; TeX output 1998.06.23:1513NL͍NJmR6 cmss12mSveursciliP{steuZagrebuL͍PPriroSdoslovno-matematirsckifakultetMatematirsckioSdjelٍS}R6ff cmss12}Martin/Lazarp[.Nj cmbx12GlobalnaƧrje4senjaBoltzmannoZveƧjednadZzbeG40kN cmbx12kDiplomskirad*j~cXQ cmr12cZagreb,lipnja1998.*Nl~LNG cmbx12PredgouvorLͤL͍#I9cLudwigXBoltzmannje1872.7goSdinenapisaojednadrszbukojaopisujepSonaa?sanjerazrije-+d=7fJenogplina.&4BoltzmannorvXajednadszbajeidaljeosnovXakinetiscketeorijeplinovXaiprimjen-+juje=sezaprourscavXanje=nesamoklasircnihplinorvXa,Rdkoje=jeBoltzmannimaonaumrukadju+jeZpisao,GnegouzoSdgorvXarajuscaZpoopscenja,GkoristiZsezaprourcavXanjeZprijenosaelektrona,+neutronaDifotonauoSdgorvXarajuscimDsredinama. GVUDvzadnjihdvadesetgoSdinaporvescanoDje+zanimanje3zanjuijedanoSdnajnorvijihrezultatanatutemujeTsclanakRonaldaDiPerne+iPierreLouisLionsaukrojemdokXazujuegzistencijuglobalnihrjea?senjaBoltzmannovejed-+nadrszbSe.LUovomRadusampokua?saodatiprikXaztogdokazaipritompSojasnitimnoa?stvro+detalja,krojisuusclankuostalinerazjaa?snjeni.#I9Ovrom,prilikom<szelimsezahvXalitisvommentorudr.NenaduAntoniscunanesebiscnoj+pSotporigirazumijevXanjukrojesamimaozavrijemepisanjaovogRada.uIstiscemdasamkroz+cijelo6^tovrijememogaorarscunatinanjegovupSomoscurazjaa?snjavXanjusvihnejasnoscana+krojesamnailazio.Mnoa?stvomkorisnihsavjetatrudiosepSojasnitiiprikXazatizanimljivim+relativnotea?skroimenidotadanepSoznatogradivo,[kojeseuRadukoristi.Nakrajuse+zahrvXaljujemiasistentimaNevenuBalenoviscuiMarkuVVrdoljakunauloszenomvremenui+krorisnimsavjetimakojimasumipSomoglirijea?sitiodred=7feneproblemevrezaneuzovXajrad.I#Zagreb,lipnja1998.SMartinLazar\K"V cmbx10Ki+N펟 !Nc^Sadruzazj&L͍+kPredgovorw. ........................../DiL͍+Sadrzaj |q. .........................../Diii L͍^{{Nff cmbx12{I.ffKinetiYckateorijaplinova c1.8FVazniprostor >6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.Pp2L͍ 2.8LiouvilleorvXajednadszba e>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.Pp6 3.8Proincarseovteorem>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.Pp7L͍^{{Is3I.ffIzvodBoltzmannovejednadYzbs3eL͍ c1.8FVazniprostoriLiouvilleorvXajednadszbazaplin gp>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l10 2.8HeuristirsckiizvoSdBoltzmannovejednadszbSe >6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l13^{{Is3II.ffPregledanalitiYckihrezultataL͍ c1.8L245" cmmi9p ]cprostori .>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l18 2.8DistribucijeBw>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l19 3.8SlabakrompaktnostuL2p`>6c. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l21 4.8Prijenosniteorem >6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l22^{{IV.ffCauchyjevazadaYcazaBoltzmannovujednadYzbuL͍ c1.8PrvreoScjenerjea?senja ->6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l26 2.8Osnorvniteorem a >6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l29 3.8Klasirscnarjea?senjapSomoscneCauchyevezadasceiterativnimpSostupkom͍>6. >6.>6.0l31 4.8Aproksimativnarjea?senja Ac>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l36 5.8PrijelaznaslabSokronvergentanpodniziprvXasvrojstvalimesa>6. >6.>6.>6.>6.>6.0l39 6.8JakXakronvergencijaq_>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l43 7.8Limesjerenormaliziranorjea?senje>6. >6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.>6.0l46+kLiteraturaӍ. .........................D53uKiii eN펟NiI.zKinetiuckateorijaplinouva卟ECK`y cmr10CGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍒)k1.Fazniprostor WScU\Rstatistirsckoj\pmehaniciprikladnojeopisatistanjemehanirckog\psustavXadg cmmi12dGcsadscstup-L͍EnjevXaQLslobSodepomorscuvrijednostiHamiltonovihvXarijablidq3o cmr91d;q2d;e!", cmsy10ed;qsc;dp1d;p2d;ed;psc.lJed-EnadrszbSegibanjatadapoprimajusljederscioblik!@؍E(1)ōԷddp iԷ[z ΍ddt5c=UReō33d@H33[z ΍@q id;ō)dq i)[z ΍Pddt"vc=ōd@H[z ΍@p id;"EcgdjejedHj}h! cmsl12jHamiltonorvXafunkcijac2dscvXarijablidq1d;ed;ps c(pritompretpSostavljamodadHcneEorvisiovremenudtceksplicitno).VVremenskXaderivacijafunkrcijedHBcselakoizrascunakoristesciE(1):+ōsddHs[zĘ ΍5dt7c= qsURfu cmex10fXi=1ōd@H۟[z ΍@q iō+ddq i+ן[z ΍Pddt>c+ -sfXNi=1ō31d@H31[z ΍@p iō+-ddp i+-[z ΍ddt?Qc=UR0d:"5EcZbSogtoga;]stosustarv(1)sadrszisamojednadszbSeprvogreda,UnaosnovujedinstvenostiErjea?senjaCaucrhyevezadascezasustavobiscnihdiferencijalnihjednadszbi, slijedidaznajusciEvrijednosti̓Hamiltonovihjednadrszbiutrenutkudt0 cmoszemooSdreditinjihovevrijednostiuEsvXakromdrugomtrenutkudtc.SUvredimosad2sdimenzionalnieuklidskiprostor,lscijetosckeimajuKartezijeveko-Eordinate8Hdq1d;ed;psc.!SvXakromstanjumehanisckogsustavXadGcoSdgovXarajednatosckXaukojuEzorvemo,jimaginarnomtorsckom,cdanogsustarvXa,= acijeliprostorjfaznimprostorom.cBudusciEdajestanjemehanirsckogsustavXausvakromtrenutkudtcjedinstvenooSdred=7fenostanjemuEnekroma ksnomtrenutkudt0c,oondansceigibanjeimaginarnetosckeu,+stopredstavljaprom-Ejenru~stanjadanogsustavXa,=bitijedinstvenooSdred=7fenonjenimpolorszajemudt0c.KrivuljakojuEoSdred=7fuje"togibanjezorve"sejtrajektorija.?cSlijedidakrozsvXakutorsckufaznogprostoraprolaziEtorscnojednatrajektorija.SProgledajmo[-vremenskiintervXal[dt0d;tc].pU[tomvremenusvXaka[-toscka[-dP0 4e2cprijed=7feuEdrugu,}jedinstvrenoroSdred=7fenutosckudPc,}daklecijeliprostorsetransformirausamogsebSe.EOvrokugibanjefaznogprostorazovesejpriroSdnogibanjeciimasljedescesvojstvo::{premjea?stajEsvXakre7tosckeuintervXaludtURc=dtdX s+i{c=UReō33d@H33[z ΍@q i@Nd;p+czadiURc=1d;c2d;ed;sc.L͍#I9UnorvimoznakXamaraspisanejednadszbSe(1)glase3s+(2)ܙf8 ԍ>>><>>>:ōddx1[zR ΍ǍddtBc=URdX1c(dx1d;x2d;ed;x2s oc)>e󏍍ōddx2s[z7m ΍ddtBc=URdX2s oc(dx1d;x2d;ed;x2s oc)URd;2+coSdakleprimjenomScrhwarzovogteoremaosimetrijiderivXacijeslijedi#:2sܑfX 7i=1ōed@X ie[zE ΍d@x i3Uc=UR0d:'+cAkrodsudxߍ(0) i Qc(di%Rc=1d;c2d;ed;sc)dpSoscetnevrijednostivXarijablidx i%c(utrenutku0),hondajejedin-+stvrenorjea?senjesustavXa(2)sljedescegoblikXa:0rdx ic=URdf iJc(dtc;dxߍ(0) L1 Qd;xߍ(0) L2d;ed;xߍ(0) L2sc)URd:+cUinrtegralucdc(dMtc)UR=甆fZ ^M40ercmmi7tddx1eddx2sa+czamijenimovXarijablestarvljajusci:Ndx ic=URdf iJc(dtc;dy1d;ed;y2s oc)d;+cgdjedtcshrvXascamokaopSomorscniparametar.#I9Budurscidaje(dy1d;ed;y2s oc)URe2dM+cakoisamoakoje(dx1d;ed;x2s oc)URe2dMtd;cvrijedidajeAjdc(dMtc)UR=甆fZ ^MhdJrc(dtc;dy1edy2s oc)ddy1eddy2s kd;+cgdjejesdJcoznarscenjakobijan8r8dJrc(dtc;dy1d;ed;y2s oc)UR=ōdd@c(dx1edx2sc)[zD ΍d@c(dy1d;ed;y2sc)Md:Uu+cDeriviranjempSoparametrudtcdobivXamo+(3)ō"ddc(dMtc)"[z%NQ ΍ zddtc=UR甆fZ ^Mōd@J[zv ΍g@t'Ddy1eddy2s kd: ̍+cVVrijednostFuo@Joz \ꍑN@tcbcmorszemoP[z D ΍dC甆fZȮC10EFdf1c(dt;Pc)ddtUR;ǍEjatajlimespSostojiskrorosvudaikXaddC1e!UR1j.ծR**fEK4Dj8^CKinetiGckqaUUteorijaplinovqaPT#I9cVVelirscina[a(1d=Cܞc)UQfR C 0)df1c(dPS;tc)ddtcjesrednjavrijednostfunkcijedf`cdusztrajektorijekojapro-L͍+lazi krozdPc, cuvremenskromintervXaluehc0d;Cܞeic.LimesovevrijednostikXaddCae!1czovemo+jvremenskimkusrednjenjemcfunkrcijedfcnatrajektorijikroztosckudPc. mDrugascijeiskXazano,+Birkho orv(teoremkXaszedazaintegrabilnufunkcijupSostojivremenskousrednjenjenatra-+jektoriji0krojauscasudtGc=00prolazikrozdPc,BzaskorosvXakidPc. Dokazteoremasemorszenasci+u[H,str.20].#I9Prourscimoظsadajedanprimjerfaznefunkcije.S{ zisckogstanovia?stanajvXasznijafazna+funkrcijajeenergijadEc(dq1d;ed;qsd;p1d;ed;psc).#I9Uizoliranom1mehanirsckomsustavuenergijajekonstantna.g{TVoznascidajezasvXaki+da{e2kR. cskupdE2 tc(dac)inrvXarijantan. pSodskupod;ϿtakvrepodskuporvescemozvXatijpSovra?sine+kronstantneenergijec.#I9Uvredimooznakux czapSovra?sinukonstantneenergijedE ic=URdxc.#I9PretpSostarvitscemodazanaa?smehanisckisustavvrijedesljedescecetiripretpSostavkekoje+suobirscnoispunjeneusustavimarazmatranimustatistisckojmehanici:}1)#I9NenegativnostfunkrcijeE.TVajsezahtjevmoszeuvijekispunitinamjea?stanjemaditivne#I9kronstanteuformrulizapSotencijalnuenergiju.}2)#I9Dio]faznogprostorade niranognejednakroa?sscu]dE i<URxcjejednostrukropSovezanopSodruscje#I9ogranirscenopSovra?sinomx8c.}3)#I9x cjezatvrorenidovoljnogladakskup.}4)#I9Zadx1 *d< x2 cjexi@ٓRcmr71WcunrutarpSodruscjaomed=7fenogsaxi@2 :c,mpafamiliju(x8d;x e2kR+0ͨc)#I9morszemopredocitifamilijomkroncetricnihsfera.#I9OsimorvihpretpSostavkiumehanisckomsustavuvrijediitodajeukupnaenergija+pSodudarnasHamiltonorvomfunkcijom.#I9ZbSogzakronasascuvXanjaenergijezadMeucx QcvrijediidMtL)ecx8d;te2kRc;:.4Problems+krojimg sesadasuoscavXamojede niranjemjerenax8c. Naime,%akozadMie) cx %Dcde niramo+mjeruQpdmc(dM@c)UR:=甆fZ ^Mhddcd;N+conda@tamjeranerscebitiinvXarijantnasobziromnapriroSdnogibanje,9&tojestzanjunesce+vrijeditiBirkho orviLiouvilleovteorem.8Zatoszelimouvestinovumjerunax8c.#I9Razmotrimo:sadadvijein nitezimalnobliskrepSovra?sinex irciDx+xc,^askupomed=7fen+njimaoznarscimosdDSc.8TVadajezbogLiouvilleorvogteoremavrolumenޱ甆fZ\i ^DddV+cinrvXarijantansobziromnapriroSdnogibanje.#I9OznarscimoIsdncnormalunapSovra?sinux8c.TGornjiseintegralmoszenapisatinasljedesci+narscin:QtP甆fZ ^DjddVc=UR甆fZOUTx+x x+8؟甆fZ1ㄟ ^M>Lddcddn+civrijediJ+(5)a甆fZOcx+x x甆fZh ^M4t]ddcddnURc=甆fZOUTx+x x+8؟甆fZ1ㄟ ^M>Lddcddn:ߍ+cKakrojeddx ic=URcos(dn;x iJc)ddnc,toimamo"㍑udxURc=ddE ic=r2sfXi=1ōVKd@E۟[z2 ΍@x i*Cddx ic=fXōVKd@E۟[z2 ΍@x i,Cccos;(dn;x iJc)ddn:K5VECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑EcZbSogs cos(dn;x iJc)UR=ōd@E=@x i[z'TT ΍uejrdEej]+Ecvrijedi+˂E(6)|X]ddE ic=fP*322s U\32i=1 > fFu)~@E) z ş@x.i8; f?e]2 Tz?: ΍ejrdEfejEddnURc=ejrdEejddn; ǛEcpamorszemode niratimjerudcnafPUxSc: 덒dc(dM@c)UR:=甆fZ ^MōXddc[zj ΍ejrdEej65d: ǖEcKoristersci(5)i(6)vidimodamjeradczadovoljavXaLiouvilleovteorem,tojest%E(7):dc(dMtc)UR=dc(dM@c)d:EcUkrolikoszelimonormiratimjerudc,tadajemorzemoprede niratinasljedercinarcin:獒RXd0c(dM@c)UR:=ōVbdc(dMc)[zo ΍dc(x8c)'d:1J]k2.Liouvilleov@ajednadzbawScRazmatratscemo?OslurcajplinasdN3cmolekulaiuvrestifunkcijugustoscedc,ade niranetakoL͍Edainrtegral R甆fZ ^Dldc(dt;kpd;kqc)dd sdpd sdqKEcpredstarvljabrojmolekulakojeseutrenutkudtcnalazeuskupudDeURc.SFVunkrcijagustoscezadovoljavXaLiouvilleovujednadszbu:"⍍ōnܢddnܢ[z *v ΍dtc=ōd@[z t ΍@tPc+ -sfXNi=1c(ō9d@[zj ΍@p iō,Tddp i,T[z ΍ddt@(c+ōFd@۟[z ΍@q iō8ddq i8[z ΍Pddt&-dc).z=UR0d:$EcSmisaojednadrszbSejedaprirodnogibanjetorscakXaufaznomprostoru,#EshvXascenokXaogibanjeE uida,imasvrojstvoinkompresibilnostitokXa.SDa]bismodokXazalidaLiouvilleorvajednadrszbavrijedizafunkcijudc,:luzmimoproizvoljniEvrolumnielementd!Xcu,isadScoznascimonjegovrub.8TVadavrijediU;E(8)ōxddYy[z Y8 ΍dt甆fZ ^!$qddcUR=甆fZ ^Sknekv0ddS); EcgdjejekncjedinirscnanormalanarubdSc,akvcje2dsc-dimenzionalnajbrzinac:%VkvRc=UR(*_dq1 Ud;ed;*c_dqs d;Kc_dp1 d;ed;Kc_dps c)d:EcNaosnorvuteoremaodivergencijiimamo:7 甆fZ8 ^!Mmdivkv0ddcUR=e甆fZ ^ST>knekvddS);EK6izj8^CKinetiGckqaUUteorijaplinovqaN퍑+cpakrombinirajuscigornjurelacijus(8)ikoristesciproizvoljnostskupad!XcdobivXamo sōId@I[z t ΍@tЍc+mdivcc(dkv0c)UR=0d:+cRaspisivXanjemslijediF}Kߍ\eō33d@33[z t ΍@txec=URmdiv c(dkv0c) Ntxe= qsURfXi=1qfō".d@32[z ΍@q i/!\c(d*c_dq ic)+ōd@۟[zj ΍@p i|c(dKc_dp i c)qf'Ixec= qsURfXi=1qfōtd@32[z ΍@q i1ec_dq i5Gc+ōd@۟[zj ΍@p i&ecc_dp i :qf}0c+ -sfXNi=1dqfōPd@ [zj ΍@p irmc_&dp i'aQc+ōMd@۟[z ΍@q ic_dq iqfY|d:F}+cIz1HamiltonorvogsustavXajednadszbislijedidasu,clanorviudrugojsumacijiuzadnjojjed-L͍+nakrostijednakinuli,paonaprelaziuLiouvilleovujednadszbuitimejedokXazgotov.xk3.Poincarqeovteoremb#I9cMehanirsckisustavzatvorenukonascnivolumenskonascnomenergijomZ?ceseukronascnom+vremenruvratitiuproizvoljnublizinuskorosvXakogpSoscetnogstanja. Preciznije,vrijedi+sljedersciL͍+kTeorem޸3.(Poincarqe)=jAkrozaproizvoljnomalendAecx ec=jsdB|edAjoznascimoskup+svihtorscakXakojesenevrascajuudAjnakonKstogajednomnapuste,ondajedc(dBc)UR=0j.L͍+mDem.cOznarscimoasdB1d;B2d;B3d;:::cpSodrurscjaadobivenapriroSdnimgibanjemskupadBVgcnakon+vremenadt;c2dt;:::ʞc.եZbSogde nicijeskupadB[cmorszemouzetidtcdovoljnoveliktakodajedBe\JdBt,mc=+e;c.8Tvrdimodajetadae(e8dn;kgc)URd;Bne\dBn+kc=e;d:L͍+cU$suprotnom$biescinjenicadajedPZPe2dBne\XdBn+kczbSognepresijecanjatrajektorijaporvlascila+dajedPIe2dBn1?e\2 dBn+kC1"cidaljeinduktivnodajedPe2dBe\2 dBkpc,Dzstojeukrontradikcijis+de nicijomskupadBc.#I9ZbSog[(7)vrijedidajedc(dBc)Q=dc(dB1c)=d:::gc,ۇpa[akrojedc(dBc)Qd>c0[slijedidajemjera+cijeleJenergetskrepSovra?sineneograniscena,estojeusuprotnostispretpSostavkomteorema,spa+jezatodc(dBc)UR=0d:ߌkQ.E.D.L͍#I9cVVrijemeDrkrojejepSotrebnosustavudasevratiupSoscetnostanjezovesejPoincarseov+krugc.K7vlN펟 ЍNiGI=I.zIzvuodBoltzmannouvejednaduzb=e ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑Cik1.FazniprostoriLiouvilleov@ajednadzbazaplin΍ScUMBrazmatranjuMplinasdNcmolekulauvrestscemo6dN@c-dimenzionalnivektorkzckojiseL͍Esastoji+loSdkromponenatavrektorapolorszajakx iնcibrzinagDF cmmib10g i(ccestica,Qte6dN@c-dimenzionalnivrektorEkZٰckrojisesastojioSdkromponenatabrzinag icisilana"scesticupojedinicimasekX iJc.38PripadniEfazniRprostorjeskupUR= 2N QetkR23N }c,qgdjeRje URekR23rcdioRprostoraukrojemsegibajuscesticeEplina.dNorvouvedeniNvektorikxcigXcoSdgovXarajuvektorimakqcikpcizHamiltonovogsustavXa,gaEbrojQMstupnjevXaslobSodeQMdscjednakje3dN1c(svakrojscesticipripadajutristupnjaslobSode).lMiscemorazmatratisamohamiltonijaneoblikXa"XlqdHVc(kpd;kqc)UR=3NfXi=1ndp22i۟lsz' ΍c2dm+c+dVpc(dq1d;q2d;ed;qD3N }c)URd;!ύEcgdjeМsumapredstarvljakinetisckuenergijusustavXa, afunkcijadVm cpSotencijalnuenergiju.UEdaljnjemJraduscemopretpSostarvljati zikXalnusituacijuukojojJmoszemozanemarivXatipSoten-Ecijalnruenergiju,tojestuzetG\scemodVc=T0,paHamiltonorvejednadszbSepoprimajusljedersciEoblik:gʟqfٙWnc_*kqc=URkpL͍W>c_*kpc=URk0d:EcZadnja,jednadrszbaiskXazujecinjenicudaunaa?semsustarvunisuprisutnesile.PomoscuvektoraEkxcigGucgornjisustarvjednadszbisemoszezapisatinasljedescinascin:)5E(1)W_*9bkzɎc=URkZd;vcstoQjeuprarvoQNewtonovsustavjednadszbigibanja,kojijesustavobiscnihdiferencijalnihL͍Ejednadrszbiprvogreda,pavrijednostrjea?senjakzcupSoscetnomtrenutkuoSdred=7fujevrijednostErjea?senjakzcusvXakromdrugomtrenutku.SAkroneznamopSoscetnevrijednostisapsolutnomtoscnoa?scu,3moramouvestivjerojat-EnosnruwdistribucijudPc(dt;kzc),kojapredstavljagustoscuvjerojatnostinalaszenjatosckeufaznomEprostoruutrenrutkudtc.Preciznije,AvjerojatnostnalaszenjatosckekzcuskupudDeURcutrenutkuEdtcjednakXajeinrtegraluy甆fZj% ^D̓dPc(dt;kzc)ddkzURd:p7EcImajurscizadanupSoscetnuvjerojatnosnudistribucijudP0 Xc:=8dPc(0d;kzc), szelimoizrascunatidis-Etribucije]dPc(dt;kzc)ukXasnijimtrenrucima.DabismotopSostigli,potrebno]jeoSdreditievoluci-EjskujednadrszbuzadPc(dt;kzc).SInrtuitivXan4nascinnakojisetomoszepSostiscijesljedesci.8NavjerojatnosnudistribucijuEmorszemongledatikXaonagustoscunaa?setosckeufaznomprostoru,`pazakonsascuvXanjamaseEdaje㍍ōc0.ETVakrodobijemoy%dGURc=(dNec1)甆fZ ^Rj3甆fZLȟ ^S;+-dPƟ (2) c(dt;kx1d;g1d;kx1ʦc+dn9knd;g1d;g2c)ejkV2ʦeknejdn9 27ddknddg2uPd:!9EcSadajednadrszbu(6)moszemozapisatiuobliku:" Ѝōنd@PƟ2(1)ن[za] ΍d@t"c+g1ʦerxi@1 ^dPc=UR(dNec1)甆fZ ^Rj3甆fZLȟ ^S&\dPƟ (2) c(dt;kx1d;g1d;kx1ʦc+dn9knd;g1d;g2c)kV2ʦekndn9 27ddknddg2uPd:yEcUVdgornjemVinrtegralusmoispustiliapsolutnuvrijednost,t)aumjestopSohemisferiintegriramoEpSocijelojsferidSc.SGornja5jednadrszbajoa?suvijeknamnijeoSdvelikekoristi. Onotstose/szelidobitijeEjednadrszbakojai*cesadrzavXatisamofunkrcijudPƟ2(1) c.TVujednadszbujenapisaoBoltzmanniEonanosinjegorvoime.SSljedersce-stoxcemoEiskoristitijeneprekidnostvjerojatnosnedistribucijedPn cprilikomEsudara.Starvljajusci[diVc=1idjc=2ujednakrost(5)iintegrirajuscipSovektorimabrzineiEpSolorszajapreostalihdNec2cestica,dobijemo:4)dPƟ (2) c(dt;kx1d;g1d;kx2d;g2c)UR=dPƟ (2) c(dt;kx1d;g1ʦeknc(knekV0c)d;kx2d;g2ʦc+knc(knekV0c))Eza\ejkx1ekx2ejURc=dn9c,ypri scemrusmokVcpisaliumjestokV12 c,akncumjestokn12 c. Radikrarscegzapisa,L͍EkroristitscemooznakeHbE(7)͍Keg \0ڍ1Mc=URg1ʦeknc(knekV0c)L͍Keg \0ڍ2Mc=URg2ʦc+knc(knekV0c)d: EcKoristerscigornjerelacijemoszemoovXakopisatiizrazzafunkcijudGcpSoprimaoblik:E(8)%dGURc=(dNec1)dn9 25甆fZ8 ^Rj30S甆fZ# ^S;+2dPƟ (2) c(dt;kx1d;g \0ڍ1d;kx1ʦc+dn9knd;g1d;g \0ڍ2c)ejkV2ʦeknejddknddg2uPd:EK14kM8[CIzvoGdUUBoltzmannovejednadGzbGeN퍑#I9cU0eorvom0trenutkupSotrebnojeuvestidoSdatnepretpostarvke,UBoltzmannoveargumente.L͍+UYrazrijed=7fenomplinrubroj_scesticadNqcjeveomavelik,ad!cmalen.Naprimjeruzmimoda+imamo$plinzatvrorenukutijuvolumena1cm23 DcprisobnojtempSeraturiipriatmosferskom+tlaku.nTVada5jedNP%e԰ c=½10220g1cidPze԰bc=1028 Qccm,XpaproScjenjujemodaje(dNke+c1)dn922P $xe԰ =`c=dN@n922 $xc=A1+m22c,nstojeznarscajnaveliscina,g/dokrazlikuizmed=7fukxcikxyc+dn9kncmoszemozanemariti.$Zato5scemobkroristititzv. Boltzmann-GradovlimesprikojemdNwe!G1c,Xde!c0,abdN@n922 costaje+kronstantan.#I9Osim|toga,budurscidavolumenkojizauzimajuscesticeiznosidN@n923Pe԰ c=1024A>ccm23c,sudar+dvijuoSdred=7fenihoscesticajemalovjerojatanslurcaj.Zatosezaocesticeprijesudaramorze+pretpSostarvitidasustatistisckineovisne,tj.8dazanjihvrijedirelacijacڍkodPƟ (2) c(dt;kx1d;g1d;kx2d;g2c)UR=dPƟ (1) c(dt;kx1d;g1c)dPƟ (1) c(dt;kx2d;g2c)URd;+cilipreciznijezapisanoQdPƟ (2) c(dt;kx1d;g1d;kx1ʦc+dn9knd;g2c)UR=dPƟ (1) c(dt;kx1d;g1c)dPƟ (1) c(dt;kx1ʦc+dn9knd;g2c)+zaL͍(g2ʦeg1c)ednUR1=ppDd;pURe2c[1d;e1ifpe?kduekDLj1c:=URinfHefIdM6e2URkRc:ejduc(kxc)ejq msam10q6dM@c(ss Dkxc)eg USd:+rEcAnalognosede nirajuL2p ]cprostoriinasvXakromLebSesgue{izmjerivompSodskupudAURekR2dc.#xSCestocscemokroristitiiprostorLߍp 뀍l&9oc Vc(kR2d\c)kojegsascinjavXajusvefunkcijeducsasvojstvom-EdasezasvXakikrompaktanskupdKܞc,njihovXarestrikcijanadK1eURkR2dEcnalaziuL2p$c(dKܞc)$.TVomejeEekvivXalenrtnatvrdnjadajezasvakufunkrcijud Ëe2URcC21RAc c(kR2d\c)1proSduktd n9uURe2cL2p$c(kR2d\c)(Q.#XUmjestoEproizvroljneٙfunkcijed Gcmoszemoseude nicijiograniscitinaprikladanniztakvihfunkcijaE( d npc).-TVada\jesekdunpekURc:=ekd nduekOLjpR(Rjd )"cdan\nizpSolunormikrojiodred=7fujutopologijuprostora*sELߍp 뀍l&9oc Vc(kR2d\c).}StomjetopSologijomLߍp 뀍l&9occ(kR2d\c)FVrrsechetovprostor,@oSdnosnopotpunmetrizabilanElokXalnokronveksanHausdor ovtopSoloa?skivektorskiprostor.SZaekspSonenrtdpcde niramonjegovjkonjugiraniekspSonent0dp206cprekorelacije: ō1[z孟 ΍dpHc+ōb{1۟[z; ΍dp0Oc=UR1R#E(formalno,1d=e1URc=0,paje120Xc=e1c).܍EkLema1.j(kH@olderov@anejednakostj)kyNekXajedp0e2c[1d;e1c]j,akydp20ojnjegorvkonjugiraniekspSo-Enenrt.8Akosudf2jidgXjizmjerivrefunkcijenakR2dG]j,ondavrijediy\ekdfGgn9ekOLj1|s(Rjd )! q6URekdfekOLjpR(Rjd )ekdgekVLjp0(Rjd )#d:~#**fVScNekXagjedpe2c[1d;e1c],,agdp20"cpripadnikronjugiraniekspSonent(Fu5133zp ٬c+Fuk<1ğzrčpj0Vc=1).PoH olderovojTEnejednakrostisvXakidgËe2URcL2p-=0 ݖcoSdred=7fujeneprekinutlinearnifunkcionaldGURe2c(L2p$c)20c: idGc(dfGc)UR:=甆fZURdfcdg ;uScVVarszno7jedasenagornjinascinmoszeprikXazatisvakifunkrcionalizdualnogprostoraL͍E(L2p$c)20c,Kstorvia?seakosudp;p20Xe2URhc1d;e1ickonjugiraniekspSonenti,ondavrijediTBB(e8d'URe2c(L p$c) 0c)(e9dgËe2cL p-=0c)(e8dfQe2cL p$c) d'c(dfGc)=甆fZURdfgEci*ekdgn9ekVLjp0 c=URekd'ek(LjpR)j0c0)(e9dAe2pMc) dc(dAc)d<"c&dfn4jejX[nA* qdfejX[nAd: **f%ʍDk2.Distribucije`#I9cZalotvroreniskup ekR2d2cde nirajmolC21RAc c( )/4kXaolskupsvihC21hcfunkcijascijije+nosarsckompaktan.8Posebno,ukolikoje UR=kR2dcpisatiscemoeDc=C21RAc c(kR2d\c)..#I9SljedersciqprostorkojiscemouvestijejSchwartzovprostorNeSXcbrzoSopadajuscihfunkcija.U+tusvrhrunajprijede nirajmofamilijepSolunormi'򯉍ekd'ek ; yc:=URekkx Ed@ d'ekDC d;L͍ݵekd'ekkyc:= sup TURj + K3jAӱ msam9A6k+cekd'ek ; `d:(8S+jScrhwartzovaprostor>5eSH#cjeprostorsvihC21 !cfunkrcijad'czakojejeekd'ekkd<URe1c,}#zasvXakidkoe2kN0c.