hrvatski

Generalizirani Lebesgueovi prostori L^(p(x))

Teorija Lebesgueovih prostora L^p, klasično je i dobro istraženo područje matematičke analize, s velikim brojem rezultata, primjena i generalizacija. Poznato je da L^p prostori predstavljaju specijalan slučaj Orliczevih prostora, koji se pak uklapaju u širu klasu modularnih prostora. Zahvaljujući primijenjenim istraživanjima vezanim uz objekte s nestandardnim lokalnim rastom, koji dolazi iz teorije elastičnosti te mehanike fluida (tzv. reološki i elektroreološki fluidi), u novije se vrijeme sve više istražuju i generalizirani Lebesgueovi prostori, odnosno Lebesgueovi prostori s varijabilnim eksponentom, L^(p(x))kao posebna klasa Orlicz-Musielakovih prostora, te pripadni generalizirani Soboljevljevi prostori. U ovom radu definirali smo i opisali navedene prostore, uz odgovarajuće uvjete na funkciju p. Dokazali smo da je L^(p(x)) Banachov prostor s obzirom na Luxemburgovu normu te da vrijedi Holderova nejednakost. Osim navedenog, u radu smo analizirali i druga svojstva generaliziranih Lebesgueovih prostora, poput refleksivnosti, uniformne konveksnosti i separabilnosti. Vidjeli smo da su neprekidne funkcije guste u L^(p(x)) te da se ulaganje izmedu Lebesgueovih prostora može prirodno generalizirati. Pokazali smo da Lebesgueovi prostori L^p i generalizirani Lebesgueovi prostori L^(p(x)) imaju mnoga zajednička svojstva, osim jednog vrlo važnog, a taj je p-neprekidnost. Takoder smo definirali, te opisali i generalizirane Soboljevljeve prostore W^(k, p(x)). Pokazali smo da su i ovi prostori potpuni, refleksivni i separabilni, uz odredene uvjete na funkciju p. Dokazali smo nekoliko teorema o neprekidnim i kompaktnim ulaganjima te se bavili pitanjem gustoće glatkih funkcija. Na kraju nas je prirodan slijed proučavanja doveo do operatora na opisanim prostorima. Zbog ograničenosti prostorom, iz široke teorije operatora na prostorima L^(p(x)) i W^(k, p(x)) izdvojili smo problem ograničenosti Hardy-Littlewoodovog maksimalnog operatora koji je dugo vremena bio otvoreni problem. Dokazali smo još slabu nejednakost maksimalnog operatora, proučili Hardyjev operator, te pokazali Hardyjevu nejednakost.

Lebesgueovi prostori L^p; Orlicz-Musielakovi prostori; maksimalna funkcija

nije evidentirano