engleski

Phase dimension of oscillatory solutions of a class of ordinary differential equations with applications

Glavna svrha ove disertacije je u boljem razumijevanju oscilatornosti funkcija. Za postizanje tog cilja koristimo fraktalnu dimenziju, koju primjenjujemo na nekim od uobiˇcajenih objekata od interesa u tom podruˇcju. Objekti koje istraˇzujemo su chirp-like funkcije, Besselove funkcije, Fresnelovi oscilatorni integrali i neke generalizacije. Prvo, s pozicije fraktalne geometrije prouˇcavamo oscilatornost jedne klase realnih C1 funkcija x = x(t) u blizini t = ∞. Fraktalna oscilatornost rjeˇsenja diferencijalnih jednad ˇzbi drugog reda u blizini beskonaˇcnosti mjeri se oscilatornim i faznim dimenzijama, koje su definirane kao box dimenzija grafa X(τ ) = x( 1/τ ) u blizini τ = 0, odnosno trajektorije (x, x˙ ) u R2, pod pretpostavkom da je (x, x˙ ) spirala koja konvergira prema ishodiˇstu. Box dimenzija ravninske krivulje mjeri akumulaciju krivulje u blizini toˇcke, ˇsto je od osobitog interesa za nerektifikabilne krivulje. Koriste´ci formule za box dimenziju klase nerektifikabilnih spirala izračunata je fazna dimenzija klase oscilatornih funkcija koju uvodimo u ovoj disertaciji. Također, proucavali smo i slucaj rektibikabilnih spirala. Određena klasa spirala koju nazivamo valovitim spiralama, a koja konvergira prema ishodištu, ali s rastu´com funkcijom radijusa na nekim dijelovima, otkrivena je prilikom naseg istrazivanja faznih portreta. Nadalje, istrazujemo faznu dimenziju jedne klase neautonomnih diferencijalnih jednad zbi drugog reda s oscilatornim rjesenjima, a koja ukljuˇcuju i Besselovu jednadzbu. Dokazali smo da je fazna dimenzija Besselovih funkcija jednaka 4/3 , i da im je pripadaju´ca trajektorija valovita spirala, koja pokazuje zanimljivo ponasanje. Takoder, izracunata je i fazna dimenzija odredene generalizacije Besselove jednadzbe. Ponovo, s pozicije fraktalne geometrije istrazujemo i jednu drugu klasu neautonomnih diferencijalnih jednadzbi drugog reda i odgovarajuce sustave u ravnini i prostoru. Koristeci faznu dimenziju rjesenja jednadzbe drugog reda, odredujemo box dimenziju spiralne trajektorije odgovaraju´ceg sustava u prostoru, koja lezi na Lipschitzovim ili H¨olderovim plohama. Fazna dimenzija jednadzbe drugog reda povezana je i sa asimptotikom pridruzenog Poincareovog preslikavanja. Na kraju, odredili smo novi asimptotski razvoj generaliziranih Fresnelovih integrala.

phase dimension ; fractal dimension ; Bessel ; Fresnel

nije evidentirano