+NaWnjemrumoszemode niratipriroSdnutopSologijukXaonajslabijutopologijuukrojojWsusve+pSolunormeN:ekd'ekk cneprekidne. cVVrijedidajeScrhwartzovN:prostoreSbc,zajednosprirodnom+topSologijomFVrrsechetovprostor.8MetrikXanaeS csemoszezadatis#Uddc(d'; n9c)UR:=`1fXٟkC=0c2 kō%ekd'ed ekk g[zD\$ ΍c1+ekd'ed ekkVd:'[+cNadalje,zasvXakidpURe2c[1d;e1c]jeeS;URcL2p$c(kR2d\c)(Q.#I9Za_dokXazosnorvnogteoremau hscetvrtompSoglavljutrebat hscenamfunkcijekojepSomno-5szene&sfunkrcijomizeS zcopSetdajubrzoopadajurscufunkciju.[U%tusvrhuuvedimoskupfunkcija+jnajvia?se:ypSolinomijalnograstaubeskronascnostic,Nmkojeg:yoznacujemo:yseOUVc.(RSkupeOcde niramo+nasljederscinascin:8d'URe2OcC21 c(kR2d\c)1ako8t(e8g URe2kN dڍ0Jc)(e9dC1e2kR +c)(e9dne2kNc)(e8kxe2kR dc) ejd@ 6ad'c(kxc)ejq6dCܞc(1+ejkxej 2c) n id:+cNamajevXarsznacinjenicadajeeS cjezatvorennamnoszenjesfunkcijamaizeOUVc.#I9ProsebnonaszanimajutopSoloa?skidualiuvedenihprostora.#I9Zajotvrorenskup ;ekR2dcde nirajsejdistribucijacilijpSoopscenajfunkcijaducna kXao+linearanmxfunkrcionalnaC21RAc c( ).Lkojijeneprekinut(ograniscen)usljedescemsmislu(seKD +coznarscujemoklasusvihkompaktnihpSodskupovXaskupa ):r(e8dK1e2URKD .6c)(e9dCe2URkR +c)(e9dne2kNc)(e8d'e2cC 1ڍc c( )'1)wsupp`d'URedK1c=e)jhdu;'eijq6dCcsup Tܜj jA6ncsup {՟x2K4jejd@ 6ad'c(kxc)ejd:f+cProstor%distribucijana jetopSoloa?skidualprostoraeDUVc( )mj=C21RAc c( ).oci%oznarscujemogas+eDUV20Xc( )(pSosebnojeeDUV206c:=UReDUV20c(kR2d\c)).#I9Akro!pSostojibrojdn0uPe2URkN04ctakXarvdagornjanejednakostvrijedizasvXakidKcstimbrojem+namjesto4dnc,ondajedistribucijajkronascnog4redac.NajmanjitakXarvbrojdn0 2czorvemo4jredom+distribucijeL2duc.]DistribucijeredanrulanazivXamojRadonovimmjeramac.]ProstorRadonovih+mjeraoznarscujeseseMcionjeudualnostisprostoromCc%c. K19YECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑ScSpSecijalanprimjerdistribucijejeDiracorvXamasa,daf{c,de nirananasljedescinascin:Yehdaf{d;'eiURc:=d'c(dac)d:ScDualprostoraeSbc,eS20csesastojioSdtakrozvXanihjtemperiranihdistibucijac.4TVosulinearniL͍EfunkrcionalinaeS cneprekinutiusljedescemsmisluK,(e9dC1e2URkR +c)(e9dN6e2kNc)(e8d'e2Sbc) ejhdu;'eijq6dCܞekd'ekDN 3-d:EcZauvredeneprostorevrijedisljedescinizrelacijaeDURS;d,e!Sb 0?BeDUV 06d:ScDe nirajmomRsadanekXapreslikarvanjanaprostorueSSckrojascemokoristitiudokXazuos-Enorvnogteorema.SZaproizvroljnufunkcijudug~e2Scmorszemode niratiFVourierovupretvorbueF1dug~c:=# ^duEcformrulom:U^v^duk c(g\c)UR:=甆fZ ^Rjd$de 2Rix"?3duc(kxc)ddkxd:b EcPretvrorba^NduZcjeNograniscenaineprekinutafunkcijaizeSbc.1Nasscezanimatimoguscaproa?sirenjaEFVourierorvepretvorbSeeF1c.zEkTeoremH2. j(,ukPlancherelj)FVourierorvXasepretvorbanajedinstvennascinproa?sirujesaeSjdoEunitarnogopSeratorascL22c(kR2d\c),jnasamogsebe."**fY(xcSStorvia?se,Dza1,q6dpq6c2,FVourierorvXapretvorbaseproa?sirujedoograniscenoglinearnogftEopSeratorasL2p$c(kR2d\c),ѵuL2p-=0c(kR2d\c)+F,normemanjeilijednakre1.SZadf;gËe2URS cde niramojkronvolucijudfedgXcformulom>vF({p dfedgn9c)xT(kxc)UR:=甆fZ ^Rjn{dfGc(kxeky0c)dgn9c(kyc)ddkyRd:g>EcZa8-svXakufunkrcijudf!De2ESbc,KpreslikarvanjedgG~e7!Edf'oepdgfcjeneprekinrutopreslikarvanjeprostoraeSEcna(samogsebSe._ZnarscajnojedakoSdderiviranjakonvolucijemoszemoprebacitiderivXacijuEnabilokrojunjenukompSonentu,+toscnijerescenovrijedidazasvXakig e2kN2dL0 i~cjed@2 6ac(dfedgn9c)=E(d@2 6adfGc)edgËc=URdfec(d@2 dgn9c).SProznavXajusci FVourierovupretvorbu,;fmoszemode niratiSobSoljevljevprostorH2sd;se2EkR2+}c(krojisejoa?soznascujeisW)ǟ2s;2 *c(kR2d\c))kXaoskupsvihizmjerivihfunkcijaduSe2cL22c(kR2d\c)..zaEkrojevrijedi:lekduek 2Hjs -c:=UR甆fZ ^Rjd$c(1+ejg\ej 2c) sejc^duc(gc)ej 2ddgd<URe1d: ScNizfunkrcija(dnpc)jejizglad=7fujuscinizPcakovrijedi:Si)supp"hdn ie!URfc0egScii)ꨟUQfR ejdnpc(dxc)ejddxURq6dCBciupUQfRuodnc(dxc)ddxe!c1d:ScProsebno,zaU_dc(dxc)UR:=zf(ldCܞe P 5133aH˟1jxj2Kd;ejdxejq6c1$x`0Pd;cinarsce&IE(dCcjekronstantabiranatakodajedCܜUQfR ܛde P 5133aH˟1jxj2"ddxURc=1),de niramoizglad=7fujurscinizdnpc(dxc):=Edn2dJdc(dnxc).SSvXakiizglad=7fujurscinizkonvergiraslabSo*uRadonovimmjeramakDiracovojmjerid0c,EtojestzasvXakufunkrcijud'cizprostoraCc%c(kR2d\c)-Sehdnpd;'eiUR!d'c(0).EK20.YCPregledUUanalitiGckihrezultataN퍒k3.SlabakompaktnostucL2p}#I9cProSdsjetimoseDunford-PettisovogkriterijaslabSekompaktnostiuL21c.NekXaje(]dfnpc)9n2N>+cnizcuL21c(kR2dJc))[{.OTVadajeslaba(nizorvna)kompaktnostniza(dfnpc)fmn2N2g-cekvivXalentnasljedescimL͍+tvrdnjama:F#I9a)(|ldfnpc)jeogranirscenudL21c(kR2dJc).#I9b)(|le8dUR>c0)0%(4We9dȄ>URc0)_4Gfd e8dE ie2URMc(kR2dJc)Gf$t5dc(dEc)URd<Ȅe)csup con甆fZ ^E'gejdfnpejddkxq6d:&U#I9cc)(|le8dUR>c0)0%Gf5e9dK1e2URK,`c(kR2dJc)Gf&csup 44nֿ甆fZЁk ^RjdnKTejdfnpejddkxURq6d:'T#I9cMi,MscemoupSotrebljarvXatikriterijnasljedescinascin. zAkosudhe2cC(kR2+Ìc;kR2+Êc)id!u>e2P+cL21+loAc c(kR2dJd;kR2+Êc)ObtakvidalimscukoristitijedazaslabSokonvergentannizfunkcijadfn d*"fcuL21c,i+omed=7fenJnizfunkrcija( dgnpc)fuL21 c,3takvihdadgn He!kdgc(ss D),vrijedidajenizproSdukXatadfnpdgn+cslabSokronvergentanuL21c;Kstovia?se,8l+(2)|bdfnpdgn id*URfGg .1cudL21'd:1#I9cDokXaz!sezasnivanapSomorscnojtvrdnji,Ibkojauzgorenavedeneuvjete,IbtvrdidazasvXaki+dUR>c0pSostojikrompaktanskupdKFctakXavdaje"Q+(3)sup n甆fZ,= ^Rjd ^nKj&c(ejdfnpdgnejc+ejdfGgn9ejc)ddxURq6d;%VQ+ctenaEgororvljevomteoremu,YkojinamosiguravXapSostojanjeproizvoljnogmalogskupa+dEedKܞc,҃takvrogpdadgn e!dg*cjednolikronadKenadEc. ˺Potvrdnjib)izDunford-Pettisovog+teoremascegAzadEXcdorvoljnogAmalenvrijeditidajesupSn,YUQfR#*E-ejdfnpejddx)fedc.KoristercigAto,guzmimo+proizvroljnuvfunkcijud e2CcL216cirastavimointegralUQfRvejc(dfnpdgnd edfGgn9 c)Pejddxcnatriintegralas K21AECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑EcpSodrurscjimaintegracijekRendKܞc,dKFendEcidEc,kXakrobismodobilisljedesceoScjeneL ο捍4甆fZ4ejdfnpdgnd edfGgn9 ejKbddkx[q6URejjd n9ejjDLj1 甆fZkb ^RnK&c(+aejdfnpdgnejjdfGgc)ejc)widdkxc+甆fZUZ ^KnE@Wejc(dfnpdgnedfGgnc+dfGgnedfGgn9c)d ejddkx!jrc+甆fZ UT ^E'ejc(dfnpdgnedfndgc+dfndgedfGgn9c)d ejddkx*[q6URdqn9ejjd ejjDLj1dc+甆fZ UT ^KnE @Mc($ejdgnpejjc(dfnedfGc)d n9ejc)w?ddkxc+甆fZ UT ^KnE @Mc($ejdfGejjdgnedgn9ejjd ejc)n=ddkxrc+甆fZ UT ^E'c(ejdfnpejjdgnedgn9ejjd ejc)fvddkxc+甆fZ UT ^E'c(ejdgn9ejjc(dfnedfGc)d ejc)d2ddkxMύEcSadO^redomoScjenjujemoinrtegraleuzadnjojnejednakosti.gIntegraliUQfR *KnE c(%vejdgnpejjc(dfnedfGc)d n9ejc)]EiUQfR }*EOhc(,ejdgn9ejjc(dfnedfGc)d ejc)f{terszeknulikXaddnURe!1czbSogslabekronvergencijenizadfn lciomed=7fenostiL͍Enizadgn 'cuL21 c.InrtegralUQfR =*KnE8c(ejdfGejjdgnEedgn9ejjd ejc)tesziknulizbSoguniformneograniscenostinizajEdgnpc.,zZadnjiuinrtegraljeomed=7fenlinearnosdc,uniformnopSodnc.TVakrojedokXazanatvrdnja(2).SZa.dokXazatinejednakrost(3)uoscimodazbSogomed=7fenostinizadgnpc,2nizdfndgn ctakrod=7ferEzadorvoljavXahDunford-Pettisevekriterije,paiz(c)imamoegzistencijukompaktnogskupaEdK1 ctakvrogdasupsSnUQfR%2ß*Rjd1v*nKi@1EI7ejdfnpdgnejyNq6dqn9=c2. KakojeproSduktdfGge2yNcL21c,9takod=7ferpSostojiEkrompaktanskupdK2ctakXavdajeUQfR R_dfnpddkxURe!c0 kXad)srdRne!1d:EcZbSoguniformneogranirscenostiniza(|ldfnpc)imamoocjenruxdRedefdfn iq>URdRJegq6甆fZ ^fnq~A>R$xdfnpddkxq6dC1;@ZEcoSdnosnoQndefdfn iq>URdRJegq6ōdC[z D ΍RU;}EckrojavrijediuniformnopSodnc. PodrugomuvjetuDunford-PettisovogteoremazadanidUR>c0L͍EpSostojiOdȄ>URc0,takXarvdazasvakiskupdEc,i9scijajemjeramanjaoSdds2c,inrtegraliUQfR [*E-dfn ſcsumanji EoSd9dc.#UzmimodRRPctakXarvdajeFul9Cl9z>,ꍐ#RNq6ڶds2c,Lslijedidajesup鰟Sndefdfn &q>dRJegq6d8citimejedokXazanaEtvrdnja(4).k4.PrijenosniteoremScNakronstoZsmouveliiopisaliosnovnepSojmove,jsposobniZsmoisteiskoristitizadokXazEsljederscegteorema.CdEkTeorem3.(prijenosni)jNekXasudf;hURe2cL21+loAc c(kRekR2dekR2d]c)ipjipretpSostarvimodajeuEc(5)xUdTfQc=URdhEjusmisludistribucija.L͍STVada>jedfG2]`c(ed;kxd;g\c)>japsolutnoneprekidnaobziromnadtjzaskrorosvXakikxjigj,a>dh2]c(ed;kxd;gc)URe2EcL21+loAc c(kRc)jivrijedi/Ec(6)dfG ]`c(dt2c)edfG ]c(dt1c)UR=甆fZOUTti@2 ti@1dh ]c(dsc)ddsEK22RȍYCPregledUUanalitiGckihrezultataN퍑+jzasvredt1d;t2uPe2URkRj.L͍#I9Obratno,akroUjedfTjapsolutnoneprekidnaobziromnadtjzaskorosvXakikxjig\j,adh2]e2+cL21+loAc c(kRc)/%j,onda(6)pSorvlasci(5)C!+mDem. PcUzmimoQd Ne2uDUVc(kR2de\kR2dc)d;e2DUVc(kRc)QipSomnorszimo(5)sd n9c(kx\edtg\c)edc(dtc).pKoristesci5scinjenice$dasudf;hje2cL21+loAc c(kRekR2dekR2d]c)m:Mi$dafunkrcijed Icidcimajukompaktnenosasce,+dobivreniizrazmoszemointegrirati.8ParcijalnomintegracijomdobivXamo-𪡍>do甆fZLdo甆ZZdo甆Zhdod n9c(kxedtg\c)dc(dtc)dhdkxddgddtȩc=URe甆fZ甆Z甆Z+dfGTc(d n9c(kxedtg\c)dc(dtc))ddkxddgddtȩc=URe甆fZ甆Z甆Z+d n9c(kxedtg\c)d 0c(dtc)dfGdkxddgddt:.?d+cZamjenavXarijabli(dt;kxd;g\c)URe!c(dt;kxc+dtgd;gc)namdajer甆fZ甆Z甆Z nc(d 0c(dtc)dfG ] c+dc(dtc)dh ]c)ddt fo9d n9c(kxd;g\c)ddkxddgc=UR0d;㍑+ctojest7甆fZ7c(d 0c(dtc)dfG ] c+dc(dtc)dh ]c)ddtURc=0⍑+usmisludistribucija,zasvXakidURe2DUVc(kRc).#I9Zazarvra?setakdokXazakoristitiTscemonizizglad=7fujuscihfunkcijadnpc,kojimaTsceaproksimi-+ratiOkXarakteristirscnufunkcijuskupa[dt1d;t2c].De nirajmofunkrcijudXyc:=d[ti@1|s;ti@2]ckrojuscemo+aproksimiratiMnizomglatkihfunkrcijade niranihdn c:=dnhedc.Nad=7fimoderivXacijufunkcije+dc(usmisludistribucija):!H|8ehd 0d;'eiURc=ehd;' 0eic=e甆fZOti@2ti@1Sd' 0c(dsc)ddsc=ec(d'c(dt2c)ed'c(dt1c))UR=ehdti@1 6edti@2Sd;'eic; (+sada Q#csmooznarsciliDiracovumjeruutosckia.8DokXazalismot d 0Xc=URdti@1 6edti@2+c(uysmisludistribucija).UzoznakredTx8d'c(dyn9c)I :=d'c(dx .edyc)y(translacijazavrektorx)iK~d Yc(dyc)I =L͍+dc(edyn9c),}imamobgdajerezultatkronvolucijebgDiracovefunkcijeiglatkefunkcijed'cdanaizrazomdedac=URehdaf{d;TxОc~8d ͬeic=ehdTxОc~8deic(dac)=dc(dxedac)URd:+cNaosnorvutogamoszemozakljuscitiod 0ڍn ic=URdnedti@1 6ednedti@2 c=URdnpc(dtedt1c)ednc(dtedt2c)URd:+cIzkronvergencijedn ie!URd]cuoSdgovXarajuscemprostoruslijedi?YU甆fZUdnpc(dtedt iJc)dfGc(dtc)URe!dfc(dt iJc)4(diURc=1d;c2)d;?Z+citimesmodokXazalijedansmjerteorema.#I9ii)$ZadokXazobratauzmimodt1c=dtcidt2c=dtѵc+dh$cipSodijelimo$(6)sdhc.Gledajurscilimes+desnestranedobivrenejednakostikXaddhURe!c0dobivamo!Tlim]甆fZO_t+hЕ tGdh ]n4e!URdh ]c(ss D) K23gˍECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeNEcNo6budurscijegornjiintegralzbSogdh2] e2cL21+loAc c(kRc)1^Jomed=7fenuL21+loAc c(kRekR2dekR2d]c)gJ,moszemoL͍EprimjenitiLebSesgueorvteoremodominiranojkonvergencijiizkojegslijedi:"]ōdd fG2][zQ7 ΍|ddthc=URdh ]Ecusmisludistribucija.SRelacijaݡ(1)sesadalakrodobijemnoszeciݡgornjujednakostglatkimtestfunkcijamaiEkroristescizamjenuvXarijabli.kkQ.E.D.EK24yqNiYIV.zCaucuhyjevazadaucazaBoltzmannovujednaduzbu|ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍒k1.Prveo`cjenerjeIfsenja3>ScUorvompSoglavlju^xscemopSokua?satiopisatiuvjetekojinamosiguravXajuegzistencijuL͍Erjea?senja#BoltzmannorvejednadszbSe. Mx RClanejkVeknejcuBoltzmannovojjednadszbizvXat.cemoEjjezgromtsudarac.1$IztehnirsckihrazlogamicemoprourcavXatitmnogooprcenitijejezgresudaraiEoznarscavXatcemoihsdqn9c.8NatajnarcindolazimodogeneraliziraneBoltzmannorvejednadzbSe:E(1)7/(d@tc+guerxc)dfQc=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Sjd17_dqn9c(kxd;gegd;knc)[dfG 0Kdf G0ڍʦedfGfc]ddknddguPd:-EcDesnastranajednadrszbSesadrszikvXadratniizrazdQc(df;fGc),de niransIadQc(df;fGc)UR=甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Sjd17_dqn9c(kxd;guegd;knc)[dfG 0Kdf G0ڍʦedfGfc]ddknddguPd:EcOvXaj-,izrazsezorve-,jintegralsudarac,=akvXadratiscniopSeratordQjoperatorsudarac.mIzrazٞscemoscestorastarvljatinasljedescinascin+JdQc(df;fGc)UR=dQ+c(df;fGc)edQc(df;fGc)UR=dQ+c(df;fGc)edfRJc(dfc)URd;Ecgdjesu#*zdQ+c(df;fGc)RU=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Sjd17_dqn9fG 0Kdf G0ڍddknddguPd;*zQ+c(df;fGc)RU=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Sjd17_dqn9fGfddknddg)eQEciU^dRJc(dfGc)UR=甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Sjd17_dqn9fddknddguPd:䍑EkLema{1.jPretpSostarvimo&BdajeqnenegativnafunkcijaucL21+loAc c(kR2d]ekR2dedSן2d1φc)yjkojaovisiL͍Esamorokxd;ejgegejjiejc(gegc)eknejj,terimanajvia?sepSolinomijalnirastsobziromnakxjigegjuEbSeskronascnosti.Akoljedfye21cC21c(kR+0Ìc;eSbc(kR2d]ekR2dc)@?)ujnenegativnorjea?senjeBoltzmannorveljed-EnadrszbSe_atakvodaejcln ʠdfGejjimanajvia?sepSolinomijalnirastpoc(kxd;g\c)jubeskronascnosti,{6 dt֗czaxadte2hc0d;c1eicidC0 Hq>c0,kroristesci$cinjenicudajede2jxj-=2icbr-EzoSopadajurscafunkcija,zakljuscujemodajeW甆fZe甆Zl ^ j0xdfGejcln ʠdfejURq6dC0甆fZ甆Z#de (jxt=j-=2|sjj-=2)=2Olq6dC ܞ0+d?d;!EcgdjekronstantadC2ܞ0+d 5cneovisiofunkcijidfGc.EK28CCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuN7#I9cKakro\naskupu vrijediejcln ʠdfGejURq6ejkxedtg\ej22c+ejgej22c,y to\jeinrtegralnadesnojstraniu(13)L͍+omed=7fendsUQfR cUQRdc(ejkxCedtg\ej22cc+ejgej22c)dfGdkxddgc.(SaddtokroristimodabismodokXazalinejednakost(7):Bo-O甆fZ"S甆Z0SdfGc(dt;ec)ejcln ʠdfc(dt;ec)ejddkxddg:c+甆fZOt UT0ǟ甆fZ˟甆Z(dec(dfGc)ddkxddg\ddsURc=2甆fZ 甆Z ^fA61&tmdfc(dt;ec)ejcln ʠdfc(dt;ec)ejddkxddg!w2c+甆fZ 甆ZUX ^fA>1'dfGc(dt;ec)ejcln ʠdfc(dt;ec)ejddkxddguc+甆fZO1 UT0j甆fZj甆Z%Z ^fA>18dec(dfc)ddkxddg\ddsw2e甆fZ 甆ZUX ^fA61'dfGc(dt;ec)ejcln ʠdfc(dt;ec)ejddkxddguc+甆fZO1 UT0j甆fZj甆Z%Z ^fA618dec(dfc)ddkxddg\dds:A+cNaosnorvunejednakosti(5)gornjusumumoszemooScijenitis+甆fZ/甆Z3۟ ^fA61*c(ejkx6edtg\ej 24c+ejgej 2c)df5c+2dC ܞ0+d#c+甆fZ :甆Z5 ^fA>1$dfGc(dt;ec)ejcln ʠdfc(0d;ec)ejddkxddgc+6甆fZ :甆Z5 ^fA61$dfc(dt;ec)ejcln ʠdfc(0d;ec)ejddkxddgd; AjcstojezbSog(3)i(4)manjeodk3甆fZy3甆Z3dfGc(0d;ec) f*ejcln ʠdfc(0d;ec)ejc+2ejkxej 2ʦc+2ejg\ej 2 f Jddkxddguc+dCd?d;+citimejedokXazananejednakrost(7).ߌkQ.E.D.$pq2.Osnovniteorem #I9cSadascemo1oSdreditipretpostarvke1najezgrusudaradqn9c(g^e0gd;knc)zakrojusceopscirezultat+bitiVdokXazan.}OznarscimokV=c= gQ1edgc.PretpSostarvimodajedq{e2 cL21+loAc c(kR2d]edSן2d1φc)Wp,rdqq> c0,i+dadqXcorvisisamooejkV0ejciejkVڨeknejc.8De nirajmodAc(kV0c)UR=甆fZ ^Sjd1!dqn9c(kVd;knc)ddknd:+cPretpSostarvimo,nadalje,dazasvXakidRn>URc0vrijediV+(14)ō{1k[z& ΍1+ejg\ej2n甆fZN ^jjA6RNdAc(guegc)ddguPe!URc0 kXad)ejg\ej!1d; +ctedaje+(15)dAURe2cL 1+loAc c(kR d\c)2Od:+cLakroseprovjeridajezgrasudarazascvrstekugleїdqËc=URejc(guegc)eknejd;+ckrojapredstavljanajvXasznijisluscajuovomradu,zadovoljavXagornjadvauvjeta.#I9ProSdsjetimoˆsedasmode niralioperatordRJc(dfGc)pomorscurastavXadQc(df;fGc)UR=dQ+c(df;fGc)ke+dfGRJc(dfc);taj7{jeopSeratoruprarvo7{konvolucijskiopSeratorsnovouvedenomfunkcijomdAckXao+jezgrom(|ldRJc(dfGc)UR=dAedfc)QT@.#I9Egzistencija_globalnogklasirscnogrjea?senjaBoltzmannovejednadszbSenijedokXazana.+ZatoHscemosadade niratinekrealternativnepSojmoverjea?senjatejednadszbSe.7EPritomHcemo+rabitioznakudgn9 ]c(dt;kxd;g\c)UR=dgn9c(dt;kxc+dtgd;gc) K29퍟ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeNEczasvXakuizmjerivufunkrcijudgXcna[0d;e1ikR2dekR2d]c.L͍SKarszemo[dajeizmjerivXafunkcijadfcde niranana[0d;e1i kR2dekR2d jblago[rjea?senjeEcCaucrhyevezadascezaBoltzmannovujednadszbuspSoscetnomvrijednoa?sscudf0 0cakozaskoroEsvXaki(kxd;g\c)RdQc(df;fGc) ]c(ed;kxd;g\c)URe2cL 1+loAc c([0d;e1ic)BGYd;EciakrozasvXakidtURq>c0vrijedi ̍]dfG ]`c(dt;kxd;g\c)UR=df0c(kxd;gc)+甆fZOt UT0dQc(df;fGc) ]c(ds;kxd;gc)ddsUR:UScJednaToSdkljurscnihidejaRonaldaDiPerneiPierre-LouisLionsajebilauvestipSojamEjarsceg9.rjea?senja(idaljebitnoslabijegoSdklasiscnog),\kXakobiseoScjene(6)i(7)moglenajboljeEiskroristiti,azatimopSetprelaskomnalimesdobitiblagorjea?senje. Ojascanorjea?senjesuEnazvXalijrenormaliziranimc,ionojede niranonasljederscinascin.SFVunkrcijajdfv8e2.9cL21+loAc c(kR+0Ìc;L21RA+c(kR2dekR2dJc)G)+jejrenormaliziranorjea?senjecBoltzmannovejed-EnadrszbSeakosuލE(16)ōHdQc(df;fGc)H[z,_ ΍1+df,e2URcL 1+loAc c(kR+0n4ekR dekR dJc)!%Ei akrozasvXakuLipschitzovufunkcijud 6Fc:kR+0ze!kRc,kojazadovoljavXauvjetejd O20c(dtc)ejq6FuC*z(ݟ1+t%czaEsvXakidtURq>c0,vrijedipE(17)dT Oc(dfGc)UR=d 0c(dFc)dQc(df;fGc)Eusmisludistribucija.L͍SZanimljivrorjedasede nicijarenormaliziranogrjea?senjamoszeznatnopSojednostaviti.EUmjestopsvihfunkrcijad 9csgorenavedenimsvojstvima,dovoljnojegledatisamojednu:EfunkrcijuId Oc(dtc)G=ln (1p+dtc).VTDiPernaIiLionssutoAscakuzelikXaode nicijurenormaliziranogErjea?senja,z a]\zatimpSokXazalidaiztogaslijedi(17),zagorenarveden]\skupfunkrcijad c(dokXazEtogasemorszenasciu[DL1,str.331]).EkLema2.jNekXajedfQe2URcL21+loAc c(kRekR2dekR2dJc)fj.Si)z8Akrodf7jzadovoljavXa(16)i(17)sd Oc(dtc)UR=ln (1+dtc)j,ondaz8jedf7jblagorjea?senjeBoltzman-EnorvejednadszbSe. Sii)KAkrojedfjblagorjea?senjeBoltzmannovejednadszbSei(Q;(fw;f)(5z";ꍑx1+f,e2cL21+loAc c(kRekR2dekR2dJc)ffj,Eondajedf2jrenormaliziranorjea?senje.%ÍEmDem.ci)PretpSostarvljamodavrijediލdTc(ln ʤ(1+dfGc))UR=ōdQc(df;fc)[z%3 ΍1+dfEcusmisludistribucija.SZad>jc0uvredimofunkcijud %c(dyn9c)j:=Fuߝ1ߝzꍐmcln}p(1+ds2c(de2y aec1))de niranunakR2+c. Po(EpretpSostarvci2jedTc(ln ʤ(1-+dfGc))e2cL21+loAc c(kR+0n4ekR2dekR2d]c)oW,a2zbogocjene0q6clnN(1-+dfGc)q6dfkEcitpretpSostarvkedfe2@cL21+loAc c(kR+0n4ekR2dekR2d]c)n,{slijediidajeln?(1+dfGc)@e2cL21+loAc c(kR+0n4ekR2dekR2d]c)n.EKakrojed 2O0+%c(ln ʤ(1+dfGc))UR=1+fz1+Vfvc,toslijedi+b͍^dT %c(ln ʤ(1+dfGc))9=URd O0+%c(ln ʤ(1+dfGc))edTc(ln(1+dfGc));9=ōdQc(df;fGc)[z%3 ΍X1+ds2fEK30}CCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuND+cusmisludistribucija.8Sdrugestranejed %c(ln ʤ(1+dfGc))UR=Fu1zꍐm [cln&X(1+dfc),paimamodaje#PdTōc1[z ΍Fd &cln(1+dfGc)UR=ōdQc(df;fc)[z%3 ΍X1+ds2ft+cusmisludistribucijazasvXakidȄ>URc0.L͍#I9De nirajmoGdg c:=FuV+1V+zꍐm)Zcln(1ɷ+dfGc). )IzoScjenedg q6FuV+1V+zꍐmeds2fjc="dfFci<scinjenicedajedfe2(+cL21+loAc c(kRekR2dekR2d]c)k4,xslijedi(idajedg ce2r~cL21+loAc c(kRekR2dekR2d]c)h,pamorszemoprimijenitipri-Ӎ+jenosniateorem(ISII.3)aizkrojegzakljuscujemodajedgߍn9] 뀍 RczaskorosvXakikxd;glcisvakidF>ӎc0㍑+apsolutno.neprekidnapSodtc,?tedasuaQ;(fw;f)-=]a5z%즍@^1+Vfj]0clokXalnoinrtegrabilnipovremenskrojvXarijabli.^+KakroijedfG2] c=.de2gR]di1 fe[c1,dfG2] cjetakod=7ferapsolutnoneprekidnapSodtczaskorosvXakikxd;g\c;pasu+dQc(df;fGc)2]c(ed;kxd;g\c) e2cL21+loAc c([0d;e1ic)DÛzaskrorosvXakikxd;gc.UzKoristerscitranspSortniteoremimamo+dazasvXakidtUR>]cvrijedi:]~dgߍn9] 뀍%c(dtc)edgߍn9] 뀍c(dsc)UR=甆fZOUTt sō_dQc(df;fGc)2]_[z)L} (Xc1+ds2fG]@PddË;9++cpaprijelazomnalimeskXaddȄe&URc0dobivamosdfG ]`c(dt;kxd;g\c)edfG ]c(ds;kxd;g\c)UR=甆fZOUTt s,mdQc(df;fGc) ]c(d;kxd;gc)ddË:#I9cii)Akrojedfcblagorjea?senje,'6ondajedfG2] capsolutnoneprekidnapSodtczaskorosvXaki+(kxd;g\c),cpaKXjetotakrod=7ferifunkcijaln(1}+dfG2]`c).ZZatostoKXfunkcijadghc=ln ĉ(1}+dfGc)KXzadovoljavXa &+dgn92]c(dtc)edgn92]c(dsc)UR=UQfR USt sFu1_z3즍1+fj](dQc(df;fGc)2]ddWc,kroristescitranspSortniteoremvidimodavrijedidIdTc(ln ʤ(1+dfGc))UR=ōNE1[zk{ ΍1+df!'3Qc(df;fc)URd;+cpagnaosnorvunapSomenakojesuprethoSdileiskXazuLemezakljuscujemodajedfcrenormali-+ziranorjea?senje.ߌkQ.E.D.T #I9cPreostalidioorvogradapSosvrescenjedokXazusljedercegteorema.+kTeoremi1.(DiPernaiLions[DL1])jPretpSostarvimodajedf0wge2WicL21+loAc c(kR2dekR2dJc)Q2Sjnenega-L͍+tivnafunkrcijakojazadovoljaK@-甆fZ-甆Z-df0c(1+ejkxej 2ʦc+ejg\ej 2c)ddkxddgd<URe1ʍ+jiU^ǟ甆fZǟ甆Zdf0ejcln ʠdf0ejddkxddgd<URe1d:+jTVadapSostojirenormaliziranorjea?senjeBoltzmannorvejednadszbedfڃe2cC(kR+0Ìc;L21RA+c(kR2dekR2dJc)G)+jtakvrodajedfejt=0Ӆc=URdf0j,tedazadovoljavXaoScjene(6)i(7).