $y\rho x$. Relacija $\rho $ je tranzitivna, jer ako za
proizvoljne $x$, $y$ i $z$ iz skupa $\mathcal{X}$ postoje takvi $g$, $h\in G$
da je $x^{g}=$ $y$ i $y^{h}=$ $z$, tada $x^{gh}=(x^{g})^{h}=y^{h}=z$, a iz 
\v{c}injenice da je $gh\in G$, slijedi $x\rho z$. Dakle, $\rho $ je relacija
ekvivalencije na skupu $\mathcal{X}$, a po\v{s}to $\forall x\in \mathcal{X}$
vrijedi 
\begin{equation*}
\lbrack x]=\{y\in \mathcal{X};\text{ }y\rho x\}=x^{G},
\end{equation*}%
particija skupa $\mathcal{X}$ na orbite pojedinih elemenata je kvocijentni
skup $\mathcal{X}/\rho $.

\item[b)] Fiksirajmo neki $x\in \mathcal{X}$ . Ako je $\mathcal{X}$ kona\v{c}%
an skup, tada je $|\Sigma _{\mathcal{X}}|<\infty $, pa su i grupe $G$, $%
G_{x} $ kona\v{c}ne. Stoga, vrijedi $|G|=|G_{x}|\cdot (G:G_{x})$ (prema
Lagrangeovom teoremu), gdje je $(G:G_{x})$ broj lijevih, odnosno desnih
susjednih klasa grupe $G$ po podgrupi $G_{x}$. Ostalo je jo\v{s} pokazati da
je spomenuti broj jednak $|x^{G}|$. Po\v{s}to su desne susjedne klase grupe $%
G$ po podgrupi $G_{x}$, klase grupe $G$ u odnosu na relaciju ekvivalencije $%
\sim $ definiranu sa: elementi $\alpha $ i $\beta $ iz skupa $G$ su u
relaciji $\sim $ $\Leftrightarrow $ $\alpha \beta ^{-1}\in G_{x}$.
Kvocijentni skup grupe $G$ po relaciji $\sim $ je skup $G/\sim
=\{G_{x}\alpha ;$ $\alpha \in G\}$. Definiramo li sa $\Psi (x^{\alpha
})=G_{x}\alpha $, gdje je $\alpha \in G$, pridru\v{z}ivanje $\Psi $ sa skupa 
$x^{G}$ na skup $G/\sim $, poka\v{z}e se da je $\Psi $ bijekcija, a tada
vrijedi $|x^{G}|=(G:G_{x})$ i tvrdnju smo dokazali.
\end{enumerate}
\end{proof}

Slijede\'{c}a lema dokazuje se uz pomo\'{c} Definicije \ref{strogo} i
relacije $\rho $ kori\v{s}tene u dokazu prethodnog teorema.

\begin{lemma}
\label{orbita}Permutacijska grupa $G$ skupa $\mathcal{X}$ je tranzitivna na $%
\mathcal{X}$ ako i samo ako svi elementi iz $\mathcal{X}$ pripadaju istoj
orbiti pri djelovanju grupe $G$.
\end{lemma}

\begin{definition}
Permutacijska grupa $G$ skupa $\mathcal{X}$ je \textbf{semiregularna} na $%
\mathcal{X}$ ako vrijedi $G_{x}=\{i_{G}\}$, $\forall x\in \mathcal{X}$. Za
grupu $G<\Sigma _{\mathcal{X}}$ ka\v{z}emo da je \textbf{regularna} na $%
\mathcal{X}$ ako je tranzitivna i semiregularna na $\mathcal{X}$.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{permut}Neka je $G$ permutacijska grupa skupa $\mathcal{X}$. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] Ako je $G$ regularna grupa skupa $\mathcal{X}$, tada svaka
permutacija grupe $G$ razli\v{c}ita od identitete nema fiksnih elemenata.

\item[b)] Grupa $G$ je regularna na $\mathcal{X}$ ako i samo ako za svaki $x$%
, $y\in \mathcal{X}$ postoji jedinstveni $g\in G$ tako da je $x^{g}=y$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[a)] Dokaz ove tvrdnje slijedi iz \v{c}injenice da je $G$ semiregularna
na skupu $\mathcal{X}$.

\item[b)] $\fbox{$\Leftarrow $}$ Ako $\forall x$, $y\in \mathcal{X}$ $%
\exists !g\in G$ tako da je $x^{g}=y$, tada je o\v{c}ito grupa $G$
tranzitivna na $\mathcal{X}$. Po\v{s}to je $i_{G}$ jedini element iz $G$
koji fiksira proizvoljan $x\in \mathcal{X}$, slijedi da stabilizator bilo
kojeg elementa $x\in \mathcal{X}$, sadr\v{z}i samo $i_{G}$, tj. $G$ je jo%
\v{s} i semiregularna na $\mathcal{X}$.

\fbox{$\Rightarrow $} Neka je $G$ regularna na skupu $\mathcal{X}$. Iz
tranzitivnosti od $G$ slijedi za svaki $x$, $y\in \mathcal{X}$ postoji $g\in
G$ tako da je $x^{g}=y$. Treba dokazati jedinstvenost. Pretpostavimo
suprotno tj. postoje $g_{1}$, $g_{2}\in G$, tako da $g_{1}\neq g_{2}$ i $%
x^{g_{i}}=y$, za $i\in \{1,2\}$. Ali tada je $%
x^{g_{1}g_{2}^{-1}}=(x^{g_{1}})^{g_{2}^{-1}}=y^{g_{2}^{-1}}=x$, tj. $%
g_{1}g_{2}^{-1}\in G_{x}$. Semiregularnost grupe $G$ na skupu $\mathcal{X}$
povla\v{c}i $g_{1}g_{2}^{-1}=i_{G}$, pa je $g_{1}=g_{2}$. Do\v{s}li smo do
kontradikcije i time dokazali tvrdnju.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{reg}Neka je $\mathcal{X}$ kona\v{c}an skup, a $G<\Sigma _{\mathcal{X}%
} $. Vrijedi:

\begin{enumerate}
\item[a)] Ako elementi $x$ i $y$ skupa $\mathcal{X}$ pripadaju istoj orbiti
pri djelovanju grupe $G$, tada $|x^{G}|=|y^{G}|$ i $|G_{x}|=|G_{y}|$.

\item[b)] Grupa $G$ je regularna na $\mathcal{X}$ $\Leftrightarrow $ $G$ je
tranzitivna grupa skupa $\mathcal{X}$ i postoji $x\in \mathcal{X}$ tako da $%
G_{x}=\{i_{G}\}$.

\item[c)] Ako je $G$ regularna grupa skupa $\mathcal{X}$, tada $|G|=|%
\mathcal{X}|$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}

\begin{enumerate}
\item[a)] Ako elementi $x$ i $y$ skupa $\mathcal{X}$ pripadaju istoj orbiti
pri djelovanju grupe $G$, tada vrijedi $x^{G}=y^{G}$, odnosno $%
|x^{G}|=|y^{G}|$, jer iz dokaza Teorema \ref{red}a) slijedi da su orbite
klase ekvivalencije s obzirom na relaciju $\rho $. Prema spomenutom teoremu, 
$|G|=|G_{x}|\cdot |x^{G}|=|G_{y}|\cdot |y^{G}|$, a iz toga slijedi $%
|G_{x}|=|G_{y}|$.

\item[b)] \fbox{$\Leftarrow $} Neka je $G$ tranzitivna grupa skupa $\mathcal{%
X}$ i $\exists x\in \mathcal{X}$ tako da $G_{x}=\{i_{G}\}$. Iz Leme \ref%
{orbita} slijedi da svi elementi iz $\mathcal{X}$ pripadaju istoj orbiti pri
djelovanju grupe $G$, a tada je, prema prethodno dokazanoj tvrdnji, $%
|G_{y}|=|G_{x}|=1$, $\forall y\in \mathcal{X}$, odnosno grupa $G$ je jo\v{s}
i semiregularna na $\mathcal{X}$.

\fbox{$\Rightarrow $} Dokaz ove tvrdnje je trivijalan.

\item[c)] Fiksirajmo neki $x\in \mathcal{X}$. Ako je $G$ regularna na skupu $%
\mathcal{X}$, onda je i semiregularna, pa $G_{x}=\{i_{G}\}$, a tada prema
Teoremu \ref{red}b) vrijedi%
\begin{equation*}
|G|=|G_{x}|\cdot |x^{G}|=|x^{G}|.
\end{equation*}%
Po\v{s}to je G tranzitivna na skupu $\mathcal{X}$, iz Leme \ref{orbita}
slijedi da svi elementi iz $\mathcal{X}$ pripadaju istoj orbiti pri
djelovanju grupe $G$, odnosno $|\mathcal{X}|=|x^{G}|=|G|.$
\end{enumerate}
\end{proof}

Sada \'{c}emo opisati na\v{c}in prebrojavanja skupova koji \'{c}emo
koristiti u dokazima nekih od slijede\'{c}ih lema. Neka su $M$ i $N$ kona%
\v{c}ni skupovi, a $S\subseteq M\times N$. Definiramo li $S(a,.):=\{n\in N$; 
$(a,n)\in S\}$ i $S(.,b):=\{m\in M$; $(m,b)\in S\}$, za proizvoljan $a\in M$
i $b\in N$, tada je skupu $S(a,.)$ jednozna\v{c}no pridru\v{z}en podskup od $%
S$ koji sadr\v{z}i ure\dj ene parove oblika $(a,n)$. Familija spomenutih
podskupova, $\forall a\in M$, je particija skupa $S$. Kako analogan zaklju%
\v{c}ak vrijedi i za skupove oblika $S(.,b)$, tada je $|S|=\tsum\limits_{a%
\in M}|S(a,.)|=\tsum\limits_{b\in N}|S(.,b)|$.

\begin{lemma}
\textbf{(Burnsideova lema)} Neka je $\mathcal{X}$ kona\v{c}an skup, a $G$
permutacijska grupa skupa $\mathcal{X}$. Vrijedi:%
\begin{equation*}
t\cdot |G|=\sum\limits_{g\in G}f(g);
\end{equation*}%
gdje je $t$ broj orbita pri djelovanju grupe $G$ na skup $\mathcal{X}$, a $%
f(g)$ broj elemenata iz $\mathcal{X}$ koje permutacija $g$ fiksira.
\end{lemma}

\begin{proof}
Definirajmo $S:=\{(x,g)\subseteq \mathcal{X}\times G$; $x^{g}=x\}$, $%
S(x,.):=\{g\in G$; $(x,g)\in S\}$ i $S(.,g):=\{x\in \mathcal{X}$; $(x,g)\in
S\}$. Vrijedi: $S(x,.)=G_{x}$ i $|S(.,g)|=f(g)$. Po prethodno opisanom na%
\v{c}inu prebrojavanja dobijemo, 
\begin{equation}
\tsum\limits_{x\in \mathcal{X}}|G_{x}|=\tsum\limits_{g\in G}f(g).  \tag*{(1)}
\label{s1}
\end{equation}%
Znamo da grupa $G$ odre\dj uje particiju skupa $\mathcal{X}$ na orbite
pojedinih elemenata, a po\v{s}to je $\mathcal{X}$ kona\v{c}an skup tada je i
spomenuta particija kona\v{c}na i neka je to $t$-\v{c}lani skup $%
\{x_{1}^{g},\ldots ,x_{t}^{g}\}$. Prema Lemi \ref{reg}a), $\forall x\in
x_{i}^{g}$ vrijedi $|G_{x}|=|G_{x_{i}}|$. Stoga je $\tsum\limits_{x\in 
\mathcal{X}}|G_{x}|=\tsum\limits_{i=1}^{t}|G_{x_{i}}|\cdot
|x_{i}^{g}|=\tsum\limits_{i=1}^{t}|G|=t\cdot |G|$. Koriste\'{c}i \ref{s1},
dobijemo $t\cdot |G|=\sum\limits_{g\in G}f(g)$.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{fiksni}Neka je $D$ simetri\v{c}ni dizajn, a $\alpha \in AutD$.
Vrijedi:%
\begin{equation*}
F(\alpha )=f(\alpha )\text{;}
\end{equation*}%
gdje $F(\alpha )$ predstavlja broj fiksnih blokova kolineacije $\alpha $,
dok je $f(\alpha )\ $broj fiksnih to\v{c}aka te kolineacije.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ simetri\v{c}ni $2-(v,k,\lambda )$
dizajn. Kako je za $\alpha =i_{AutD}$ dokaz trivijalan, pretpostavimo da je $%
\alpha \neq i_{AutD}$. Prebrojavat \'{c}emo ure\dj ene trojke $(P,P^{\alpha
},l)$ za koje vrijedi $P^{\alpha },P\in l$, gdje su $P\in \mathcal{X}$, $%
l\in \mathfrak{B}$.

Prvo \'{c}emo prebrojiti spomenute trojke fiksiraju\'{c}i to\v{c}ku $P$. Tra%
\v{z}eni broj je $\tsum\limits_{P\in \mathcal{X}}|(P,P^{\alpha },.)|$, gdje
je $(P,P^{\alpha },.)=\{l\in \mathfrak{B}$; $P^{\alpha },P\in l\}$.

Ako je $P$\ fiksna to\v{c}ka kolineacije $\alpha $ tada, po\v{s}to je svaka
to\v{c}ka simetri\v{c}nog dizajna $D$ incidentna sa to\v{c}no $r=k$ blokova,
slijedi $|(P,P^{\alpha },.)|=k$. Skupova oblika $(P,P^{\alpha },.)$, gdje je 
$P\in \mathcal{X}$ fiksna to\v{c}ka kolineacije $\alpha $, ima to\v{c}no $%
f(\alpha )$, jer je toliko fiksnih to\v{c}aka te kolineacije, a svaki od
spomenutih skupova ima to\v{c}no $k$ elemenata.

Ako je $P^{\alpha }\neq P$, a tra\v{z}imo blokove incidentne sa $P^{\alpha }$
i $P$ tada, kako postoji to\v{c}no $\lambda $ blokova simetri\v{c}nog
dizajna $D$ incidentnih sa dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke tog dizajna,
slijedi $|(P,P^{\alpha },.)|=\lambda $. Skupova oblika $(P,P^{\alpha },.)$,
gdje je $P\in \mathcal{X}$ nefiksna to\v{c}ka kolineacije $\alpha $, ima to%
\v{c}no $v-f(\alpha )$, jer je toliko nefiksnih to\v{c}aka te kolineacije, a
svaki od spomenutih skupova ima to\v{c}no $\lambda $ elemenata.

Dakle, dobili smo $\tsum\limits_{P\in \mathcal{X}}|(P,P^{\alpha
},.)|=f(\alpha )\cdot k+[v-f(\alpha )]\cdot \lambda $.

Sada \'{c}emo prebrojiti trojke $(P,P^{\alpha },l)$ fiksiraju\'{c}i blok $l$%
. Tra\v{z}eni broj je $\tsum\limits_{l\in \mathfrak{B}}|(.,.,l)|$, gdje je $%
(.,.,l)=\{P\in \mathcal{X}$; $P^{\alpha },P\in l\}$. Sli\v{c}nim na\v{c}inom
kao pri fiksiranju to\v{c}aka, dobije se $\tsum\limits_{l\in \mathfrak{B}%
}|(.,.,l)|=F(\alpha )\cdot k+[v-F(\alpha )]\cdot \lambda $.

Po\v{s}to vrijedi $\tsum\limits_{P\in \mathcal{X}}|(P,P^{\alpha
},.)|=\tsum\limits_{l\in \mathfrak{B}}|(.,.,l)|$, tada uvr\v{s}tavaju\'{c}i
u taj izraz dobivene vrijednosti, slijedi $f(\alpha )=F(\alpha )$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Broj orbita pri djelovanju grupe kolineacija simetri\v{c}nog dizajna na
skupu to\v{c}aka tog dizajna jednak je broju orbita pri djelovanju te grupe
na skupu blokova.
\end{corollary}

\begin{proof}
Neka je $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ simetri\v{c}ni dizajn, a $G<AutD$
grupa kolineacija tog dizajna. Tada je $G<\Sigma _{\mathcal{X}}$, $G<\Sigma
_{\mathfrak{B}}$ i $|\mathcal{X}|=|\mathfrak{B}|<\infty $. Ozna\v{c}imo sa $%
t_{\mathcal{X}}$ broj orbita pri djelovanju grupe $G$ na skupu $\mathcal{X}$%
, a sa $t_{\mathfrak{B}}$ broj orbita pri djelovanju grupe $G$ na skupu $%
\mathfrak{B}$. Prema prethodnom teoremu i Burnsideovoj lemi vrijedi 
\begin{equation*}
t_{\mathcal{X}}\cdot |G|=\sum\limits_{g\in G}f(g)=\sum\limits_{g\in
G}F(g)=t_{\mathfrak{B}}\cdot |G|,
\end{equation*}%
pa je $t_{\mathcal{X}}=t_{\mathfrak{B}}$.
\end{proof}

Iz prethodnog korolara i Leme \ref{orbita},\ slijedi:

\begin{corollary}
Grupa kolineacija simetri\v{c}nog dizajna je tranzitivna na skupu to\v{c}aka
ako i samo ako je tranzitivna na skupu blokova tog dizajna.
\end{corollary}

\begin{definition}
Grupu kolineacija simetri\v{c}nog dizajna, koja je regularna na skupu to\v{c}%
aka zovemo \textbf{Singerovom} grupom tog dizajna.
\end{definition}

Iz prethodnog korolara i Leme \ref{fiksni}\ slijedi:

\begin{corollary}
\label{tocbl}Grupa kolineacija simetri\v{c}nog dizajna je regularna na skupu
to\v{c}aka ako i samo ako je regularna na skupu blokova tog dizajna.
Specijalno, Singerova grupa simetri\v{c}nog dizajna je regularna na skupu
blokova tog dizajna.
\end{corollary}

\begin{definition}
Neka je $G<AutD$ Singerova grupa simetri\v{c}nog dizajna $D$. Za bilo koju to%
\v{c}ku $P$ i blok $l$ iz $D$, skup $\Delta =\{g\in G$; $P^{g}\in
l\}\subseteq G$ zovemo \textbf{diferencijski skup} grupe $G$.
\end{definition}

To\v{c}ku $P$ iz prethodne definicije zovemo \textbf{bazna to\v{c}ka }%
diferencijskog skupa $\Delta $, a blok $l$ \textbf{bazni blok}. \v{C}esto se
koristi oznaka $\Delta =\Delta (P,l)$.

\begin{lemma}
\label{sinred}Ako je $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ simetri\v{c}ni $%
2-(v,k,\lambda )$ dizajn, $\Delta $ diferencijski skup Singerove grupe $G$
tog dizajna. Tada vrijedi:%
\begin{equation*}
|G|=v\text{ i }|\Delta |=k\text{.}
\end{equation*}
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $\Delta =\Delta (P,l)\subseteq G$, gdje je $P\in \mathcal{X}$ i $%
l\in \mathfrak{B}$. Grupa $G$ je regularna na kona\v{c}nom skupu $\mathcal{X}
$, pa prema Lemi \ref{reg}c) slijedi $|G|=|\mathcal{X}|=v$.

Svaki blok dizajna $D$ ima to\v{c}no $k$ to\v{c}aka, a neka su $A_{1},\ldots
,A_{k}$ sve to\v{c}ke bloka $l$. Prema Lemi \ref{permut}b), a zbog
regularnosti od $G$ na skupu $\mathcal{X}$, za svaki $A_{i}$ postoji
jedinstveni $g_{i}\in G$ tako da vrijedi $P^{g_{i}}=A_{i}$. Tada je $%
\{g_{1},\ldots ,g_{k}\}\subseteq \Delta $, a svi navedeni $g_{i}$ su razli%
\v{c}iti. Treba pokazati da je $\Delta \subseteq \{g_{1},\ldots ,g_{k}\}$.
Ako uzmemo proizvoljan $g\in \Delta $, tada je $P^{g}\in l$, pa postoji
takav $j\in \{1,\ldots ,k\}$ da je $P^{g}=$ $P^{g_{j}}$. Iz toga slijedi $%
P^{gg_{j}^{-1}}=P$, a prema Lemi \ref{permut}a) jedini element iz $G$ koji
fiksira to\v{c}ke dizajna $D$ je identiteta, pa $g=g_{j}\subseteq
\{g_{1},\ldots ,g_{k}\}$.
\end{proof}

\begin{definition}
\label{dif}Neka su $v$, $k$ i $\lambda $ prirodni brojevi za koje vrijedi $%
v>k$, a $G$ je kona\v{c}na grupa reda $v$. Za $k$-\v{c}lani podskup $\Delta $
grupe $G$ ka\v{z}emo da je $(v,k,\lambda )$\textbf{\ diferencijski skup}
grupe $G$, ako za svaki $g\in $ $G$ razli\v{c}it od identitete postoji to%
\v{c}no $\lambda $ ure\dj enih parova $(x,y)$ elemenata iz $\Delta $\ tako
da vrijedi $g=xy^{-1}$ i to\v{c}no $\lambda $ ure\dj enih parova $(z,w)\in
\Delta \times \Delta $\ za koje vrijedi $g=z^{-1}w$.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{vkl}Svaki diferencijski skup Singerove grupe $G$ simetri\v{c}nog $%
2-(v,k,\lambda )$ dizajna $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$ je $(v,k,\lambda )$
diferencijski skup grupe $G$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $\Delta (P,l)\subseteq G$ diferencijski skup grupe $G$, gdje je $%
P\in \mathcal{X}$ i $l\in \mathfrak{B}$. Iz prethodne leme slijedi $|G|=v$ i 
$|\Delta (P,l)|=k$. Uzmemo li u grupi $G$ element $g$ razli\v{c}it od
identitete, tada je $P^{g}\neq P$, jer po Lemi \ref{permut} svaka
permutacija razli\v{c}ita od identitete iz regularne permutacijske grupe $G$
skupa $\mathcal{X}$, nema fiksnih elemenata u skupu $\mathcal{X}$. Po\v{s}to
postoji to\v{c}no $\lambda $\ blokova dizajna $D$ kojima to\v{c}ke $P^{g}$ i 
$P$ pripadaju, tada prema navedenoj lemi, a zbog regularnosti od $G$ na
skupu blokova dizajna $D$, postoje jedinstveni $h_{i}\in G$ tako da su tra%
\v{z}eni blokovi upravo $l^{h_{i}}$, $\forall i\in \{1,\ldots ,\lambda \}$.
Iz $P\in l^{h_{i}}$ i $P^{g}\in l^{h_{i}}$ slijedi $P^{h_{i}^{-1}}\in l$ i $%
P^{gh_{i}^{-1}}\in l$, odnosno $h_{i}^{-1}$, $gh_{i}^{-1}$ $\in \Delta $.
Ozna\v{c}imo li $b_{i}=h_{i}^{-1}$, $a_{i}=gh_{i}^{-1}$, tada su $a_{i}$ i $%
b_{i}\in \Delta $ i $g=a_{i}b_{i}^{-1}$. \v{Z}elimo pokazati da postoji to%
\v{c}no $\lambda $ parova $(x,y)$ elemenata iz $\Delta $,\ tako da se $g$ mo%
\v{z}e zapisati u obliku $xy^{-1}$. Poka\v{z}imo da su $(a_{i},b_{i})$, $%
\forall $ $i\in \{1,\ldots ,\lambda \}$, jedini takvi parovi. Neka su $%
(e,f)\in \Delta \times \Delta $ takvi da je $g=ef^{-1}$. Tada je $gf=e\in
\Delta $, pa $P^{gf}\in l$, iz \v{c}ega $P^{g}\in l^{f^{-1}}$. Po\v{s}to je $%
f\in \Delta $, tada $P^{f}\in l$, pa $P\in l^{f^{-1}}$. Dakle $P$, $P^{g}\in
l^{f^{-1}}$, a prema prethodnom razmatranju $\exists j\in \{1,\ldots
,\lambda \}$ tako da je $f^{-1}=h_{j}$. Slijedi $f=b_{j}$, $%
e=gf=gh_{j}^{-1}=a_{j}$, tj. $(e,f)=(a_{j},b_{j})$.

Polaze\'{c}i od regularnosti grupe $G$ na skupu blokova dizajna $D$, na sli%
\v{c}an na\v{c}in mo\v{z}emo pokazati ostatak tvrdnje.
\end{proof}

\begin{definition}
Neka je $\Delta $ podskup grupe $G$. \textbf{Desni translati} skupa $\Delta $
su podskupovi grupe $G$ oblika $\Delta g=\{dg$; $d\in \Delta \}$, gdje je $%
g\in G$.
\end{definition}

\begin{theorem}
\label{dev1}Ako je $\Delta $ $(v,k,\lambda )$ diferencijski skup grupe $G$,
tada je incidencijska struktura $dev\Delta =(G,\{\Delta g$; $g\in G\})$ sa
pripadnom relacijom incidencije $\mathcal{I}=\in $, simetri\v{c}ni $%
2-(v,k,\lambda )$ dizajn.
\end{theorem}

\begin{proof}
Iz definicije $(v,k,\lambda )$ diferencijskog skupa grupe $G$, slijedi da je 
$|\Delta |=k$, te da u incidencijskoj strukturi $dev\Delta $ ima to\v{c}no $%
|G|=v$ to\v{c}aka. Neka je $\Delta =\{d_{1},\ldots ,d_{k}\}$, gdje su svi $%
d_{i}$ razli\v{c}iti. Odaberemo li proizvoljan desni translat $\Delta g$
skupa $\Delta $, tada vrijedi $\Delta g=\{d_{1}g,\ldots ,d_{k}g\}$, gdje je $%
g\in G$. Razli\v{c}itost svih $d_{i}$ povla\v{c}i razli\v{c}itost svih $%
gd_{i}$. Dakle, $|\Delta g|=k$, $\forall g\in G$, tj. u incidencijskoj
strukturi $dev\Delta $ svaki blok ima to\v{c}no $k$ to\v{c}aka.

Ako poka\v{z}emo da su svake dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke iz $dev\Delta $
incidentne sa to\v{c}no $\lambda $ blokova, tada je $dev\Delta $ $%
2-(v,k,\lambda )$ dizajn. Uzmimo proizvoljne i razli\v{c}ite elemente $g_{1}$%
, $g_{2}$ iz grupe $G$, tj. vrijedi $g_{1}g_{2}^{-1}\neq i_{G}$. Iz
Definicije \ref{dif} slijedi da postoji to\v{c}no $\lambda $ ure\dj enih
parova $(x,y)\in \Delta \times \Delta $\ tako da vrijedi $g=xy^{-1}$, a neka
su to upravo $(a_{i},b_{i})$, za $i\in \{1,\ldots ,\lambda \}$. Definirajmo $%
h_{i}=b_{i}^{-1}g_{2}$, $\forall i\in \{1,\ldots ,\lambda \}$. Fiksirajmo
neki od navedenih $i$. Iz $h_{i}=b_{i}^{-1}g_{2}$ slijedi $%
g_{2}=b_{i}h_{i}\in \Delta h_{i}$. Po\v{s}to je $%
g_{1}g_{2}^{-1}=a_{i}b_{i}^{-1}$, tada je $%
g_{1}=a_{i}b_{i}^{-1}g_{2}=a_{i}h_{i}\in \Delta h_{i}$. Time smo pokazali da
su to\v{c}ke $g_{1}$, $g_{2}$ incidentne sa blokovima $\Delta h_{i}=\Delta
b_{i}^{-1}g_{2}$, $\forall i\in \{1,\ldots ,\lambda \}$. Treba jo\v{s} samo
pokazati da su to jedini blokovi s kojima su navedene to\v{c}ke incidentne.
Neka su $g_{1}$, $g_{2}\in \Delta f$. Po\v{s}to je $G$ grupa, tada postoji
jedinstveni $y\in G$ takav da je $f=y^{-1}g_{2}$. Stoga je $g_{2}=yf$, pa iz 
$g_{2}\in \Delta f$ slijedi $yf\in \Delta f$, odnosno $y\in \Delta $. Tako%
\dj er, $g_{1}\in \Delta f=\Delta y^{-1}g_{2}$ povla\v{c}i $%
g_{1}g_{2}^{-1}\in \Delta y^{-1}$, tj. postoji $m\in \Delta $ tako da
vrijedi $g_{1}g_{2}^{-1}=my^{-1}$. Po\v{s}to su $m$, $y\in \Delta $, tada iz
prethodno pokazanog, vrijedi da $\exists j\in \{1,\ldots ,\lambda \}$ tako
da je $m=a_{j}$ i $y=b_{j}$. Stoga je $f=y^{-1}g_{2}=b_{j}^{-1}g_{2}$, pa su 
$g_{1}$, $g_{2}\in \Delta b_{j}^{-1}g_{2}$.

Ako poka\v{z}emo da $2-(v,k,\lambda )$ dizajn $dev\Delta $ ima to\v{c}no $v$
blokova, tada je on simetri\v{c}an. Po\v{s}to je $|G|=v$, slijedi da je $%
|\{\Delta g;g\in G\}|\leq v$ (zbog eventualnih $\Delta g=\Delta )$. Kako po
Fisherovoj nejednakosti, broj blokova $2-(v,k,\lambda )$ dizajna ne smije
biti manji od broja to\v{c}aka, slijedi $|\{\Delta g;g\in G\}|\geq v$, dakle 
$|\{\Delta g;g\in G\}|=v$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{dev2}Ako je $\Delta $ diferencijski skup Singerove grupe $G$ simetri%
\v{c}nog dizajna $D=(\mathcal{X},\mathfrak{B})$, tada vrijedi $dev\Delta
\cong D$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Neka je $D$ simetri\v{c}ni $2-(v,k,\lambda )$ dizajn, to\v{c}ka $P\in 
\mathcal{X}$ i blok $l\in \mathfrak{B}$ su bazni elementi diferencijskog
skupa $\Delta $ Singerove grupe $G$ dizajna $D$, tj. vrijedi $\Delta =\Delta
(P,l)$. Iz Teorema \ref{vkl}, slijedi da je $\Delta (P,l)$ $(v,k,\lambda )$
diferencijski skup grupe $G$, a u prethodnom teoremu dokazali smo da je $%
dev\Delta =(G,\{\Delta g$; $g\in G\})$ simetri\v{c}ni $2-(v,k,\lambda )$
dizajn. Definirajmo sa $\alpha (g)=P^{g}$, $\forall g\in G$, pridru\v{z}%
ivanje $\alpha :G\rightarrow \mathcal{X}$. Izaberimo proizvoljnu to\v{c}ku $%
R\in \mathcal{X}$. Zbog regularnosti grupe $G$ na to\v{c}kama dizajna $D$, a
prema Lemi \ref{permut}b), postoji jedinstveni$\ h\in G$ tako da vrijedi $%
P^{h}=R$. Tada je $\alpha (h)=R$, pa je preslikavanje $\alpha $ bijektivno.

Po\v{s}to je $|\Delta |=k$, neka je $\Delta =\{d_{1},\ldots ,d_{k}\}$, gdje
su svi $d_{i}$ razli\v{c}iti. Odaberemo li proizvoljan blok $\Delta g$ u $%
dev\Delta $, tada vrijedi $\Delta g=\{d_{1}g,\ldots ,d_{k}g\}$, gdje je $%
g\in G$, a razli\v{c}itost svih $d_{i}$ povla\v{c}i razli\v{c}itost svih $%
d_{i}g$. Poka\v{z}imo da je skup 
\begin{equation*}
\alpha (\Delta g):=\{\alpha (d_{1}g),\ldots ,\alpha
(d_{k}g)\}=\{P^{d_{1}g},\ldots ,P^{d_{k}g}\}
\end{equation*}%
blok u dizajnu $D$. Po\v{s}to su $d_{i}\in \Delta $, tada\ $P^{d_{i}g}\in
l^{g}$, $\forall i\in \{1,\ldots ,k\}$, tj. 
\begin{equation*}
\alpha (\Delta g)=\{P^{d_{1}g},\ldots ,P^{d_{k}g}\}\subseteq l^{g}\in 
\mathfrak{B}\text{.}
\end{equation*}%
Ako poka\v{z}emo da su sve navedene to\v{c}ke $P^{d_{i}g}$ razli\v{c}ite,
tada je $\alpha (\Delta g)=l^{g}\in \mathfrak{B}$. Pretpostavimo li suprotno
tj. $P^{d_{i}g}=P^{d_{j}g}$, gdje su $i$, $j\in \{1,\ldots ,k\}$, $i\neq j$,
tada je $P^{d_{i}d_{j}^{-1}}=P$. Zbog regularnosti grupe $G$ na to\v{c}kama
dizajna $D$, a prema Lemi \ref{permut}a) svaka permutacija iz $G$ razli\v{c}%
ita od identitete nema fiksnih to\v{c}aka u $D$. Stoga je $%
d_{i}d_{j}^{-1}=i_{G}$, pa je $d_{i}=$ $d_{j}$, \v{s}to je u kontradikciji s 
\v{c}injenicom da su svi $d_{i}$ razli\v{c}iti. Time smo za proizvoljan blok 
$\Delta g$ $\in dev\Delta $ pokazali da je $\alpha (\Delta g)\in \mathfrak{B}
$, pa vrijedi $\{\alpha (\Delta g)$; $g\in G\}\subseteq \mathfrak{B}$, a
tada je po, Definiciji \ref{izo}, $\alpha $ izomorfizam simetri\v{c}nih
dizajna $dev\Delta $ i $D$.
\end{proof}

U uvjetima pro\v{s}log teorema, za dizajn $dev\Delta $ $\cong D$ ka\v{z}emo
da je \textbf{diferencijski prikaz }simetri\v{c}nog\textbf{\ }dizajna $D$.

\subsection{Diferencijski prikaz projektivnih geometrija tipa $P_{n}(q)$}

\begin{theorem}
\textbf{(Singerov teorem) }Simetri\v{c}ni dizajn $P_{n}(q)$ ima cikli\v{c}ku
Singerovu grupu reda $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Prona\dj emo li Singerovu grupu dizajna $P_{n}(q)$, tada iz Leme \ref{sinred}
zaklju\v{c}ujemo da je red te grupe jednak broju to\v{c}aka dizajna $%
P_{n}(q) $, a prema Propoziciji \ref{proj}, spomenuti broj iznosi $\frac{%
q^{n+1}-1}{q-1}$.

Neka je $K=F_{q}$. Za $n\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ postoji jedinstveno polje reda $q^{n+1}$, a ozna\v{c}it \'{c}emo ga sa $%
V=F_{q^{n+1}}$. Polje $V$ je $(n+1)$-dimenzionalni vektorski prostor nad $K$%
. Skup svih potprostora prostora $V$ nad poljem $K$ \v{c}ini projektivnu
geometriju $P(V)=P_{n}(q)$.

Za $f\in V^{\ast }$ definirajmo pridru\v{z}ivanje $\mathbf{R}%
_{f}:V\rightarrow V$ tako da je $v^{\mathbf{R}_{f}}=vf$, $\forall v\in V$.
Preslikavanja $\{\mathbf{R}_{f}$; $f\in V^{\ast }\}$ su linearne
transformacije vektorskog prostora $V$, jer za proizvoljan $f\in V^{\ast }$
vrijedi:%
\begin{eqnarray*}
(v+w)^{\mathbf{R}_{f}} &=&(v+w)f=vf+wf\text{; }\forall v,w\in V\text{ i} \\
(kv)^{\mathbf{R}_{f}} &=&(kv)f=k(vf)\text{; }\forall v\in V\text{, }\forall
k\in K\text{.}
\end{eqnarray*}%
Fiksirajmo $f\in V^{\ast }$. Preslikavanje $\mathbf{R}_{f}$ je injekcija,
jer iz $vf=wf$, slijedi $v=w$; za svaki $v$, $w\in V$. Za to preslikavanje
vrijedi i surjektivnost, jer ako za proizvoljan $y\in V^{\ast }$ definiramo $%
x=yf^{-1}$, tada $x^{\mathbf{R}_{f}}=xf=y$, dok je za $y=0$ pripadni $x$
jednak $0$. Dakle, slijedi $\mathbf{R}_{V^{\ast }}:=\{\mathbf{R}_{f}$; $f\in
V^{\ast }\}\subseteq GL(V)$.

Skup $\mathbf{R}_{V^{\ast }}:=\{\mathbf{R}_{f}$; $f\in V^{\ast }\}$ je
podgrupa grupe $GL(V)$ s obzirom na mno\v{z}enje transformacija, jer iz%
\begin{equation*}
v^{\mathbf{R}_{f}\mathbf{R}_{g}}=(vf)^{\mathbf{R}_{g}}=v(fg)=v^{\mathbf{R}%
_{fg}}\text{, }\forall v\in V\text{,}
\end{equation*}%
slijedi $\mathbf{R}_{f}\mathbf{R}_{g}=\mathbf{R}_{fg}$, $\forall f,g\in
V^{\ast }$, tj. grupoidnost je zadovoljena, sli\v{c}no se poka\v{z}e da
vrijedi asocijativnost. Jedinica u $\mathbf{R}_{V^{\ast }}$ je $\mathbf{R}%
_{1}$, a inverz svakog $\mathbf{R}_{f}\in \mathbf{R}_{V^{\ast }}$ je $%
\mathbf{R}_{f^{-1}}\in \mathbf{R}_{V^{\ast }}$.

Poka\v{z}imo da vrijedi $\mathbf{R}_{V^{\ast }}\cong V^{\ast }$. Definirajmo
pridru\v{z}ivanje $\Phi :V^{\ast }\rightarrow \mathbf{R}_{V^{\ast }}$ tako
da je $\Phi (f)=\mathbf{R}_{f}$, $\forall f\in V^{\ast }$. Iz%
\begin{equation*}
\Phi (fg)=\mathbf{R}_{fg}=\mathbf{R}_{f}\mathbf{R}_{g}=\Phi (f)\Phi (g)\text{%
, }\forall f\text{ i }g\in V^{\ast }\text{, }
\end{equation*}%
slijedi da je $\Phi $ homomorfizam grupa $V^{\ast }$ i $\mathbf{R}_{V^{\ast
}}$, a po\v{s}to je bijektivnost preslikavanja $\Phi $ o\v{c}ita, tada je $%
\mathbf{R}_{V^{\ast }}\cong V^{\ast }$.

Grupa $\mathbf{R}_{V^{\ast }}<GL(V)$ inducira podgrupu $G$ grupe $PGL(V)$.
Pokazat \'{c}emo da je grupa $G$ upravo cikli\v{c}ka, Singerova grupa
dizajna $P_{n}(q)$. Ozna\v{c}imo sa $R_{f}$ takve automorfizme projektivne
geometrije $P_{n}(q)$ koji su inducirani linearnim transformacijama $\mathbf{%
R}_{f}\in \mathbf{R}_{V^{\ast }}$. Vrijedi: $\langle v\rangle
^{R_{f}}=\langle v^{\mathbf{R}_{f}}\rangle $, $\forall v\in V$.

