hrvatski

Izazovi i mogućnosti geometrije u nastavi matematike

Geometrija kao fundamentalna matematička grana igra važnu ulogu u nastavi matematike na svim razinama. Geometrijskim temama možemo ostvariti jedan od najvažnijih ciljeva nastave matematike-naučiti kako misao dovesti od pretpostavke do zaključka strogo poštujući prihvaćeno značenje pojmova, zadana pravila i ograničenja, odnosno kako argumentirati i dokazati naslućenu, intuitivno jasnu tvrdnju koristeći strogi logičko-deduktivni sustav pomoću kojega od premisa dolazimo do konkluzije. Ovaj aspekt matematike je možda i nešto najkorisnije što učenicima matematika kao predmet može ponuditi. Nadalje, izvođenje nastave geometrije u jednom ciklusu od nižih razreda osnovne škole do viših srednje škola odražava, u bitno skraćenom razdoblju, nastanak bilo koje matematičke discipline, pa tako i povijesni razvoj geometrije. Zaista, svaka matematička teorija, pa tako i geometrija, je u svojim začecima eksperimentalna i induktivna. Nakon, dovoljno dugog razmatranja (koje je u primjeru geometrije potrajalo nekoliko stotina godina) i dobivanja više partikularnih rezultata svaka disciplina dosegne određenu zrelost i potrebu da sistematizira i formalizira prikupljeno znanje aksiomatiziranjem te teorije. Na takav način, ta teorija više nije prepuštena nadahnuću i intuiciji matematičkih genija, već ulazi u logičku sigurnost aksiomatsko-deduktivnog sustava. Na isti način, učenici u nižim razredima osnovne škole, poput Starih Grka prije Euklida, razvijaju spoznaje o geometrijskim objektima na naivnoj razini, dok svoje zaključke i mala otkrića izvode posve intuitivno. Kasnije, na iste objekte gledaju matematički zrelije, a tvrdnje argumentiraju više formalno, uz korištenje poučaka i različitih svojstava. Ipak, benefiti koje nastava geometrije može donije nisu u potpunosti iskorišteni ni u jednom nacionalnom predmetnom kuurikulumu, pa tako ni u našem. Teško je dati odgovor na pitanje zašto je tomu tako a još teže predložiti neke univerzalne mjere. Ono što je sigurno je da diskontinuitet i raspršenost geometrijskih tema tijekom školovanja ne pridonosi optimalnoj iskoristivosti geometrije. Osim toga, u našem predmetnom kurikuluma, što se geometrije tiče, se može uočiti još nekoliko nedostataka. Jedan od njih je favoriziranje računskih zadataka i nedostatak sintetičkog pristupa geometriji kojim se razvija vještina logičkog izvođenja. Drugi je nedovoljna obrađenost čunjosječnica koje se isključivo proučavaju u kontekstu analitičke geometrije. Posljedica takvog pristupa je nepoznavanje najvažnijih i najljepših svojstava konika, mimo algebarskih, zbog kojih njihovu primjenu nalazimo svugdje u prirodi što otvara dobru prigodu za koreliranje s drugim predmetima. Treći nedostatak koji bih istaknuo je nedovoljna upotreba alata konstruktivne geometrije. Ishodi učenja koje možemo ostvariti konstruktivnim zadatcima nisu samo korištenje geometrijskog pribora, razvijanje crtaćih vještina i urednosti, već primjena geometrijskog znanja i poučaka u analizi konkretnih probleme. Često takav pristup može olakšati rješavanje i nekonstruktivnih, računskih, zadataka u geometriji. Na predavanju ću izložiti jedno zanimljivo poopćenje elementarnog konstruktivnog problema koje će dovesti do posve neočekivanih rezultata. Apolonijev problem konstrukcije kružnice koja dira zadane tri kružnice poopćavamo varirajući broj zadanih kružnica i proširujući skup zadanih objekata s točkom i pravcem. Promatrajući geometrijsko mjesto točaka središta traženih kružnica dolazimo do elipse, hiperbole i parabole, na posve prirodan način. Rješavajući polazni problem dolazimo do zanimljivih tvrdnji i karakterizacija konika koje će u konačnici biti zanimljivije od samog rješenja polaznog problema. Ovaj problem najbolje ilustrira kako pažljivim odabirom konstruktivnog zadatka možemo produbiti geometrijsko znanje i osigurati mnoge ishode učenja u nastavi geometrije.

geometrija, čunjosječnice, konstruktivna geometrija

nije evidentirano