๟**f%`rk3.KlasicnarjeIfsenjap`omocneCauchyevezadaceiterativnimp`ostupkom#I9cRenormaliziranoRrjea?senjedfcnarsci cemoRkXaolimesfunkcijakojezadovoljavXajujed-+nadrszbudobivenurezanjem. xOZanekidS>c0imoSdi ciranunenegativnujezgrusudara e+dqce2URcC21RAc c(kR2dedSן2d1φc)YtakvudaGdq y6cia?srscezavXaza(gueg\͟2|c)eknURd<s2c,de niramo:썍x )dQ[c(dgn9;gc)UR:=甆fZUR甆Z 1cURdq$8c(dgn9 0qdg n90ڍʦedgn9gc)ddknddg K31 ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑EciSE(18)x~dQD c(dgn9;gc)UR:=ōxDdQ c(dg;gc)[z?J O1+ds0UQfR s/ejdgn9ejddgH[d:#EkLema:3.jNekXaljedf0 De2FSbc(kR2dekR2dJc)Jjnenegativnafunkrcijatakvadaejcln ʠdf0ejjimanajvia?seL͍EpSolinomijalnirastubeskronascnosti.8TVadaCauchyevXazadasca#Ec(19)zf(\TdTfAc=x*~URdQ c(df;fGc)L͍Sdfejt=0Ac=URdf0#Ejimajedinstvrenoglobalnorjea?senjedf5jkojezadovoljavXahipSotezeLeme1.BgOnotakod=7ferzado-EvroljavXaoScjene(6)i(7).;EmDem.cZadokXazlemetrebatscenamsljederceoScjene:tE(20)甆fZB ^RjdgCejxc~dQ NWc(dgn9;gc)ejddgq6URdC#甆fZ ϟ ^Rjdejdgejddgd;-GEc(21)|]ekxc~dQ NWc(dgn9;gc)ekLj1x(Rhda*cmmib7)&{q6URdC%ekdgekLj1x(Rhda)%d; Ec(22)\甆fZctʟ ^Rjdr{ejxc~dQ NWc(dgn9;gc)ex\c~dQ c(df;fGc)ejddgq6URdC#甆fZ ϟ ^Rjdejdfedgn9ejddgd;1EciE(23)Wekxc~dQ NWc(dgn9;gc)ex\c~dQ c(df;fGc)ekLj1x(Rhda)&{q6URdC%ekdgedfekLj1x(Rhda)%d;3hEcpriscemrudCcoznacujeraznekronstanteneovisneodgXcidfGc.L͍SDabismodokXazaliprvuoSdgorenarvedenihocjena,pokXarszimodavrijedi !E(24)=Q甆fZKQ甆ZYQ甆ZgQejܟcdqgn9gejddknddgddxURq6dC1qfT甆ZTejdgejddg\͟qfBMqJc1+ds0甆fZs0ejdgejddg\͟qf`3d:"gEcBudurscidaje|dqe2=cC21RAc c(kR2dedSן2d1φc)Xk, Htomoszemo|dqcograniscitioSdozgonekomkonstantomEdM6>URc0,tojestvrijediGdq u4甆ZLu4甆Z[QcZu4dq`gn9 0qdg n90ڍ3,f 38  ʦc+ōJ1۟[z2~ O1+ds0UQfR s/ejdgn9ej3,7ʌf 387ʌ 7ʌ =ʊ甆ZKʊ甆ZZ)cYʊdq_npgn9g3,f 38  X̍j`q6ōFc1[z2~ O1+ds0UQfR s/ejdgn9ej8u6kdgn9ekDLj13,DBf 38DB DB D@甆Z#D@甆Z2 c1D@dq6&g 0ڍ3,f 38  ʦc+ōJ1۟[z2~ O1+ds0UQfR s/ejdgn9ej7ʌkdgekDLj13,DBf 38DB DB D@甆Z$ c#D@dq*$甆fZ8$dg3,f 38  "܍j`q6Aekdgn9ekDLj1DBdC0UQfRejdgej/zG O mMc1+ds0UQfR s/ejdgn9ejOxc+ōJ1۟[z2~ O1+ds0UQfR s/ejdgn9ej7ʌkdgn9ekDLj1DBdCܜ甆fZܜejdgejnj`q6URdC1ekdgn9ekDLj1c+dC2ekdgekDLj1d;Jݒ+cizscegaslijedi(21).b#I9Tvrdnjuy(26)dokXarszimonajprijezasluscajgc=c0.iSada inrtegralu(26)moszemopisati+uoblikuLVޟ甆fZ ^Sjd1D甆fZOF1;0Q@甆fZ ^Wō[Nc~dqӴ[z9 (vn9d1 cdgn9c(dv;knc)dv d1ddwRdvdknURd:l +cZbSogpretpostarvkefdqe2dcC21RAc c,pSostojidR~>c0takXarvdajesuppzdq(zedBDRc,teuzoznakudMc=+max!C gSdq)cvrijedi ӫ甆fZ~W ^Wōacdq6[z c(egd;knc)dgn9c(eknc(knegc))ddknddguPq6URdC0ekdgn9ekzOLh1aQd: l +cUzmimosadage6c=URk0ciuinrtegralu r]甆fZyN ^Rjdr甆fZf ^Sjd1c dqQc(guegd;knc)dgn9c(gc+knc(knec(gegc))ddknddg!+cnaprarvimozamjenuvXarijabli(guegc)URe!gc.8DobivXamoinrtegral甆fZ3] ^RjdX甆fZ ^Sjd1octdq6Zc(gd;knc)dgn9c(guc+knc(knec(gc)))ddknddguPd: K33"ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑ScDe nirajmofunkrcijudfGc(gqc)UR:=dgn9c(guc+gc)iuvrstimojeugornjiinrtegral.8Slijedi񍍑r"甆fZyFΟ ^Rjdk甆fZ+ ^Sjd1cdqIc(gd;knc)dfGc(knc(knegc))ddknddguPd; Ecatojeuprarvointegralnalijevojstraninejednakosti(27),bpajeonomed=7fensdC0ekdfGekzOLh1a c.EKakroosciglednodg9cidfcimajujednakenormeuL21+tc,?toslijedida(26)vrijedizasvXakige2URkR2dc.SZadokXazoScjena(21)i(22),vidjeti[CIPV,str.145].L͍SPretpSostarvke(20){(23)namslurszedabismopokXazalidaiteracije/sE(28)3 Hf8 ԍH>H>H<H>H>H:􍍍g&dTfG 0sc=UR0edTfG n+1sc=x*~URdQ c(dfG n\od;fG nc)L͍շdf Gn 뀍ejt=0sc=URdf00AEckronvergiraju.uprostoruC([0d;Tc];L21c(kR2d]ekR2dc)Ge\cL21 c(kR2d]ekR2dc)Jx).sNajprije,?oznarscimo.sadSEcopSeratorkrojifunkcijidgcpridruszujefunkcijuducdobivenukXaorjea?senjelinearnehipSerbolisckeEjednadrszbSeprvogredaskonstantnimkoSe cijentima#6zf(\ڟdTudc=x*~URdQ c(dgn9;gc)L͍3duejt=0dc=URdf0uPd:%iSScje9dobrode niranopSeratorsprostoraC([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)I?e\cL21 c(kR2d_ekR2dc)K)9uEC([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)F/e\cL21 c(kR2d_ekR2dc)H).MZasvXakuomed=7fenruneprekinutufunkcijudvI(cmoszemoEnapisatieksplicitniizrazzadSvn9c:!ME(29)6dSvn9c(dt;kxd;g\c)UR=df0c(k0d;kxedtgc)+甆fZOt UT0x3c~dQc(dvn9;vc)(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)ddsUR:oEEcAkropSokXaszemodajedSPckontrakcija,ʴondamoszemoprimijenitiBanachovteoremo ksnojEtorscki.Za4df;gAe2ӪcC([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)Hwe\1cL21 c(kR2d_ekR2dc)K-w)oznarscimoduӪc:=dSf|cidvAc:=dSgn9c.UzEoznakuekdfedgn9ekDM c:=URmax3|t2[0;TH]88ekdfedgn9ekOLj1|s(Rjd Rjd)6[cimamosljedersceoScjeneU枍Ρo ekduedvn9ekOLj1|s(Rjd Rjd)2q0c(dtc)p ^=UR甆fZUR甆Z3,UR 38UR UR %UP甆ZO1URt+07,k fxAc~>WdQGnc(df;fGc)ex\c~dQ c(dgn9;gc) f2c(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)dds3,f 38 ddkxddg!3p ^q6UR甆fZOUTt 0,m甆fZ#,m甆Z3,1,m 381,m 1,m 7,k xAc~>WdQGnc(df;fGc)ex\c~dQ c(dgn9;gc) f2c(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)3,f 38 ddkxddgddsp ^q6UR甆fZOUTt 0,m甆fZ#,m甆Z1,mdC3,%f 38% % %c(dfedgn9c)(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)3,f 38 ddkxddgddsp ^c=UR甆fZOUTt 0,mdC%ekdfedgn9ekOLj1|s(Rjd Rjd)2q0c(dsc)ddsURq6dCdtekdfedgn9ekDMSVEcPredzadnjanejednakrostjezakljuscenanaosnovu(22).EIzoScjenekojusmodobilislijedidadSEcnexmoranrusznoxbitikrontrakcija;med=7futim,aakoxprimijenimoopSeratordS+fcvia?seputa,dobijamoEoScjenru\XekdSן m Y dfedSן mdgn9ekOLj1|s(Rjd Rjd)2q0c(dtc)URq6dC ܞm+ō "dt2m [z ΍dmc!sekdfedgn9ekDM d:ScOcjenavrijediuniformnopSodt\he2c[0d;Tc],gpaslijedidajeoperatordSן2mtckrontrakcijauEC([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)EF)zadorvoljnovelikidmc.EK34#ōCCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuP! #I9cNasPpSotpunoanalogannarscin,.koristecisP(23),.zakljucujemosPdajedSן2m-=0 'Fc,.zadorvoljnosPveliki +dm20c,IkrontrakcijaϻuC([0d;cT];L21 c(kR2d_ekR2dc)JPD),oSdnosnoϻdajedSן2mm-=07ckrontrakcijaϻuprostoruL͍+C([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)INe\cL21 c(kR2d_ekR2dc)K). gZatoscemoOunizu( qdfG2n\oc) prijercinapSodniz,kroji5scemojednakrooznascavXati,akojijedobivenrelacijomdfG2n.jmc=URdSן2p׌dfG2n.jg1!qc,gdjejedpc=dmm20c..#I9SadaAnaosnorvuBanachovogteoremao ksnojtosckimoszemozakljuscitidapSostoji+jedinstvrenolrjea?senjeproblemadSן2p׌dfQc=URdfcuprostoruC([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)GYbe\cL21 c(kR2d_ekR2dc)Ib).+Nararvno,miC0szelimopSokXazatidavrijedidSf:c=z;dfGc.=!Med=7futim,tonerscebitiproblempSostisci,+budursciٓdaanalognimzakljuscivXanjemdobivamoidapreslikarvanjedSן2p+1cima ksnrutoscku,i+onajejednakXa ksnojtorsckipreslikarvanjadSן2p׌c,paimamo`dfQc=URdSן p+1Ndfc=dSc(dS p׌dfGc)=dSfQ:+cDobilismojedinstvrenorjea?senjeproblema(20)uC([0d;cT];L21c(kR2d_ekR2dc)FNe\;cL21 c(kR2d_ekR2dc)KL).L͍+DiPrernaiLionssupSokXazalidaiterativnipostupakkronvergiraiuC([0d;cT];eSbc(kR2d_ekR2dc)Ac}).MMi5szelimopSokXazatiivia?se,tojestdasenaserjesenjenalaziuprostoruC21c([0d;cT];eSbc(kR2d_ekR2dc)Ac}).+UotupsvrhruprimijetimodazasvXakufunkcijudfn ciznaa?segiterativnognizavrijedidfn e2+cC21c([0d;cT]]ekR2dpekR2dc)(zatoRstoje)dqnPne2cC21RAc c(kR2d]edSן2d1φc)\widf0 4e2Sbc(kR2d]ekR2dc)C).MKoristersci+WVeierstrassorvteoremokonvergencijinizafunkcijadobijemodajeidfQe2URcC21c([0d;cT]ekR2d֊ekR2dc).+BudurscidazasvXakidtURe2c[0d;Tc]vrijedixd@tdfGc(dt;ec)UR=eguerx8dfc+x\~dQ c(df;fGc)URe2Sbc(kR d]ekR dc)E\d;+cnaa?sajetvrdnjadokXazana.#I9Ostaje namjoa?szaprorvjeritidarjesenjedfUcCaucrhyeve zadasce(19)zadovoljavXauvjeteL͍+Leme1,oSdnosnodajedfcnenegativna,tedajeejcln ʠdfGejcogranirscenopSolinomomubeskronascnosti.+Izv{pretpSostarvkedaejcln ʠdf0ejcimanajvia?sepSolinomijalnirastubeskronascnostilakosepSokXaszeda+vrijediwdf0c(kxd;g\c)URq>dKܞe Ci@1|s(jxj-=k+j=j-=k)+czainekrekonstantedK1>URc0d;C1uPd>c0iidkoe2URkNc. TVakod=7fer,hakojedfG2n cnenegativna(a?stozbSogstroge+pSozitivnosti؁funkrcijedf0ciformule(29)moszemouvijekzakljuscitibaremzamalevrijednosti+vremenskrevXarijabledtc),imamo'P:dTfG n+1q>UReōx(cidA|edfG2n33[z? Oc1+ds0UQfR s/dfGn\oddgDedfG n q>edC2dfG nd;(v+cprie~scemru jexIdA c(kV0c)=UQfR _J*Sjd1"ˣc!dq'c(kVd;knc)ddkn cidC2 ԝq>c0. GledajurscilimesgornjenejednakostikXad+dnURe!1cdobivXamodTfQq>URedC2df:+cOvropSovlascidajexdfGc(dt;kxd;g\c)URq>dKܞe Ci@1|s(jx=tj-=k+jj-=k)Rede Ci@2|sttd;+cizscegaslijedipSozitivnostrjea?senjaiogranircenostejcln ʠdfGejcpSolinomomubeskronascnosti..ߌkQ.E.D. K35$+ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍒<^k4.AproksimativnarjeIfsenjaэScNekXaݍje(oQdqnpc)(niznenegativnihfunkrcijauC21RAc c(kR2d]edSן2d1φc)Z+kojizadovoljavXa(16)i(17)L͍E(uniformnoWpSodnc)ipretpostarvimodadqn ie!URdqcskorosvuda(pritomdqcimasvojstvXaiskazanaEuprvromdijeluovogpSoglavlja).Nadalje,!>aproksimirajmofunkcijudf0cuL21RA+c(kR2dekR2dJc)KnnizomgEfunkrcija(|ldf2GnL0\oc)ueSbc(kR2dekR2dJc)Ftakvihdatgμ(l`e8dnURe2kNc)V(ke9dn id>URc0);df Gnڍ0 q>URdnpde jxj-=2|sj=j-=20 Hd;^Ectedavrijedi:+𪡍?%甆fZM%甆Z[%df Gnڍ0\oc(1+ejkxej 2ʦc+ejg\ej 2c)ddkxddgDe!UR甆fZUR甆ZURdf0c(1+ejkxej 2ʦc+ejg\ej 2c)URd;o_甆fZ}_甆Z_df Gnڍ0\oejcln ʠdf Gnڍ0ejddkxddgDe!UR甆fZUR甆ZURdf0ejcln ʠdf0ejddkxddgd:+EcTVojemogurscezbSogpretpostarvkenarastejcln ʠdf0ejcubeskronascnosti(vididokXazLeme3).SNekXa;dn e&~xc0,inekajedQ2n cjednakxK~dQc(de niranimrelacijom(18)sdc=~xdnpd;ܝcdq "\c=dqnc).EOndaLema3osigurarvXaegzistencijuniza(|ldfG2n\oc)takvogdaje!rzf(^ dTfG nKc=URdQ npc(dfG n\od;fG nc)L͍1df Gn 뀍ejt=0Kc=URdf Gnڍ0 d;!EcpapSomorscu(6)i(7),tegornjihzahtjevXananizpSoscetnihvrijednostidobijamogRE(30)F3(J[e8dT>URc0){sup Tv4t2[0;TH]csup 3nj甆fZj甆ZjdfG n\oc(1+ejkxej 2ʦc+ejg\ej 2c)ddkxddgd<URe1d;0͍Ec(31)](be8dT>URc0)aXsup Tt2[0;TH]|[csup xn-甆fZ-甆Z-dfG n\oejcln ʠdfG nejddkxddgd<URe1d;0Ec(32)zsup nVO甆fZOVQ10K甆fZK甆ZKdenpc(dfG n\oc)ddkxddg\ddtUR1v!甆fZ!甆Z!dqnc(dfG n-=0 *df Gn-=0ڍ PedfG ndf Gnڍc)ln ʠzf ō}dfG2n-=0df2Gn-=0RA}՟[zꠟ ΍9dfGndfGnn9zf!EddgddknURd: gTScPrede nirajmosadajezgresudaradqn .ctakrodaoneoviseioprostornojvXarijablikxciEvremenskrojvXarijablidtc,nasljedescinascinA>Z~Y63dqndPc(dt;kxd;kV0d;knc)UR:=ō6a"1[zi6 O1+dnnUQfRmdfnpc(dt;kxd;g\c)ddgoLdqnpc(kVd;knc)URd:jEcInrtegralsudarascemosadade niratiizrazom,) >dQc(dfG n\od;fG nc)(dt;kxd;g\c)b1=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Sjd18;c~7_dqnB2c(dt;kxd;kV0d;knc)[dfG 0Kdf G0ڍʦedfGfc]ddknddg*b1c=ō6a"1[zi6 O1+dnnUQfRmdfnpc(dt;kxd;g\c)ddgqL甆fZw ^RjdI甆fZ ^Sjd1Vdqnpc(kV0d;knc)[dfG 0Kdf G0ڍʦedfGfc]ddknddguPd:,ӸEcNasuprottomesdAn LcscemoidaljeoznarcavXatifunkcijuoSdsamojednevXarijabledAnpc(kV0c)h:=EUQfR*Sjd1 Odqnpc(kV0d;knc)ddknc.8SadsmospremnidokXazatisljedersculemu.EK36%A΍CCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuN퍑+kLema4.jZasvXakidT>URc0d;Rn>c0jnizorvi)FdQ2nRA+c(dfnpd;fnc)FGz7%] ΍ v1+dfn_ci)dQ2nRAc(dfnpd;fnc)Gz7%] ΍ v1+dfn3+jsusadrrszaniuslabSokompaktnompSodskupuodcL21c([0d;Tc]ekR2dedBDRc)pj.