Po\v{s}to je $G<PGL(V)$ tada slijedi da je $G$ grupa kolineacija simetri\v{c}%
nog dizajna $P_{n}(q)$.

Ako poka\v{z}emo da je $G\cong \mathbf{R}_{V^{\ast }}/\mathbf{R}_{K^{\ast
}}\cong V^{\ast }/K^{\ast }$, tada po\v{s}to je $V^{\ast }$ cikli\v{c}ka,
slijedi da je i grupa $G$ cikli\v{c}ka. Ozna\v{c}imo sa $\Psi $ restrikciju
na $\mathbf{R}_{V^{\ast }}$ prirodnog epimomorfizma sa $GL(V)$ na $PGL(V)$,
tj. $\Psi :\mathbf{R}_{V^{\ast }}\rightarrow G$. Jezgru epimorfizma $\Psi $ 
\v{c}ine elementi iz $\mathbf{R}_{V^{\ast }}$ koji induciraju identitetu u $%
PGL(V)$, odnosno takvi $\mathbf{R}_{f}\in \mathbf{R}_{V^{\ast }}$ s
svojstvom da fiksiraju jednodimenzionalne potprostore od $V$. Ako $\langle
v^{\mathbf{R}_{f}}\rangle =\langle v\rangle $, $\forall v\in V^{\ast }$,
slijedi $\langle vf\rangle =\langle v\rangle $, odnosno $vf=kv$, gdje je $%
k\in K^{\ast }$, a tada je $f=k$, tj. $\mathbf{R}_{f}\in \mathbf{R}_{K^{\ast
}}$. Dakle, vrijedi $Ker\Psi =\mathbf{R}_{K^{\ast }}$, a tada $G\cong 
\mathbf{R}_{V^{\ast }}/\mathbf{R}_{K^{\ast }}$.

Pokazati \'{c}emo da sve to\v{c}ke iz $P_{n}(q)$ pripadaju orbiti 
\begin{equation*}
\langle v\rangle ^{G}=\{\langle v\rangle ^{R_{f}};f\in V^{\ast }\}=\{\langle
vf\rangle ;f\in V^{\ast }\},
\end{equation*}%
pa je, prema Lemi \ref{orbita}, grupa $G$ tranzitivna na to\v{c}kama dizajna 
$P_{n}(q)$. Uzmimo proizvoljnu to\v{c}ku $\langle w\rangle $ iz $P_{n}(q)$.
Definiramo li $f=v^{-1}w$, tada%
\begin{equation*}
\langle v\rangle ^{R_{f}}=\langle vf\rangle =\langle w\rangle \Rightarrow
\langle w\rangle \in \langle v\rangle ^{G}.
\end{equation*}

Provjerimo da li je grupa $G$ semiregularna na to\v{c}kama dizajna $P_{n}(q)$%
, tj. da li je stabilizator svake to\v{c}ke iz $P(V)=P_{n}(q)$ identiteta u $%
PGL(V)$. Uzmimo proizvoljnu to\v{c}ku $\langle v\rangle \in P_{n}(q)$.
Stabilizator te to\v{c}ke pri djelovanju grupe $G$ je 
\begin{equation*}
G_{\langle v\rangle }=\{R_{f}\in G;\langle v\rangle ^{R_{f}}=\langle
v\rangle \}.
\end{equation*}%
Iz $\langle v\rangle ^{R_{f}}=\langle v\rangle $ slijedi $\langle v^{\mathbf{%
R}_{f}}\rangle =\langle v\rangle $, odnosno $\langle vf\rangle =\langle
v\rangle $, a tada je $vf=kv$, gdje je $k\in K^{\ast }$ i vrijedi $f=k$.
Stoga, grupi $\mathbf{R}_{K^{\ast }}$ pripadaju linearne transformacije $%
\mathbf{R}_{f}$ koje induciraju elemente iz $G_{\langle v\rangle }$. U
prethodnim smo izlaganjima zaklju\v{c}ili da elementi iz $\mathbf{R}%
_{K^{\ast }}$ induciraju identitetu u $PGL(V)$, pa $G_{\langle v\rangle
}=\{i_{G}\}$.

Dakle, grupa $G$ je Singerova grupa dizajna $P_{n}(q)$, pa iz Korolara \ref%
{tocbl} slijedi regularnost te grupe na blokovima dizajna $P_{n}(q)$.
\end{proof}

Za kraj \'{c}emo iz prethodnih izlaganja zaklju\v{c}iti da projektivne
geometrije nad kona\v{c}nim poljem imaju diferencijske prikaze i na
konkretnim primjerima na\'{c}i na\v{c}in kako ih najelegantnije dobiti.

Po Singerovom teoremu, za simetri\v{c}ni dizajn $P_{n}(q)$ postoji cikli\v{c}%
ka Singerova grupu $G$ reda $v=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. Odaberemo li neki
diferencijski skup $\Delta =\Delta (P,l)$ grupe $G$, gdje je $P$ to\v{c}ka,
a $l$ blok u $P_{n}(q)$, prema Teoremu \ref{dev1}, slijedi da je
incidencijska struktura $dev\Delta =(G,\{\Delta g$; $g\in G\})$ sa pripadnom
relacijom sadr\v{z}avanja simetri\v{c}ni dizajn s istim parametrima kao i $%
P_{n}(q)$. Koriste\'{c}i Teorem \ref{dev2}, zaklju\v{c}ujemo da su dizajni $%
P_{n}(q)$ i $dev\Delta $ izomorfni.

Kako je $G$ cikli\v{c}ka grupa reda $v$, mo\v{z}emo je poistovjetiti sa
aditivnom grupom $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{v}$ ostataka djeljenja sa $v$. Dakle, u diferencijskom prikazu dizajna $%
P_{n}(q)$ to\v{c}ke \'{c}emo ozna\v{c}iti sa $0,1,\ldots ,v-1$. Blokovi
dizajna $dev\Delta $, tj. desni translati skupa $\Delta $, u aditivnom
zapisu su oblika $\Delta +g=\{d+g$; $d\in \Delta \}$, gdje je $g\in G$, a
navedena operacija je zbrajanje modulo $v$. Prema tome, da bi prona\v{s}li
diferencijski prikaz projektivne geometrije nad kona\v{c}nim poljem treba na%
\'{c}i barem jedan diferencijski skup pripadne Singerove grupe.

\begin{example}
\textbf{Diferencijski prikaz dizajna }$P_{2}(2)$\textbf{.}

Prema Propoziciji \ref{proj}, projektivna ravnina $P_{2}(2)$ je simetri\v{c}%
ni $2-(7,3,1)$ dizajn. Prvo \'{c}emo izgraditi polje $F_{2^{3}}$ nad $F_{2}$%
. Odaberimo primitivan polinom%
\begin{equation*}
f(x)=x^{3}+x+1\in F_{2}[x]
\end{equation*}%
polja $F_{2^{3}}$ nad $F_{2}$. Ozna\v{c}imo li njegovu nulto\v{c}ku sa $y$,
tada je $y$ primitivan element polja $F_{2^{3}}$ i vrijedi $%
[F_{2}(y):F_{2}]=\deg f(x)=3$, pa je $|F_{2}(y)|=2^{3}$, stoga slijedi $%
F_{2}(y)=F_{2^{3}}$, a baza vektorskog prostora $F_{2^{3}}$ nad $F_{2}$ je $%
\{1,y,y^{2}\}$. Elementi polja $F_{2^{3}}$ su $%
\{0,1,y,y^{2},y^{3},y^{4},y^{5},y^{6}\}$. Koriste\'{c}i \v{c}injenicu da je $%
y^{3}=1+y$, dobijemo elemente grupe $F_{8}^{\ast }$:%
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
1=y^{0}=(1,0,0), \\ 
y=(0,1,0), \\ 
y^{2}=(0,0,1), \\ 
y^{3}=1+y=(1,1,0), \\ 
y^{4}=y+y^{2}=(0,1,1), \\ 
y^{5}=1+y+y^{2}=(1,1,1)\text{ i} \\ 
y^{6}=1+y^{2}=(1,0,1).%
\end{array}%
\end{equation*}

U dokazu Singerovog teorema pokazali smo da je Singerova grupa $G$ dizajna $%
P_{2}(2)$, cikli\v{c}ka grupa reda $7$, izomorfna sa $\mathbf{R}%
_{F_{8}^{\ast }}/\mathbf{R}_{F_{2}^{\ast }}$, odnosno sa $F_{8}^{\ast
}/F_{2}^{\ast }$. Elementi iz $F_{8}^{\ast }/F_{2}^{\ast }$ su klase $%
[x]=F_{2}^{\ast }x=x$, $\forall x\in F_{8}^{\ast }$. Dakle, vrijedi $G\cong
F_{8}^{\ast }\cong \mathbf{R}_{F_{8}^{\ast }}$. Poistovjetit \'{c}emo
elemente $y^{i}\in F_{8}^{\ast }$ i $\mathbf{R}_{y^{i}}\in \mathbf{R}%
_{F_{8}^{\ast }}$, a u aditivnom prikazu grupe $G$ taj element \'{c}emo ozna%
\v{c}iti sa $\imath $, a po\v{s}to \'{c}e nam elementi grupe $G$ biti to\v{c}%
ke dizajna $dev\Delta $ izomorfnog sa $P_{2}(2)$, sa $\imath $ \'{c}emo
obilje\v{z}iti i to\v{c}ku $\langle y^{i}\rangle \in P_{2}(2)$, $\forall
i\in \{0,1,\ldots ,6\}$.

Potrebno je prona\'{c}i diferencijski skup $\Delta $ grupe $G$. Neka su
bazni elementi skupa $\Delta $ to\v{c}ka $P=\langle y^{0}\rangle $ i blok $l$%
, tj. pravac $l$ kroz to\v{c}ke $\langle y^{0}\rangle $ i $\langle
y^{1}\rangle $. Pravac u projektivnoj geometriji $g$-dimenzije $2$ jednozna%
\v{c}no je odre\dj en sa pripadne dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke, a po\v{s}to
su $\langle y^{0}\rangle =\langle (1,0,0)\rangle $ i $\langle y^{1}\rangle
=\langle (0,1,0)\rangle $, lako se dobije da je u homogenim koordinatama
pravac $l=\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle $. To\v{c}ka $\langle
(x_{1},x_{2},x_{3})\rangle \in l\Leftrightarrow x_{3}=0$, pa je osim
navedenih s pravcem $l$ incidentna jedino to\v{c}ka $\langle y^{3}\rangle
=\langle (1,1,0)\rangle $.

Po\v{s}to je $\Delta (P,l)=\{g\in G$; $P^{g}\in l\}$, $P=y^{0}$, $%
l=\{y^{0},y^{1},y^{3}\}$ i $G\cong \mathbf{R}_{F_{8}^{\ast }}$, trebamo na%
\'{c}i one $\mathbf{R}_{f}\in \mathbf{R}_{F_{8}^{\ast }}$, tako da vrijedi $%
(y^{0})^{\mathbf{R}_{f}}\in \{y^{0},y^{1},y^{3}\}$. Za svaki $f\in
F_{8}^{\ast }$ vrijedi $(y^{0})^{\mathbf{R}_{f}}=y^{0}f=f$, pa slijedi $%
\Delta =\{\mathbf{R}_{y^{0}},\mathbf{R}_{y^{1}},\mathbf{R}%
_{y^{3}}\}=\{y^{0},y^{1},y^{3}\}$, odnosno u aditivnom zapisu $\Delta
=\{0,1,3\}$.

Dakle, diferencijski prikaz dizajna $P_{2}(2)$ je dizajn $dev\Delta $ u
kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,2,3,4,5,6$;

$\Delta =\{0,1,3\};$

Blokovi su skupovi $\Delta +x$; $x\in \{0,1,\ldots ,6\}$, tj.%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{l}
\begin{tabular}{l}
$\{0,1,3\}$ \\ 
$\{1,2,4\}$ \\ 
$\{2,3,5\}$ \\ 
$\{3,4,6\}$ \\ 
$\{4,5,0\}$ \\ 
$\{5,6,1\}$ \\ 
$\{6,0,2\}.$%
\end{tabular}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Izbor to\v{c}ke $P=\langle y^{0}\rangle =\langle (1,0,0)\rangle $ pokazao se
odli\v{c}nim, jer se u tom slu\v{c}aju diferencijski skup $\Delta $
Singerove grupe $G$ dizajna $P_{2}(2)$ sastoji od to\v{c}aka incidentnih sa
baznim blokom $l$. Izbor pravca $l=\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle $ za
bazni blok dodatno olak\v{s}ava pronala\v{z}enje skupa $\Delta $, jer tada $%
\Delta $ \v{c}ine to\v{c}ke iz projektivne ravnine $P_{2}(2)$ incidentne s
tim pravcem, odnosno to\v{c}ke kojima je zadnja koordinata $0$.
\end{example}

Sad \'{c}emo poop\'{c}iti postupak iz prethodnog primjera. Dakle, da bi prona%
\v{s}li diferencijski prikaz dizajna $P_{n}(q)$, prvo je potrebno izgraditi
polje $V=F_{q^{n+1}}$ nad $K=F_{q}$. U slijede\'{c}em koraku reprezentirajmo
pripadnu cikli\v{c}ku Singerovu grupu $G\cong \mathbf{R}_{V^{\ast }}/\mathbf{%
R}_{K^{\ast }}\cong V^{\ast }/K^{\ast }$, ali i to\v{c}ke projektivne
geometrije $P_{n}(q)$, sa aditivnom grupom $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{v}$\ ostataka dijeljenja sa $v$, gdje je $v=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}%
=q^{n}+q^{n-1}+\cdots q+1$. Ako za baznu to\v{c}ku diferencijskog skupa $%
\Delta $ izaberemo $\langle (1,0,\ldots ,0)\rangle \in P_{n}(q)$, a za bazni
blok hiperravninu $\langle (0,0,\ldots ,1)^{\prime }\rangle $, tada
diferencijski skup \v{c}ine to\v{c}ke iz $P_{n}(q)$ incidentne s navedenom
hiperravninom, a to su one to\v{c}ke \v{c}ija je zadnja koordinata $0$. I
naposlijetku, diferencijski prikaz projektivne geometrije $P_{n}(q)$ je
dizajn u kojem su to\v{c}ke elementi iz $%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{v}$, blokovi su skupovi $\Delta +x=\{d+x$; $d\in \Delta \}$, $\forall x\in 
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
_{v}$, a navedena operacija je zbrajanje modulo $v$.

\begin{example}
\textbf{Diferencijski prikaz dizajna }$P_{2}(3)$\textbf{.}

Prema Propoziciji \ref{proj}, projektivna ravnina $P_{2}(3)$ je simetri\v{c}%
ni $2-(13,4,1)$ dizajn. Izgradimo polje $F_{3^{3}}$ nad $F_{3}$. Odaberimo
primitivan polinom 
\begin{equation*}
f(x)=x^{3}+2x+1\in F_{3}[x]
\end{equation*}%
polja $F_{3^{3}}$ nad $F_{3}$. Ozna\v{c}imo li njegovu nulto\v{c}ku sa $y$,
tada je $y$ primitivan element polja $F_{3^{3}}$ i vrijedi $%
[F_{3}(y):F_{3}]=\deg f(x)=3$, pa je $|F_{3}(y)|=3^{3}$, stoga slijedi $%
F_{3}(y)=F_{3^{3}}$, baza vektorskog prostora $F_{3^{3}}$ nad $F_{3}$ je $%
\{1,y,y^{2}\}$, te $\langle y\rangle =F_{3^{3}}^{\ast }$. Elementi polja $%
F_{3^{3}}$ su $\{0,1,y,y^{2},\ldots ,y^{25}\}$. Sve navedene vektore u $%
F_{3^{3}}$ zapi\v{s}emo u bazi $\{1,y,y^{2}\}$ koriste\'{c}i \v{c}injenicu
da je $y^{3}=2+y.$

Singerova grupa $G$ dizajna $P_{2}(3)$ je cikli\v{c}ka grupa reda $13$,
izomorfna s $\mathbf{R}_{F_{27}^{\ast }}/\mathbf{R}_{F_{3}^{\ast }}$,
odnosno s $F_{27}^{\ast }/F_{3}^{\ast }$. Elementi iz $F_{27}^{\ast
}/F_{3}^{\ast }$ su klase $[x]=F_{3}^{\ast }x=\{x,2x\}$, $\forall x\in
F_{27}^{\ast }$, pa vrijedi 
\begin{equation*}
\lbrack
y^{0}]=\{y^{0},2y^{0}=y^{13}\},[y^{1}]=\{y^{1},2y^{1}=y^{14}\},\ldots
,[y^{12}]=\{y^{12},2y^{12}=y^{25}\}.
\end{equation*}%
U aditivnom prikazu grupe $G$, elemente $[y^{i}]\in $ $F_{27}^{\ast
}/F_{3}^{\ast }$ i $[\mathbf{R}_{y^{i}}]\in \mathbf{R}_{F_{27}^{\ast }}/%
\mathbf{R}_{F_{3}^{\ast }}$ ozna\v{c}it \'{c}emo s $\imath $, a po\v{s}to 
\'{c}e nam elementi grupe $G$ biti to\v{c}ke dizajna $dev\Delta $ izomorfnog
sa $P_{2}(3)$ sa $\imath $ \'{c}emo obilje\v{z}iti i to\v{c}ku $\langle
y^{i}\rangle =\{y^{i},y^{i+13}\}\in P_{2}(3)$, $\forall i\in \{0,1,\ldots
,12\}$.

Potrebno je prona\'{c}i diferencijski skup $\Delta $ grupe $G$. Neka su
bazni elementi skupa $\Delta $ to\v{c}ka $P=\langle y^{0}\rangle =\langle
(1,0,0)\rangle $ i blok $l=$ $\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle $. To\v{c}ke
incidentne s blokom $l$ su $\langle y^{0}\rangle =\langle (1,0,0)\rangle $, $%
\langle y^{1}\rangle =\langle (0,1,0)\rangle $, $\langle y^{3}\rangle
=\langle (2,1,0)\rangle $ i $\langle y^{9}\rangle =\langle (1,1,0)\rangle $.
Dakle, vrijedi $\Delta =\Delta (P,l)$ $=\{0,1,3,9\}$.

Dakle, diferencijski prikazu dizajna $P_{2}(3)$ je dizajn $dev\Delta $ u
kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,12$;

$\Delta =\{0,1,3,9\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$, gdje je $x\in \{0,1,\ldots ,12\}$, a navedena
operacija zbrajanje modulo $13$, odnosno to su slijede\'{c}i podskupovi to%
\v{c}aka:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
\{0,1,3,9\} & \{5,6,8,1\} & \{10,11,0,6\} \\ 
\{1,2,4,10\} & \{6,7,9,2\} & \{11,12,1,7\} \\ 
\{2,3,5,11\} & \{7,8,10,3\} & \{12,0,2,8\}\text{.} \\ 
\{3,4,6,12\} & \{8,9,11,4\} &  \\ 
\{4,5,7,0\} & \{9,10,12,5\} & 
\end{array}%
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
Diferencijski prikazu dizajna $P_{2}(4)$ je dizajn u kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,20$;

$\Delta =\{0,1,4,14,16\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$; $x\in \{0,1,\ldots ,20\}$, uz zbrajanje
modulo $21$.

