Naslov
Konvergencija blok Jacobijevih metoda
(Convergence of Block Jacobi Methods)

Autori
Begović, Erna

Vrsta, podvrsta i kategorija rada
Ocjenski radovi, doktorska disertacija

Fakultet
Prirodoslovno matematički fakultet - Matematički odsjek

Mjesto
Zagreb

Datum
17.12

Godina
2014

Stranica
242

Mentor
Hari, Vjeran

Ključne riječi
globalna konvergencija ; Jacobijeve metode ; pivotne strategije ; singularne vrijednosti ; svojstvene vrijednosti
(eigenvalues ; global convergence ; Jacobi methods ; pivot strategies ; singular values)

Sažetak
Jacobijeve metode su iterativne metode za računanje spektralne i singularne dekompozicije matrice. Temelje se na transformacijama matrice pomoću dvostranih ravninskih (tzv. Jacobijevih) rotacija koje su birane tako da se izvandijagonalni dio matrice reducira u nekoj mjeri, s ciljem da iterirana matrica postaje sve više dijagonalna. Da bi niz dobivenih matrica konvergirao prema dijagonalnoj matrici, niz izvandijagonalnih normi tih matrica mora konvergirati prema nuli. Teorija perturbacija za dani problem tada daje informaciju koliko dobro dijagonalni elementi iterirane matrice aproksimiraju svojstvene vrijednosti polazne matrice. Isto vrijedi za svojstvene vektore koji su aproksimirani stupcima matrica akumuliranih rotacija. Problem singularne dekompozicije može se interpretirati kao svojstveni problem jer su ova dva problema usko povezana. Blok Jacobijeve metode koriste blok strukturu iterirane matrice što rezultira povećanjem efikasnosti algoritma. U ovom radu proučava se globalna konvergencija blok Jacobijevih metoda, posebno za simetrične i hermitske matrice, te globalna konvergencija opće blok metode Jacobijevog tipa. Blok metode se u specijalnom slučaju svode na obične Jacobijeve metode, po elementima. Disertacija se bavi globalnom konvergencijom blok Jacobijevih metoda za široku klasu cikličkih i kvazi-cikličkih pivotnih strategija. Naglasak je na cikličkim strategijama koje su izvedene iz serijalnih strategija na način da se pivotni indeksi uzimaju redom po stupcima ili retcima, s tim da se unutar svakog stupca, odnosno retka, pivotni indeksi biraju u proizvoljnom poretku. Tako se dobivaju četiri nove klase pivotnih strategija koje se koriste u Jacobijevoj metodi po elementima i po blokovima. Za te strategije dokazuje se konvergencija iterirane matrice prema dijagonalnoj formi. Ove se klase strategija dodatno proširuju korištenjem nekoliko relacija ekvivalencije, a potom se iz njih izvode i posebne kvazi-cikličke strategije. Posebno, dokazano je da su sve cikličke Jacobijeve metode na simetričnim (hermitskim) matricama reda tri i četiri konvergentne. Opisan je novi alat za proučavanje blok metoda Jacobijevog tipa - teorija blok Jacobijevih anihilatora i operatora. Pomoću njih se dokazuju novi rezultati o globalnoj konvergenciji, a pokazuje se i kako se mogu koristiti za proučavanje metoda sličnih Jacobijevoj, ali za druge tipove matrica i druge matrične probleme.

Izvorni jezik
Hrvatski

Znanstvena područja
Matematika

POVEZANOST RADA