hrvatski

Slučajne i stohastičke evolucijske jednadžbe - rješavanje po stazama

U radnji se proučava slučajna (stohastička) evolucijska jednadžba partial u / partial t = \sum_{i=1}^d g_i(omega,t)A_i(t)u, (*) pri čemu je g=(g_i)_{i=1}^d slučajni (poopćeni slučajni) proces, te A_i familije lineranih operatora na Banachovom prostoru. Jednadžba (*) riješena je konstrukcijom slučajne evolucijske familije operatora U(omega,t,s), a potom je uz pretpostavku da je g Gaussov, proučeno matematičko očekivanje rješenja. Fizikalna motivacija dolazi iz modeliranja turbulentne difuzije pomo†u transporta u slučajnom polju brzine, u kojem slučaju Eu predstavlja srednju koncentraciju tvari. S matematičke strane račun srednjaka predstavlja poopćenje pojma karakteristične funkcije na procese sa vrijednostima u prostoru operatora. Poopćenje je neposredno ako su A_i(t) familije komutativnih i ograničenih operatora, što je pokazano u prvom poglavlju za proces g sa neprekidnom kovarijacijskom funkcijom. Analogni slučaj za neograničene (diferencijalne), ali komutativne operatore riješen je u drugom poglavlju korištenjem polugrupa u prostorima Soboljeva H_k, te regularnih akretivnih operatora. Prvi osnovni rezultat radnje je eksplicitni račun familije V(t,s):=EU(omega,t,s), koja više nije evolucijska (zbog "pamćenja" procesa g), no zadovoljava diferencijalnu jednadžbu sličnu klasičnoj difuzijskoj jednadžbi. Preostala dva poglavlja bave se nekomutativnim slučajem pri čemu je g(omega,t) Wienerov bijeli šum, tj. derivacija u smislu distribucija Brownovog gibanja. Rješavanje po stazama vodi na množenje distribucija. Stoga se jednadžba (*) interpretira u algebri Colombeauovih slučajnih generaliziranih funkcija. U trećem poglavlju je riješen ograničeni slučaj konstrukcijom poopćene slučajne evolucijske familije, a potom je eksplicitno izračunata očekivanju pridružena distribucija, što je drugi osnovni rezltat. Četvrto poglavlje, rješava slučaj diferencijalnih generatora oslanjajući se na C^beskonačno-teoriju linearnih hiperboličkih sustava. Pokazano je da je očekivanju pridružena distribucija V(t,s), upravo evolucijska familija vezana za klasičnu difuzijsku jednadžbu. Račun za opći, nekomutativni slučaj zapada u probleme koji su diskutirani na kraju poglavlja.

transport u slučajnom polju;Gaussov proces; očekivanje rješenja;poopćene slučajne funkcije; bijeli šum

nije evidentirano