Ima samo jo\v{s} jedna mogu\'{c}nost za $\Delta $ i to $\Delta
=\{0,1,6,8,18\}$.
\end{example}

\begin{example}
Diferencijski prikazu dizajna $P_{2}(5)$ je dizajn u kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,30$;

$\Delta =\{0,1,3,8,12,18\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$; $x\in \{0,1,\ldots ,30\}$, uz zbrajanje
modulo $31$.
\end{example}

\begin{example}
Diferencijski prikazu dizajna $P_{2}(7)$ je dizajn u kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,56$;

$\Delta =\{0,1,3,13,32,36,43,52\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$; $x\in \{0,1,\ldots ,56\}$, uz zbrajanje
modulo $57$.
\end{example}

\begin{example}
Diferencijski prikazu dizajna $P_{2}(8)$ je dizajn u kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,72$;

$\Delta =\{0,1,15,23,25,53,56,62,69\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$; $x\in \{0,1,\ldots ,72\}$, uz zbrajanje
modulo $73$.
\end{example}

\begin{example}
Diferencijski prikazu dizajna $P_{3}(2)$ je dizajn u kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,15$;

$\Delta =\{0,1,2,7,9,12,13\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$, gdje je $x\in \{0,1,\ldots ,15\}$, a navedena
operacija zbrajanje modulo $16$, odnosno to su slijede\'{c}i podskupovi to%
\v{c}aka:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
\{0,1,2,7,9,12,13\} & \{6,7,8,13,15,2,3\} & \{12,13,14,3,5,8,9\} \\ 
\{1,2,3,8,10,13,14\} & \{7,8,9,14,0,3,4\} & \{13,14,15,4,6,9,10\} \\ 
\{2,3,4,9,11,14,15\} & \{8,9,10,15,1,4,5\} & \{14,15,0,5,7,10,11\} \\ 
\{3,4,5,10,12,15,0\} & \{9,10,11,0,2,5,6\} & \{15,0,1,6,8,11,12\} \\ 
\{4,5,6,11,13,0,1\} & \{10,11,12,1,3,6,7\} &  \\ 
\{5,6,7,12,14,1,2\} & \{11,12,13,2,4,7,8\} & 
\end{array}%
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
Diferencijski prikazu dizajna $P_{3}(3)$ je dizajn u kojem vrijedi:

To\v{c}ke su $0,1,\ldots ,39$;

$\Delta =\{0,1,2,9,10,13,15,16,18,20,24,30,37\}$;

Blokovi su oblika $\Delta +x$; $x\in \{0,1,\ldots ,39\}$, uz zbrajanje
modulo $40$.
\end{example}

\section{Polariteti i konike}

\subsection{Polariteti}

Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$.

\begin{theorem}
Koriste\'{c}i fiksnu bazu za $V$, djelovanje korelacije $\beta
:P(V)\rightarrow P(V)$ na elementima iz projektivne ravnine $P(V)$ mo\v{z}e
se zapisati u obliku%
\begin{equation}
\langle v\rangle ^{\beta }=\langle A(v^{\phi })^{\prime }\rangle  \tag*{(1)}
\label{line1}
\end{equation}%
\begin{equation}
\langle w^{\prime }\rangle ^{\beta }=\langle w^{\phi }A^{-1}\rangle \text{,}
\tag*{(2)}  \label{line2}
\end{equation}%
$\forall v,w\in V$, gdje je $A$ regularna $(3\times 3)$ matrica, $\phi \in
AutK$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Izaberimo neku bazu za $V$ i na\dj imo njenu dualnu bazu. Iz Korolara \ref%
{povpol}, slijedi da postoje izomorfizmi $\theta :P(V)\rightarrow
P(V^{\prime })$ i $\psi :P(V^{\prime })\rightarrow P(V)$, inducirani
bijektivnim semilinearnim transformacijama $\mathbf{\theta }:V\rightarrow
V^{\prime }$ i $\mathbf{\psi }:V^{\prime }\rightarrow V$, tako da $\beta
=\theta a_{V^{\prime }}=a_{V}\psi $.

Prema Teoremu \ref{pomoc}, $\beta $ to\v{c}kama iz $P(V)$ pridru\v{z}i
pravce iz $P(V)$, i obratno. Prvo \'{c}emo promatrati djelovanje $\beta $ na
to\v{c}kama iz $P(V)$. Ako je $A\in $ $P(V)$ to\v{c}ka, tada vrijedi $%
A^{\beta }=(A^{\theta })^{a_{V^{\prime }}}$, a po\v{s}to je $a_{V^{\prime }}$
antiizomorfizam, mo\v{z}emo poistovjeti to\v{c}ku $A^{\theta }\in
P(V^{\prime })$ i pravac $(A^{\theta })^{a_{V^{\prime }}}\in P(V)$. U tom
smislu mo\v{z}emo pisati $A^{\beta }=A^{\theta }$, a prema tome $\beta $ to%
\v{c}kama iz $P(V)$ pridru\v{z}i to\v{c}ke iz $P(V^{\prime })$ i to pridru%
\v{z}ivanje je odre\dj eno izomorfizmom $\theta $. Neka je $\mathbf{\theta }$
bijektivna semilinearna transformacija s asociranim automorfizmom $\phi \in
AutK$, koja inducira izomorfizam $\theta $ i neka je $A$ matrica te
transformacije u paru odabranih dualnih baza za $V$ i $V^{\prime }$. Stoga
vrijedi%
\begin{equation}
\langle v\rangle ^{\beta }=\langle v\rangle ^{\theta }=\langle v^{\mathbf{%
\theta }}\rangle =\langle A(v^{\phi })^{\prime }\rangle \text{, }\forall
v\in V\text{.}  \tag*{(3)}  \label{6}
\end{equation}

Promotrimo djelovanje $\beta $ na pravcima iz $P(V)$. Neka je $l\in $ $P(V)$
pravac, tada vrijedi da je $l^{\beta }=(l^{a_{V}})^{\psi }$ to\v{c}ka u $%
P(V) $, a po\v{s}to je $a_{V}$ antiizomorfizam, mo\v{z}emo poistovjeti
pravac $l\in P(V)$ i to\v{c}ku $l^{a_{V}}\in P(V^{\prime })$. Zaklju\v{c}%
ujemo da $\beta $ to\v{c}ki iz $P(V^{\prime })$ pridru\v{z}i to\v{c}ku iz $%
P(V)$, a to djelovanje odre\dj eno je izomorfizmom $\psi $. I vrijedi%
\begin{equation}
\langle w^{\prime }\rangle ^{\beta }=\langle w^{\prime }\rangle ^{\psi
}=\langle (w^{\prime })^{\mathbf{\psi }}\rangle =\langle w^{\phi }B\rangle 
\text{, }\forall w\in V\text{,}  \tag*{(4)}  \label{jed3}
\end{equation}%
gdje je $\mathbf{\psi }$ $:V^{\prime }\rightarrow V$ bijektivna semilinearna
transformacija s asociranim automorfizmom $\phi \in AutK$, koja inducira
izomorfizam $\psi $, a $B$ matrica te transformacije u paru odabranih
dualnih baza za $V^{\prime }$ i $V$.

Treba jo\v{s} pokazati da u \ref{jed3} umjesto $B$ mo\v{z}e do\'{c}i $A^{-1}$%
. Teorem \ref{pomoc} i rezultati \ref{6} i \ref{jed3}, povla\v{c}e da $%
\forall v$, $w\in V$ vrijedi 
\begin{equation}
vw^{\prime }=0\Leftrightarrow \left\langle v\right\rangle \in \langle
w^{\prime }\rangle \Leftrightarrow \langle w^{\prime }\rangle ^{\beta }\in
\langle v\rangle ^{\beta }\text{,}  \tag*{(5)}  \label{jed5}
\end{equation}%
\begin{equation}
\langle w^{\prime }\rangle ^{\beta }\in \langle v\rangle ^{\beta
}\Leftrightarrow \langle w^{\phi }B\rangle \in \langle A(v^{\phi })^{\prime
}\rangle \Leftrightarrow w^{\phi }BA(v^{\phi })^{\prime }=0\Leftrightarrow
v\left( A^{\prime }B^{\prime }\right) ^{\phi ^{-1}}w^{\prime }=0.\text{ } 
\tag*{(6)}  \label{jed6a}
\end{equation}%
Zadnja jednakost dobije se djelovanjem $\phi ^{-1}$ na predzadnju i njenim
transponiranjem. Definirajmo $C=\left( A^{\prime }B^{\prime }\right) ^{\phi
^{-1}}$. Iz \ref{jed5}, \ref{jed6a} slijedi%
\begin{equation*}
vw^{\prime }=0\Leftrightarrow vCw^{\prime }=0\text{, }\forall v,w\in V\text{,%
}
\end{equation*}%
pa zaklju\v{c}ujemo da to\v{c}ke $\left\langle v\right\rangle $, $%
\left\langle vC\right\rangle \in P(V)$ imaju iste anihilatore, \v{s}to povla%
\v{c}i%
\begin{equation}
\left\langle v\right\rangle =\langle vC\rangle \text{, }\forall v\in V\text{.%
}  \tag*{(7)}  \label{jed4}
\end{equation}%
Iz Teorema \ref{skal} slijedi $C=kI$, $k\in K^{\ast }$, jer je prema \ref%
{jed4} $C$ matri\v{c}ni prikaz regularne linearne transformacije koja
fiksira jednodimenzionalne potprostore od $V$. Tada vrijedi $A^{\prime
}B^{\prime }=k^{\phi }I$, iz \v{c}ega dobijemo $A^{-1}=k^{\phi ^{-1}}B$. Ako
u \ref{jed3} zamijenimo $B$ sa $k^{\phi ^{-1}}B$ , odnosno $A^{-1}$, ne
mjenja se slika elemenata $\langle w^{\prime }\rangle $ iz projektivne
ravnine $P(V^{\prime })$, $\forall w\in V$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{polar}Koriste\'{c}i fiksnu bazu za $V$, djelovanje polariteta $\beta
:P(V)\rightarrow P(V)$ na elementima iz $P(V)$ mo\v{z}e se zapisati u obliku %
\ref{line1} i \ref{line2}, pri \v{c}emu za regularnu, $(3\times 3)$ matricu $%
A$ vrijedi $(A^{\prime })^{\phi }=kA$, gdje je $k\in K^{\ast }$, a $\phi \in
AutK$ involucija, tj. $\phi ^{2}=1$. Ako je $\phi =1$, tada je $k=1$, dok $%
\phi \neq 1$ povla\v{c}i $kk^{\phi }=1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Po\v{s}to je polaritet projektivne ravnine korelacija reda $2$, tada se kori%
\v{s}tenjem neke fiksne baze za $V$, a prema prethodnom teoremu, $\beta $ mo%
\v{z}e zapisati u obliku \ref{line1}, \ref{line2} i vrijedi%
\begin{equation*}
\left\langle v\right\rangle =\left\langle v\right\rangle ^{\beta
^{2}}=\langle A(v^{\phi })^{\prime }\rangle ^{\beta }=\langle v^{\phi
^{2}}(A^{\prime })^{\phi }A^{-1}\rangle \text{, }\forall v\in V\text{.}
\end{equation*}%
Stoga, regularna, semilinearna transformacija $v\rightarrow v^{\phi
^{2}}(A^{\prime })^{\phi }A^{-1}$ fiksira jednodimenzionalne vektorske
potprostore od $V$, pa je prema Teoremu \ref{skal}, ta transformacija
linearna, tj.\ $\phi ^{2}=1$, a za matri\v{c}ni prikaz vrijedi $(A^{\prime
})^{\phi }A^{-1}=kI$, $k\in K^{\ast }$. Raspisivanjem%
\begin{equation}
A=\left( ((A^{\prime })^{\phi })^{\prime }\right) ^{\phi }=\left( \left(
kA\right) ^{\prime }\right) ^{\phi }=k^{\phi }(A^{\prime })^{\phi }=k^{\phi
}kA  \tag*{(8)}  \label{jed6}
\end{equation}%
zaklju\v{c}ujemo da vrijedi $k^{\phi }k=1$. Ako je $\phi =1$, tada je $k=\pm
1$. Poka\v{z}imo da $k$ ne smije biti $-1$. Pretpostavimo li suprotno tj. $%
k=-1$, tada je jednakost $(A^{\prime })^{\phi }=kA$ oblika $A^{\prime }=-A$,
iz \v{c}ega dobijemo da je $\det A=0$, \v{s}to je u kontradikciji sa \v{c}%
injenicom da je $A$ regularna matrica.
\end{proof}

U slijede\'{c}em teoremu, pokazat \'{c}emo da za bilo koji izbor frama, mo%
\v{z}emo na\'{c}i takvu matricu $A$ polariteta projektivne ravnine da
vrijedi $(A^{\prime })^{\phi }=A$.

\begin{theorem}
\label{pA}Neka je $\beta :P(V)\rightarrow P(V)$ polaritet, tada koriste\'{c}%
i bilo koji frame za $P(V)$, djelovanje $\beta $ na elementima iz $P(V)$ mo%
\v{z}e se zapisati u obliku \ref{line1} i \ref{line2}, gdje za regularnu, $%
(3\times 3)$ matricu $A$ vrijedi $(A^{\prime })^{\phi }=A$, dok je $\phi \in
AutK$ involucija, tj. $\phi ^{2}=1$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Odaberimo neki frame za $P(V)$ i neku bazu od $V$ koja ga odre\dj uje. Tada,
iz prethodnog teorema, slijedi da polaritet $\beta $ ima \v{z}eljeni prikaz,
pri \v{c}emu $(A^{\prime })^{\phi }=kA$, gdje je $k\in K^{\ast }$, $kk^{\phi
}=1$, $\phi \in AutK$ i $\phi ^{2}=1$. Ako je $\phi =1$, tada je $k=1$ i
teorem je dokazan. Pretpostavimo da je $\phi \neq 1$. Cilj nam je prona\'{c}%
i element $p$ iz $K^{\ast }$, odnosno matricu $B=pA$, takvu da je $%
(B^{\prime })^{\phi }=B$, jer zamjena $A$ sa bilo kojim $pA$, $p\in K^{\ast
} $, u \ref{line1} i \ref{line2}, nema utjecaja na preslikavanje $\beta $,
pa ne mjenja sliku odabranog frama, unato\v{c} tome \v{s}to se, pri
preslikavanju $v\rightarrow A(v^{\phi })^{\prime }$, navedenom zamjenom
mijenja slika vektora baze, koji odre\dj uju taj frame.

Navest \'{c}emo fundamentalni korak kojim \'{c}emo se slu\v{z}iti u narednim
izlaganjima. Neka je $X$ regularna matrica sa svojstvom $(X^{\prime })^{\phi
}=uX$, gdje je $u\in K^{\ast }$, $u\neq -1$, a vrijedi i $u^{\phi }u=1$.
Pokazat \'{c}emo kako prona\'{c}i element $w$ iz $K^{\ast }$, odnosno
matricu $Y=wX$, sa svojstvom $(Y^{\prime })^{\phi }=Y$. Za svaki element $w$
iz $K^{\ast }$ i matricu $Y=wX$, vrijedi $(Y^{\prime })^{\phi }=w^{\phi
}(X^{\prime })^{\phi }=w^{\phi }uX=w^{\phi }uw^{-1}Y$. Ako definiramo $w=1+u$%
, tada $w^{\phi }u=\left( 1+u\right) ^{\phi }u=u+u^{\phi }u=u+1=w$. Time smo
prona\v{s}li tra\v{z}eni $w$.

Dakle, ako $k\neq -1$, tada definiramo li, prema fundamentalnom koraku, $%
p:=1+k$, slijedi da je matrica $B=pA$, tra\v{z}ena matrica.

Ako $k=-1$, tada $(A^{\prime })^{\phi }=-A$, pa \'{c}emo prvo prona\'{c}i
element $r$ iz $K^{\ast }$, odnosno matricu $C=rA$ takvu da je $(C^{\prime
})^{\phi }=mC$, gdje je $m\in K^{\ast }$, $m\neq -1$ i $m^{\phi }m=1$, a
tada, prema fundamentalnom koraku, za matricu $D=(m+1)C$ vrijedi $(D^{\prime
})^{\phi }=D$. Stoga, ako definiramo $p:=(m+1)rA$, tra\v{z}ena matrica je $%
B=pA$. Ostalo je samo na\'{c}i $C$. Za svaki element $r$ iz $K^{\ast }$ i
matricu $C=rA$, vrijedi $(C^{\prime })^{\phi }=r^{\phi }(A^{\prime })^{\phi
}=-r^{\phi }r^{-1}C$. Poka\v{z}imo da postoji $r$ takav da $-r^{\phi
}r^{-1}\neq -1$. Pretpostavimo suprotno tj. da $\forall r\in K^{\ast }$
vrijedi $-r^{\phi }r^{-1}=-1$. Tada je $r^{\phi }=r$, $\forall r\in K^{\ast
} $, tj. $\phi =1$, \v{s}to je u kontradikciji sa po\v{c}etnom
pretpostavkom, pa postoji $r\in K^{\ast }$ takav da $-r^{\phi }r^{-1}\neq -1$%
. Ako za takav $r$ definiramo $-r^{\phi }r^{-1}=m$, tada vrijedi $(C^{\prime
})^{\phi }=mC$, a sli\v{c}no kao u \ref{jed6}, dobijemo $m^{\phi }m=1$.
\end{proof}

Prethodna tri teorema, uz odre\dj ene preinake, vrijede i u slu\v{c}aju kada
je $V$ vektorski prostor dimenzije ve\'{c}e od $3$, nad poljem $K$. Ako je
dimenzija od $V$ parna, tada se mo\v{z}e dogoditi i slu\v{c}aj $\phi =1$, $%
k=-1$ (u uvjetima Teorema \ref{polar}).

\begin{definition}
\label{aps}\textbf{Apsolutna to\v{c}ka} (pravac) nekog polariteta
projektivne ravnine $P(V)$ je to\v{c}ka (pravac) iz $P(V)$ incidentna sa
svojom slikom pri djelovanju tog polariteta.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{apravac}Apsolutni pravac nekog polariteta projektivne ravnine $P(V)$
incidentan je s to\v{c}no jednom apsolutnom to\v{c}kom tog polariteta.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $\beta $ polaritet projektivne ravnine $P(V)$. Pretpostavimo
suprotno, tj. neka su to\v{c}ke $M$ i $N$ razli\v{c}ite, apsolutne to\v{c}ke
polariteta $\beta $, takve da je $M+N$ apsolutan pravac tog polariteta. Iz
Definicije \ref{aps} i Teorema \ref{pomoc}, slijedi: 
\begin{equation}
\left( M+N\right) ^{\beta }=M^{\beta }\cap N^{\beta }\in M+N\text{, }M\in
M^{\beta \text{ }}\text{i }N\in N^{\beta }\text{.}  \tag*{(9)}  \label{jed7}
\end{equation}%
Dakle, na pravcu $M^{\beta }$ nalaze se to\v{c}ke $M^{\beta }\cap N^{\beta }$
i $M$, pa mo\v{z}e vrijediti ili $M=M^{\beta }\cap N^{\beta }$ ili $M$ $\neq
M^{\beta }\cap N^{\beta }$. U oba slu\v{c}aja do\'{c}i \'{c}emo do
kontradikcije, a time \'{c}emo i dokazati lemu.

