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A realization of certain modules for the N=4 superconformal algebra and the affine Lie algebra A_2 ^{;;; ; ; (1)};;; ; ;

We shall first present an explicit realization of the simple $N=4$ superconformal vertex algebra $L_{; ; ; ; ; c}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; N=4}; ; ; ; ; $ with central charge $c=-9$. This vertex superalgebra is realized inside of the $ b c \beta \gamma $ system and contains a subalgebra isomorphic to the simple affine vertex algebra $L_{; ; ; ; ; A_1}; ; ; ; ; (- \tfrac{; ; ; ; ; 3}; ; ; ; ; {; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; \Lambda_0)$. Then we construct a functor from the category of $L_{; ; ; ; ; c}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; N=4}; ; ; ; ; $-- modules with $c=-9$ to the category of modules for the admissible affine vertex algebra $L_{; ; ; ; ; A_{; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; }; ; ; ; ; (-\tfrac{; ; ; ; ; 3}; ; ; ; ; {; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; \Lambda_0)$. By using this construction we construct a family of weight and logarithmic modules for $L_{; ; ; ; ; c}; ; ; ; ; ^{; ; ; ; ; N=4}; ; ; ; ; $ and $L_{; ; ; ; ; A_{; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; }; ; ; ; ; (- \tfrac{; ; ; ; ; 3}; ; ; ; ; {; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; \Lambda_0)$. We also show that a coset subalgebra of $L_{; ; ; ; ; A_{; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; }; ; ; ; ; (- \tfrac{; ; ; ; ; 3}; ; ; ; ; {; ; ; ; ; 2}; ; ; ; ; \Lambda_0)$ is an logarithmic extension of the $W(2, 3)$-- algebra with $c=-10$. We discuss some generalizations of our construction based on the extension of affine vertex algebra $L_{; ; ; ; ; A_1}; ; ; ; ; (k \Lambda_0)$ such that $k+2 = 1/p$ and $p$ is a positive integer.

vertex superalgebras ; affine Lie algebras ; admissible representations ; N = 4 superconformal algebra ; logarithmic CFT

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