+l+mDem.cZadQ2nRA Jcimamo0Vq6jQ-=nv(fnq~;fn)ɉz+՟ꍑ !1+fn4q6dAne?dfnpc.;zProrvjeritscemoDunford-PettisovkriterijzaZ+dAnedfnpc,kroristescioScjene(14),(30)i(31)(kojevrijedeuniformnopSodnczasvedAnpc).L͍#I9DabismopSokXazali(a)primijetimodakroristesci(14)imamo:?,ލSN甆fZUcW ^Rjdd甆fZk2 ^BR{AdAnedfG n\oddg\ddkxjc=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^BR/ޕ甆fZ6A ^RjdEdAnpc(guegqc)dfG n\oc(gc)ddgddg\ddkx ٭jc=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Rjd. 甆fZ5 ^BREdAnpc(guegqc)ddg\dfG n\oc(gc)ddgddkxjq6UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Rjd. dC1c(1+ejgqej 2c)dfG n\oc(gc)ddgddkxURq6dC1:#I9cZavdokXaztvrdnji(b)i(c)gledajmoprvrojednostavnijisluscajkXadjedAcintegrabilan,to+jestekdAekOLj1|s(Rjd)! d<URe1c.=OndazbSogpretpostarvkedadqn ie!URdqcskrorosvuda,koristescieksplicitnu+kronstrukcijuxc1L͍a0d;3c0q6dtq6c1d:Í+cFVunkrcijadcjekonveksnaizadovoljavXanejednakostd'dc(dLc)URq6da fō]dL]ߟ[z ΍a fMc+dLejcln ʠdaejNe+czasvXakidaUR>c0.8KoristerscitucinjenicudobivXamox甆fZ#` ^Rjd-H甆fZ3 ^BRDdc(dAnedfG n\oc)ddg\ddkxURq6dann甆fZ ^Rjd˟甆fZ$w ^BR4d fō]dAnedfG2n]ߟ[z'_ ΍ (dan0ӟ f8ddg\ddkxc+ejcln ʠdanpejdanekdfG n\oekOLj1|s(RjdRjd)5Ƃd:v+cBudursciQdajedckonveksnafunkcija,moszemoprimijenitiJensenovunejednakostnaprvi+sumandnadesnojstraniugornjemretku:.sc3X!d fō]dAnedfG2n]ߟ[z'_ ΍ (dan0ӟ f0c=URdqf V甆Z ^Rjdō!dAnpc(guegc)dfG2n\oc(gc)![zY帟 ΍&$dan|ddgqf 0q6UR甆fZ ^RjdōWdAnpc(guegc)W[z8a ΍ danSdc(dfG n\oc(gc))ddgc=ōdAnedc(dfnpc)[z6/ ΍ dan?@d:2_+cPritomjepSoRadon-Nikrodymovomteoremuintegrabilnafunkcija0Anq~(=)05zhꍑan&@cshvXascenakXao'+gustorscanormiranemjerenakR2d2c(sobziromnaLebSesgueovumjeru).#I9NaosnorvutogaslijedeoScjene.ȍq%甆fZ,[ ^Rjd;R甆fZB* ^BRR:8dc(dAnedfG n\oc)ddg\ddkxzq6UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^BR/ޕdAnedc(dfG n\oc)ddg\ddkxc+ejcln ʠdanpejdanekdfG nekOLj1|s(RjdRjd) ٭zq6URdann甆fZ ^Rjd˟甆fZ$w ^Rd2dc(dfG n\oc)ddg\ddkxc+ejcln ʠdanpejdanekdfG nekOLj1|s(RjdRjd)5Ƃd: K37&VECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑EcSadauvjet(b)slijediizoScjenezaUQfR S*RjdUQfRd*BR.sdc(dAnedfG2n\oc)ddg\ddkxc.wSDabismoprorvjerilipSosljednjiuvjetuDunford-PettisovomteoremurazmotrimosclanL͍EUQfR*Rjd䡟UQfRL*j=jA>K"YdAnedfG2n\oddgGucioScijenimoF퍍ݿ󍍍B甆fZ ^Rjd甆fZ aK ^j=jA>K)XdAnedfG n\oddg`q6UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^Rjd. 甆fZ5 ^RjdDidAnpc(guegc)dfG n\oc(dt;kxd;gc)dfjjA>K Z=2g0Kddgddg\ddkx!j`@(c+甆fZ UT ^Rjdz甆fZ$ ^Rjd.Ib甆fZ4 ^RjdDdfj=jA>Kg# dfjjA>K Z=2g0KdAnpc(guegc)dfG n\oc(dt;kxd;gc)ddgddg\ddkx U^`q6ōc4dan[zm ΍dKܞ2#甆fZ ϟ ^Rjd/甆fZ6U, ^RjdEyejg\͟ 2|ejdfG n\oc(dt;kxd;gc)ddgddkxc+qf 甆Z* ^jzcjA>K Z=22dAnpc(dzc)ddzqf ekdfG n\oek Lj1C?EcDesnastranatersziuniformnoknulipSodncidtckXaddK1e!UR1c,i(c)slijedi.SUDžsljederscemǎkorakuoSdstupamoodzahrtjevXauniformneintegrabilnostiniza(YRdAnpc)o.--Svevsto smodosadapSokXazalivrijediakrodAn "Lcimanosascsadrszanukompaktnomskupu,tj.akoEvrijedi͡ dAnpc(g\c)UR=dAnc(g\c)edfj=jA6Kg&]d:͡EcU suprotnom,׺de nirajmoPdADn;KckXaodesnrustranugornjejednakosti.qSlabakompaktnostEniza(|ldAnedfG2n\oc)8 sceslijeditiakropSokXaszemo͡%sup ,n9mekdADn;KedfG n edAnedfG n\oekOLj1x([0;TH];Lj1|s(RjdBRb))bdfG nIedAnedfG n\oekOLj1x(RjdBRb):}c=UR甆fZ ^Rjd$甆fZ[ ^BR/ޕ甆fZ6A ^RjdEdAnpc(gJ egc)dfj=jA>Kg4&dfG nc(dt;kxd;gc)ddgddg\ddkxURd;##EcpapSomorscu(14)imamo 2q甆fZxF ^BRUdAnpc(guegc)ddgq6URdc(1+ejg\ej 2c)+dCd:EcUzEtojeefguPc:URejgTe*gejq>dKܞegfgc:ejgejq>dKe*dRJegEczaejg\ejURdejgTe*gejjg\ejURq>L͍EdKFedRJc.SSlijedi+Ay甆fZH% ^RjdW֟甆fZ^^ ^BRnm甆fZuh ^Rjd=dAnpc(guegc)edfj=jA>Kg4&dfG n\oc(kxd;gd;tc)ddgddg\ddkx%UUq6UR甆fZUR甆ZUTc(1+ejgej 2c)dfG n c+ōdC۟[z0Է ΍c(dKFedRJc)27ß甆fZEß甆ZQc(ejgej 2c)dfG n d;gEcpatvrdnjaslijedipua?stajurscidK1e!UR1c,tede&c0.MSDabismodokXazalislabukrompaktnostniza fj HQ-=nv+(fnq~;fn) Hɉz+dꍑ 1+fn9 < fD!cuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)o,naj- EprijegaoScijenimonizomGf jdQ2nRAc(dfnpd;fnc)GfF c:!E(34)fdQ nڍ+c(dfnpd;fnc)URq6dKܞQ nڍc(dfnpd;fnc)+ō A 4۟[zX ΍ln ʢdKfenc(dfnc)URd;EK38'lۍCCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuN퍑+cgdjeje 8Idenpc(dfG n\oc)UR=甆fZUR甆ZURdqnc(guegd;knc)(dfG n-=0 *df Gn-=0ڍ PedfG n\odf Gnڍc)ln ʠzf ō}dfG2n-=0 *df2Gn-=0RA}՟[zꠟ ΍9dfGndfGnn9zf!EddgddknURd; 卑+ci dKj>*c1.DokXaztvrdnje(34)scemoprorvesti nakrajuleme.Naosnorvu(5),gniz(denpc(dfG2n\oc))3 jeL͍+ogranirscenkuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)t|uniformnopSodnc,pabuduscidasmovescprovjerilislabuk+krompaktnostzaj<Q-=nv(fnq~;fn)<ɉz+՟ꍑ !1+fn2c,gpSomoscu(34)imamodajenizGf dQ2nRA+c(dfnpd;fnc)GfJ7cuniformnoomed=7fen~(+uL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)oþ.8Timesmoprorvjeriliuvjet(a).#I9KakrobismopSokXazalidavrijedeipreostaladvauvjetauzmimoproizvroljniizmjeriv+skupdAURekR2d\ekR2d]c,kugludBDR zcukR2dekR2dcioScijenimo32**Tsup 0bn>A甆fZOJCTD0S3甆fZY: ^Rjdi甆fZo ^Rjd|Jc(ddDAoc(kxd;g\c)+dfjxj+j=jA>R>g4 c(kxd;g\c)))dQ2nRA+c(dfnpd;fnc)Gz7%] ΍ v1+dfn>ddg\ddkxddt"&t?Zq6URcsup condKܜ甆fZOܞT H0 甆fZ ^Rjd-F甆fZ4 ^RjdAc(F;idDAoc(kxd;g\c)+dfjxj+j=jA>R>g4 c(kxd;g\c)))dQ2nRAc(dfnpd;fnc)Gz7%] ΍ v1+dfn>ddg\ddkxddtc+ōedCDT۟[zX ΍cln ʢdK :6j+cUzmimoMdK*VcdorvoljnoveliktakXavdaje CTz6ꍍln ?Kq6d=c2(tomoszemo,{buduciMdarelacija(34)-+vrijedizasvXakidKQ>c1).Budurscidajeniz fj 7Q-=nv(fnq~;fn) 7ݟɉz+՟ꍑ !1+fn: fFcslabSokompaktan,moszemouzeti"(+dorvoljnoPsvelikidRicimalendu>c0takXavdazasvXakiskupdAcmjeremanjeoSddåcjeintegralu+desnojF'stranigornjenejednakrostimanjioSdd=c2dKܞc.K]TimesmodokXazalislabukompaktnostӍ+nizaꨟ fj HQ-=nv+(fnq~;fn) Hɉz+dꍑ 1+fn9  f@6c.֚#I9ZaXdokXazrelacije(34),uoznarscimosdA2nK Nc=UR fn USc(g\d;gd;knc)UR:dfG2n-=0 *df2Gn-=0RA q>dKܞfG2n\odf2GnRA fo@ciXdB2nKc=URdcA2nK:c,+paondavrijedi/ꍍ𪡍)BdQ nڍ+=tc=UR甆fZUT甆ZUTdqnpdfG n-=0 *df Gn-=0ڍ=tq6URdKܜ甆fZܞ甆ZܞdqnpdfG n\odf GnڍdDBhrnMK5c+甆fZ甆ZdqndDAhnMK%Tc(dfG n-=0 *df Gn-=0ڍ PedfG ndf Gnڍc)+甆fZ甆ZdqnpdfG ndf GnڍdDAhnMKzd:7ƍ+cNaskupudA2nK cjeln}f-=nr0 :bf-=nr0h}zolꍑ9fjnl)fhn0nq>URclndKܞc,pa(34)lakroslijedi.ߌkQ.E.D.#I9cNaistinarscinkXaoi(34)moszesedokXazatiidavrijedi ύdQ nڍc(dfnpd;fnc)URq6dKܞQ nڍ+c(dfnpd;fnc)+ō A 4۟[zX ΍ln ʢdKfenc(dfnc)URd:04k5.Prijelaznaslab`okonvergentanpodniziprv@asvojstvalimesaH;#I9cZatoIstoqfunkrcijedfncimajuuniformnoogranisceneentropijeidrugemomente(relacije+(30)(i(31))izkriterijarelativnekrompaktnosti(ISII.3)(slijedidajezasvXakidtce2c[0d;Tc](niz+( dfnpc(dt;ec))7slabSo-$relativnokrompaktanuL21c(kR2d]ekR2dc)G,..UTVakod=7fer,=vrijedida(dfnpc)\imapSodniz+(krojegscemo:istooznascavXatisdfG2nac)kojikonvergiraslabSouL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)p,scijilimes+oznarscimosdfGc.8De nirajmodg2n9n+ c:=Fu1zꍐm [cln&X(1+ds2f2n\oc).8TVadavrijedi+(35)Rfsup TLt2[0;TH]kcsup qn2ekdfG n\oc(dt;ec)edg n9n+c(dt;ec)ejjOLj1|s(RjdRjd)6Je!URc0kXad@bdȄe!c0d: K39(ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeNDScZa}dokXaztetvrdnjede nirajmofunkrcijud %c(dtc)P:=Fu919zꍐm Vhcln! (1+ds2tc)}kojazadovoljavXa0Pq6L͍Ed %c(dtc)URq6dtcidted %c(dtc)URq6d"DRc(ds2c)dtc+dtftA>R>gd;LEczaSdte2c[0d;e1id;R [<e1c,m1ifunkrcijud"DR ctakvudad"DRc(ds2c)e!c0kXaddzCe&c0.r(GornjanejednakrostEseelakropSokXaszekoristescirazvojuredXsclanaln0(1+ds2tc)e(pritomseuzmedJ<'c1d=RJc,kXakobiEproSduktejd(edtejcbiomanjiod1,_stonamondaomogurscujerazvoj).hVidisedamoszemouzetiEfunkrcijud"DRc(ds2c)UR=FuVtz@ꍑ!2 c,kojaosciglednozadovoljavXatraszeneuvjete.SSadamorszemoizvestisljedesceoScjene-jJ$k_甆fZ2k_甆Z@k_ejdg n9n+ -QedfG n\oejddkxddg,q6UR甆fZUR甆ZURejd"DRc(ds2c)dfG n\oejddkxddguc+甆fZ甆ZejdfG ndffjnl)A>R>g"#ejddkxddg,c=URd"DRc(ds2c)甆fZ甆ZejdfG n\oejddkxddguc+甆fZ甆ZUT ^jfjnl)jA>R8$ejdfG nejddkxddgd:.EcBudurscidajeniz( Odfnpc)~xslabSokonvergentan,koristesci(30)dobivXamooScjenu(35)gledajusciElimeskXaddRne!UR1cidȄe&c0.8TVakrod=7fer,naosnovuprijenosnogteorema(ISII.3),zbogԍ dTg n9n+ c=ō,51[z''\ ΍1+ds2fGn,dQ npc(dfG n\od;fG nc)čEdobivXamoj\dgߍn9n] 뀍 c(dtc+dhc)edgߍn9n] 뀍c(dtc)UR=甆fZOUTt+h tō"dQ2npc(dfG2n\od;fG2nc)2]c(dsc)"ԟ[zJR (V1+ds2fGn] Qc(dsc)nYdds:ٍEcNaosnorvuslabSepredkompaktnostiniza f wQ-=nq~(fn;fn) w5z*^Rꍑ N1+fn8 fD[@cuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)py,dokXazaneuEprethoSdnoj lemi,Sslijediidajeniz f iQ-=nq~(fn;fn) i5z*^RꍑM1+Vfn8 fE1cslabopredkrompaktan.Zbogtogajeniz"(EfunkrcijasNdFn ic:=UR甆fZUR甆Zō dQ2npc(dfnd;fnc) [z5 ΍V1+ds2fnWCddkxddggEcslabSopredkrompaktanuL21c[0d;Tc],5zasvXakid?e2e c[0d;c1].TNaosnorvurescenogmoszemozakljuscitiEdajezasvXakidT>URc0idRn>c03Sjwysup Tt2[0;TH] csup &n3ekdgߍn9n] 뀍 c(dtc+dhc)edgߍn9n] 뀍c(dtc)ekOLj1|s(RjdBRb)q6csup TURt2[0;TH]!ڰcsup 'n5X甆fZOAZt+h<6tS觟甆fZa觟甆Z3,o 38o o ōudQ2npc(dfG2n\od;fG2nc)2]c(dsc)uڟ[zJR (V1+ds2fGn] Qc(dsc)3,,_f 38,_ ,_ %8q6csup TURt2[0;TH]!ڰcsup 'n5X甆fZOAZt+h<6t3,Sf 38S S WdFƟ n] Oc(dtc)3,f 38 Jej!Jc0URd;EckXaddhURe!c0.L͍SKoristersci(35)dobivXamo,sup T*t2[0;TH]ekdfG n] Qc(dtc+dhc)edfG n]c(dtc)ekOLj1|s(RjdRjd)6Jq6URdOSc(ds2c)+sup Tt2[0;TH]!0ekdgߍn9n] 뀍 dtc+dhc)edgߍn9n] 뀍c(dtc)ekOLj1|s(RjdBRb)74d: 蹍EcIzorvogalakoslijediW;Zsup T5t2[0;TH]Tucsup Z5nh%ekdfG n] Qc(dtc+dhc)edfG n]c(dtc)ekOLj1|s(RjdRjd)6Je!URc0 kXad)srdhe!c0d;&`8EcikroristesciArzsela-Ascolijevteoremdobijemoda(slabi)limesdfG2] Kcniza f TdfߍG]np f" czadovoljavXa )dfG ]3e2URcC(kR+0Ìc;L 1c(kR dN4ekR dc))d;EK40)CCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuN퍑+cidazasvXakidT>URc0n{6sup Tut2[0;TH],9ekdfG ]`c(dtc+dhc)edfG ]c(dtc)ek Lj1"e!URc0 kXad)srdhe!c0d:"'+cZaprarvo,provoSdescizamjenuvXarijablipSokarszesedajedfQe2URcC(kR+0Ìc;L 1c(kR dN4ekR dc))d:+cTVakrod=7fer,koristescikonveksnostfunkcijedz5e7!URdz3ecmaxefcln ʢdz;c0egc,zasvXakidte2kR+0cvrijedi0o+(36)ݍBҐ甆fZPҐ甆Z^ҐdfGejcln ʠdfejddg\ddkx;c+limsup n( 甆fZO4 t/W0:%甆fZH%甆ZV%denpc(dfG n\oc)ddg\ddkx*q6UR甆fZUR甆ZURdf0 f Jejcln ʠdf0ejc+2ejkxej 2ʦc+2ejg\ej 2 f Jddgddkxc+dCd/2!