hrvatski

Vjerojatnost propasti za generalizirane procese rizika

U ovoj disertaciji pokazana je Pollaczek- Khinchinova formula za razne slučajeve generaliziranog procesa rizika, s posebnim osvrtom na to kako dobiveni rezultati utječu na distribuciju supremuma dualnog procesa rizika. Prvo promatramo generalizirani proces rizika $X$ modeliran spektralno negativnim Levyjevim procesom, $X(t)=ct+Z(t)-C(t)$, $t\geq 0$, gdje je $c>0$ drift, $Z$ spektralno negativan Levyjev proces s očekivanjem nula i $C$ s njim nezavisan subordinator bez drifta i s konačnim očekivanjem. Uz pretpostavku uvjeta čistog profita, dokazujemo Pollaczek-Khinchinovu formulu za vjerojatnost propasti u slučaju kada proces gledamo na $[0, \tau]$, gdje je $\tau$ neko nezavisno eksponencijalno vrijeme. Također su prikazani rezultati koji se mogu dobiti za distribuciju supremuma dualnog procesa u slučaju kada problemu pristupamo preko Laplaceovih transformacija. Nadalje je taj model poopćen, u smislu ispuštanja pretpostavki o konačnosti očekivanja i uvjeta čistog profita, te je ponovno pokazana Pollaczek-Khinchinova formula za vjerojatnost propasti u takvom općenitijem slučaju. Dodatno su rezultati za taj općenitiji slučaj objašnjeni iz perspektive ljestvičastog procesa. U diskretnom slučaju generalizirani proces rizika promatramo kao neprekidnu zdesna (skip-free) slučajnu šetnju na $Z_+$. U tom je okruženju također dokazana formula Pollaczek-Khinchinovog tipa za vjerojatnost propasti slijedeći dva pristupa - metodu dekompozicije supremuma kao u neprekidnom slučaju i kombinatornu metodu (koristeći Takacseve rezultate). U posljednjem dijelu vraćamo se na generalizirani proces rizika $X(t)=ct+Z(t)-C(t)=:Y(t)-C(t)$, $t\geq 0$, za koji pretpostavljamo da vrijedi uvjet čistog profita te dajemo alternativni dokaz i objašnjenje zanimljive distribucijske jednakosti $\sup_{; ; ; 0\le t <\infty}; ; ; \widehat{; ; ; Y}; ; ; (t)=^d \sup_{; ; ; 0\le t<\sigma}; ; ; \widehat{; ; ; X}; ; ; (t)$, gdje je $\sigma$ prvo vrijeme kada se postigne novi supremum procesa $\widehat{; ; ; X}; ; ; $ zbog skoka subordinatora C. U slučaju kada je $Y$ složeni Poissonov proces, pokazujemo da je ova jednakost posljedica Takacsevog kombinatornog rezultata te jednog rezultata poznatog za spektralno negativne procese. Općeniti pak slučaj slijedi aproksimacijom spektralno negativnog procesa $Y$ nizom složenih Poissonovih procesa u Skorohodovom prostoru $D=D[0, \infty)$ te prelaskom na pripadajući limes.

vjerojatnost propasti ; Levyjevi procesi ; spektralno negativni procesi ; neprekidne zdesna slučajne šetnje ; distribucija supremuma ; Skorohodov prostor

nije evidentirano