hrvatski

Simetrični dizajni s primitivnim grupama automorfizama

U ovoj disertaciji su, do na izomorfizam, konstruirani i klasificirani svi (v, k, &#955; )- simetrični dizajni za v&#8804; 255 s grupama automorfizama koje djeluju primitivno na skupove točaka tih dizajna. U prva dva poglavlja navedene su osnovne definicije i najznačajniji rezultati vezani za permutacijske grupe, posebice za primitivne grupe koje čine jednu klasu tranzitivnih permutacijskih grupa, te osnove teorije simetričnih dizajna. U trećem poglavlju razmatrane su sve trojke (v, k, &#955; )&#8712; N&sup3 ; , v&#8804; 255, koje udovoljavaju nužne uvjete za parametre simetričnog dizajna i sve primitivne grupe stupnja v&#8804; 255. Analiziran je tako 2061 par ((v, k, &#955; ), br), gdje (v, k, &#955; ) predstavlja dopustivu trojku parametara simetričnog dizajna kojem je G(v, br) primitivna grupa automorfizama. Zbog tako velikog broja slučajeva napravljen je čitav niz algoritama za klasifikaciju i eliminaciju što više tih parova. Korišten je Kantorov rezultat koji daje potpunu klasifikaciju simetričnih dizajna s grupama automorfizama koje djeluju 2-tranzitivno na skupove točaka tih dizajna. Kako su sve 2-tranzitivne grupe ujedno i primitivne, Kantorovim teoremom opisani su simetrični dizajni s grupama automorfizama koje djeluju primitivno i 2-tranzitivno na skupove točaka tih dizajna. Parovi ((v, k, &#955; ), br) kojima je pripadna primitivna grupa G(v, br) tranzitivnosti veće od 1 izdvojeni su i analizirani u skladu s Kantorovim rezultatima ; ima ih 549. Na preostalih 1512 parova ((v, k, &#955; ), br) kojima je primitivna grupa G(v, br) točno 1-tranzitivna primijenjeni su različiti eliminacijski kriteriji i na njima zasnovani algoritmi: 1.Aschbacherov uvjet na automorfizme prostog reda ; 2.ograničenja na broj fiksnih točaka netrivijalnih automorfizama ; 3.uvjet na broj orbita grupe automorfizama na skupovima točaka, odnosno blokova pripadnog simetričnog dizajna i uvjet na duljine tih orbita ; 4.postojanje (v, k, &#955; )-diferencijskog skupa u nekoj grupi ekvivalentno je postojanju (v, k, &#955; )-simetričnog dizajna na kojem ta grupa djeluje regularno, pa ako primitivna grupa G(v, br) ima regularnu podgrupu, a s druge strane znamo da ne postoji (v, k, &#955; )-diferencijski skup u grupi tipa te regularne podgrupe, onda ne postoji (v, k, &#955; )-simetrični dizajn s primitivnom grupom automorfizama G(v, br). Na ovaj način eliminirano je 1097 slučajeva. Preostali slučajevi, njih 415, riješeni su u četvrtom poglavlju neposrednom konstrukcijom dizajna s odgovarajućim grupama automorfizama. Pri samoj konstrukciji bilo je nužno pristup prilagoditi pojedinačnim slučajevima. Jedan pristup je zasnovan na pronalaženju prikladne cikličke podgrupe stabilizatora točke u promatranoj primitivnoj grupi. No, to nije korisno ako je stabilizator malog reda ili čak trivijalan (primitivna grupe je tada regularna i prostog stupnja). U tim slučajevima se algoritam za konstrukciju temelji na rezultatima teorije diferencijskih skupova, preciznije, na teoriji multiplikatora. Konstruirani primitivni simetrični dizajni klasificirani su do na izomorfizam i određene su njihove pune grupe automorfizama. Rezutati su dani u obliku tablica iz kojih se za svaku dopustivu trojku parametara (v, k, &#955; ) može iščitati koliko ima primitivnih grupa stupnja v i, ako (v, k, &#955; )-simetrični dizajn postoji, koje od tih grupa su grupe automorfizama tog dizajna te koja je njegova puna grupa automorfizama. Pokazuje se da postoji točno 71 primitivni (v, k, &#955; )-simetrični dizajn za 2k<v&#8804; 255, od toga 22 dizajna imaju 2-tranzitivnu punu grupu automorfizama. Popis konstruiranih primitivnih simetričnih dizajna i njihovih komplemenata dan je u šestom poglavlju.

simetrični dizajn; grupa automorfizama; primitivno djelovanje

nije evidentirano