Naslov
Asimptotske vjerojatnosti propasti u modelu rizika
(Asymptotic ruin probabilities in the risk model)

Autori
Žigo, Mislav

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, magistarski rad

Fakultet
Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
21.01

Godina
2003

Stranica
130

Mentor
Vondraček, Zoran

Ključne riječi
propast ; asimptotski ; model ; rizik ; rep
(ruin ; asymptotic ; model ; risk ; tail)

Sažetak
Predmet ovog rada je klasični Cram\'er-Lundbergov model rizika kojim se modelira jedan portfelj neživotnog osiguranja neke osiguravajuće tvrtke. Rad se sastoji od tri poglavlja. U prvom poglavlju definiramo model i vjerojatnost propasti kao odgovarajuću mjeru za njegovu rizičnost. S "\psi (u)" označavamo vjerojatnost propasti u beskonačnom vremenu portfelja koji kreće od početnog kapitala "u, " dok s "\psi (u, T)" označavamo vjerojatnost propasti u konačnom vremenu "T". Pokazuje se da je pripadni slučajni proces "(S_{; ; t}; ; )" L\'evyjev, pa odgovarajućim tehnikama dobivamo Pollaczek-Hinčinovu formulu reprezentacije za "\psi (u)", kao i eksplicitni izraz za "\psi (0)". Ključni korak u tom smjeru jest izvod distribucije rekordnih uzleta za proces "(S_{; ; t}; ; )". Na kraju prvog poglavlja izvodimo distribucije još nekih vrijednosti vezanih uz događaj propasti za slučaj "u=0". U drugom poglavlju uočavamo da "\psi (u)" ovisi o ponašanju repa distribucije kojom se modeliraju isplate iz portfelja. U nastavku poglavlja se koncentriramo na distribucije malih zahtjeva (odnosno distribucije čiji rep teži u "0" eksponencijalno brzo), za koje postoji Cram\'er-Lundbergov koeficijent. Pokazuje se da u tom slučaju možemo dobiti eksponencijalnu gornju granicu za "\psi (u)", kao i eksponencijalnu asimptotsku jednakost. Drugim riječima, u slučaju distribucija malih zahtjeva vjerojatnost propasti je eksponencijalno malena. U nastavku poglavlja dajemo asimptotski opis načina na koji se događa propast za navedeni slučaj. Pokazuje se da je ona uzrokovana gomilanjem velikog broja zahtjeva koji pristižu jačim intenzitetom. Također, iz takvih razmatranja proizlazi i asimptotski izraz za "\psi (u, T)". On nam pokazuje da je za veliki "u" i ta vjerojatnost eksponencijalno malena. Za dokazivanje navedenih rezultata uvelike koristimo teoriju slabe konvergencije mjera. U trećem poglavlju razmatramo slučaj velikih zahtjeva, odnosno slučaj kada rep distribucije isplata konvergira u $0$ sporije od bilo koje eksponencijalne funkcije. Tipične predstavnike nalazimo u klasi subeksponencijalnih distribucija, odnosno klasi distribucija s repom regularne varijacije. Pokazuje se da se u tom slučaju "\psi (u)" asimptotski ponaša kao rep integriranog repa distribucije isplata, pa tako konvergira u "0" sporije od bilo koje eksponencijalne funkcije. Dodatnim asimptotskim rezultatima podupiremo tezu da se kod takvih portfelja propast događa kao posljedica jedne jedine velike isplate, što je u kontrastu sa slučajem malih zahtjeva.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA