hrvatski

Brownovo gibanje i Dirichletov rubni problem

Ovaj rad sastoji se od četiri poglavlja. U nultom poglavlju Preliminarije ponovljene su neke definicije i rezultati, a i uvedeni su neki novi pojmovi (poput slučajnih elemenata).</br></br> U prvom poglavlju Osnovna svojstva Brownovog gibanja definiramo ovaj proces, dokazujemo egzistenciju vjerojatnosnog prostora, pokazujemo da Brownovo gibanje pripada skupini Gaussovih procesa i neka vremenska svojstva, kao i važnu vezu između slučajne šetnje i Brownovog gibanja. U ovom poglavlju, nadalje dokazujemo da ne postoji vremenski interval u kojem je Brownovo gibanje monotono, te da funkcija $t\mapsto W(t)$ nije derivabilna ni u jednoj točki (gotovo sigurno).</br></br> U drugom poglavlju Markovljevo svojstvo i harmoničnost uvodimo nove pojmove poput filtracije, višedimenzionalnog Brownovog gibanja i vremena zaustavljanja. Promatramo (jako) Markovljevo svojstvo Brownovog gibanja i neke posljedice tih svojstava. Pokazujemo da je Brownovo gibanje martingal i da pripada skupini Markovljevih procesa. Preko nekih općenitih teorema, koji govore o svojstvima martingala, pokazujemo svojstva vremena izlaska.</br></br> U trećem poglavlju Dirichletov problem ponavljamo neka poznata svojstva harmonijskih funkcija, uvodimo pojam Dirichletovog rubnog problema i pokazujemo jedinstvenost njegovog rješenja (ukoliko postoji). Na kraju pokazujemo da ako skup $U$ na kojem je zadan Dirichletov rubni problem omeđen i zadovoljava Poincar\'eov uvjet konusa da onda postoji rješenje Dirichletovog rubnog problema.

Brownovo gibanje; Dirichletov rubni problem; slučajni procesi; parcijalne diferencijalne jednadžbe; Markovljevo svojstvo; martingali

nije evidentirano