hrvatski

Numeričko računanje parcijalnog problema vlastitih vrijednosti za simetrične matrice

Računanje dijela spektra velike simetrične matrice <b>A</b> je važan numerički zadatak u mnogim područjima znanosti i tehnologije. Uobičajeno je metodu organizirati iterativno. U svakom koraku metode računamo Ritzove vrijednosti iz trenutnog test-potprostora. Ritzove vrijednosti pridružene trenutnom test-potprostoru smatramo aproksimacijama dijela spektra matrice <b>A</b>. Ukoliko nije zadovoljen uvjet konvergencije korigiramo test-potprostor dodavanjem novih smjerova. Korigirani test-potprostor bi trebao sadržavati vektore koji predstavljaju bolje aproksimacije traženih vlastitih vektora. Pravilna interpretacija rezultata postojećih algoritama kao i konstrukcija novih algoritama nije moguća bez dobrog razumijevanja šireg konteksta u kome se algoritmi pojavljuju. U svakom koraku metode potrebno na zadovoljavajući način riješiti nekoliko pomoćnih problema <ul> <li> Testirati kvalitetu aproksimacije traženih vlastitih vrijednosti iz danog potprostora.</li> <li> Korigirati trenutni test-potprostor dodavanjem onih smjerova koji su blizu traženim vlastitim vektorima, ukoliko smo u prvom koraku ustanovili da izračunata aproksimacija nije dovoljno točna.</li> <li>Izračunati, dovoljno točno za potrebe metode, matricu Rayleighevog kvocijenta, te tražene Ritzove parove.</li> </ul> U ovom magistarskom radu postavljene su osnove za temeljito proučavanje iterativnih metoda za simetrični problem vlastitih vrijednosti. Pomoćni problemi koje smo nabrojali spadaju u domenu teorije perturbacija. Važno je primijetiti da matrice čije vlastite vrijednosti računamo nisu proizvoljne matrice dimenzije <b>n</b> x <b>n</b>. Njihov izvor su diskretizacijske sheme za parcijalne diferencijalne operatore, matrične interpretacije problema teorije grafova, kovarijacijske matrice slučajnih vektora i tako dalje. Budući da numeričkim rješavanjem parcijalnog problema vlastitih vrijednosti želimo nešto reći o originalnom problemu čini se opravdanim proučavati metodu u širem kontekstu njezine upotrebe. Originalni problem daje matricama, čiji parcijalni problem rješavamo, bogatu strukturu te određuje i točnost s kojom moramo riješiti parcijalni problem. Pokušali smo generalizirati neke od poznatih rezultata teorije relativnih perturbacija za matrice na razinu kompaktnih simetričnih operatora na Hilbertovom prostoru. Preliminarni rezultati su više nego zadovoljavajući. Moderne iterativne metode za rješavanje parcijalnog problema vlastitih vrijednosti ponavljaju dva koraka do konvergencije. Prvo računamo Ritzove vrijednosti pridružene trenutnom test prostoru. Ukoliko uvjet konvergencije nije zadovoljen rješavanjem korekcijske jednadžbe dodajemo test-potprostoru nove smjerove koji bi trebali biti bolja aproksimacija traženih vlastitih vektora. Sistem korekcijskih jednadžbi je uglavnom velik i određen rijetko popunjenom matricom. Korekcijsku jednadžbu zbog toga moramo rješavati korištenjem neke iterativne sheme za rješavanje linearnog sistema jednadžbi. Pokazuje se da nakon konstrukcije dovoljno dobrog test-potprostora nije potrebno u svakom koraku iterativne metode za rješavanje parcijalnog problema vlastitih vrijednosti, napraviti puno koraka metode za rješavanje linearnog korekcijskog sustava da bismo dobili brzu konvergenciju prema željenoj vlastitoj vrijednosti, odnosno vektoru. Taj važan rezultat se pojavio u radu \cite[Smith and Paardekooper]{SP}. Netrivijalan problem je "dovesti" test-potprostor do područja u kojem vrijedi asimptotski režim konvergencije opisan u \cite[Smith and Paardekooper]{SP}. Neobjavljeni rezultat iz \cite[Drmač]{DRM3} daje novu interpretaciju lokalnog ponašanja Jacobi--Davidsonove metode.

vlastite vrijednosti; parcijalni problem vlastitih vrijednosti; iterativne metode

nije evidentirano