hrvatski

Suvremeni pristup kartografskim projekcijama

U ovome je radu razvijena teorija kartografskih projekcija na temeljima analitičke geometrije, linearne algebre i diferencijalne geometrije. Predloženi pristup je dovoljno općenit tako da obuhvaća sve zakonitosti klasične teorije. Da bi odgovorio vremenu usmjeren je na neposrednu primjenu računala. Uvod istraživanjima je kratki pregled dosadašnjih radova o teoriji kartografskih projekcija. U drugom poglavlju podsjeća se na pojmove vektorskih prostora R2 i R3 snabdjevenih skalarnim i vektorskim produktom, te normom vektora na uobičajeni način. Nadalje, postavljanjem određenih uvjeta na preslikavanja iz R2 u R3 dolazi se do pojma parametrizacije, odnosno jednostavne plohe. Glavni predstavnici jednostavnih ploha u kartografiji su sfera i rotacioni elipsoid. Pokazuje se da se ove plohe mogu parametrizirati na različite načine. Geografska parametrizacija samo je jedan od mogućih načina uvođenja koordinata na zemljinu sferu ili elipsoid. Osnovna ideja trećeg poglavlja je da se svaka kartografska projekcija kao preslikavanje sfere ili elipsoida u ravninu može intepretirati i kao preslikavanje ravnine na ravninu. To je značajna činjenica koja se može primijeniti pri rješavanju nekih zadataka matematičke kartografije. U četvrtom poglavlju ističe se činjenica da je klasični način zadavanja kartografskih projekcija zapravo kompozicija dvaju preslikavanja: inverznog preslikavanja parametrizacije plohe i preslikavanja ravnine na ravninu. Međutim, doživimo li plohu kao podskup trodimenzionalnog prostora, tada svaka kartografska projekcija inducira jedno preslikavanje iz skupa točaka plohe neposredno u ravninu. Time je dokazano da posredno definiranje kartografske projekcije pomoću prethodne parametrizacije plohe nije neophodno. Da bi se kartografska projekcija zadana na klasičan način mogla opisati kao preslikavanja iz skupa točaka plohe neposredno na ravninu, mora se poznavati inverzno preslikavanje parametrizacije pomoću koje je projekcija zadana. U petom poglavlju razješnjeno je zašto je svako proučavanje inverznog preslikavanja parametrizacije sfere ili elipsoida redovito povezano s poteškoćama. Naime, regularnom parametrizacijom nije moguće pokriti cijelu sferu ili elipsoid, a ako se takva parametrizacija proširi na cijelu plohu, inverzno preslikavanje više ne postoji. U takvim slučajevima predlaže se primjena kvazi-inverznog preslikavanja koje nastaje prirodnim proširenjem inverznog preslikavanja regularne parametrizacije. U šestom poglavlju se dolazi do zaključka da je nužno poznavanje inverznog preslikavanja odgovarajućeg preslikavanja iz R2 u R3, ako se želi odrediti inverzno preslikavanje klasično zadane kartografske projekcije. Međutim, ako je kartografska projekcija zadana bez prethodne parametrizacije, tada je inverzno preslikavanje neposredno preslikavanje iz R2 u R3. Pri istraživanjima deformacija koje se pojavljuju kod pojedinih kartografskih projekcija od posebnog su interesa deformacije duljina, kutova i površina. U sedmom poglavlju izvodi se nekoliko osnovnih relacija iz kojih zatim lako proizlaze sve poznate klasične formule matematičke kartografije koje se odnose na lokalno ispitivanje deformacija pojedine kartografske projekcije. Izvedena je relacija koja daje Tissotov teotem u novom ruhu, jer se osim zaključka o postojanju glavnih smjerova iz nje mogu pročitati i njihovi položaji, kako na originalnoj plohi, tako i u projekciji. Posebno se razmatra ovisnost lokalnih mjerila duljina i azimuta, te razlike azimuta o azimutu. Pokazuje se kako se sve ove funkcionalne zavisnosti mogu prikazati grafički u tangencijalnoj ravnini na originalnu plohu, te u ravnini projekcije. Osim elipsi deformacija, spomenuti prikazi nisu do sada poznati u kartografskoj literaturi. Pronađeno je svojstvo prema kojem je krivulja koja prikazuje zavisnost lokalnog mjerila duljina o azimutu na originalnoj plohi u sličnom odnosu prema elipsi deformacija (Tissotovoj indikatrisi), kao što je u teoriji pogrešaka krivulja pogrešaka prema elipsi pogrešaka. Na kraju rada razmatra se raspodjela deformacija, pri čemu se najprije istražuju pojedine točke i krivulje duž kojih nema deformacija duljina, azimuta, kutova ili površina. Zatim se prelazi na linije konstantnih deformacija ili ekvideformate. Konačno, istražuju se smjerovi ekstremnih deformacija, te izvode odgovarajuće diferencijalne jednadžbe. Za nekoliko kartografskih projekcija u potpunosti je ispitana raspodjela deformacija i rezultati popraćeni grafičkim prikazima. Krivulje duž kojih nema deformacija azimuta sada se po prvi puta pojavljuju u kartografskoj literaturi.

kartografske projekcije, preslikavanja u kartografiji, deformacije

nije evidentirano