Naslov
Prsten Gaussovih cijelih brojeva i primjene
(The ring of Gaussian integers and applications)

Autori
Novak, Iva

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, diplomski rad, diplomski

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet

Mjesto
Zagreb

Datum
21.07

Godina
2020

Stranica
43

Mentor
Žunar, Sonja ; Muić, Goran

Ključne riječi
prsten Gaussovih cijelih brojeva
(ring of Gaussian integers)

Sažetak
Prsten Gaussovih cijelih brojeva Z[i] generalizacija je prstena cijelih brojeva Z. Kao takvi, Gaussovi cijeli brojevi zadržali su većinu svojstava cijelih brojeva. U Z[i] imamo faktorizaciju x^2+y^2=(x+yi)(x−yi), i=sqrt(-1). Kroz svojstva invertibilnosti i dijeljenja iskazuje se i dokazuje modificirani teorem o dijeljenju s ostatkom u Z koji nam pomaže u dokazivanju teorema o dijeljenju s ostatkom u Z[i]. Kroz primjere vidi se upotreba Euklidovog algoritma pri određivanju najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju Gaussovih cijelih brojeva. Upotrebom Bezoutovog teorema pokazali smo da su α, β∈Z[i] relativno prosti ako je αx+βy=1 za neke x, y∈Z[i]. Govorili smo o prostim Gaussovim cijelim brojevima. Dokazali smo koristan teorem o prepoznavanju prostih brojeva u Z[i], koji nam govori da ako je norma Gaussovog cijelog broja prost broj u Z, da je tada taj Gaussov cijeli broj prost u Z[i]. Također, pokazali smo da je prikaz Gaussovih cijelih brojeva u obliku produkta prostih Gaussovih cijelih brojeva jedinstven do na permutacije i množenje faktora invertibilnim elementima. Za kraj, govorilo se o primjenama Gaussovih cijelih brojeva. Posebno, pomoću Gaussovih cijelih brojeva dokazali smo neke tvrdnje o prostim brojevima, opisali (primitivne) Pitagorine trojke i proučavali cjelobrojna rješenja jednadžbi a^2+b^2=c^3 i y^2+1=x^3.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA