Naslov
Smisao matematičkog dokaza
(The Meaning of Mathematical Proof)

Autori
Šerić, Mia

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, diplomski rad

Fakultet
Filozofski fakultet

Mjesto
Split

Datum
21.09

Godina
2022

Stranica
61

Mentor
Baranović, Nives

Ključne riječi
aksiom, definicija, teorem, dokaz, smisao matematičkog dokaza
(axiom, definition, theorem, proof, the meaning of mathematical proof)

Sažetak
U svrhu otkrivanja različitih uloga dokaza, u radu se najprije razmatraju karakteristike aksiomatske izgradnje matematičke teorije, značenje samog pojma dokaza te načini procesa zaključivanja i dokazivanja. Zatim se razmatra smisao dokaza u matematici kao znanstvenoj disciplini te smisao dokaza u matematici kao nastavnom predmetu. Na kraju se ukazuje na teškoće koje se javljaju u procesu dokazivanja. U aksiomatskoj izgradnji bilo koje matematičke discipline započinje se odabirom osnovnih pojmova te formuliranjem osnovnih tvrdnji (aksioma) o tim pojmovima. Na temelju grupe odabranih osnovnih pojmova i tvrdnji postupno se izvode novi pojmovi koje je potrebno definirati, kao i nove tvrdnje čiju je istinitost potrebno dokazati. Dokaz podrazumijeva kroz konačan niz korektnih logičkih zaključivanja, koji se temelje na aksiomima, definicijama ili ranije dokazanim tvrdnjama i kojima se uz uvažavanje zadane pretpostavke (P) utvrđuje istinitost postavljenog zaključka (Q). Sam proces dokazivanja može biti direktan ili indirektan. Matematičarima je dokaz dugo vremena isključivo služio za utvrđivanje istinitosti određenih tvrdnji, no razvojem matematike kao znanosti pokazalo se da je smisao matematičkog dokaza puno širi jer dokaz može služiti kao sredstvo provjere ili uvjerenja u istinitost tvrdnje, objašnjenja istinitosti tvrdnje, otkrivanja i postavljanja novih tvrdnji i generalizacija, komunikacije, sistematizacije matematičkog znanja itd. Smisao dokaza u nastavi matematike može se ostvarivati na sličan način kao i u matematici, ali način provođenja dokaza ovisi o uzrastu učenika i njihovom predznanju te cilju koji se želi postići. Tako se dokaz u primarnom obrazovanju može provoditi više na intuitivnoj razini, postavljanjem tvrdnji kroz induktivno zaključivanje te objašnjavanjem i argumentiranjem jezikom primjerenim toj dobi i znanju učenika. Usvajanjem novih znanja i razvojem matematičkog jezika tijekom matematičkog obrazovanja intuitivni pristup se postupno nadograđuje formalnim argumentiranjem i deduktivnim zaključivanjem kroz različite uloge dokaza sve do formalnog dokaza, što se detaljnije razmatra u poglavlju Smisao matematičkog dokaza u nastavi matematike. Neosporno je da kroz proces dokazivanja učenici imaju mogućnost razvijati sposobnost logičkog razmišljanja, prosuđivanja i zaključivanja što je ujedno i glavna zadaća matematike kao nastavnog predmeta, a sve u svrhu primjene tih znanja, vještina i umijeća u svakodnevnom životu i radu. Stoga bi dokaz trebao biti neizostavan i u nastavi matematike. [In order to reveal the different roles of proof, the paper first considers the characteristics of the axiomatic construction of a mathematical theory, the meaning of the concept of proof itself, and the methods of the process of inference and proof. Then, the meaning of proof in mathematics as a scientific discipline and the meaning of proof in mathematics as a subject are considered. At the end, the difficulties that arise in the process of proof are pointed out. The axiomatic construction of any mathematical discipline begins with the selection of basic concepts and the formulation of basic statements (axioms) about these concepts. Based on a group of selected basic terms and statements, new terms that need to be defined are gradually derived, as well as new statements whose truth needs to be proven. Proof implies through a finite series of correct logical conclusions, which are based on axioms, definitions or previously proven statements and which, while respecting the given assumption (P), establish the truth of the set conclusion (Q). The proof process itself can be direct or indirect. For mathematicians, for a long time, the proof exclusively served to determine the truth of certain statements, but with the development of mathematics as a science, it turned out that the meaning of a mathematical proof is much broader, because a proof can serve as a means of checking or believing in the truth of a statement, explaining the truth of a statement, discovering and setting new statements and generalization, communication, systematization of mathematical knowledge, etc. The meaning of proofs in mathematics lessons can be realized in a similar way as in mathematics, but the way of carrying out the proofs depends on the age of the students and their prior knowledge and the goal to be achieved. Thus, proof in primary education can be implemented more on an intuitive level, by making statements through inductive reasoning and by explaining and arguing in language appropriate to the age and knowledge of the students. With the acquisition of new knowledge and the development of mathematical language during mathematics education, the intuitive approach is gradually upgraded with formal argumentation and deductive reasoning through different roles of proof up to formal proof, which is discussed in more detail in the chapter: The meaning of mathematical proof in mathematics teaching. It is undeniable that through the process of proof, students have the opportunity to develop the ability to think logically, judge and conclude, which is also the main task of mathematics as a subject, and all for the purpose of applying these knowledge, skills and abilities in everyday life and work. Therefore, the proof should be indispensable in the teaching of mathematics.]

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika, Obrazovne znanosti (psihologija odgoja i obrazovanja, sociologija obrazovanja, politologija obrazovanja, ekonomika obrazovanja, antropologija obrazovanja, neuroznanost i rano učenje, pedagoške discipline)

POVEZANOST RADA