Ako $M=M^{\beta }\cap N^{\beta }$, slijedi $M\in N^{\beta }$, a tada iz \ref%
{jed7} dobijemo $M+N=N^{\beta }$. Prema Teoremu \ref{pomoc} vrijedi $M\in
N^{\beta }\Leftrightarrow N\in M^{\beta }$, pa iz \ref{jed7} slijedi $%
M+N=M^{\beta }$. Dakle, vrijedi $M^{\beta }=N^{\beta }$, odnosno $M=N$, \v{s}%
to je u suprotnosti s po\v{c}etnom pretpostavkom.

Ako $M$ $\neq M^{\beta }\cap N^{\beta }$, tj. $M$ $+(M^{\beta }\cap N^{\beta
})=M^{\beta }$, tada po\v{s}to su to\v{c}ke $M$ i $(M^{\beta }\cap N^{\beta
})$ na pravcu $M+N$, slijedi $M^{\beta }=M+(M^{\beta }\cap N^{\beta })=M+N$,
pa je $N\in M^{\beta }$, \v{s}to je ekvivalentno sa $M\in N^{\beta }$. Stoga
iz \ref{jed7} slijedi $N^{\beta }=M+N$. Dakle, opet smo do\v{s}li do
jednakosti $M^{\beta }=N^{\beta }$, odnosno $M=N$, \v{s}to je u suprotnosti
s po\v{c}etnom pretpostavkom.
\end{proof}

\begin{corollary}
Apsolutna to\v{c}ka nekog polariteta projektivne ravnine $P(V)$ incidentna
je s to\v{c}no jednim apsolutnim pravcem tog polariteta.
\end{corollary}

\begin{proof}
Neka je $\beta $ polaritet projektivne ravnine $P(V)$. Pretpostavimo
suprotno tj. neka je $A$ apsolutna to\v{c}ka polariteta $\beta $ incidentna
s dva razli\v{c}ita apsolutna pravca $k$ i $l$, tj. $A=k\cap l$. Tada su i $%
A^{\beta }$, $k^{\beta \text{ }}$, $l^{\beta }$ apsolutni elementi
polariteta $\beta $. Teorem \ref{pomoc} povla\v{c}i $A^{\beta }=\left( k\cap
l\right) ^{\beta }=k^{\beta }+l^{\beta }$, pa na apsolutnom pravcu $A^{\beta
}$ le\v{z}e dvije razli\v{c}ite apsolutne to\v{c}ke $k^{\beta \text{ }}$i $%
l^{\beta }$, \v{s}to je u kontradikciji sa prethodnom lemom.
\end{proof}

\begin{corollary}
\label{neaps}Za svaki polaritet projektivne ravnine $P(V)$ postoji barem
jedan neapsolutni pravac i barem jedna neapsolutna to\v{c}ka tog polariteta.
\end{corollary}

\begin{proof}
Poka\v{z}emo li da za proizvoljni polaritet projektivne ravnine $P(V)$
postoji jedan pravac ili jedna to\v{c}ka iz $P(V)$, koji su neapsolutni u
odnosu na taj polaritet, tada po\v{s}to je i slika tog elementa, pri
odabranom polaritetu neapsolutna, korolar je dokazan. Pretpostavimo
suprotno, tj. svi pravci i to\v{c}ke u $P(V)$ su apsolutni elementi
odabranog polariteta. Po\v{s}to, prema Lemi \ref{prrav}, svaki pravac
projektivne ravnine $P(V)$ sadr\v{z}i barem tri razli\v{c}ite to\v{c}ke, iz
pretpostavke slijedi da svaki apsolutni pravac ima barem tri razli\v{c}ite
apsolutne to\v{c}ke \v{s}to je u kontradikciji sa Lemom \ref{apravac}.
\end{proof}

U slijede\'{c}im razmatranjima, pokazat \'{c}emo kakvim izborom baze od $V$
mo\v{z}emo posti\'{c}i da matrica polariteta projektivne ravnine bude
dijagonalna.

\begin{definition}
\textbf{Autopolaran trovrh} polariteta $\beta $ projektivne ravnine $P(V)$
je takav trovrh $ABC\subset P(V)$ da je slika svakog njegovog vrha, pri
spomenutom polaritetu, stranica trovrha $ABC$ koja nije incidentna s tim
vrhom, tj. vrijedi $A^{\beta }=BC$, $B^{\beta }=CA$ i $C^{\beta }=AB$.
\end{definition}

\begin{lemma}
Za svaki polaritet projektivne ravnine $P(V)$, postoji autopolaran trovrh u $%
P(V)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $\beta $ polaritet projektivne ravnine $P(V)$. Prema Korolaru \ref%
{neaps}, postoji barem jedna neapsolutna to\v{c}ka $A\in P(V)$ tog
polariteta, a tada je i pravac $A^{\beta \text{ }}$neapsolutan. Mo\v{z}e se
dogoditi jedan od slijede\'{c}ih slu\v{c}ajeva:

\begin{enumerate}
\item[a)] Na pravcu $A^{\beta \text{ }}$postoji barem jedna neapsolutna to%
\v{c}ka polariteta $\beta $.

Ozna\v{c}imo li spomenutu to\v{c}ku sa $B$, zaklju\v{c}ujemo da pravac $%
B^{\beta }$ ne sadr\v{z}i to\v{c}ku $B$, ali sadr\v{z}i $A$, jer iz Teorema %
\ref{pomoc} slijedi 
\begin{equation*}
B\in A^{\beta }\iff A\in B^{\beta }.
\end{equation*}%
Definiramo li $C=A^{\beta }\cap B^{\beta }$, onda iz spomenutog teorema
slijedi $C^{\beta }=A+B$. Po\v{s}to je $B^{\beta }=A+C$, $A^{\beta }=B+C$,
tada je trovrh $ABC$ autopolaran trovrh polariteta $\beta $.

\item[b)] Sve to\v{c}ke pravca $A^{\beta \text{ }}$su apsolutne.

Poka\v{z}imo da su tada svi pravci kroz to\v{c}ku $A$ apsolutni pravci
polariteta $\beta $. Uzmimo neki pravac $m$ incidentan s to\v{c}kom $A$ i
definirajmo $M=m\cap A^{\beta }$. Po\v{s}to $M\in A^{\beta }$, slijedi da je 
$M$ apsolutna to\v{c}ka, pa pripada pravcu $M^{\beta }$ koji je tako\dj er
apsolutan. Iz je $M\in A^{\beta }$ slijedi $A\in M^{\beta }$, pa je $%
M^{\beta }=A+M=m$, odnosno $M=m^{\beta }$, a tada je $m$ apsolutan pravac.
Zbog proizvoljnosti pravca $m$, vrijedi da je svaki pravac kroz $A$
apsolutan.

Poka\v{z}imo da su sve to\v{c}ke izvan pravca $A^{\beta }$ neapsolutne.
Pretpostavimo da je jedna takva to\v{c}ka $N\ $apsolutna. Iz prethodno
dokazane tvrdnje, slijedi da je pravac $A+N$ apsolutan, me\dj utim to nije
mogu\'{c}e po\v{s}to on sadr\v{z}i dvije apsolutne to\v{c}ke ($N$ i sjeci%
\v{s}te sa $A^{\beta }$). Do\v{s}li smo do kontradikcije, a time smo
dokazali tvrdnju.

Izaberimo neku neapsolutnu to\v{c}ku $U$, koja nije incidentna s pravcem $%
A^{\beta }$. Tada je i pravac $U^{\beta }$ neapsolutan, a jedina njegova
apsolutna to\v{c}ka je u sjeci\v{s}tu sa $A^{\beta }$ (jer $A\notin U^{\beta
}$). Uzmemo li bilo koju neapsolutnu to\v{c}ku $V\in U^{\beta }$ do\v{s}li
smo u situaciju a), pa je autopolaran trovrh polariteta $\beta $ trovrh s
vrhovima $U$, $V$ i $U^{\beta }\cap V^{\beta }$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{self}Neka je $\beta $ polaritet projektivne ravnine $P(V)$. Postoji
takva baza za $V$ da se djelovanje $\beta $ na elementima iz $P(V)$ mo\v{z}e
zapisati u obliku \ref{line1} i \ref{line2}, gdje je $A$\ dijagonalna,
regularna, $(3\times 3)$ matrica, $\phi \in AutK$ je involucija i vrijedi $%
(A^{\prime })^{\phi }=A$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Prema prethodnoj lemi u projektivnoj ravnini $P(V)$, za polaritet $\beta $
postoji autopolaran trovrh $E_{1}E_{2}E_{3}$. Poka\v{z}imo da vektori $%
\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $, koji razapinju vrhove tog trovrha, tj.
vrijedi $E_{i}=\left\langle e_{i}\right\rangle $, $\forall i\in \left\{
1,2,3\right\} $, \v{c}ine jednu od baza za $V$. To je to\v{c}no, jer da su
navedeni vektori linearno zavisni razapinjali bi potprostor od $V$ dimenzije
najvi\v{s}e $2$, tj. to\v{c}ke $E_{i}$ bile kolinearne.

Prema Teoremu \ref{polar}, koriste\'{c}i fiksnu bazu $\left\{
e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ za $V$, polaritet $\beta $ mo\v{z}e se zapisati
u tra\v{z}enom obliku, gdje je $A$\ regularna matrica, $\phi \in AutK$ je
involucija i vrijedi $(A^{\prime })^{\phi }=kA$, $k\in K^{\ast }$. \v{C}%
injenicu da je matrica $A$ dijagonalna dobit \'{c}emo raspisivanjem. Iz
autopolarnosti trovrha $E_{1}E_{2}E_{3}$, slijedi%
\begin{equation*}
E_{1}^{\beta }=E_{2}+E_{3}\text{, }E_{2}^{\beta }=E_{1}+E_{3}\text{ i }%
E_{3}^{\beta }=E_{1}+E_{2}\text{,}
\end{equation*}%
tj. u homogenim koordinatama $\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle
^{\beta }=\langle (1,0,0)^{\prime }\rangle $, $\left\langle \left(
0,1,0\right) \right\rangle ^{\beta }=\langle \left( 0,1,0\right) ^{\prime
}\rangle $ i $\left\langle \left( 0,0,1\right) \right\rangle ^{\beta
}=\langle \left( 0,0,1\right) ^{\prime }\rangle $. Tada iz \ref{line1}
dobijemo%
\begin{equation*}
\langle \left( 1,0,0\right) ^{\prime }\rangle =\left\langle \left(
1,0,0\right) \right\rangle ^{\beta }=\langle \left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right) \rangle =\langle \left( a_{11},a_{21},a_{31}\right) ^{\prime }\rangle
\end{equation*}%
iz \v{c}ega slijedi $a_{11}\in K^{\ast }$ i $a_{21}=a_{31}=0$. Raspisivanjem
ostalih, gore navedenih jednad\v{z}bi, dobijemo $a_{22}$ i $a_{33}\in
K^{\ast }$, dok su svi preostali koeficijenti matrice $A$ jednaki $0$, tj. $%
A $ je dijagonalna matrica. Postupkom opisanim u dokazu Teorema \ref{pA}, na%
\'{c}i \'{c}emo matricu $B=pA$, $p\in K^{\ast }$, takvu da je $\left(
B^{\prime }\right) ^{\phi }=B$, kojom \'{c}emo zamjeniti $A$ u \ref{line1} i %
\ref{line2}, bez utjecaja na preslikavanje $\beta $. Matrica $B$ je tako\dj %
er dijagonalna.
\end{proof}

\begin{definition}
\label{ort}Za polaritet $\beta $ projektivne ravnine $P(V)$ ka\v{z}emo da je 
\textbf{ortogonalan} ako se, koriste\'{c}i bilo koju bazu za $V$, djelovanje 
$\beta $ na elementima iz $P(V)$ mo\v{z}e zapisati u obliku \ref{line1} i %
\ref{line2}, tako da je $A$\ regularna, simetri\v{c}na, $(3\times 3)$
matrica, a automorfizam $\phi =1_{AutK}$.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{ortpol}Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$, 
$\beta $ ortogonalan polaritet projektivne ravnine $P(V)$ s pripadnom $%
(3\times 3)$ matricom $A=\left( a_{ij}\right) $ u nekom paru dualnih baza za 
$V$ i $V^{\prime }$. To\v{c}ka $\left\langle \left( x,y,z\right)
\right\rangle \in P(V)$ je apsolutna to\v{c}ka polariteta $\beta $ $\iff $%
\begin{equation}
a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz=0\text{,} 
\tag*{(10)}  \label{jed8}
\end{equation}%
gdje su $x,y,z$ takvi elementi iz $K$ da nisu svi istovremeno jednaki $0$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Prema prethodnoj definiciji, polaritet $\beta $ to\v{c}ki $\langle v\rangle
\in P(V)$ pridru\v{z}i pravac $\langle Av^{\prime }\rangle $, $\forall v\in
V\backslash \{0\}$, gdje je $A$ regularna, simetri\v{c}na matrica. Iz
Definicije \ref{aps} slijedi, to\v{c}ka $\left\langle \left( x,y,z\right)
\right\rangle \in P(V)$ je apsolutna to\v{c}ka polariteta $\beta $ ako i
samo ako $\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle \in \left\langle
\left( x,y,z\right) \right\rangle ^{\beta }=\langle A\left( x,y,z\right)
^{\prime }\rangle \iff \left( x,y,z\right) A\left( x,y,z\right) ^{\prime }=0$%
. Izraz \ref{jed8} dobije se raspisivanjem zadnje jednad\v{z}be.
\end{proof}

\subsection{Konike}

\subsubsection{Projektivne konike}

Od sada \'{c}emo smatrati da je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad
poljem $K$ karakteristike razli\v{c}ite od $2$.

\begin{definition}
Skup svih apsolutnih to\v{c}aka ortogonalnog polariteta projektivne ravnine $%
P(V)$ zovemo \textbf{projektivnom konikom}, ili skra\'{c}eno \textbf{konikom}%
.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{dvije toc}Svaki pravac projektivne ravnine $P(V)$ sije\v{c}e bilo
koju koniku iz $P(V)$ najvi\v{s}e u dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $\rho $ konika ortogonalnog polariteta $\beta $ projektivne ravnine $%
P(V)$. Prema Definiciji \ref{ort}, koriste\'{c}i neku fiksnu bazu za $V$,
djelovanje $\beta $ na to\v{c}kama iz $P(V)$ mo\v{z}e se zapisati u obliku $%
\langle v\rangle ^{\beta }=\langle Av^{\prime }\rangle $, $\forall v\in
V\backslash \{0\}$, gdje je $A$ regularna, simetri\v{c}na, $(3\times 3)$
matrica. Ako uzmemo pravac kroz razli\v{c}ite to\v{c}ke $\left\langle
v\right\rangle $ i $\left\langle w\right\rangle $, tada vektori $v$ i $w$ 
\v{c}ine bazu tog dvodimenzionalnog potprostora od $V$, odnosno $%
\left\langle xv+yw\right\rangle $ je op\'{c}i oblik to\v{c}ke spomenutog
pravaca, gdje su $x,y$ takvi elementi iz $K$ koji nisu istovremeno jednaki $%
0 $. Po\v{s}to su apsolutne to\v{c}ke polariteta $\beta $ takve to\v{c}ke iz 
$P(V)$ koje su incidentne sa svojom slikom pri djelovanju $\beta $, slijedi 
\begin{eqnarray*}
\langle xv+yw\rangle &\in &\rho \Leftrightarrow \langle xv+yw\rangle \in
\langle A(xv+yw)^{\prime }\rangle \Leftrightarrow \left( xv+yw\right)
A(xv+yw)^{\prime }=0\text{, tj.} \\
\langle xv+yw\rangle &\in &\rho \iff x^{2}(vAv)^{\prime }+xy(vAw^{\prime
})+xy(wAv^{\prime })+y^{2}(wAw^{\prime })=0.
\end{eqnarray*}%
Po\v{s}to je $A$ simetri\v{c}na matrica, tada $(wAv^{\prime })^{\prime
}=vA^{\prime }w^{\prime }=vAw^{\prime }$. Tj. 
\begin{equation}
\left\langle xv+yw\right\rangle \in \rho \iff x^{2}(vAv^{\prime
})+2xy(vAw^{\prime })+y^{2}(wAw^{\prime })=0\text{.}  \tag*{(1)}
\label{joakim}
\end{equation}%
Tra\v{z}imo rje\v{s}enja zadnje jednad\v{z}be, tj. vrijednosti $x,y\in K$ za
koje je jednad\v{z}ba ispunjena. Vrijedi, $y=0$ je rje\v{s}enje $\iff
\left\langle v\right\rangle \in \rho \iff vAv^{\prime }=0$. Na\dj imo rje%
\v{s}enja kod kojih $y\neq 0$. Tada jednad\v{z}bu \ref{joakim} mo\v{z}emo
zapisati 
\begin{equation}
\langle (x/y)v+w\rangle \in \rho \iff (x/y)^{2}(vAv^{\prime })+2\left(
x/y\right) (vAw^{\prime })+(wAw^{\prime })=0\text{,}  \tag*{(2)}
\label{joakim2}
\end{equation}%
a dovoljno je prona\'{c}i kvocijent $x/y$.

Ako $vAv^{\prime }\neq 0$, tada jednad\v{z}ba \ref{joakim2}, a time i \ref%
{joakim}, ima najvi\v{s}e $2$ rje\v{s}enja.

Ako $vAv^{\prime }=0$, ve\'{c} smo zaklju\v{c}ili da jednad\v{z}ba \ref%
{joakim} ima rje\v{s}enje $y=0$. Poka\v{z}imo da ne mo\v{z}e vrijediti 
\begin{equation}
vAv^{\prime }=vAw^{\prime }=wAw^{\prime }=0\text{,}  \tag*{(3)}
\label{joakim3}
\end{equation}%
tj. ne zadovoljavaju svaki $x,y$ jednad\v{z}bu \ref{joakim}, odnosno nisu
sve to\v{c}ke pravca $\left\langle v\right\rangle +\left\langle
w\right\rangle $ na konici $\rho $. Pretpostavimo da \ref{joakim3} vrijedi.
Tada 
\begin{equation*}
\left\langle v\right\rangle \in \langle Av^{\prime }\rangle =\langle
v\rangle ^{\beta }\text{, }\left\langle w\right\rangle \in \langle
Aw^{\prime }\rangle =\langle w\rangle ^{\beta }\text{, }\left\langle
v\right\rangle \in \langle w\rangle ^{\beta }\text{,}
\end{equation*}%
a iz toga slijedi $\left\langle w\right\rangle \in \langle v\rangle ^{\beta
} $. Dakle, $\langle v\rangle ^{\beta }=\left\langle v\right\rangle
+\left\langle w\right\rangle =\langle w\rangle ^{\beta }$, a po\v{s}to je $%
\beta $ bijekcija, tada je $\left\langle v\right\rangle =\left\langle
w\right\rangle $, \v{s}to je u suprotnosti sa po\v{c}etnom pretpostavkom.
Dakle, ne vrijedi \ref{joakim3}. Stoga, ako $vAv^{\prime }=0$, jednad\v{z}ba %
\ref{joakim2} mo\v{z}e imati najvi\v{s}e jedno rje\v{s}enje, pa tada i \ref%
{joakim} uz $y=0$ ima jo\v{s} najvi\v{s}e jedno rje\v{s}enje.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{tang}Neka je $\rho $ konika ortogonalnog polariteta $\beta $
projektivne ravnine $P(V)$. Pravac iz $P(V)$ je apsolutan pravac tog
polariteta ako i samo ako je incidentan s to\v{c}no jednom to\v{c}kom konike 
$\rho $.
\end{lemma}

\begin{proof}
Prema Definiciji \ref{ort}, koriste\'{c}i neku fiksnu bazu za $V$,
djelovanje $\beta $ na to\v{c}kama iz $P(V)$ mo\v{z}e se zapisati u obliku $%
\langle v\rangle ^{\beta }=\langle Av^{\prime }\rangle $, $\forall v\in
V\backslash \{0\}$, gdje je $A$ regularna, simetri\v{c}na, $(3\times 3)$
matrica.

\fbox{$\Rightarrow $} Po Lemi \ref{apravac}, apsolutan pravac polariteta $%
\beta $ incidentan je s to\v{c}no jednom apsolutnom to\v{c}kom tog
polariteta. Po\v{s}to je $\rho $ skup apsolutnih to\v{c}aka polariteta $%
\beta $, time smo dokazali tvrdnju.

\fbox{$\Leftarrow $} Neka je pravac $\left\langle v\right\rangle
+\left\langle w\right\rangle $ incidentan s to\v{c}no jednom to\v{c}kom
konike $\rho $, poka\v{z}imo da je tada apsolutan. Bez smanjenja op\'{c}%
enitosti mo\v{z}emo pretpostaviti da je $\left\langle v\right\rangle $
spomenuta to\v{c}ka, iz \v{c}ega slijedi $\left\langle v\right\rangle \in
\langle Av^{\prime }\rangle $, odnosno $vAv^{\prime }=0$. Kao i u dokazu
prethodne leme, vrijedi \ref{joakim}, a zbog \v{c}injenice $vAv^{\prime }=0$%
, izraz \ref{joakim} prelazi u $\left\langle xv+yw\right\rangle \in \rho
\iff 2xy(vAw^{\prime })+y^{2}\left( wAw^{\prime }\right) =0$. Osim navedene,
pravac $\left\langle v\right\rangle +\left\langle w\right\rangle $, nema vi%
\v{s}e to\v{c}aka sa konike, pa prethodna jednad\v{z}ba nema rje\v{s}enje u
kojem je $y\neq 0$, tj. $\forall x,y\in K$ ne smije se dogoditi%
\begin{equation}
2(x/y)(vAw^{\prime })+wAw^{\prime }=0\text{.}  \tag*{(4)}  \label{joakim4}
\end{equation}%
U dokazu prethodnog teorema, zaklju\v{c}ili smo da ne vrijedi \ref{joakim3},
pa jednad\v{z}ba \ref{joakim4} ne daje novo rje\v{s}enje samo u slu\v{c}aju $%
wAw^{\prime }\neq 0$ i $vAw^{\prime }=0$. Tada je i $wAv^{\prime }=0$, \v{s}%
to je ekvivalentno sa$\ \left\langle w\right\rangle \in \langle Av^{\prime
}\rangle $, pa je $\left\langle v\right\rangle +\left\langle w\right\rangle
=\langle Av^{\prime }\rangle =\langle v\rangle ^{\beta }$. Po\v{s}to je $%
\langle v\rangle ^{\beta }$ apsolutan pravac, lema je dokazana.
\end{proof}

\begin{definition}
\textbf{Tangentama} konike $\rho $ projektivne ravnine $P(V)$ zovemo
apsolutne pravce ortogonalnog polariteta koji tu koniku odre\dj uje.
\end{definition}

\begin{corollary}
\label{konprav}Postoji bijekcija to\v{c}aka neprazne konike projektivne
ravnine $P(V)$ i to\v{c}aka bilo kojeg pravca iz $P(V)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Neka je $\rho $ neprazna konika u $P(V)$, a $\beta $ ortogonalni polaritet
koji tu koniku odre\dj uje. Dovoljno je za odabrani pravac iz $P(V)$
uspostaviti bijekciju njegovih to\v{c}aka i to\v{c}aka konike $\rho $, jer
postoji bijekcija izme\dj u to\v{c}aka bilo koja dva pravca iz projektivne
ravnine $P(V)$, \v{s}to nije te\v{s}ko pokazati, koriste\'{c}i homogene
koordinate.

Neka je $B\ $neka to\v{c}ka konike $\rho $. Tada je $B^{\beta }$ tangenta te
konike, pa prema prethodnoj lemi, $B^{\beta }$ nema vi\v{s}e apsolutnih to%
\v{c}aka. Za proizvoljnu to\v{c}ku $X\neq B$ pravca $B^{\beta }$ vrijedi, iz
definicije ortogonalnog polariteta projektivne geometrije, $B\in X^{\beta }$%
. Po\v{s}to $X$ nije apsolutna to\v{c}ka, tada ni pravac $X^{\beta }$ nije
tangenta konike pa, prema Lemi \ref{dvije toc}, $X^{\beta }$ sije\v{c}e
koniku samo u jo\v{s} jednoj to\v{c}ki, razli\v{c}itoj od $B$. Pridru\v{z}%
imo li na taj na\v{c}in svakoj to\v{c}ci pravca $B^{\beta }$, razli\v{c}itoj
od $B$, jednu to\v{c}ku sa $\rho $ razli\v{c}itu od $B$, a to\v{c}ci $B$
samu sebe, poka\v{z}imo da je dobiveno preslikavanje $\alpha $ bijekcija.
Uzmimo neku to\v{c}ku $Z\neq B$ sa konike. Definiramo li $Y=Z^{\beta }\cap
B^{\beta }$, tada prema Teoremu \ref{pomoc}, $Y^{\beta }=Z+B$, pa je $%
Y^{\alpha }=Z$, tj. pokazali smo da za svaki $Z\in \rho $ postoji
jedinstveni $Y\in B^{\beta }$ tako da vrijedi $Y^{\alpha }=Z$.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{q+1}Svaka konika projektivne ravnine $P_{2}(q)$ je neprazna i ima to%
\v{c}no $q+1$ to\v{c}aka.
\end{theorem}

\begin{proof}
Projektivna ravnina $P_{2}(q)\ $je skup svih potprostora trodimenzionalnog
vektorskog prostora $V$ nad poljem $K=F_{q}$. Iz prethodnog korolara
slijedi, da je broj to\v{c}aka svake neprazne konike u $P_{2}(q)$, jednak
broju to\v{c}aka bilo kojeg pravca iz $P_{2}(q)$ koji, prema Korolaru \ref%
{brojcic},\ iznosi $q+1$. Treba jo\v{s} pokazati prvi dio tvrdnje teorema.

Uzmimo proizvoljnu koniku $\rho $ pridru\v{z}enu nekom ortogonalnom
polaritetu $\beta $ projektivne ravnine $P_{2}(q)=P(V)$. Prema Teoremu \ref%
{self}, postoji baza za $V$ takva da je regularna, simetri\v{c}na, $\left(
3\times 3\right) $ matrica $A=(a_{ij})$ polariteta $\beta $\ jo\v{s} i
dijagonalna. Ozna\v{c}imo li $a=a_{11}$, $b=a_{22}$ i $c=a_{33}$, tada iz
Leme \ref{ortpol} slijedi $\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle
\in \rho \iff ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.$ Bez smanjenja op\'{c}enitosti mo\v{z}%
emo pretpostaviti da je $a=1$. Tada je prethodni izraz oblika%
\begin{equation}
\langle (x,y,z)\rangle \in \rho \iff x^{2}+by^{2}+cz^{2}=0\text{,} 
\tag*{(5)}  \label{joakim5}
\end{equation}%
gdje su $x,y,z$ takvi elementi iz $F_{q}$ koji nisu svi istovremeno jednaki $%
0$. Kako su, prema Teoremu \ref{asti}, pola elemenata u $F_{q}^{\ast }$
kvadrati, a pola nekvadrati, tada postoje dvije mogu\'{c}nosti:

\begin{enumerate}
\item[a)] $b$ i $c$ nisu kvadrati u $F_{q}$

Izaberemo li neki fiksni nekvadrat $\lambda \in F_{q}$ tada iz Teorema \ref%
{asti} slijedi da postoje $p$, $r\in F_{q}^{\ast }$ takvi da je $b=\lambda
p^{2}$ i $c=\lambda r^{2}$, pa je jednad\v{z}ba konike \ref{joakim5} oblika $%
-x^{2}/\lambda =\left( py\right) ^{2}+\left( rz\right) ^{2}$. Kako se svaki
element iz $F_{q}$ mo\v{z}e zapisati kao suma dva kvadrata u $F_{q}$ (po
Teoremu \ref{asti}), tada za svaki $x\in F_{q}$ postoje takvi $y$, $z\in
F_{q}$ da je zadovoljena jednad\v{z}ba konike.

\item[b)] barem jedan od $b$ i $c$ je kvadrat u $F_{q}$

Ako je $b=s^{2}$, tada je jednad\v{z}ba konike \ref{joakim5} oblika $%
-cz^{2}=x^{2}+\left( sy\right) ^{2}$, pa ponovno prema Teoremu \ref{asti},
za svaki $z\in F_{q}$ postoje takvi $x,y\in F_{q}$ da je zadovoljena jednad%
\v{z}ba konike.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}
Neka je $\rho $ konika u projektivnoj ravnini $P(V)$. To\v{c}ku iz $P(V)$
zovemo \textbf{vanjska to\v{c}ka }u odnosu na koniku $\rho $, ako je
incidentna s to\v{c}no dvije razli\v{c}ite tangente konike $\rho $ iz
projektivne ravnine $P(V)$. To\v{c}ku iz $P(V)$ zovemo \textbf{unutarnja to%
\v{c}ka }u odnosu na koniku $\rho $, ako tom to\v{c}kom ne prolazi niti
jedna tangenta konike $\rho $.
\end{definition}

\begin{lemma}
Neka je $\rho $ konika projektivne ravnine $P_{2}(q)$. Tada je $\frac{q(q+1)%
}{2}$ ukupan broj vanjskih, a $\frac{q(q-1)}{2}$ ukupan broj unutarnjih to%
\v{c}aka iz $P_{2}(q)$ u odnosu na koniku $\rho $.
\end{lemma}

\begin{proof}
Ozna\v{c}imo sa $\beta $ ortogonalan polaritet pridru\v{z}en konici $\rho $.
Prema Korolaru \ref{brojcic}, ukupan broj to\v{c}aka u $P_{2}(q)$ iznosi $%
n=q^{2}+q+1$, a prema Teoremu \ref{q+1}, vrijedi da konika $\rho $ ima $q+1$
razli\v{c}itih to\v{c}aka. Iz prethodne definicije slijedi: to\v{c}ka iz $%
P_{2}(q)$ je vanjska to\v{c}ka u odnosu na koniku $\rho $ ako i samo ako je
njena slika pri polaritetu $\beta $ pravac koji sije\v{c}e koniku $\rho $ u
dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke. Na taj na\v{c}in smo dobili bijekciju izme\dj %
u vanjskih to\v{c}aka i parova razli\v{c}itih to\v{c}aka sa $\rho $. Prema
tome, broj vanjskih to\v{c}aka je $\binom{q+1}{2}$ $=\frac{q(q+1)}{2}$. Broj
unutarnjih to\v{c}aka u udnosu na koniku dobijemo kada od ukupnog broja to%
\v{c}aka $n$ oduzmemo broj vanjskih to\v{c}aka i broj to\v{c}ka konike.
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{glavonja}Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$%
, a $\rho $ neprazna konika ortogonalnog polariteta $\beta $ projektivne
ravnine $P(V)$, tada postoji takva baza za $V$ da je polaritetu $\beta $
pridru\v{z}ena matrica $A$ oblika%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
-1 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \text{,}
\end{equation*}%
pa vrijedi 
\begin{equation}
\langle (x,y,z)\rangle \in \rho \iff y^{2}=xz\text{,}  \tag*{(6)}
\label{joakim6a}
\end{equation}%
gdje su $x,y,z$ takvi elementi iz $K$ koji nisu svi istovremeno jednaki $0$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Po\v{s}to je konika $\rho $ neprazna, iz Korolara \ref{konprav} i Leme \ref%
{prrav}, zaklju\v{c}ujemo da postoje barem tri razli\v{c}ite to\v{c}ke $X,Z$
i $W$ konike $\rho $. Definiramo li $Y=\left( X+Z\right) ^{\beta }$ poka\v{z}%
imo da $X,Y,Z$ i $W$ \v{c}ine frame za $P(V)$(vidjeti Sliku 2.5.). Iz Leme %
\ref{dvije toc}, slijedi da to\v{c}ke $X,Z$ i $W$ ne mogu biti kolinearne. 
\FRAME{fhF}{2.9326in}{2.0185in}{0pt}{}{}{slika5.dxf}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";display "USEDEF";valid_file "F";width
2.9326in;height 2.0185in;depth 0pt;original-width 5.0021in;original-height
3.3364in;cropleft "-0.008833";croptop "1.109896";cropright
"0.991167";cropbottom "0.109896";filename
'../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/slika5.dxf';file-properties "XNPEU";}%
}Ako je $Y\in X+Z$, iz definicije to\v{c}ke $Y$ slijedi da je ona u tom slu%
\v{c}aju apsolutna to\v{c}ka, \v{s}to je opet u suprotnosti sa spomenutom
lemom. Pretpostavimo li da vrijedi $W\in X+Y=X^{\beta }$, tada se na
tangenti $X^{\beta }$ nalaze dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke konike \v{s}to je
u suprotnosti sa Lemom \ref{tang}. Na isti na\v{c}in zaklju\v{c}ujemo da $%
W\notin Z+Y=Z^{\beta }$. Time smo pokazali da $X,Y,Z$ i $W$ \v{c}ine frame
za $P(V)$. Neka je $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ baza koja odre\dj %
uje taj frame.

Prema Definiciji \ref{ort}, djelovanje polariteta $\beta $ na elementima iz $%
P(V)$ mo\v{z}e se zapisati u obliku%
\begin{equation*}
\langle v\rangle ^{\beta }=\langle Av^{\prime }\rangle \text{, }\langle
w^{\prime }\rangle ^{\beta }=\langle wA^{-1}\rangle ,\forall v,w\in V,
\end{equation*}%
gdje je $A$ simetri\v{c}na, regularna, $(3\times 3)$ matrica.

Po\v{s}to vrijedi $X+Y=X^{\beta }$, odnosno $\langle (0,0,1)^{\prime
}\rangle =\langle (1,0,0)\rangle ^{\beta }$, tada 
\begin{equation*}
\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle =\langle \left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{13} & a_{23} & a_{33}%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
0 \\ 
0%
\end{array}%
\right) \rangle =\langle (a_{11},a_{12},a_{13})^{\prime }\rangle \text{,}
\end{equation*}%
odnosno $a_{11}=a_{12}=0$, $a_{13}\in K^{\ast }$. Iz $Z+Y=Z^{\beta }$, tj.
iz $\langle (1,0,0)^{\prime }\rangle =\langle (0,0,1)\rangle ^{\beta }$,
dobijemo $a_{23}=a_{33}=0$, $a_{13}\in K^{\ast }$. Prema Lemi \ref{ortpol} i
prethodno dobivenim rezultatima, iz $W=\left\langle \left( 1,1,1\right)
\right\rangle \in \rho $ slijedi $a_{22}+2a_{13}=0$. Ako ozna\v{c}imo $%
a_{13}=-k$, tada $a_{22}=2k$, gdje je $k\in K^{\ast }$. I naposlijetku,
zamjenimo li $A$ sa $k^{-1}A$, jer to nema utjecaja na preslikavanje $\beta $%
, dobili smo \v{z}eljeni oblik matrice polariteta $\beta $. Ostatak tvrdnje
teorema slijedi ponovno iz Leme \ref{ortpol}.
\end{proof}

Koriste\'{c}i prethodni teorem, mo\v{z}emo koordinatizirati nepraznu koniku $%
\rho $ projektivne ravnine $P(V)$. Izaberimo takvu bazu za $V$ da vrijedi %
\ref{joakim6a}. Stoga, ako je $\left\langle \left( x,y,z\right)
\right\rangle \in \rho $ slijedi 
\begin{equation*}
\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle =\left\{ 
\begin{array}{ll}
\langle (\left( \dfrac{y}{z}\right) ^{2},\dfrac{y}{z},1)\rangle & \text{; }z%
\text{ }\neq 0 \\ 
\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle & \text{; }z\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}%
Dakle, to\v{c}ke konike $\rho $ su ili $\left\langle \left( 1,0,0\right)
\right\rangle $ ili oblika $\langle \left( y^{2},y,1\right) \rangle $, $y\in
K$. Ako to\v{c}kama oblika $\langle \left( y^{2},y,1\right) \rangle $ pridru%
\v{z}imo $y\in K$, a to\v{c}ki $\left\langle \left( 1,0,0\right)
\right\rangle $ pridru\v{z}imo $\infty $, dobili smo bijekciju to\v{c}aka sa 
$\rho $ i elemenata $K\cup \left\{ \infty \right\} $. Takav na\v{c}in
koordinatiziranja zovemo \textbf{parametarsko koordinatiziranje} neprazne
konike projektivne ravnine $P(V)$.

\begin{definition}
Za dva skupa to\v{c}aka $\rho _{1}$ i $\rho _{2}$ iz $P(V)$ ka\v{z}emo da su 
\textbf{ekvivalentna} ako postoji kolineacija $\alpha \in AutP(V)$ sa
svojstvom $\rho _{1}^{\alpha }=\rho _{2}$.
\end{definition}

\begin{corollary}
\label{korglavonje}Svake dvije neprazne konike projektivne ravnine $P(V)$ su
ekvivalentne, to\v{c}nije grupa $PGL(V)$ je tranzitivna na nepraznim
konikama iz $P(V)$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Neka su $\rho _{1}$ i $\rho _{2}$ neprazne konike projektivne ravnine $P(V)$%
. Po postupku opisanom u dokazu prethodnog teorema, odaberimo framove za $%
P(V)$, a onda i baze za $V$ koje odre\dj uju te framove, tako da se konike
mogu napisati u obliku \ref{joakim6a}. Neka je $\left\{
e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ takva baza za koniku $\rho _{1}$, a $\left\{
f_{1},f_{2},f_{3}\right\} $ za koniku $\rho _{2}$. Po\v{s}to je $GL(V)$
tranzitivna na bazama za $V$, tada postoji $\mathbf{\alpha }\in GL(V)$ tako
da $e_{i}^{\mathbf{\alpha }}=f_{i},\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} $. Ta
transformacija inducira kolineaciju $\alpha \in PGL(V)$ za koju vrijedi $%
\rho _{1}^{\alpha }=\rho _{2}$, jer iz \ref{joakim6a} slijedi%
\begin{equation*}
\left\langle xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\right\rangle \in \rho _{1}\Leftrightarrow
y^{2}=xz\Leftrightarrow \left\langle xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\right\rangle
^{\alpha }=\left\langle xf_{1}+yf_{2}+zf_{3}\right\rangle \in \rho _{2}.
\end{equation*}
\end{proof}

Slijede\'{c}a lema dokazuje se kori\v{s}tenjem elementarnih svojstava
polariteta i kolineacija projektivne geometrije.

\begin{lemma}
Neka je $\rho $ neprazna konika ortogonalnog polariteta $\beta $ projektivne
ravnine $P(V)$. Kolineacija $\alpha $ projektivne ravnine $P(V)$ fiksira
koniku ako i samo ako $\alpha $ komutira sa $\beta $.
\end{lemma}

\begin{definition}
\textbf{Ortogonalna grupa} neprazne konike $\rho $ projektivne ravnine $P(V)$
je podgrupa od $PGL(V)$ koja fiksira $\rho $.
\end{definition}

\begin{lemma}
\label{identiteta}Identiteta je jedini element ortogonalne grupe neprazne
konike projektivne ravnine $P(V)$ koji fiksira tri razli\v{c}ite to\v{c}ke
te konike.
\end{lemma}

\begin{proof}
Po dogovoru, $V$ je trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$. Neka
je $\rho $ neprazna konika ortogonalnog polariteta $\beta $ projektivne
ravnine $P(V)$. Uzmimo element $\alpha $ ortogonalne grupe konike $\rho $,
takav da fiksira tri razli\v{c}ite to\v{c}ke $X,Z,W$ sa $\rho $. Ako
definiramo $Y=\left( X+Z\right) ^{\beta }$ , iz dokaza Teorema \ref{glavonja}%
, slijedi da $X,Y,Z$ i $W$ \v{c}ine frame za $P(V)$. Kako je $\alpha \in
PGL(V)$, koriste\'{c}i prethodnu lemu i Teorem \ref{gdim}, dobijemo $%
Y^{\alpha }=(X^{\beta }\cap Z^{\beta })^{\alpha }=X^{\beta \alpha }\cap
Z^{\beta \alpha }=X^{\alpha \beta }\cap Z^{\alpha \beta }=X^{\beta }\cap
Z^{\beta }=Y$. Dakle $\alpha $ fiksira frame, a iz Teorema \ref{Ink} i \v{c}%
injenice da je $K$ polje, slijedi $\alpha =i_{P(V)}$.
\end{proof}

\begin{theorem}
Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$, $\rho $
neprazna konika projektivne ravnine $P(V)$ s frame-om takvim da se konika mo%
\v{z}e zapisati u parametarskom obliku. Tada je ortogonalna grupa konike $%
\rho $ izomorfna grupi $PGL(W)$, strogo tri-tranzitivna je na to\v{c}kama
konike i u parametarskom obliku na to\v{c}kama konike inducira grupu
permutacija oblika,%
\begin{equation*}
y\rightarrow \frac{ay+b}{cy+d}\text{,}
\end{equation*}%
gdje su $a,b,c,d\in K$, sa svojstvom da je $ad-bc\neq 0$, a $W$ je
dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Izaberimo frame i bazu za V koja ga odre\dj uje, tako da se konika mo\v{z}e
zapisati u parametarskom obliku. Prvo \'{c}emo prona\'{c}i elemente iz $%
PGL(V)$ koji induciraju tra\v{z}ene permutacije i vidjeti da \v{c}ine
podgrupu $H$ ortogonalne grupe konike $\rho $. Ako je%
\begin{equation*}
D=\left( 
\begin{array}{ccc}
a^{2} & ac & c^{2} \\ 
2ab & ad+bc & 2cd \\ 
b^{2} & bd & d^{2}%
\end{array}%
\right) \text{,}
\end{equation*}%
tada je $\det D=(ad-bc)^{3}$. Uzmemo li takve $a,b,c,d\in K$, da vrijedi $%
ad-bc\neq 0$, tada je $D$ matri\v{c}ni prikaz neke regularne linearne
tranformacije $\mathbf{\delta }$ na $V$ u odabranoj bazi za $V$. Poka\v{z}%
imo da je automorfizam $\delta \mathbf{\in }PGL(V)$, kojeg $\mathbf{\delta }$
inducira, element ortogonalne grupe konike $\rho $ i da u parametarskom
obliku odre\dj uje jednu od tra\v{z}enih permutacija. Budu\'{c}i da za svaki 
$v\in V$ vrijedi $\left\langle v\right\rangle ^{\delta }=\langle v^{\mathbf{%
\delta }}\rangle =\langle vD\rangle $, tada%
\begin{eqnarray*}
\left\langle \left( y^{2},y,1\right) \right\rangle ^{\delta } &=&\langle
\left( y^{2},y,1\right) \left( 
\begin{array}{ccc}
a^{2} & ac & c^{2} \\ 
2ab & ad+bc & 2cd \\ 
b^{2} & bd & d^{2}%
\end{array}%
\right) \rangle \\
&=&\langle \left( (ay+b)^{2},(ay+b)(cy+d),(cy+d\right) ^{2})\rangle \text{.}
\\
&=&\left\{ 
\begin{array}{ll}
\langle (\left( \dfrac{ay+b}{cy+d}\right) ^{2},\dfrac{ay+b}{cy+d},1)\rangle
& \text{; }cy+d\text{ }\neq 0 \\ 
\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle & \text{; }cy+d\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{,}
\end{eqnarray*}%
\v{s}to u parametarskim koordinatama mo\v{z}emo zapisati%
\begin{equation*}
y\rightarrow \left\{ 
\begin{array}{ll}
\dfrac{ya+b}{yc+d} & \text{; }cy+d\text{ }\neq 0 \\ 
\infty & \text{; }cy+d\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}%
Sli\v{c}no,%
\begin{equation*}
\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle ^{\delta }=\langle \left(
a^{2},ac,c^{2}\right) \rangle =\left\{ 
\begin{array}{ll}
\langle (\left( \dfrac{a}{c}\right) ^{2},\dfrac{a}{c},1)\rangle & \text{; }%
c\neq 0 \\ 
\left\langle \left( 1,0,0\right) \right\rangle & \text{; }c\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{,}
\end{equation*}%
\v{s}to u parametarskim koordinatama mo\v{z}emo zapisati%
\begin{equation*}
\infty \rightarrow \left\{ 
\begin{array}{ll}
\dfrac{a}{c}, & \text{; }c\text{ }\neq 0 \\ 
\infty & \text{; }c\text{ }=0%
\end{array}%
\right. \text{.}
\end{equation*}%
Pomo\'{c}u definicija operacija sa elementom $\infty $ u dokazu Teorema \ref%
{pravac}, djelovanje $\delta $ na to\v{c}kama konike $\rho $ mo\v{z}e se u
parametarskom obliku zapisati na tra\v{z}eni na\v{c}in. Iz gore pokazanog, o%
\v{c}ito je da $\delta $ pripada ortogonalnoj grupi neprazne konike $\rho $.

Ovako definirani elementi iz $PGL(V)$ \v{c}ine podgrupu $H$ ortogonalne
grupe konike $\rho $, jer transformacije iz $GL(V)$ koje ih induciraju, \v{c}%
ine podgrupu od $GL(V)$.

Grupa $H$ je strogo tri-tranzitivna na to\v{c}kama konike $\rho $, jer je
izomorfna grupi $PGL(W)$ (pogledati Korolare \ref{pglv} i \ref{tritran}),
koja tako djeluje na to\v{c}kama pravca $P(W)$.

Ostalo je pokazati da je ortogonalna grupa konike $\rho $ jednaka grupi $H$.
Uzmimo proizvoljan element $\gamma $ ortogonalne grupe. Po\v{s}to je konika $%
\rho $ neprazna, postoje barem tri razli\v{c}ite to\v{c}ke $X,Y$ i $Z$ te
konike, a zbog bijektivnosti od $\gamma $ to\v{c}ke $X^{\gamma }$, $%
Y^{\gamma }$, $Z^{\gamma }$ su, tako\dj er, razli\v{c}ite to\v{c}ke sa $\rho 
$. Za ta dva para ure\dj enih trojki razli\v{c}itih to\v{c}aka sa konike,
zbog tri-tranzitivnosti grupe $H$, postoji $\mu \in H$ takav da $X^{\mu
}=X^{\gamma }$, $Y^{\mu }=Y^{\gamma }$ i $Z^{\mu }=Z^{\gamma }$, odnosno $%
X^{\gamma \mu ^{-1}}=X$, $Y^{\gamma \mu ^{-1}}=Y$ i $Z^{\gamma \mu ^{-1}}=Z$%
, pa element $\gamma \mu ^{-1}$ ortogonalne grupe neprazne konike $\rho $
fiksira tri razli\v{c}ite to\v{c}ke konike. Iz Leme \ref{identiteta},
slijedi $\gamma \mu ^{-1}=i_{P(V)}$, tj. $\gamma =\mu $.
\end{proof}

U prethodnom teoremu vidjeli smo da se neprazna konika projektivne ravnine
pona\v{s}a poput projektivnog pravca. U tom smislu, slijede\'{c}i teorem
(vidjeti Sliku 2.6.) je analogan Pappusovom teoremu s dodatnom razlikom da
se promatra u $P_{2}(K)$.\FRAME{fhF}{3.0467in}{1.7504in}{0pt}{}{}{slika6.dxf%
}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display
"USEDEF";valid_file "F";width 3.0467in;height 1.7504in;depth
0pt;original-width 5.0021in;original-height 3.2353in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/slika6.dxf';file-properties "XNPEU";}%
}

\begin{theorem}
\textbf{(Pascalov teorem)} Sjeci\v{s}ta parova suprotnih stranica obi\v{c}%
nog \v{s}esterovrha $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}$ upisanog nepraznoj
konici $\rho $ projektivne ravnine $P_{2}(K)$ su kolinearne to\v{c}ke.
\end{theorem}

\subsubsection{Afine konike}

Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$ karakteristike
razli\v{c}ite od $2$, $W$ pravac u projektivnoj ravnini $P=P(V)=P_{2}(K)$ i $%
A=P^{W}$ afina ravnina.

\begin{definition}
\textbf{Afinom konikom }nazivamo skup to\v{c}aka projektivne konike $\rho $
sadr\v{z}ane u $P$, koje pripadaju afinoj ravnini $A=P^{W}$, a ozna\v{c}%
avamo je tako\dj er sa $\rho $.
\end{definition}

Definirat \'{c}emo tri vrste afinih konika.

\begin{definition}
\textbf{Hiperbola} u $A=P^{W}$ je afina konika nastala iz projektivne konike
u $P$ koju pravac $W$ sije\v{c}e u dvije razli\v{c}ite to\v{c}ke, dok je 
\textbf{parabola} u $A=P^{W}$ nastala iz konike kojoj je $W$ tangenta. Ako
navedeni pravac nema zajedni\v{c}kih to\v{c}aka sa projektivnom konikom,
tada pripadnu afinu koniku zovemo \textbf{elipsa}.
\end{definition}

\begin{lemma}
Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$, $W$ pravac u
projektivnoj ravnini $P=P(V)$, $A=P^{W}$ afina ravnina, a $\rho $ konika u $%
P $. Postoji takva baza od $V$ da za afinu koniku $\rho $ vrijedi 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,1\right) \right\rangle \in \rho \Leftrightarrow
a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0\text{,} 
\tag*{(1)}  \label{a1}
\end{equation}%
dok je jednad\v{z}ba tangente $L\in A$ konike $\rho $ u to\v{c}ci $%
\left\langle \left( x_{0},y_{0},1\right) \right\rangle \in \rho $ oblika: 
\begin{equation}
a_{11}xx_{0}+a_{22}yy_{0}+a_{12}\left( xy_{0}+x_{0}y\right) +a_{13}\left(
x+x_{0}\right) +a_{23}\left( y+y_{0}\right) +a_{33}=0\text{,}  \tag*{(2)}
\label{a2}
\end{equation}%
gdje su $x,x_{0},y,y_{0},a_{ij}\in K$; $\forall i,j\in \{1,2,3\}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Izaberimo takav frame $E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}$ za $P(V)$ da vrijedi $%
W=E_{1}+E_{2}$ (pogledati koordinatizaciju afine ravnine u \ref{afgeom}), te
na\dj imo bazu za $V$ koja odre\dj uje taj frame i njenu dualnu bazu. Tada
je $\langle (x,y,1)\rangle $ op\'{c}i oblik to\v{c}ke iz afine ravnine $%
A=P^{W}$, $\forall x,y\in K$. Po\v{s}to je pripadna projektivna konika $\rho 
$ pridru\v{z}ena ortogonalnom polaritetu $\beta $, tada se prema Definiciji %
\ref{ort}, djelovanje $\beta $ na elementima iz $P(V)$ mo\v{z}e zapisati u
obliku%
\begin{equation}
\langle v\rangle ^{\beta }=\langle Av^{\prime }\rangle \text{,}  \tag*{(3)}
\label{7a}
\end{equation}%
\begin{equation*}
\langle w^{\prime }\rangle ^{\beta }=\langle wA^{-1}\rangle \text{,}
\end{equation*}%
$\forall v,w\in V$; gdje je $A=(a_{ij})$ simetri\v{c}na, regularna matrica
tipa $(3\times 3)$. Po Lemi \ref{ortpol}, za projektivnu koniku $\rho $
vrijedi 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle \in \rho \Leftrightarrow \ \
a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz=0. 
\tag*{(4)}  \label{8a}
\end{equation}%
Promatraju\'{c}i afinu koniku $\rho $, izraz \ref{8a} prelazi u izraz \ref%
{a1}, jer toj konici pripadaju sve to\v{c}ke projektivne konike $\rho $ koje
nisu na pravcu $W$.

Tangenta projektivne konike $\rho $ u nekoj njenoj to\v{c}ki je slika te to%
\v{c}ke pri polaritetu $\beta $. Iz \ref{7a} slijedi da je tangenta u to\v{c}%
ki $\left\langle \left( x_{0},y_{0},1\right) \right\rangle $ projektivne
konike $\rho $, pravac $L=\langle A(x_{0},y_{0},1)^{\prime }\rangle \in P$.
Pravcu $L\in P$ pridru\v{z}en pravac iz afine ravnine $A=P^{W}$, a dobiven
"izbacivanjem" sa pravca $L$ to\v{c}ke $L\cap W$, ozna\v{c}imo tako\dj er sa 
$L$. Prema tome, to\v{c}ka $\left\langle \left( x,y,1\right) \right\rangle
\in $ $A$ pripada tangenti $L\in A$ na koniku $\rho $ u to\v{c}ci $%
\left\langle \left( x_{0},y_{0},1\right) \right\rangle $ ako i samo ako je $%
\left( x,y,1\right) A\left( x_{0},y_{0},1\right) ^{\prime }=0$, a
raspisivanjem tog izraza dobije se \ref{a2}.
\end{proof}

\begin{notation}
Jednad\v{z}be tangenti afine konike u nekoj vanjskoj to\v{c}ki, iz pripadne
afine ravnine, u odnosu na tu koniku dobijemo tako da na\dj emo pravac pridru%
\v{z}en zadanoj to\v{c}ci, pri polaritetu koji odre\dj uje koniku, presje%
\v{c}emo s konikom, a u dobivenim to\v{c}kama, prema prethodnoj lemi, na\dj %
emo tra\v{z}ene tangente.
\end{notation}

\begin{definition}
Afine konike su \textbf{ekvivalentne} ako postoji automorfizam pripadne
afine ravnine, takav da jednoj konici pridru\v{z}i drugu.
\end{definition}

Ako je $\rho $ konika afine ravnine $A=P^{W}$, a $\alpha \in AutA$, tada je $%
\alpha $ kolineacija projektivne ravnine $P$ koja fiksira pravac $W$, pa je
broj sjeci\v{s}ta pripadne projektivne konike $\rho $ sa pravcem $W$ jednak
broju sjeci\v{s}ta $\rho ^{\alpha }$ s tim pravcem. Dakle, u afinoj ravnini
elipsa mo\v{z}e biti ekvivalentna samo elipsi, parabola paraboli, a
hiperbola hiperboli. Odnosno, postoje najmanje tri klase ekvivalentnih
konika afine ravnine.

\begin{lemma}
U afinoj ravnini svake dvije parabole i svake dvije hiperbole su
ekvivalentne.
\end{lemma}

\begin{proof}
Neka je $W$ pravac projektivne ravnine $P=P(V)$, a $A=P^{W}$ afina ravnina.
Odaberimo dvije proizvoljne hiperbole afine ravnine $A$. Najprije \'{c}emo,
za svaku projektivnu koniku pridru\v{z}enu tim hiperbolama, izabrati takav
frame projektivne ravnine $P(V)$ koji \'{c}e sadr\v{z}avati oba sjeci\v{s}ta
konike i pravca $W$, ali i takav da \'{c}e reprezentirati koniku u
parametarskom obliku (vidjeti dokaz Teorema \ref{glavonja}). Tada se sli\v{c}%
no kao u dokazu Korolara \ref{korglavonje}, mo\v{z}e na\'{c}i i kolineacija
projektivne ravnine $P(V)$, koja \'{c}e preslikati jedan frame u drugi, time
fiksirati $W$, a i pridru\v{z}iti me\dj usobno konike.

Da bi dokazali da su u afinoj ravnini $A$ svake dvije parabole me\dj usobno
ekvivalentne postupa se sli\v{c}no, samo \'{c}emo pri odabiru frama, koji 
\'{c}e reprezentirati koniku u parametarskom obliku, zahtjevati da osim
dirali\v{s}ta pravca $W$ i paraboli pridru\v{z}ene projektivne konike, jo%
\v{s} jedna to\v{c}ka sa $W$ bude uklju\v{c}ena u frame, a \v{s}to je prema
dokazu Teorema \ref{glavonja} mogu\'{c}e u\v{c}initi.
\end{proof}

\begin{theorem}
Neka je $V$ trodimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$, $W$ pravac u
projektivnoj ravnini $P=P(V)$, $A=P^{W}$ afina ravnina, a $\rho $ elipsa u $%
A $. Postoji takva baza od $V$ da za $\rho $ vrijedi 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,1\right) \right\rangle \in \rho \Leftrightarrow
ax^{2}+y^{2}=1\text{,}  \tag*{(5)}  \label{a3}
\end{equation}%
gdje su $x,y,a\in K$, pri \v{c}emu $-a$ nije kvadrat u $K$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Naglasimo da su elipsa $\rho \subset A=P^{W}$ i pripadna projektivna konika
jednake, jer pravac $W$ ne sije\v{c}e spomenutu projektivnu koniku. Izabrat 
\'{c}emo takav frame $E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}$ za $P$ (vidjeti Sliku 2.7.)
da je $E_{1}E_{2}E_{3}$ \FRAME{fhF}{2.8357in}{1.9951in}{0pt}{}{}{slika7a.dxf%
}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display
"USEDEF";valid_file "F";width 2.8357in;height 1.9951in;depth
0pt;original-width 5.0021in;original-height 4.1269in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";filename
'../../WINDOWS/Desktop/susa/ACAD_crteži/slika7a.dxf';file-properties
"XNPEU";}}autopolaran trovrh polariteta $\beta $ koji odre\dj uje
projektivnu koniku $\rho $, te da vrijedi $W=E_{1}+E_{2}$.

Pravac $W$ ne sije\v{c}e koniku $\rho $, pa nije apsolutan pravac navedenog
polariteta. Iz toga slijedi da ni to\v{c}ka $W^{\beta }$ nije apsolutna to%
\v{c}ka, a onda kroz nju ne prolazi ni jedna tangenta konike $\rho $, tj. $%
W^{\beta }$ je unutra\v{s}nja to\v{c}ka projektivne ravnine $P(V)$ u odnosu
na spomenutu koniku. Dakle, pravci koji prolaze navedenom to\v{c}kom ili
nemaju zajedni\v{c}kih to\v{c}aka sa konikom ili je sijeku u dvije razli\v{c}%
ite to\v{c}ke. Uzmimo jedan od pravaca to\v{c}kom $W^{\beta }$ takav da
njegove to\v{c}ke $X_{1}$ i $X_{2}$ pripadaju konici $\rho $. Koriste\'{c}i
Teorem \ref{pomoc}, dobijemo $W^{\beta }\in X_{1}+X_{2}\Leftrightarrow
\left( X_{1}+X_{2}\right) ^{\beta }=X_{1}^{\beta }\cap X_{2}^{\beta }\in W$,
pa definiramo li $E_{1}:=X_{1}^{\beta }\cap X_{2}^{\beta }$, slijedi $%
E_{1}\in W$. Ako ozna\v{c}imo $E_{2}:=\left( X_{1}+X_{2}\right) \cap W$ i $%
E_{3}:=W^{\beta }$, jednostavnim raspisivanjem poka\v{z}e se da je $%
E_{1}E_{2}E_{3}$ autopolaran trovrh polariteta $\beta $, jer vrijedi $%
E_{2}^{\beta }=\left[ \left( X_{1}+X_{2}\right) \cap W\right] ^{\beta
}=X_{1}^{\beta }\cap X_{2}^{\beta }+W^{\beta }=E_{1}+E_{3}$, 
\begin{equation*}
E_{3}^{\beta }=W=E_{1}+E_{2}\text{ i }E_{1}^{\beta }=X_{1}+X_{2}=E_{2}+E_{3}.
\end{equation*}

Na pravcu $X_{1}^{\beta }$ izaberimo to\v{c}ku $E_{4}$ razli\v{c}itu od $%
X_{1}$, $E_{1}$. O\v{c}ito je da to\v{c}ke $E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}$ \v{c}%
ine frame za $P$. Izaberimo bazu $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ za $V$
takvu da odre\dj uje taj frame i da je $X_{1}=\left\langle
e_{2}+e_{3}\right\rangle $. Iz nekolinearnosti to\v{c}aka $E_{1},E_{2}$ i $%
E_{3}$, slijedi da su vektori $\left\{ g_{1},g_{2},g_{3}\right\} $ koji ih
razapinju, tj. vrijedi $E_{1}=\left\langle g_{1}\right\rangle $, $%
E_{2}=\left\langle g_{2}\right\rangle $ i $E_{3}=\left\langle
g_{3}\right\rangle $, linearno nezavisni. To\v{c}ka $X_{1}$ je incidentna s
pravcem $E_{2}+E_{3}$, a razli\v{c}ita je od navedenih to\v{c}aka, jer
pripada konici, pa $X_{1}=\left\langle ag_{2}+bg_{3}\right\rangle $, gdje su 
$a,b\in K^{\ast }$. Stoga, ako definiramo $f_{1}:=g_{1}$, $f_{2}:=ag_{2}$ i $%
f_{3}:=bg_{3}$, tada vektori $\left\{ f_{1},f_{2},f_{3}\right\} $ \v{c}ine
bazu za $V$. To\v{c}ka $E_{4}$ pripada pravcu $E_{1}+X_{1}$, a po\v{s}to $%
E_{1}\neq X_{1}$ i $E_{1}\neq E_{4}\neq X_{1}$, slijedi $E_{4}=\langle
cf_{1}+d(f_{2}+f_{3})\rangle $, gdje su $c,d\in K^{\ast }$. Stoga, ako
definiramo $e_{1}:=cf_{1}$, $e_{2}:=df_{2}$ i $e_{3}:=df_{3}$, tada vektori $%
\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $ \v{c}ine bazu za $V$ i razapinju frame $%
E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}$, a $X_{1}=\left\langle e_{2}+e_{3}\right\rangle
=\left\langle \left( 0,1,1\right) \right\rangle $, \v{s}to smo i \v{z}eljeli
posti\'{c}i.

Prema Definiciji \ref{ort}, djelovanje ortogonalnog polariteta $\beta $ na to%
\v{c}kama iz $P(V)$ mo\v{z}e se zapisati u obliku $\left\langle
v\right\rangle ^{\beta }=\langle A\left( v\right) ^{\prime }\rangle ,\forall
v\in V\backslash \{0\}$, gdje je matrica $A$ regularna, simetri\v{c}na, $%
(3\times 3)$ matrica. Po\v{s}to je $\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle
=E_{1}+E_{2}=E_{3}^{\beta }$, tada%
\begin{equation*}
\langle (0,0,1)^{\prime }\rangle =\langle \left( 0,0,1\right) \rangle
^{\beta }=\langle \left( 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{13} & a_{23} & a_{33}%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right) \rangle =\langle \left( a_{13},a_{23},a_{33}\right) ^{\prime
}\rangle \text{,}
\end{equation*}%
odnosno $a_{13}=a_{23}=0$, $a_{33}\in K^{\ast }$. Sli\v{c}no, iz $%
E_{1}+E_{3}=E_{2}^{\beta }$ i $E_{2}+E_{3}=E_{1}^{\beta }$ dobijemo $%
a_{11},a_{22}\in K^{\ast }$, dok su preostali koeficijenti matrice $A$
jednaki $0$. Prema Lemi \ref{ortpol}, za projektivnu koniku $\rho $ vrijedi 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle \in \rho \iff
a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz=0. 
\tag*{(6)}  \label{a4a}
\end{equation}%
Koriste\'{c}i do sada pokazano i \v{c}injenicu da $X_{1}=\left\langle \left(
0,1,1\right) \right\rangle \in \rho $ dobijemo $a_{22}+a_{33}=0$. Ako ozna%
\v{c}imo $a=a_{11}$, $b=a_{22}$, tada $a_{33}=-b$ i 
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
a & 0 & 0 \\ 
0 & b & 0 \\ 
0 & 0 & -b%
\end{array}%
\right) \text{.}
\end{equation*}%
Bez smanjenja op\'{c}enitosti mo\v{z}emo pretpostaviti da je $b=1$, jer
zamjena $A$ sa $b^{-1}A$ ne mijenja djelovanje polariteta $\beta $. Iz \ref%
{a4a}, slijedi 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle \in \rho \iff
ax^{2}+y^{2}=z^{2}\text{.}  \tag*{(7)}  \label{a5a}
\end{equation}%
Po\v{s}to je $A=P^{W}$, $W=E_{1}+E_{2}$, tada su to\v{c}ke afine ravnine $A$
oblika $\ \left\langle \left( x,y,1\right) \right\rangle $, a pripadaju
konici $\rho \Leftrightarrow ax^{2}+y^{2}=1$.

\v{C}injenica da je $\rho $ elipsa povla\v{c}i da pridru\v{z}ena projektivna
konika ne smije sadr\v{z}avati to\v{c}ke pravca $W$, a koje imaju op\'{c}i
oblik $\left\langle \left( x,y,0\right) \right\rangle $. Izraz \ref{a5a},
povla\v{c}i 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,0\right) \right\rangle \in \rho \iff ax^{2}+y^{2}=0%
\text{.}  \tag*{(8)}  \label{a6}
\end{equation}%
Iz jednad\v{z}be $ax^{2}+y^{2}=0$ dobije se $x=0\Leftrightarrow y=0$ , ali po%
\v{s}to trivijalno rje\v{s}enje ne odre\dj uje to\v{c}ku u projektivnoj
ravnini $P(V)$, slijedi da je $x\neq 0$ i $y\neq 0$, pa izraz \ref{a6}
prelazi u $\left\langle \left( x,y,0\right) \right\rangle \in \rho \iff
\QOVERD( ) {y}{x}^{2}=-a$. Po\v{s}to je $\left\langle \left( x,y,0\right)
\right\rangle =x^{-1}\left\langle \left( 1,\frac{y}{x},0\right)
\right\rangle $, tada je dovoljno na\'{c}i kvocijent $y/x$. Dakle, na konici 
$\rho $ nalaze se to\v{c}ke pravca $W\Leftrightarrow -a$ je kvadrat u $%
K^{\ast }$. Pa stoga, ako je $\rho $ elipsa, slijedi da $-a$ ne smije biti
kvadrat u $K$.
\end{proof}

Za slu\v{c}aj $K=F_{q}$, odnosno $V=F_{q}^{3}$, na\'{c}i \'{c}emo na\v{c}in
kako pojednostaviti jednad\v{z}bu \ref{a5a} elipse $\rho $ u $A_{2}\left(
q\right) $. Ako je $-1$ kvadrat u $F_{q}$, tada iz $-a=\left( -1\right) a$ i 
\v{c}injenice da $-a$ nije kvadrat, slijedi da $a$ nije kvadrat u $F_{q}$, a
ako $-1$ nije kvadrat u $F_{q}$ tada je $a$ kvadrat u $F_{q}$ (koristiti
Teorem \ref{asti}).

Promotrimo slu\v{c}aj kada postoji $r\in F_{q}^{\ast }$ takav da je $a=r^{2}$%
. Ako definiramo $e_{1}^{\ast }:=r^{-1}e_{1}$, $e_{2}^{\ast }:=e_{2}$, $%
e_{3}^{\ast }:=e_{3}$ dobili smo novu bazu $\{e_{1}^{\ast },e_{2}^{\ast
},e_{3}^{\ast }\}$ od $V$. Za frame kojeg ta baza odre\dj uje, vrijedi $%
E_{1}^{\ast }=E_{1}$, $E_{2}^{\ast }=E_{2}$, $E_{3}^{\ast }=E_{3}$, $%
E_{4}^{\ast }=\langle e_{1}^{\ast }+e_{2}^{\ast }+e_{3}^{\ast }\rangle $, a
onda i $W=E_{1}+E_{2}=$ $E_{1}^{\ast }+E_{2}^{\ast }$. Iz \ref{a5a} slijedi 
\begin{equation*}
\langle (\left( xr\right) e_{1}^{\ast }+ye_{2}^{\ast }+ze_{3}^{\ast
})\rangle =\left\langle \left( xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\right) \right\rangle \in
\rho \iff \left( rx\right) ^{2}+y^{2}=z^{2},
\end{equation*}%
odnosno koriste\'{c}i novi frame i bazu koja ga odre\dj uje, slijedi 
\begin{equation}
\left\langle \left( x,y,z\right) \right\rangle \in \rho \iff
x^{2}+y^{2}=z^{2}.  \tag*{(9)}  \label{a7}
\end{equation}%
Ako $a$ nije kvadrat u $F_{q}$, tada fiksirajmo neki nekvadrat $\lambda $
tog polja. Prema Teoremu \ref{asti} vrijedi $a=\lambda r^{2}$, gdje $r\in
F_{q}^{\ast }$. Izaberemo li novu bazu za $V$ na isti na\v{c}in kao u
prethodnom slu\v{c}aju, i na\dj emo li frame koji ona odre\dj uje, izraz \ref%
{a5a} dobit \'{c}emo u jednostavnijem obliku $\left\langle \left(
x,y,z\right) \right\rangle \in \rho \iff \lambda x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Svi prethodno promatrani $x,y,z$ su elementi iz $F_{q}$, koji nisu
istovremeno jednaki $0$.

\begin{theorem}
U afinoj ravnini $A_{2}\left( q\right) $ sve elipse su ekvivalentne$.$
\end{theorem}

\begin{proof}
Ozna\v{c}imo $A_{2}\left( q\right) =A(V)$, gdje je $V=F_{q}^{3}$
trodimenzionalni vektorski prostor nad kona\v{c}nim poljem $F_{q}$. Ovisno o
tome da li je $-1$ u $F_{q}$ kvadrat ili ne, koristimo jedan od prethodnih na%
\v{c}ina pojednostavljivanja jednad\v{z}bi elipse, a onda dokaz slijedi sli%
\v{c}no dokazu Korolara \ref{korglavonje}.

Pretpostavimo da $-1$ nije kvadrat u $F_{q}$. Neka su $\rho _{1}$ i $\rho
_{2}$ elipse afine ravnine $A(V)$. Na\dj imo framove $%
E_{1},E_{2},E_{3},E_{4} $ i $F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}$ za $P(V)$ i pripadne
baze $\left\{ e_{1},e_{2},e_{3}\right\} $, $\left\{
f_{1},f_{2},f_{3}\right\} $ od $V$ koje odre\dj uju te framove, takve da se
konike $\rho _{1}$, $\rho _{2}$ mogu napisati u obliku \ref{a7}, te da
vrijedi $E_{1}+E_{2}=W=F_{1}+F_{2}$. Po\v{s}to je $GL(V)$ tranzitivna na
bazama za $V$, slijedi da postoji $\mathbf{\alpha }\in GL(V)$ takav da $%
e_{i}^{\mathbf{\alpha }}=f_{i},\forall i\in \left\{ 1,2,3\right\} $. Ta
transformacija inducira kolineaciju $\alpha \in PGL(V)$ takvu da $\rho
_{1}^{\alpha }=\rho _{2}$, jer prema \ref{a7} vrijedi%
\begin{equation*}
\left\langle xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\right\rangle \in \rho _{1}\Leftrightarrow
x^{2}+y^{2}=z^{2}\Leftrightarrow \left\langle
xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}\right\rangle ^{\alpha }=\left\langle
xf_{1}+yf_{2}+zf_{3}\right\rangle \in \rho _{2},
\end{equation*}%
$\forall x,y,z\in F_{q}$, koji nisu svi istovremeno jednaki $0$. Tako\dj er
vrijedi i $W^{\alpha }=W$, jer $E_{i}^{\alpha }=F_{i}$, $\forall i\in
\left\{ 1,2,3,4\right\} $, pa je $\alpha \in AutA(V)$.
\end{proof}

%TCIMACRO{%
%\TeXButton{TeX field}{\cleardoublepage
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografija}}}%
%BeginExpansion
\cleardoublepage
\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografija}%
%EndExpansion

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{} A. A. Albert, \textit{Fundamental Concepts of Higher Algebra},
University of Chicago Press, Chicago (1956.)

\bibitem{} L. M. Batten, A. Beutelspacher, \textit{The theory of finite
linear spaces}, Cambridge University Press, Cambridge (1993.)

\bibitem{} T. Beth, D. Jungnickel, H. Lenz, \textit{Design Theory},
Cambridge University Press, Cambridge (1999.), Vol. I, II

\bibitem{} A. Beutelspacher, \textit{Einf\"{u}hrung in die endliche
Geometrie II}, Bibliographisches Institut, Mannheim-Wien-Z\"{u}rich, (1983.)

\bibitem{} N. L. Biggs and A. T. White, \textit{Permutation Groups and
Combinatorial Structures}, Cambridge University Press, Cambridge (1979.)

\bibitem{} V. Cigi\'{c}, \textit{O konstrukciji kona\v{c}nog polja},
Znanstveni glasnik, Sveu\v{c}ili\v{s}te u Mostaru, Mostar (1997.)

\bibitem{} V. Cigi\'{c}, \textit{O konstrukciji kona\v{c}nog polja i
projektivne geometrije nad kona\v{c}nim poljem}, Matematika, 3-4. (1991.),
39-45

\bibitem{} V. Cigi\'{c}, \textit{O tangentama konika u kona\v{c}noj
projektivnoj ravnini }$\mathit{P(V)}$\textit{\ s poop\'{c}enjima za
projektivne prostore dimenzije }$\geq 3$, Zbornik radova, Strojarski
fakultet Mostar, Mostar (1999.), 33-38

\bibitem{} V. Cigi\'{c}, \textit{Some New Partially Symmetric Designs and
their Resolution}, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 99 (1998.), 99-103

\bibitem{} V. Cigi\'{c}, \textit{Two series of square }$1-$\textit{designs
derived from classical designs }$PG(2,p^{2s})$\textit{\ and }$%
PG_{2}(3,p^{s}) $, Glasnik Matemati\v{c}ki, Vol. 29(49) (1994.), 213-216

\bibitem{} C. J. Colbourn, J. H. Dinitz, \textit{The CRC Handbook of
Combinatorial Designs}, CRC Press (1996.)

\bibitem{} G. Donati, \textit{On Pappus' configuration in non-commutative
projective geometry}, Linear Algebra and its Applications, Vol. 331 (2001.)
203-209

\bibitem{} G. Donati, \textit{On the system of fixed points of a
collineation in noncommutative projective geometry}, Discrete Mathematics,
Vol. 255 (2002.) 65-70

\bibitem{hall} M. Hall, Jr., \textit{The Theory of Groups}, Macmillan, New
York (1961.)

\bibitem{} R. Hill, I. Landjev, C. Jones, L. Storme and J. Bar\'{a}t, 
\textit{On Complete Caps in the Projective Geometries over }$F_{3}$, J.
geom. 67 (2000.) 127-144

\bibitem{} D. R. Hughes and F. C. Piper, \textit{Design theory,} Cambridge
University Press, Cambridge (1985.)

\bibitem{} D. R. Hughes and F. C. Piper, \textit{Projective Planes,}
Springer V., New York-Heidelberg-Berlin (1983.)

\bibitem{} J. F. Humphreys, \textit{A Course in Group Theory}, Oxford
University Press, Oxford-New York-Tokyo (1997.)

\bibitem{} N. Jacobson, \textit{Lectures in Abstract Algebra}, Van Nostrand
Reinhold Company, New York-Cincinnati-Toronto-London-Melburn, Vol. I. (1951.)

\bibitem{} M. Kallaher, \textit{Affine planes with transitive collineation
group}, North Holland, New York (1982.)

\bibitem{} A. Kerber, \textit{Applied Finite Group Actions}, Springer V.,
Berlin-Heidelberg-New York (1999.)

\bibitem{} B. C. Kestenband, \textit{The correlations with identity
companion automorphism, of finite Desarguesian planes}, Linear Algebra and
its Applications, Vol. 304, (2000.) 1-31

\bibitem{} A. Knopfmacher, \textit{On the degrees of irreducible factors of
polynomials over a finite field}, Discrete Mathematics, Vol. 196 (1999.)
197-206

\bibitem{} E. S. Lander, \textit{Symmetric Designs: An Algebraic Approach},
Cambridge University Press, Cambridge (1983.)

\bibitem{lidl} R. Lidl, H. Niederreiter, \textit{Finite Fields}, Addison
Wesley (1983.) (ruski prijevod, Mir Moskva (1988.))

\bibitem{palman} D. Palman, \textit{Projektivna geometrija}, \v{S}kolska
knjiga, Zagreb (1984.)

\bibitem{peric} V. Peri\'{c}, \textit{Algebra} I, II, IGKRO "Svjetlost",
Sarajevo (1980.)

\bibitem{redei} L. R\'{e}dei, \textit{Algebra}, Pergamon Press Ltd.,
Oxford-London-Edinburg, etc., Vol. I. (1967.)

\bibitem{} Tran van Trung, \textit{Construction of }$3-$\textit{\ Designs
Using Parallelism}, J. geom. 67 (2000.) 223-235

\bibitem{} S. Vajda, \textit{Patterns and configurations in finite spaces},
Charles Griffin \& Co. Ltd., Birmingham (1967.)

\bibitem{} B. L. van der Waerden, \textit{Algebra}, Springer V.,
Berlin-Heidelberg-New York (1966.)

\bibitem{} W. C. Waterhouse, \textit{Asymmetric linear correlations of
projective planes over fields}, Linear Algebra and its Applications, Vol.
323 (2001.) 99-104

\bibitem{} D. \v{Z}ubrini\'{c}, \textit{Diskretna matematika}, Element,
Zagreb (1997.)
\end{thebibliography}

\end{document}