+ciU^3S甆fZAS甆ZOSdfG frc1+ejkxej 2ʦc+ejg\ej 2 f JddgddkxURq6?甆fZ?甆Z#?df0 fc1+2ejkxej 2ʦc+(2dt 2c+1)ejg\ej 2 f JddgddkxURd:2+kLemag5.jNekXa,Hdue2cL22c(kRVekR2d"CekR2dJc)jimakrompaktannosascipretpSostavimodajedTue2L͍+cL22c(kRekR2dekR2dJc)j.8OndajefunkrcijavF甆fZFduc(ed;ed;g\c)ddg!y+juprostorucH21=2_c(kRekR2dJc)j,injezinanormaorvisisamooekduek Lj2 Gj,ekdTuek Lj2Pjinosascufunkcijeduj.4+mDem.cNekXaje6^du c(d;kzd;g\c)FVourierorvatransformacijafunkrcijeducobziromnavarijabledtcikxc:y2^xduc(d;kzd;g\c)UR=甆fZ ^Rz甆fZ% ^Rjd*JZde 2Ri(xz+t)8lduc(dt;kxd;gc)ddkxddtUR:!+cZbSogBPlancrherelovogteoremaijednakosti:((d@t+Lc+T1gerx8c)duc)*^c=UR2dn9ic(dNc+gekzc)^du Mc, ^ddu W~ciB(dc+gekzc)^du+csuifunkrcijeuprostoruL22c(kRoekR2dR\ekR2dJc)iiimajukompaktannosascobziromnag\c.vRastavimo+inrtegralXP甆fZc^XPduKc(kzd;g\d;Wc)ddgc=URdI1ʦc+dI2uPd: 2+cOznarscimodURc=(dW22 !c+ejkzej22c)21=2_d;0uPc:=Fuzcꍐ+I d;kz0c:=Fuzzҟ c,tede nirajmo6]h_dI1 Wc=UR甆fZ ^fji@0|s+=zi@0jA6P H 133aH&$0gGJc^FduM?dg#h_dI2 Wc=UR甆fZ ^fji@0|s+=zi@0jA>P H 133aH&$0gGJc^FduM?dgd:5Q+cZa]oScjenruprvog <sclanakoristit <scemocinjenicu]dazasvXakikrompaktanskupdK1eURkR2dcpSostoji+d0uPd>URc0idC1>c0takvidazasvXakide2hc0d;0einDcsup 2[(i@0|s;zi@0)2Sjddefge2URdK1c:ejd0ʦc+g\kz0ejq6degq6dCܞ:#+cTVaKTserelacijadokXazujetakrodanazbrojd07c+e9gekz0kRcgledamoKTkaonaskalarniproSduktvrektora+(1d;g\c)i(d0d;kz0c)ukR2d+1c,ހpriZ.scemrujedrugivektorjediniscan.Oznacimosg0 [e2]kR2dcvektor K41*ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeNEczakrojijeejd0c+jg0ekz0ej5c=0.Zaproizvroljange25kR2djcnapravimorastavgc=5g0c+jg\͟20`[c,KpaL͍EzakjurscujemoPejd0ʦc+guekz0ejURq6ejd0c+(g0c+g\͟ 0`[c)ekz0ejURq6ejg\͟ 0 ekz0ejq6ejg\͟ 0`[ejd:uEcAkrosadBd 5coznascimovolumenjediniscnekugleukR2dG]c,ondavrijedi^sup  &(i@0|s;zi@0)2Sjd;defge2URdK1c:ejd0ʦc+g\kz0ejq6degq6defge2dK1c:gc=g0ʦc+g\͟ 0`[d;ejg\͟ 0ejURq6degq6dBdJd:_ScStarvljajuscied%c=Fuj1XПzҟcuuprarvoedokXazanojrelacijiikroristescieCauchy-Schwartzovunejed-Enakrost,dobijamo:GhejdI1ej 2uPq6URqf *甆ZV ^fji@0|s+=zi@0jA6P H 133aH&$0gOduc1ddg\͟qf 2%eqfX甆ZXejc^duej 2ddg\͟qfq6ōdC[z D ΍a甆fZaejc^duej 2ddgH;Eci6ܰO'GuejdI2ej 2@c=UR甆fZ ^f=2K:ji@0|s+zi@0jA>P 33C33aH9ڟ0 @gōg|]ejdc+g\kzej22`3[z<# ΍ejd0ʦc+g\kz0ejd2W ejc^duej 2ddg$@q6ō0@c1[z /r ΍d2*qf甆Z k. ^f=2K:ji@0|s+zi@0jA>P 33C33aH9ڟ0 @gu80ejd0ʦc+g\kz0ej 2 Qddgqf 2%e f*甆Z*ejdc+gkzej 2ejc^duej 2ddg\͟ f#@q6ōdC[z D ΍a甆fZaejdc+g\kzej 2ejc^duej 2ddgd:P H 133aH&$0gejd0ʦc+g\kz0ej 2 Qddgq6URdCܞ 0ed:-EcKonstanrtadCܞ20covisionosascufunkcijem^^ducuvXarijablig\c.XZbSogtogastosum^^du a;c(d]c+2@g ekzc)^du XJe2EcL22c(kRekR2dekR2dJc)oScjenezadI1 cidI2cimplicirajuE(37)'I甆fZ,'I甆Z:'Idc(ejdI1ej 2ʦc+ejdI2ej 2c)ddkzddoc=UR甆fZUR甆ZUTc(dW 2 !c+ejkzej 2c) 1=23,_f 38_ _ _甆Z#c^"_du)c(kzd;g\d;Wc)ddg3,f 38 \͟]2 |ddkzddo<URe1d:nEcSadajedinopreostajedokXazatidazadnjanejednakrostpSovlasci甆fZdudge2URcH 1=2Ld:荑EcNormafunkrcijedf2cuprostoruH21=2_c(kRekR2d]c)jedanaizrazomE6TekdfGek 2 HH1=2Vc=UR f 甆Z甆Z& -c1+(dW 2 !c+ejkzej 2c) 1=8_ f]2ejWc^*dfc(d;kzc)ej 2ddkzddW f d;ɍEcpaimamodazadfQc:=URUQfR UQdudgGucvrijediȍvek甆fZdudg\ekHH1=2Vc=UR甆fZUR甆ZUR &c1+2(dW 2 !c+ejkzej 2c) 1=8 c+(dW 2c+ejkzej 2c) 1=4_ f3, & 38 & & $甆ZȲc^ $duc(kzd;gd;Wc)ddg3,f 38 \ddkzddo:gEcPromoscu(37)zakljurcujemoRݍU< 甆fZ甆Z!c(dW 2 !c+ejkzej 2c) 1=43,_f 38_ _ _甆Z!c^ _du'dg3,\f 38\ \ \ddkzdd5zq6UR甆fZ UV甆Z ^fj2r+jzjj2|sA61g3,Jf 38J J N甆Z]qc^\ducf dg3,\f 38\ \ \ddkzdd!j c+甆fZ 甆ZUX ^fj2r+jzjj2|sA>1gH gc(dW 2 !c+ejkzej 2c) 1=23,_f 38_ _ _甆Z#c^"_du)dg3,\f 38\ \ \ddkzdd5zq6UR甆fZ ^Rz甆fZ% ^Rjd'\ ^Rjd> ejc^duejddg\ddkzdd  c+甆fZ UT ^RS甆fZz ^Rjd'c(dW 2 !c+ejkzej 2c) 1=23,_f 38_ _ _甆Z#c^"_du)dg3,\f 38\ \ \ddkzddU^5z<URe1d:EK42+sCCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuQ#I9cSlirscno:sepSokXaszeidavrijedioScjenaUQfR ;UQRc0|pSostojikompaktanskupdK*eN_c(0d;Tc)Ge+kR2dekR2dJc)takXarvdazasvakidn E\甆fZ\甆Z\甆ZŸ ^cK!c(ejdgnpd nejc+ejdgn9 ejc)URd<; ʼn+cmorszemo@pretpSostavitidasvidgnܰc(ukljuscujuci@idgn9c)imajunosarcsadrrzanukrompaktnomskupu.+TVakrod=7fer,0-zbSog"FEgorovljevogteoremad n me!d cuniformno,0-osimnaskupuproizvoljnomale+mjere,pamorszemouzetid n ic=URd MczasvXakidnc.lxYStovia?se,dovoljnojeuzetid Ëc=UR1: naime,akoje+d ǹcdorvoljnoYglatkXa,vtadadgnpd yczadorvoljavaYistezahrtjeveYkaoidgnGc,vaakrojed ǹcudL21 c,morszemoje+aproksimiratiRsdCܞ21rcfunkrcijamad k jctakvimdaekd ked n9ek Lj1"e!URc0isupSkjekd kpekDLj1dc=URdTgnedf(x;=;t);jTHgnq~jA6MgL͍RNdunpejt=0j>c=UR0*<HqfٙdThntc=URdTgnedf(x;=;t);jTHgnq~jA>MgL͍Hdhnpejt=0tc=UR0d:]+cOrscitoQijedgn ic=URdunc+qdhnpc,pjerdTc(dunc+qdhnpc)UR=dTgnc,paQidgn ecjejedinstvrenorjea?senjeCauchyevezadasce+dTfQc=URdTgnpd;fejt=0Ӆc=0. K43,wECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑ScZbSogslabekrompaktnostiniza( udTgnpc)'bxmoszemoiskoristitioScjenu(ISII.4),HpakroristesciL͍Eeksplicitnruformuluzafunkcijudh-Ehnpc(kxc+dtg\d;gd;tc)UR=甆fZOUTt 0,mdTgnpc(kxc+dtg\d;gd;tc)dfjTHgnq~jA>Mg0c(kxc+dtg\d;gd;tc)ddo; Ecslijediju甆fZOT|V:0۟甆fZ ^Rjd8甆fZS ^Rjdxejdhnpc(kxd;g\d;tc)ejddkxddgddtURe!c0d:EcNizV(dTunpc)$SfjeVogranirscenuprostoruL21 c,$paizeksplicitneformulezafunkcijedun czakljuscujemoEdahsuioneogranirsceneuL21 c. !Med=7futim,+izuniformnekompaktnostinosascaniza( J,dgnpc)Eslijedi(dasu(dunpc)9i(dTunpc)&Tomed=7feninizorviuL22c,stonamomoguscujekoria?stenjeLeme5,8WpSoEkrojojbzakluscujemodajeGf ݟUQRdunpddg\͟Gf7comed=7fenuH21=2_c.xZbSogkompaktnostiulaganjaprostoraNEH21=2tcuzL22c,slijedidajeGf |UQR {dunpddg\͟Gf9lckrompaktanuL22c. WZatostosmopretpSostarvilidanizfoE( dgnpc)OimaauniformnokrompaktannosascslijedidainizGf UQRdunpddg\͟Gf7cimaistosvojstvo.NjegovZҍEnosarscoznacimosdKܞc.$,BudurcidajezasvXakikrompaktanskupL22c(dKܞc)'uloszenouL21c(dKܞc)$#:,ipriEtom6jetoulaganjeneprekidno,MimamodajenizGf [8UQR[7dunpddg\͟Gf6 AckrompaktanuL214citimejedokXazEzarvra?sen.kkQ.E.D.EKorolar1.jUz1#pretpSostarvkeLeme6,Bakodgn d*Ig\jucL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)t;\jid ne!Id ;c(ss D)j,Eondavrijedi3,gf 38g g 3,k 38k k qן甆Zdgnpd nddgue甆fZdgn9 dg3,\f 38\ \ 3,\ 38\ \ \͟LLj1|s([0;TH]Rjd)D9e!URc0d: g|EmDem.cLemanamvrescosiguravXaegzistencijujakoglimesaniza(UQfR dgnpd nddg\c),krojegvscemoEoznarscitisdLc,aonoX,stotrebaprovjeritijedajetajlimesjednakUQfR dgn9 dg\c.]DokXazsezasnivaEna}^relaciji(ISII.2), kroja}^kXaszedadgnpd n czd*O gn9 cuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)pVt.TVadazaproizvoljnuEfunkrcijudURe2cL21 c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)wimamodW)甆fZpW+甆Z|W-甆ZW-dgnpd nddtdkxddge!UR甆fZUT甆ZUV甆Z)UVdgn9 dtdkxddgEciU^pdP甆fZ|dR甆ZdT甆ZdTdgnpd nddtdkxddge!UR甆fZUT甆ZUTdLdtdkxURd:kMEcZbSogjedinstvrenostilimesaslijedimg~qfg甆Zgdgn9 ;qfc=URehdL;eid;zEctojestUQfRdgn9 0cidLcsujednakiusmisludistribucija,itimejedokXazzarvra?senzbSoguloszenostiEprostoraL21 cuprostordistribucija.kkQ.E.D.ELema37.jNekXaDjec( Ndfnpc)!jrelativnoslabSokrompaktannizucL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dJc)xb*jipret-EpSostarvimo|dapostojifamilijarealnih,QuniformnoLipscrhitzovih|funkcijac(o@d %c;dȄ>URc0):-hd; %c(0)UR=E0jzasvXakids2j,takvihdaSi)d %c(dsc)URe!dsjkXaddȄe!URc0j,uniformnonakrompaktnimpSodskupovimaodkR+04j,Sii)fSniz[dTc(d %c(dfG2n\oc)):jje[zasvXakidjslabSorelativnokrompaktanucL21+loAc c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)vonj.kEAkroߖuztodfG2n Rd*9fGj,iakojec( qZd npc) jomed=7fenucL21 c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)z8@jid n e!9d drc(ss D)j,ondaEvrijedivclim33rn!13,f 38  3, 38  甆Zdfnpd nddgue甆fZdfG n9dg3,\f 38\ \ 3,\ 38\ \ \͟LLj1vac=UR0d: gEK44-1CCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuN퍑+mDem.cPro\:pretpSostavcije(dfnpc)slabSokompaktan,xpapSomoscu(ISII.4)zakljurscujemodajezaL͍+dorvoljnovelikidRbcizrazsupŸSn0UQfR"e۟*ffjnl)A>R>gGPejdfG2n\oejcproizvoljnomalen.[Sliscno,'pSoDunford-Pettisovom]+teoremrua\moszemooScijenitisupSn&tUQfR$*Rjd1uҟ*nKAejdfG2n\oejczanekikompaktanskupdKܞc. Iskoristit scemoj+takrod=7fer Lipschitzovosvojstvofunkcijad %c,9takodaizjednakostid Fwc=UR0dobijemoejd %c(dfG2n\oc)ejq6+dCܞejdfG2n\oejc.Iz" toganepSosrednozaklurscujemodajeniz(d %c(dfG2nc))3EslabSokrompaktanuL21c,/ijedno+njegorvogomilia?steoznarscimosadgc(pSodnizcemoidaljeoznarcavXatijednakokXaoilimes).#I9Prokua?sajmosadaoScijenitiintegralUQfR 큟UQR퀟UQR ejdfG2ned %c(dfG2n\oc)ejddtdkxddg\c.~Rastavimoganasljedesci+narscinws卍**V@甆fZ8V@甆ZFV@甆ZTV@ejdfG n ed %c(dfG n\oc)ejddtdkxddg+q6UR甆fZUR甆ZUR甆Z% ^ffjnl)A6R>gnKXWejdfG n ed %c(dfG n\oc)ejddtdkxddg!jc+甆fZ甆Z甆Z%UT ^ffjnl)A6R>g\KXWejdfG n ePdbeta%c(dfG n\oc)ejddtdkxddgc+甆fZ甆Z甆Z%UT ^ffjnl)A>R>gJ@uejdfG n ed %c(dfG n\oc)ejddtdkxddg+q6UR甆fZUR甆ZUR甆Z% ^ffjnl)A6R>gnKVYc(dCFc+1)ejdfG n\oejddtdkxddgc+甆fZ甆Z甆Z%UT ^ffjnl)A6R>g\KXWejdfG n ed %c(dfG n\oc)ejddtdkxddgc+甆fZ甆Z甆Z%UT ^ffjnl)A>R>gH@wc(dCFc+1)ejdfG n\oejddtdkxddgd:zs卑+cZbSogtogaKstod %c(dsc)URe!dscuniformnonakrompaktnimskuporvima,zakljuscujemoda~+(38)\sup jn oekdfG n ed %c(dfG n\oc)ek Lj1e!URc0d;%k+ckXaddȄe!URc0.8SadamorszemoprimjenitiLemu6nanizfunkcijadg2n9n+ c:=URd %c(dfG2n\oc)izscegaslijedi5 𪡍3,f 38  3, 38  甆Z&dfnpd nddgue甆fZdfG n9dg3,\f 38\ \ 3,\ 38\ \ \͟LLj1Gq63,URf 38UR UR 3,UR 38UR UR UP甆ZUPdfnpd nddgue甆fZd %c(dfG n\oc)d nddg3,\f 38\ \ 3,\ 38\ \ \͟LLj1c+3,f 38 3, 38  甆Zd %c(dfG n\oc)d npddgue甆fZdgd n9dg3,\f 38\ \ 3,\ 38\ \ \͟LLj1˽c+3,f 38 3, 38  甆Zdgd n9dgue甆fZdfG dg3,\f 38\ \ 3,\ 38\ \ \͟LLj16T#I9cDokXazLlemescebitipSotpunakropokXarszemodaekdf5IeJdg%ek Lj1*e!c0kaddoe!c0.