Naslov
Torzija eliptičkih krivulja nad beskonačnim Abelovim proširenjima od Q
(Torsion groups of elliptic curves over infinite Abelian extensions of Q)

Autori
Krijan, Ivan

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno - matematički fakultet, Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
20.04

Godina
2020

Stranica
102

Mentor
Najman, Filip

Ključne riječi
eliptička krivulja, Iwasawina teorija, Z_p-proširenje, torzija, rast torzije, ciklotomsko proširenje
(elliptic curve, Iwasawa theory, Z_p-extension, torsion, torsion growth, cyclotomic extension)

Sažetak
Za eliptičku krivulju E/Q i za svaki prost broj p najprije određujemo sve moguće torzijske grupe E(Q_oo, p)_tors, gdje je Q_oo, p jedinstveno Z_p-proširenje od Q, tj. jedinstveno Galoisovo proširenje od Q takvo da je Gal(Q_oo, p/Q) izomorfno Z_p. Za eliptičku krivulju E/Q i prost broj p vrijedi: - Ako je p >= 5, onda je E(Q_oo, p)_tors = E(Q)_tors. - Ako je p = 3, onda je grupa E(Q_oo, 3)_tors izomorfna nekoj od grupa iz Mazurovog teorema ili nekoj od grupa Z/21Z i Z/27Z. - Ako je p = 2, onda je grupa E(Q_oo, 2)_tors izomorfna nekoj od grupa iz Mazurovog teorema. Treba biti oprezan, u slučajevima p = 2 i p = 3 ne vrijedi nužno da je E(Q_oo, p)_tors = E(Q)_tors. Na ovo pitanje također dajemo detaljan odgovor te nalazimo primjere za sve moguće slučajeva rasta torzije Q -> Q_oo, p, gdje je p = 2 ili 3. Promatramo također i torziju nad kompozitumom svih Z_p-proširenja od Q. Neka je K_pet kompozitum svih Z_p-proširenja za p >= 5 te neka je K kompozitum svih Z_p- proširenja. Dokazali smo da za eliptičku krivulju E/Q vrijedi da je E(K_pet) = E(Q) te da je E(K) izomorfno nekoj od grupa iz Mazurovog teorema ili nekoj od grupa Z/13Z, Z/21Z, Z/27Z. Na kraju navodimo neke rezultate o ponašanju torzije eliptičke krivulje E/Q nad poljima Q(zeta_p^oo) (polje nastalo proširivanjem polja Q sa svim p^n-tim korijenima iz 1). Preciznije, dokazan je sljedeći rezultat za eliptičke krivulje E/Q: E(Q(zeta_2^oo))_tors = E(Q(zeta_16))_tors, E(Q(zeta_3^oo))_tors = E(Q(zeta_27))_tors te E(Q(zeta_p^oo))_tors = E(Q(zeta_p))_tors, za svaki p >= 5.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA