Naslov
Položaj realnih nultočaka polinoma
(Position of the real roots of polynomials)

Autori
Vinceljak, Lucija

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, diplomski rad, diplomski

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
24.09

Godina
2018

Stranica
50

Mentor
Rajić, Rajna

Ključne riječi
nultočke polinoma ; Euklidov algoritam ; Bolzanov teorem za polinome ; Sturmov niz funkcija ; Fourierov teorem ; Descartesovo pravilo predznaka
(roots of polynomials ; Euclidean algorithm ; Bolzano's theorem for polynomials ; Sturm's sequence of functions ; Fourier's theorem ; Descartes rule of signs)

Sažetak
Tema ovog rada je određivanje položaja realnih nultočaka polinoma, tj. određivanje granica u kojima se pojavljuju nultočke danih polinoma. U prvom poglavlju uvodimo pojam polinoma te dajemo neka svojstva djeljivosti polinoma. Definiramo najveću zajedničku mjeru dvaju polinoma i primjenom Euklidova algoritma dokazujemo kako je ona jednoznačno određena. Definiramo kratnost nultočaka te pokazujemo da polinom s realnim koeficijentima može imati realne nultočke i/ili parove konjugirano kompleksnih nultočaka. Promatramo kako vodeći i konstantan član utječu na vrijednost polinoma te kako se koriste pri određivanju granica nultočaka. Dajemo i dokaz Bolzanovog teorema za polinome koji je potreban za proučavanje raspodjele nultočaka polinoma. U drugom poglavlju proučavamo tri korisne metode razdvajanja realnih nultočaka polinoma. Opisujemo metodu, koju dugujemo Sturmu, za nalaženje Sturmovog niza funkcija potrebnog za određivanje broja različitih realnih nultočaka polinoma koje se nalaze u nekom intervalu. Primjenom Fourierovog teorema razdvajamo realne nultočke polinoma korištenjem samo njegovih derivacija. Primjenom Descartesovog pravila predznaka određujemo pozitivne i negativne nultočke. U posljednjoj točki drugog poglavlja dani su dokazi Sturmovog i Fourierovog teorema. U radu je dano nekoliko primjera kojima se ilustrira primjena navedenih teorema i metoda.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA