hrvatski

Skupovi u kojima je xy+4 potpuni kvadrat i problem proširenja nekih parametarskih Diofantovih trojki

Neka je n<>0 cijeli broj. Diofantova m-torka sa svojstvom D(n), ili kraće D(n)-m-torka, je m-člani skup prirodnih brojeva sa svojstvom da je produkt bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za n jednak kvadratu nekog cijelog broja. U prvom dijelu rada promatrali smo problem proširenja D(4)-trojke {;k-2, k+2, 4k^3-4k}; za k >= 3. Rješavanje tog problema vodi na sustav simultanih pellovskih jednadžbi, a to se nadalje transformira u problem traženja presjeka konačno mnogo binarno rekurzivnih nizova. Gornju ogradu za k dobili smo primjenom Bakerove teorije linearnih formi u dva logaritmima koju smo na kraju smanjili pomoću Baker-Davenportove redukcije. Time smo dokazali da ako je skup {;k-2, k+2, 4k^3-4k, d}; D(4)-četvorka, onda je d=4k ili d=4k^5-12k^3+8k. Stoga je u drugom poglavlju disertacije prirodno bilo promatrati proširenje D(4)-para {; ; k-2, k+2}; ; . Uspjeli smo dokazati da se D(4)-trojka oblika {;k-2, k+2, c};, gdje je k >= 3 prirodni broj, može proširiti do četvorke s većim elementom na jedinstven način. To odmah povlači da se D(4)-par {;k-2, k+2}; ne može proširiti do petorke. Uz već poznate rezultate od Filipina koristili smo poboljšanje Rickertovog teorema u našem specijalnom slučaju. Ideja trećeg poglavlja bila je generalizirati rezultat na općeniti D(4)-par {;a, b};. Nažalost, to nije bilo u potpunosti moguće, jer metodu kongruencija nismo mogli primjeniti na općenitu {;a, b, c}; trojku. Uz pretpostavku da je {;a, b, c}; D(4)-trojka s a < b, {;a, b, c, d}; D(4)-četvorka s d > d_{;+}; i da {;a, b, c_0, c}; nije D(4)-četvorka ni za jedan c_0 takav da je 0 < c_0 < d_{;-};, dokazali smo sljedeće tvrdnje: (1) Ako je b < 1.5a, onda je c < b^6. (2) Ako je 1.5a <= b < 5a, onda je c < b^5. (3) Ako je b >= 5a, onda je c < 6b^5. Pritom smo na početku proveli Baker-Davenportovu redukciju, te potom poboljšali Rickertov teorem. U četvrtom, ujedno i posljednjem poglavlju znatno smo poboljšali ocjenu o broju D(4)-petorki. U tu svrhu definirali smo trojke prve, druge, treće i četvrte vrste. Korištenjem rezultata iz trećeg poglavlja i efikasnijih metoda prebrojavanja dokazali smo da je broj D(4)-petorki manji od 7*10^36.

Diofantove m-torke; sustavi pellovskih jednadžbi; linearne forme u logaritmima

nije evidentirano