^|TVosepak+lakropSokXaszekoristescirelaciju(38)i%rekdfedg%ek Lj1c=ŀsup TUR;kkL1 A615U甆fZAWc(dfedg%c)edUR;(+cidsup T`2Lj1|clim33[no甆fZqc(dfed %c(dfG n\oc))dURq6climinf33n)csup T%2Lj1?c(dfed %c(dfG n\oc))d:$ڍߌkQ.E.D. K45. LECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑h)k7.LimesjerenormaliziranorjeIfsenje ELema߻8.jNekXa=jec(ϾdfG2n\oc)Ɠjnizaproksimativnihrjea?senjaBoltzmannorve=jednadszbSede niranihL͍EuprethoSdnomodjeljku.8TVadaonimapodnizsasvrojstvomdazasvXakidT>URc0jvrijediƽ i)SUQfRRdfG2n\oddge!URUQfR UQdfGdgGujucL21c([0d;Tc]ekR2d]c)Qbj,kXaoizaskrorosvakic(dt;kxc)j,{ii)SdAn4QedfG2n e!URdAedfjucL21c([0d;Tc]ekR2dedBDRc)tFjzasvXakidRn>c0j,MkXaoizaskrorosvakic(dt;kxd;g\c)j,iii)SzasvXakufunkrcijudURe2cL21 c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)wjskompaktnimnosascemvrijedi#U)滟UQfRdQ2nRAc(dfG2n\od;fG2nc)ddg滟GzW: O c1+dnUQfR dfGn\oddgܪ?e!)UQfRdQ2nRAc(df;fGc)ddgGzJk ONc1+dnUQfR dfGdg% SjucL21c([0d;Tc]ekR2d]c)Qbj.@EmDem.ci)De nirajmofunkrcijud %c(dsc)=Fu1ßzꍐm cln(1[+ds2sc).+NaosnovuLeme4jedTc(d %c(dfG2n\oc));]slabSo(EkronvergentanuL21+loAc c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)x,!akXakrouztod  czadovoljavXaisveostalepret-EpSostarvke~/Leme7,primjenjujurscinjuuzd n c=,1dobivXamokonvergencijunizaGf 1UQR0dfG2n\oddg\͟GfEcu.5L21c([0d;Tc]ekR2d]c)R. TVo.5pSorvlascipSostojanjepodnizakrojikonvergiraskorosvudaitimejeEdokXazanaprvatvrdnja.Sii)0DokXazorve0tvrdnjejeslirscandokazuprethoSdne,{adetaljnoraspisanmorszesepronasciEu[DL1,str.340].ȑSiii)nZadokXazkronvergencijendQ2nRA c=if-=nl)Anq~f-=niz&㍑ 1+6zi cmex9RRfd0uuedcde nirajmod n Jc:=zAnq~f-=niz"1+RRfd,_edc.nIz(i)iWE(ii)zslijedidad n ^e!JyDc0tede nirajmoopSeratordT19Flc:=de2FdTƟ21 de2Fc.+IzOsvrojstavXafunkcijedF"cslijedidajedT19Fsctakod=7ferneprekidanizL21c([0d;Tc]ekR2dekR2d]l&9occ) u+C([0d;Tc];L21c(kR2d]ekR2dl&9occ)P^).R(#I9Zaomed=7feniniz(dFnpc)ZuC([0d;Tc];L21c(kR2d]ekR2dl&9occ)P^)zakrojivrijedidFn q>l3c0d;Fnpc(dt;kxd;g\c)e!+dFc(dt;kxd;g\c),zasvXakidtciskrorosvaki(kxd;g\c),akrodgn id*URg ecuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2d]l&9occ)~ondaimamo+dazasvXakidtURe2c[0d;Tc]vrijedi\ߍ+(39)dT19Fn dgnpc(dtc)URd*T19Fdgn9c(dtc)+uL21c(kR2d]ekR2dl&9occ)R.8ZadokXazrelacije(39)uorscimodaje"獑+cUzmimoproizvroljnufunkcijudhURe2cL21 c(kR2d]ekR2dl&9occ)ZXipSokXarszimoda2E*9甆fZ+9甆Z99甆ZOE9t?0K8de Fnq~(t;x;=)-Kde Fnq~(s;x(ts)=;)IA]dgnpc(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)ddsedhc(kxd;g\c)ddkxddg!3MQe!UR甆fZUR甆ZUR甆ZO+UTt%01,mde FH(t;x;=))"de FH(s;x(ts)=;)Edgn9c(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)ddsedhc(kxd;g\c)ddkxddgd:+cProkXazat7mscemodazasvakids;tcvrijedidFnpc(ds;kx=ec(dtedsc)g\d;gc)=edFnpc(dt;kxd;g\c)URq6c0.TVada7mscenaimeL͍+zafunkrciju\ߍyldHVc(dt;kxd;g\c)UR:=de Fnq~(s;x(ts)=;)Fn(t;x;)xedhc(kxd;gc)\ߍ+vrijediti~dHBe2URcL21 c([0d;Tc]ekR2dekR2d]l&9occ),Apa+scezbSogslabekronvergencije~niza(kdgnpc)՝uprostoru+L21c([0d;Tc]ekR2dekR2d]l&9occ)1?dokXazbitizarvra?sen.8Med=7futim,traszenanejednakostselakodokXasze:BLޑv dFnpc(ds;kxec(dtedsc)g\d;gc)edFnpc(dt;kxd;gc)=UTdFnpc(0d;kxec(dtedsc)g\d;gc)+甆fZOsUZ0ydTFnc(d;kxec(dtedsc)gwec(dsedWc)g\d;gc)dd!3edFnpc(0d;kxec(dtedsc)g\d;gc)e甆fZOt UT0dTFnpc(d;kxec(dtedWc)g\d;gc)ddc=URe甆fZOtsdTFnpc(d;kxec(dtedWc)g\d;gc)ddq6URc0d:CA#I9cOznarscimo dFn ic=URdTƟ21 c(dAn"Ge dfnpc)iiskoristimo(39)zadokXazegzistencijerenormaliziranog+rjea?senjaBoltzmannorvejednadszbSe:dTfG n c+(dAnedfnpc)dfn ic=URdQ nڍ+c(dfnd;fnc)d:^ +cMnorszecijednadzbusde2Fn#czakljurcujemodavrijedicdTc(dfG n\ode Fn {c)UR=(dTfG n\oc)de Fn#c+dfG nc(dTFnpc)de Fn.c=URde Fn {dQ nڍ+c(dfnd;fnc)d: K4704qECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN7EcDjelorvXanjemopSeratoradTƟ210cnagornjujednakostslijedi+ፑ6dTƟ 1 f2dTc(dfG n\ode Fn {c) fQ0c=URdfG n\ode Fn#edf Gnڍ0de Fn Y{80@c=dTƟ 1 f2de Fn {dQ nڍ+c(dfnpd;fnc) fhd;(EcoSdnosno,zbogdF20RAn c=UR0VE(40)=dfG n c=URdf Gnڍ0\ode Fnc+dT19Fn dQ nڍ+c(dfnpd;fnc)d:KEcNa^osnorvuLeme8zakljuscujemodaje(dFnpc)omed=7fennizuC([0d;Tc];L21c(kR2d]ekR2dl&9occ)P^,{te^daL͍EzasvXakidtURe2kR+0cvrijediaddFn ie!URdFc=dTƟ 1 c(dAedfGc)UR(ss D)d:EkLema9.jZasvXakidtURe2kR+0jjedT19F dQ+c(df;fGc)e2cL21c(kR2d]ekR2dl&9occ)V#ZjiJdfQc=URdf0de FLc+dT19F dQ+c(df;fGc)d:EmDem.cDe nirajmod m6c(dtc)z=minefdt;megczadtq>c0idme2kNc.zeProDunford-PettisovomteoremuEmorszemozakljucitidaVdg n9nڍm c:=URd m PedfG n d*gmVEcuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)oþ,panaosnorvudokXazaLeme7slijedidaXcdgm e!URdf ckXad*qdme!1EcuL21c(kR2d]ekR2dl&9occ)R.8NaosnorvuLeme4irelacija"'PdTg n9nڍm c=URdQnpc(dfG n\od;fG nc)edffjnl)A6mg'Vq6c(dmc+1)ō33dQnpc(dfG2n\od;fG2nc)33[z8 ΍ L1+dfGn!LEcimamo;daniz(tdg2n9nRAm6c)uzadorvoljavXa;uvjeteLeme7,^panapSotpunoanalogannarscinkaoudokazuEtvrdnje:(iii)Leme8,zakljurscujemodadQ2nRA+c(dg2n9nRAm6d;g2n9nRAmc)b5d*Q+c(dgm6d;gmc):uL21c([0d;Tc]ekR2dedBDRc)p,Eza\`svXakidR>ʠc0.Kakroje( $dg2n9nRAm6c)""nizrastuscihfunkcijaomed=7fenihoSdozgofunkcijomdfnpc, stoEpSorvlascinejednakostdQ2nRA+c(dg2n9nRAm6d;g2n9nRAmc)URq6dQ2nRA+c(dfG2n\od;fG2nc),papSomorscu(40)zakljuscujemoM~8dfG n q>URdf Gnڍ0\ode Fnc+dT19Fn dQ nڍ+c(dg n9nڍm6d;g n9nڍmc)d:EcGledajurscislabilimesgornjenejdnakostiiz(39)slijediudfQq>URdf0de FLc+dT19F dQ+c(dgm6d;gmc)d:EcIzԌLebSesgueorvogteoremaomonotonojkonvergencijizakljuscujemodaidT19F dQ+c(dgm6d;gmc)URe!EdT19F dQ+c(df;fGc)panaosnorvuzadnjenejednakostimoszemozakljuscitidajedT19F dQ+c(df;fGc)De2EcL21c([0d;Tc]ekR2dekR2d]c)U iE(41)dfQq>URdf0de FLc+dT19F dQ+c(df;fGc)d:EcZadokXazsuprotnenejednakrostide nirajmodh nڍm c:=URdmcln ʢ(1+dfG n\od=mc)d:EK481KCCauchyjevqaUUzadaGcazaBoltzmannovujednadGzbuN퍑+cKoristersciracunslicanonomkrojegsmokoristilizadobivXanje(40),lakosedobije3_@+(42)čJ,dh nڍm c=URdmcln ʢ(1+df Gnڍ0\od=mc)u+dT19Fnqf)dQ2nRA+c(dfG2n\od;fG2nc)Gz9[ ΍01+dfGn\od=mT䟟qf ߍ5c+dT19FnqfdAnedfG n \mqf1dh nڍm PeōdfG2n۟[z1 ΍c1+dfGn\od=m6 qfm(qd:2+cZakljurscujuciCnajednaknarcinkXaoiprije,e*teprelaskromnapSodnizCpopotrebi,e*morszemopisati*Ձ3rdh nڍm d*URhm6d;t@hm e!URdfcu6L 1󏍍ōdfG2nEş[z1 ΍c1+dfGn\od=muF*URlm6d;t@lm e!URdfcu6L 1uPd:+cPritomsmoprizakljurscivXanjuzadnjekonvergencijekoristiliLemu4ioScjenu!.ōŪdQn[z> ΍c(1+dfnpd=mc)2+vq6ōdQ[z0^ ΍c1+dfnpd=m9p:"+cTVakrod=7fervrijedi"XX+(43))WdQ2nRA+c(dfG2n\od;fG2nc)WGz9[ ΍01+dfGn\od=m7*URQ+;md:"k+cProSdsjetimosedanatemeljuLeme8(iii)vrijedi#+(44))FUQfREdQ2nRA+c(dfG2n\od;fG2nc)ddgFGzW: Oc1+UQfR dfGn\oddghe!AUQfRdQ+c(df;fGc)ddg/zJk O 7c1+UQfR dfGdg#+czasvXakufunkrcijude2cL21ֈcskompaktnimnosascem. Pomnozimolijevustranu(43)sW d ^z)ݟ1+nR ?fd40d;c(dURq>c0)ԟiinrtegrirajmopSovXarijablig\c.1DobiveninizkonvergirakҟR $Q;+;m+dҟĉz.]㍑Ͻ1+RRfd4c.1ZbSogp+oScjene(44)orvXajlimesjemanjiod۟R -Q;+(fw;f)d۟ĉz9^㍑ +m1+RRfd?flc,paiztogazakljurscujemo@dQ+;mq6URdQ+c(df;fGc)J(ss D)d:+cGledajurscislabilimeskXaddnURe!1cu(42),nalazimo"Deodhm q6URdmcln ʠqfc1+ōdfG2n۟[z ' ΍pdm8%qfE[de FLc+dT19F dQ+c(df;fGc)+dT19Fc(LdAedfGc(dhm Pedlm6c))d:"C+cUzimajursciopSetlimes,ovXajputpSodmc,dobivamotrarszenunejednakostpdfQq6URdf0de FLc+dT19F dQ+c(df;fGc)d;+ckrojazajednosnejednakroa?sscu(42)impliciratvrdnjuoveleme:+(45)dfQc=URdf0de FLc+dT19F dQ+c(df;fGc)d:χߌkQ.E.D. K492^ECGlobalnaUUrjexsenjaBoltzmannoveUUjednadGzbGeN퍑ScZadnja}XjednakrostnamvescgovoridafunkcijadfWczadovoljavXaBoltzmannovujednadszbuL͍Eunekromsmislu.0Mi>scemosadapSokriterijimadanimupoglarvlju(IV.2)jednostavnoprov-Ejeritidajetotrarszenorenormaliziranorjea?senje.SPrvro,koristescipretpSostavkenadAcirelacijucsup T^4(t2[0;TH]|csup ǣnj.甆fZj.甆Zj.dfG n\oc(1+ejkxej 2ʦc+ejg\ej 2c)ddkxddgd<URe1d;" FEclakrosepSokXaszedajezasvXakidT<URe1Ec(46)ōudQc(df;fGc)u[z,_ ΍1+dfe2URcL 1c([0d;Tc]ekR dekR d]l&9occ)~hd:EcZadokXazatianalognrutvrdnjuzadQ+c(df;fGc),prisjetimosedanaosnovu(36)imamoB)8sdQ2nRAc(dfG2n\od;fG2nc)6Gz=Ÿ O1+ds2UQfR s1dfGn\oddgxq6URc2dQ nڍc(dfG n\od;fG nc)1+ds0甆fZs0dfG n\oddgNc+ō"F4den۟[zOc` Ocln ʢ21+ds2UQfR s1dfGn\oddgWd: 1ٍEcBudurscidajedenpc(dfG2n\oc)nenegativXanidavrijedi9zRsup on甆fZO1[0p甆fZp甆Zpdenpc(dfG n\oc)ddkxddg\ddsURURc0vrijedi27ō dfG2n\odf2GnRAğ[z? Oc1+ds0UQfR s/dfGn\oddg+ d*ō\fGf[z9P Oc1+ds0UQfR s/dfGdg$2ɍōdfG2n-=0 *df2Gn-=0RAğ[z? Oc1+ds0UQfR s/dfGn\oddg+ d*ō@fG20Kdf2G0RA[z9P Oc1+ds0UQfR s/dfGdg4ﱍ+cuL21c([0d;Tc]ekR2dekR2dekR2dedSן2d1φc)8.8KoristerscikonveksnostfunkcijeH捒K}(dx;yn9c)URe!c(dxedyc)lnōdxӟ[zR ΍B:y!@+cnakR2+XekR2+n4c,vidimodajezasvXakidT>URc0"j>甆fZOJTDZ0S4甆fZa4甆Zōf/dec(dfGc)ph.[z9P O1+ds0UQfR s/dfGdg?ddkxddg\ddtURq6climinf%甆fZO1T,0; M甆fZI M甆Zōg4Idenpc(dfG2n\oc)X@[z? O1+ds0UQfR s/dfGn\oddg,sddkxddgddt:"n+cOcjenaenrtropijesadaslijediiz(38)iLebSesgueovogteoremaodominiranojkonvergenciji.#I9Timejezarvra?sendokXazteorema1. K514NN펟5Nl~ LiteraturaLͤL͍c[AB]#I9NenadAnrtonisc,NevenBalenovisc:8FVourierovXapretvorba,rukopis[AV]#I9NenadAnrtonisc,MarkoVVrdoljak:8L2p ]cprostori,rukopis[B]#I9Han<mBrezis:8Analysefonctionnelle,Masson,Praris,1983.e[C]#I9CarloCercignani:UTheBoltzmannequationanditsapplications,qSpringer-VVerlag,#I91988.*[CIP]#I9Carlo Cercignani,!ReinhardIllner,MarioPulvirenrti:iThemathematicaltheoryof#I9dilutegases,Springer-VVerlag,1994. [D]#I9Bernard?Dacorogna:F DirectmethoSdsinthecalculusofvXariations,2Springer-VVerlag,#I9Berlin,1989.}[DL1]#I9RonaldJ.DiPrerna,pPierreLouisLions:OntheCauchyproblemforBoltzmannequa-#I9tions:global:SexistenceandwreakstabilityV,]AnnalsofMathematicsk130c(1989)321-366}[DL2]#I9RonaldDiPrerna,aPierreLouisLions:tOrdinarydi erentialequations,atranspSorttheory#I9andSobSolevspaces,InrventionesMathematick98c(1989)511{547}[DL3]#I9Ronald^J.DiPrerna,PierreLouisLions: GlobalsolutionsofBoltzmann'sequation#I9andtheenrtropyinequalityV,8ArchiveforRationalMechanicsandAnalysisk114c(1991)#I947{55<[H]#I9AleksandrJa.8Hinrscin:Statisticalmecrhanics,Dover,1949.